8/10/2019 Proba Ejers

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TEMA 1Un dado est trucado de modo que la probabilidad de obtenerlas distintas caras es directamente proporcional a los nmerosde stas. Calcular:a) la probabilidad de cada una de las caras.b) La probabilidad de sacar un nmero mltiplo de 3.

Solucin:

Sean las probabilidades para cada una de las caras:p(1) ; p(2) ; p(3) ; p(4) ; p(4) ; p(5) ; p(6) ( probabilidad deobtener 1, 2, 3, 4, 5 , 6, respectivamente )Condicin del problema:

6

)6(p

5

)5(p

4

)4(p

3

)3(p

2

)2(p

1

)1(p=====

Por propiedad de las proporciones:

6

)6(p

5

)5(p

4

)4(p

3

)3(p

2

)2(p

1

)1(p

654321

)6(p)5(p)4(p)3(p)2(p)1(p======

+++++

+++++

Adems: p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(4) + p(5) + p(6) = 1

Respuestas:

a)

7

1

21

13)3(p;

21

2

21

12)2(p;

21

1

21

11)1(p ======

7

2

21

16)6(p;

21

5

21

15)5(p;

21

4

21

14)4(p ======

b) La probabilidad de sacar un nmero mltiplo de 3:

p(3) + p(6) =

7

3

7

2

7

1=+

p(mltiplo de 3) =

7

3

TEMA 2La resistencia a la compresin de cierto tipo de cemento puedemodelarse con una distribucin normal con media de 6000 kilogramospor centmetro cuadrado y una desviacin estndar de 100 kilogramospor centmetro cuadrado.a) Cul es la probabilidad de que la resistencia de ste tipo de cementose encuentre entre 5800 y 5900 kg/cm 2?b) Cul es la probabilidad de que la resistencia sea menor que6250 kg/cm2?c) Cul es la resistencia a la compresin correspondiente al percentil75?d) Si se toman 40 muestras de cemento, entre que valores deprobablemente se encontrar la media de la poblacin con un 90%de confianza?e) Qu tamao de muestra se debera tomar para disminuir el errorde estimacin de la parte d ) en un 50% y con un 95% de confianza?

Solucin:

Datos: x = 6000 kg/cm2 ; s = 100 kg/cm2

a)

p/z1= 2 : A1= 0,4772p/z2= 1 : A1= 0,3413A = A1 A2= 0,4772 0,3413 = 0;1359

Respuesta:la probabilidad de que la resistencia de ese tipo decemento se encuentre entre 5800 y 5900 kg/cm2 es del 13.59%.

b)

p/z = 2,5 : A1= 0,4938 : A = 0,5 + 0,4938 = 0,9938Respuesta:la probabilidad de que la resistencia de ese tipo decemento sea menor a 6250 kg/cm2 es del 99,38%.

c) Para A = 0,25 : z = 0,675

Respuesta:la resistencia que corresponde al percentil 75es de 6067,5 kg/cm2.

d)

Respuesta:con un 90% de confianza podemos afirmar quela media de la poblacin se encuentra entre 5974 kg/cm2y 6026 kg/cm2.

e) El error en la parte d) es de 26 kg/cm2, con lo que ladisminucin del error es de 13 kg/cm2Adems:

3,227N;N

10096,113;

Nze ==

=

Respuesta:el tamao de muestra que se debera tomar paradisminuir el error de estimacin de la parte d) en un 50% y con un 95%de confianza es de 228.

TEMA 3Se tienen tres urnas con las siguientes composiciones de bolillas:

a) si se eligen tres bolillas de la urna 2, cul es laprobabilidad de que los colores sean los de labandera paraguaya ?

b) si se eligen tres bolillas de la urna 2, cul es laprobabilidad de que la primera sea roja, lasegunda blanca y la tercera azul ?

c) si se eligen tres bolillas de la urna 2 pero cadauna se devuelve nuevamente, cul es laprobabilidad de que la primera sea roja, lasegunda blanca y la tercera azul ?

d) si las urnas tienen probabilidades 1/2; 1/3y 1/6 respectivamente y se eligi una bolillaque resulto ser roja, cul es la probabilidadde que se haya extrado de la urna 3 ?

e) si se sacan ordenadamente todas la bolillas de laurna 3, cul es la probabilidad de que primerosalgan todas las de un mismo color, luego las deotro color y finalmente las del tercer color ?

Solucin:a) La probabilidad de que los colores sean los de la bandera

paraguaya est dado por:p( R, B, A) + p( A, R, B) + p( B, A, R) + p( B, R, A) + p( R, A, B) + p( A, B, R) =

182,09877

1800

83

40

84

15

85

40

83

15

84

40

85

30

83

40

84

30

85

15

83

30

84

40

85

15

83

30

84

15

85

40

83

40

84

15

85

30==+++++=

Respuesta: si se eligen tres bolillas de la urna 2, la probabilidad de que los

colores sean los de la bandera paraguaya es del 18,22 %

b) La probabilidad de que la primera bolilla sea roja, la segundablanca yla tercera azul est dado por:

p( R, B, A) 034,09877

300

83

40

84

15

85

30===

Respuesta: La probabilidad de que la sea roja, la segunda blancay la tercera azul es del 3,4 %

TEMA 4Dado un conjunto de N datos: X1, X2, X3,...,XN, con

media X y desviacin tpica S, encontrar la mediay la desviacin tpica de la variable:

Yi= A + BXi ( i = 1, 2, 3,...,N), en funcin de X y S.

Solucin:

Datos: X1, X2, X3,...,XN ;

N

)XX(S;N

XX

2

i

=

=

Y1= A + BX1; Y2= A + BX2; Y3= A + BX3; ...; YN= A + BXN

( ) ( ) ( )

( )

SBS

XBAY

Y=

=

=

=

=

=

=++

=

=

+=

+=

+=+

=++++++++

=

=

SBN

)XXB

N

)YY(S

N

)XXB

N

)XBBX

N

)XBA(BXA

N

)YY(S

XBAN

XB

N

NA

N

XBNA

N

BXA...BXA2BXABXA

N

YY

2

12

Y

2

122

1

2

12

Y

N31i

TEMA 5El nmero de pulgadas que una estructura recin construida se hunde en elsuelo est dado por:y = 3 (1 e- x), donde x es el nmero de meses que lleva construido.Con los siguientes valores de x e y en mediciones hechas, calcular:

x 2 4 6 12 18 24y 1,04 1,88 2,26 2,78 2,97 2,99

a) la ecuacin que ajusta los datosb) el coeficiente de correlacinestimar el hundimiento de una estructura a los 3 aos de haberseconstruido.

Solucin:

Y = 3 ( 1 e-ax) ; y = 3 3 e-ax ; 3 e-ax= 3 y ; tomando logaritmosmiembro a miembro:ln (3 e-ax) = ln (3 y) ; ln 3 + ln e-ax= ln (3 y) ; ln 3 a x = ln ( 3 y).Haciendo ln 3 = A, x = X y ln (3 y) = Y, tenemos: Y = A + X

Urna 1 Urna 2 Urna 3Rojas 20 30 40

Blancas 15 15 15Azules 50 40 10

1995,0100

60005,5900

s

xxz

2005,2100

60005,5799

s

xxz

21

11

=

=

=

=

=

=

5.2495.2100

60005.6249

s

xxz =

=

=

5,6067x;100

6000x675,0;

s

xxz =

=

=

266000;40

100645,16000;

Nzx

8/10/2019 Proba Ejers

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TEMA 6Utilizando la distribucin de Poisson y sabiendo que una esquina en una horadel da llegan 0,7 autos por segundo, calcular las siguientes probabilidades:

a) de que en un segundo lleguen ms de 2 autos.b) de que en dos segundos lleguen 2 o 3 autos.

Solucin:

p = 0,7 ; = n p = 1 0,7 = 0,7 ;

!x

e)x(pr

x = ( frmula

de Poisson )

a) pr ( ms de 2 autos) = 1 [pr (0 autos) + pr (1 auto) + p r (2 autos) ]

12,0!2

e)autos2(pr;348,0

!1

e)auto1(pr;497,0

!0

e)autos0(pr

7,027,017,00

=

==

==

=

pr ( ms de 2 autos) = 1 [0,497 + 0,348 + 0,122 ]= 0,033Respuesta: la probabilidad de que en un segundo lleguen ms de 2 autos es del3,3 %

b) = n p = 20,7 = 1,4pr (2 3 autos) = pr (2 auto) + pr (3 autos)

113,0!3

e)autos3(pr;242,0

!2

e)autos2(pr

4,134,12

=

==

=

pr (2 3 autos) = 0,242 + 0,113 = 0,355Respuesta: la probabilidad de que en dos segundos lleguen ms de 2 3 autoses del 35,5 %

TEMA 7Se sabe que la caja A contiene una moneda de un centavo y dosmonedas de diez centavos, mientras que la caja B contiene tresmonedas de 10 centavos. La caja A tiene probabilidad 0.6 de serelegida y la caja B tiene probabilidad 0.4.a) cul es la probabilidad de sacar una moneda de 10 centavos?b) habiendo salido una moneda de 10 centavos, cul es la probabilidadde haya salido de la caja A?c) habindose elegido la caja A, cul es la probabilidad de quese seleccione una monda de diez centavos?

Solucin:Sean D: obtener una moneda de 10 centavos

C: obtener una moneda de 1 centavoEl diagrama de rbol correspondiente es el siguiente:a)

4.004.03

26.0)B/D(p)A/D(p)D(p =+=+=

Respuesta: la probabilidad de elegir una monedade 10 centavos es del 40%.

b)

1

04.03

26.0

3

26.0

)B/D(P)B(P)A/D(P)A(P

)A/D(P)A(P)D/A(p =

+

=+

=

Respuesta: habiendo salido una moneda de 10 centavos, laprobabilidad de haya salido de la caja A es del 100%.

c)

3

2)A/D(p =

Respuesta: habindose elegido la caja A, la probabilidad de quese seleccione una monda de diez centavos es de 67%.

TEMA 8La lnea telefnica de la Facultad de Ingeniera est ocupada40% del tiempo. Suponiendo que se realizan aleatoriamente 10llamadas a la Facultad y que estos eventos son independientesentre s:a) cul es la probabilidad de que al llamar tres veces,

la lnea est las tres veces ocupada?b) cul es la probabilidad de que al llamar dos veces,

la lnea est una de las veces desocupada y la otra ocupada?c) en cuntas de las 10 llamadas se espera que la lnea est ocupada??

Solucin:Sean los eventos O: la lnea esta ocupada

D: la lnea esta desocupadaDatos: p(O) = 0,4 ; q(D) = 1 0,4 = 0,6 ; N = 10

a) p(O , O , O) = p(O) p(O) p(O) = 0,4 0,4 0,4 = 0,064

Respuesta:la probabilidad de que al llamar tres veces, lalnea est las tres veces ocupada es del 6,4%.

b) p( O , D ) + p( D , O ) = 0,4 0,6 + 0,6 0,4 = 0,48

Respuesta:la probabilidad de que al llamar dos veces, la lneaest una de las veces desocupada y la otra ocupada es del 48%.

c) N p = 10 0,4 = 4.Respuesta:de las 10 llamadas, es de esperar que 4 llamadas den ocupadas.

TEMA 9En un examen de Estadstica, los resultados en dos secciones diferentes fueronlas siguientes:

a) Calcular la media aritmtica correspondiente a la 2 seccin.b) Calcular la mediana correspondiente a la 1 seccin.c) Calcular e interpretar el percentil 85 de la 2 seccin.d) Calcular el porcentaje de alumnos de la 2 seccin que obtuvieron

calificaciones menores al percentil 50 correspondiente a la 1 seccin.e) Si el profesor le disminuyera 5 puntos a todos los alumnos de la 2da.

Seccin cunto sera la nueva media aritmtica de esa seccin?

Solucin:a) 82.68

44

3028

2

22 ==

=

a

aa

f

xfx

Respuesta: la media aritmtica correspondiente a la segunda seccin es de69 puntos.

b) ( )16.8510

38

695.715.84c

f

f2

N

Lx~

med

i

1a1 =

+=

+=

Respuesta: la mediana correspondiente a la primera seccin es de 85 puntos.

c) ( )5.9210

8

314.375.84c

f

fN100

85

LP

85P

i

185 =

+=

+=

Respuesta: el percentil 85 correspondiente a la segunda seccin es de93 puntos. Esto significa que el 85% de los alumnos de la segunda seccinobtuvieron calificaciones de hasta 93 puntos.

d) el percentil 50 correspondiente a la primera seccin es igual a 85 puntos(mediana). En la segunda seccin, 31 alumnos hicieron puntajes que vanhasta 84 puntos y 39 alumnos hicieron puntajes que van hasta94 puntos. Interpolando el puntaje 85, tenemos:31 84 8 : 10 x 31 = 0.8 ; x = 31.839 94 x 31 : 1

x 85Respuesta:el total de alumnos de la 2 seccin que obtuvieron calificacionesmenores al percentil 50 correspondiente a la 1 seccin es de 32, lo cualrepresenta el 72.73% de alumnosde la 2 seccin.

e)

82.63582.68f

5f

f

xf

f

5fxf

f

)5x(fx

a2

a2

a2

a2

a2

a2a2

a2

a2a2 ==

=

=

=

Respuesta: Si el profesor le disminuyera 5 puntos a todos los alumnosde la 2da. seccin la nueva media aritmtica de esa seccin sera de 64 puntos.

TEMA 10

De una muestra elegida al azar de 400 adultos extradade una poblacin grande, resulto que 240 dieronuna respuesta afirmativa a la pregunta:Cree Ud.que la polica debe arrestar a los campesinos que invadenpropiedades privadas?a) construir un intervalo de confianza del 85% para la proporcin

real de los que opinan negativamente.b) Qu tamao de muestra se debera elegir para cometer un error

de hasta el 3% a un nivel de significacin del 95%?

Solucin:Sea: p = proporcin de personas que responden negativamente. Entoncesp = 160/400 = 0.4 ; q = 0.6

Frmula para estimacin de intervalos de confianza:

N

pqzp c

a) los valores de z que limitan un rea del 85% bajo la curva sonz = 1.4395. Luego, el intervalo est dado por:

400

6.04.04395.14.0

0.4 0.035

Respuesta: se puede afirmar, con una confianza del 85%, que la proporcinreal de las personas que opinan negativamente se encuentra entre36.5% y 43.5%.

b) En la frmula

N

pqzp c

, el error est limitado por

N

pqzc

Punt. 1 Sec. 2 Sec. x f2x

5 14 1 1 9.5 9.5

15 24 2 2 19.5 39

25 34 4 2 29.5 59

35 44 6 3 39.5 118.5

45 54 8 3 49.5 148.5

55 64 10 4 59.5 238

65 74 18 6 69.5 417

75 84 20 10 79.5 795

85 94 38 8 89.5 716

95 100 36 5 97.5 487.5

143 44 3028

8/10/2019 Proba Ejers

3/9

puntos21

142,547,53x

121,540,53x

FIS

MAT

deesmediaslasentrediferenciaLa

.x3N

x3

N

x3...x3x3x3x iN321

==

===

=

+++=

puntos7

62,547,515x

55,540,51x

FIS

MAT

deesmediaslasentrediferenciaLa

.5

x15N

x

N

N15

N

)15x...()15x()15x()15x(x iN321

=+=

=+=+=

+=

+++++++=

Si el error es de hasta 3%, tenemos:

N

6.04.096.103.0

=. Despejando N, tenemos: N = 1024.43

Respuesta: el tamao de muestra que se debera elegir para cometerun error de hasta el 3%, a un nivel de significacin del 95%,es de al menos 1025 personas.

TEMA 11

El siguiente cuadro muestra los datos sobre el porcentaje de las llantasradiales producidas por cierto fabricante que an pueden usarse despusde recorrer cierto nmero de millas:

Millasrecorridas

x (miles)

1 2 5 10 20 30 40 50

Porcentaje tily

98,2 91,7 81,3 64,0 36,4 32,6 17,1 11,3

a) Ajustar una curva exponencial del tipo y = x, por el mtodode mnimos cuadrados.

b) Graficar los datos y la curva.c) Calcular e interpretar el coeficiente de correlacin.d) Estimar qu porcentaje de las llantas radiales del fabricante

duraran al menos 25000 millas.

Solucin:Sea y = xla ecuacin de la curva pedida. Tomando logaritmos tenemos:log y = log + x log y haciendo: z = log y ; a0= log ; a1= log calculamos la ecuacin de una recta auxiliar del tipo z = a0+ a1x

x y z = log y x2

zx yest (yest-ymed)2 (y-ymed)

2

1 98,2 1,99 1 2,0 96,0 1757,7 1947,0

2 91,7 1,96 4 3,9 92,1 1445,9 1415,6

5 81,3 1,91 25 9,6 81,5 752,1 741,210 64,0 1,81 100 18,1 66,5 154,4 98,5

20 36,4 1,56 400 31,2 44,2 97,5 312,4

30 32,6 1,51 900 45,4 29,4 608,9 461,2

40 17,1 1,23 1600 49,3 19,5 1195,4 1367,2

50 11,3 1,05 2500 52,7 13,0 1687,2 1829,7

158 432,6 13,03 5530 212,1 7699,1 8172,8

con estos resultados: = ln-1

a0=ln-1

2 = 100 ; = ln-1

a1= ln-1

( 0,018) = 0,96a) Rta:la curva exponencial del tipo y = xque ajusta los datos esy = 100 0,96x

b)

c)97,0

8,8172

1,7699

)YY(

)YY(r

2

med

2

medest ==

=

Rta:para el coeficiente -0,97, el ajuste de la curva exponencial con losdatos es perfecta.

d) El porcentaje de las llantas radiales que duraran al menos 25000millas, est dado por: y = 100 0,9625= 36%

TEMA 12

En una muestra aleatoria de 1500 telfonos residenciales tomada en cierta ciudaden 199, se encontr que 387 nmeros no aparecen en el directorio. En el mismoao, en otra muestra aleatoria de 1200 telfonos tomada en otra ciudad, 310nmeros no aparecan en el directorio.

a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las dosproporciones.b) Qu conclusiones pueden obtenerse a partir del intervalo de confianzaobtenido en el inciso a)?

Solucin:

N1= 1500 N2= 1200387 no aparecen 310 no aparecen

742.01500

1113q

258.01500

387p

1

1

==

==

742.01200

890q

258.01200

310p

2

2

==

==

2

22

1

11c21

N

qp

N

qpZPP +

a)

1200

742.0258.0

1500

742.0258.086.1258.0258.0

+

0 0.0330.033 p1 p20.033

3.3% p1 p23.3%

b) Podemos concluir que la diferencia de proporcin de nmeros de telfonos,que no aparecen en el directorio, entre las dos ciudades se encuentra entre un 3.3%

TEMA 13Los datos siguientes datos se refieren a la cantidad de hidrgenopresente (y, en partes por milln) en muestras de sondaje taladradasen intervalos de un pie de longitud de un molde de fundicin al vaco(x, localizacin de la muestra de sondaje en pies desde la base):

a) Ajustar una parbola por el mtodo de mnimos cuadrados.b) Graficar los datos y la parbola.c) Calcular e interpretar el coeficiente de correlacin.d) Estimar la cantidad de hidrgeno presente en x = 7.

Solucin:

a) sea Y = a0+ a1X + a2X2 la ecuacin de la parbola pedida. Formamosel sistema:

y = a0N + a1 x + a2 x2 xy = a0 x + a1 x2 + a2 x3 x2y = a0 x2 + a1 x3 + a2 x4

9,85 = 10 a0+ 55 a1 + 385 a251,04 = 55 a0+ 385 a1 + 3025 a2358,1 = 385 a0+ 3025 a1+ 25333 a2

Resolviendo el sistema se obtiene: a0= 1,751 ; a1= 0,316 ; a2= 0,025

Rta:la parbola de mnimos cuadrados que ajusta los datos es

Y = 1,751 0,316 X + 0,025 X2

b)

c)72.0

64805.0

47085.0

)(

)(2

2

==

=

med

medest

YY

YYr

Rta:Con este valor de correlacin, podemos afirmar queexiste una correlacin significativa entre los valores estimadoscon la parbola y los datos.

d) Estimacin de la cantidad de hidrgeno presente en x = 7:hacemos x = 7 en la ecuacin de la parbolaY = 1,751 0,316 7 + 0,025 72= 0,76Rta:la cantidad estimada de hidrgeno en x = 7 es de 0,76.

TEMA 14A un grupo de estudiantes se les aplica una prueba de Matemticas y otra deFsica. La media en Matemticas fue de 40.5 y en Fsica de 47.5.a) Si Gonzlez obtuvo una calificacin de 35 en la prueba de Matemticas,

cul fue su calificacin en Fsica?b) Si el Profesor revalorara los dos exmenes, esta vez otorgando 3 puntos a

cada respuesta correcta en lugar de un solo punto, cul sera la mediapara cada una de las pruebas? cul sera la diferencia entre las medias eneste caso?

c) Si el Profesor sumara 15 puntos adicionales a cada puntaje obtenido por

cada estudiante en ambas pruebas, cul sera la media para cadaprueba?, cul sera la diferencia de medias en este caso?

Solucin:

a) No se puede determinar la calificacin de Gonzlez en Fsica con estosdatos.

b) Si el Profesor revalorara los dos exmenes otorgando 3 puntos a cadarespuesta correcta en lugar de un punto:

c) Si el Profesor revalorara los dos exmenes sumando 15 puntos a cadapuntaje obtenido por cada alumno:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 1,28 1,53 1,03 0,81 0,74 0,65 0,87 0,81 1,10 1,03

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

018,015855308

03,131581,2128a

xxN

zxxzNa

215855308

1,212158553013a

xxN

xzxxza

21

221

20

22

2

0

=

=

=

=

=

=

=

=

x y xy x2y x

2x

3x

4yest (yest-ymed)

2(y-ymed)

2

1 1.28 1.28 1.28 1 1 1 1.46 0.225625 0.087025

2 1.53 3.06 6.12 4 8 16 1.22 0.055225 0.297025

3 1.03 3.09 9.27 9 27 81 1.03 0.002025 0.002025

4 0.81 3.24 12.96 16 64 256 0.89 0.009025 0.030625

5 0.74 3.7 18.5 25 125 625 0.8 0.034225 0.060025

6 0.65 3.9 23.4 36 216 1296 0.76 0.050625 0.112225

7 0.87 6.09 42.63 49 343 2401 0.76 0.050625 0.013225

8 0.81 6.48 51.84 64 512 4096 0.82 0.027225 0.030625

9 1.1 9.9 89.1 81 729 6561 0.93 0.003025 0.013225

10 1.03 10.3 103 100 1000 10000 1.1 0.013225 0.002025

5 5 9. 85 5 1. 04 3 58. 1 3 85 3 02 5 2 53 33 0 .47 08 5 0. 648 05

8/10/2019 Proba Ejers

4/9

05,0

9,162

95. =

TEMA 15Los artculos manufacturados por una compaa se producen en 3mquinas distintas manejadas por tres operarios diferentes. El dueo deseasaber si hay diferencia (a) entre los operarios y (b) entre las mquinas.Se realiza un experimento para conocer el nmero de artculos producidosal da, con los resultados que recoge la siguiente tabla. Establecer la deseadainformacin al nivel de significacin 0.05.

Operador1 2 3

Mquina AMquina BMquina C

23 27 2434 30 2828 25 27

Solucin:

Calculamos los totales de filas, de columnas, la media de columnas, la mediade filas y la media total, como se indica en el siguiente cuadro:

La variacin de las medias de filas respecto de la media global es:VR= 3[( 74/3 250/9 )2+ ( 92/3 250/9 )2+ ( 80/3 250/9 ) 2] = 56 ; VR= 56La variacin de las medias de columnas respecto de la media global es:VC= 3[( 85/3 250/9 )2+ ( 82/3 250/9 )2+ ( 79/3 250/9 ) 2] = 6 ; VC= 6La variacin total es:

V = ( 23 82/3 )2+ ( 27 82/3 )2+ ( 24 82/3 )2+ ( 34 82/3 )2+ ( 30 82/3 )2+ ( 28 82/3 ) 2+( 28 82/3 )2+ ( 25 82/3 )2+ ( 27 82/3 )2+] = 88 ; V = 88La variacin aleatoria es VE= V ( VR+ VC) = 88 ( 56 + 6 ) = 26 ; VE= 26Con estos datos hacemos el anlisis de varianza del siguiente cuadro:

de la tabla F para un nivel de significacin 0,05 y con 2 y 4 G. L.: F .95= 6,94RESPUESTAS:

a) como 0,46 < 6,94 , para un nivel de significacin 0,05 concluimosque no existe diferencia significativa entre operarios.

b) como 4,31 < 6,94 , para un nivel de significacin 0,05 concluimosque no existe diferencia significativa entre maquinas.

( ) 8833

2466812

ab

TXV

22

xkjk =

==

TEMA 16Un cientfico de la computacin ha desarrollado un algoritmo para generarnmeros enteros seudoaleatorios en el intervalo 09. El cientfico codifica elalgoritmo y genera 1000 dgitos seudoaleatorios. La siguiente tabla contiene losdatos de las frecuencias observadas. Existe evidencia de que el generadorfunciona de manera correcta al nivel de significacin 0.05?

Solucin:

Calculamos las frecuencias esperadas:

Nmerosaleatorios 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

total

Frec.Observadas

94 93 112 101 104 95 100 99 108 94 1000

Frec.Esperadas

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1000

Formulamos las hiptesis:H0: El generador de nmeros aleatorios funciona de manera correcta.HA: El generador de nmeros aleatorios funciona de manera incorrecta.

Clculo de 2:

Como 2< , entonces caemos en zona de aceptacin.

Conclusin: Al nivel 0,05 no hay razn para rechazar la hiptesis nula, con loque se concluye que el generador de nmeros aleatorios funciona de maneracorrecta.

TEMA 17Una empresa quiere comparar cuatro tipos de llantas: A, B, C yD. Susvidas medias en rodaje (en miles de millas) se dan en siguiente tabla,donde cada tipo ha sido probado en seis coches similares asignadosal azar a las llantas. Determinar si hay diferencia significativa al nivelde significacin (a) 0.05 y (b) 0.01 entre las llantas.

A 33 38 36 40 31 35

B 32 40 42 38 30 34C 31 37 35 33 34 30

D 29 34 32 30 33 31

Solucin :Calculamos los totales de filas, la media de filas y la media total,como se indica en el siguiente cuadro:

La variacin de las medias de filas respecto de la media global es:VB= 6[71/2 409/12 )2+ ( 36 409/12 )2+( 100/3 409/12 )2+( 63/2 409/12 )2]= 155/2 ; VB= 75,5La variacin total es:V = ( 33 409/12 )2+( 38 409/12 )2+( 36 409/12 )2+( 40 409/12 )2+( 31 409/12 )2+( 35 409/12 )2+ ( 32 409/12 )2+( 40 409/12 )2+( 42 409/12 )2+( 38 409/12 )2+( 30 409/12 )2+( 34 409/12 )2+( 31 409/12 )2+( 37 409/12 )2+( 35 409/12 )2+( 33 409/12 )2+( 34 409/12 )2+( 30 409/12 )2+( 29 409/12 )2+( 34 409/12 )2+( 32 409/12 )2+( 30 409/12 )2+( 33 409/12 )2+( 31 409/12 )2= 1763/6V = 293,83La variacin VW es: VW= V VB = 1763/6 155/2 = 649/3 ;VW= 216,33Con estos datos hacemos el anlisis de varianza del siguiente cuadro:

de la tabla F para un nivel de significacin 0,05; con 3 y 20 G. L.: F .95= 3,10de la tabla F para un nivel de significacin 0,01; con 3 y 20 G. L.: F .99= 4,94RESPUESTAS:

a) como 2,33 < 3,10 , para un nivel de significacin 0,05 concluimosque no existe diferencia significativa entre las llantas.

b) como 2,33 < 4,94 , para un nivel de significacin 0,01 concluimosque no existe diferencia significativa entre las llantas.

TEMA 18

Dado los siguientes datos:a) Ajustar una curva de la forma

bxm

1y

+=

y graficar los datos y la

curva.b) Calcular e interpretar el coeficiente de correlacin.

X 1 2 3 4 5 6 7Y 1.58 1.42 1.24 1.10 1.05 0.95 0.81

Solucin:

bxmy

1;

bxm

1y +=

+=

X 1 2 3 4 5 6 7 28

Y 1.58 1.42 1.2 4 1.10 1.05 0.95 0.81

Z=1/Y 0,633 0,704 0,806 0,909 0,952 1,053 1,235 6,292

X2 1 4 9 16 25 36 49 140

ZX 0,633 0,704 0,806 0,909 0,952 1,053 1,235 27,818

Yest 1,63 1,41 1,24 1,11 1,01 0,92 0,84

(Yest-

Ymed)2

0,221 0,063 0,0064 0,0025 0,0225 0,0576 0,1024 0,469

(Y-Ymed)2 0,1764 0,0676 0,0064 0,0036 0,0121 0,0441 0,1225 0,4835

094,0281407

292,628818,277

)X(XN

XZZXNb

52,0281407

818,2728140292,6

)X(XN

XZXXZm

222

222

2

=

=

=

=

=

=

total defila

media defila

A 33 38 36 40 31 35 213 71/2

B 32 40 42 38 30 34 216 36

C 31 37 35 33 34 30 200 100/3

D 29 34 32 30 33 31 189 63/2

total = 818 Media total = 409/12

Operador total Media de1 2 3 de fila fila

Mquina AMquina BMquina C

23 27 2434 30 2828 25 27

749280

74/392/380/3

Total decolumna

85 82 79Total final = 246

Media decolumna

85/3 82/3 79/3Media

total =82/3

VariacinGrados de

libertadCuadrado

medioF

VR= 56 a 1 = 2 R2= 56/2 = 28R2/E2=4,31c/ 2 y 4 G L

VC= 6 b 1 = 2 C2= 6/2 = 3C2/E2=0,46c/ 2 y 4 G. L

.

VE= 26 (a-1)(b-1) = 4 E2= 26/4 = 6,5

V = 88 a b 1 = 8

Nmerosaleatorios

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Frecuencia 94 93 112 101 104 95 100 99 108 94

VariacinGrados de

libertadCuadrado

medioF

VB= 75,5 a 1 = 3 B2=75,5/3=25,17B2/W2=2.33c/ 3 y 20 G. L

VW= 216,33 a(b1)=45=20 W2=216,33/20=10,82

V = 293,83 ab1=461=23

72,336,059,001,0026,015,001,029,149,036e

)eo( 2

2 =+++++++++=

=

9,162

95. =

8/10/2019 Proba Ejers

5/9

Con m = 0,52 y b = 0,09 la ecuacin pedida es:

x0,090,52

1y

+=

El coeficiente de correlacin est dado por:

99,04835,0

469,0

)YY(

)YY(r

2

2est ==

=

. Con este valor de r = 0,99 podemos afirmar que la

correlacin entre los datos dados y los de la curva es perfecta.

TEMA 19Una gran empresa de electrnica que emplea a muchos trabajadoresimpedimentos (minusvlidos) quiere determinar si los defectos fsicos afectan aldesempeo de su trabajo. Utilizando nivel de significacin 0.05, a partir de losdatos muestrales que se presentan en el siguiente cuadro, decidir si es razonableafirmar que la situacin fsica de los empleados afecta el desempeo de lostrabajadores.

SolucinHemos de decidir entre las hiptesis:

H0: la situacin fsica de los empleados no afecta el desempeo delos trabajadores

H1: la situacin fsica de los empleados afecta el desempeo de lostrabajadoresRegla de decisin: Si 2< 2.95, entonces aceptamos H0

Calculamos el valor de 2.95 para (3 1)(3 1) = 4 grados de libertad. De lastablas: 2.95= 9.49Calculamos el valor de 2 de nuestra muestra. Para ello calculamos lasfrecuencias esperadas en la tabla:

18.027

)2728(

93

)9393(

30

)3029(

14

)1414(

49

)4949(

16

)1616(

18

)1817(

64

)6464(

20

)2021(

2222

222222

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

Como 2< 2.95, entonces aceptamos H0 y concluimos que la situacin fsica delos empleados no afecta el desempeo de los trabajadores.

TEMA 20

A un grupo de 180 estudiantes de la facultad de electrnica se les ha aplicadouna prueba de razonamiento lgico, encontrndose una media de 68 puntos yun desviacin tpica de 10 puntos.El criterio para aprobar el examen es que el estudiante debe alcanzar un puntajemnimo equivalente a z = 1,50. Suponiendo una distribucin normal:a) cul es puntaje mnimo que un estudiante debe obtener para aprobar el

examen ?b) cuntos estudiantes aprobaron el examen ?c) cuntos estudiantes se encuentran entre los lmites correspondientes a z

= 1,50 ?d) cul es la probabilidad de que, tomando un examen al azar, corresponda

a un alumno reprobado ?e) cul es puntaje correspondiente al percentil 85 ?

Solucin:

a) X = 68 ; S = 10

53681050,1x

XzSx;S

Xxz

=+=

+=

=

Respuesta: el puntaje mnimo que un estudiante debe obtener para aprobar elexamen es de 53 puntos.

b) del apndice II, para z = 1,50 tenemos un rea igual a 0,4332Por tanto, el rea a la derecha de z = 1,50 es de 0,5 + 0,4332 = 0,9332A sta rea corresponde: 180 0,9332 = 167,976Respuesta: aprobaron el examen 168 estudiantes.

c) del apndice II, para z = 1,50 tenemos un rea igual a 0,4332Por tanto, el rea entre los lmites z = 1,50 es de 2 0,4332 = 0,8664A sta rea corresponde: 180 0,8664 = 155,952Respuesta: entre los lmites correspondientes a z = 1,50 se encuentran 156estudiantes.

d) del tem a) tenemos que el rea para los que reprueban es 0,5 0,4332 =0,0668Respuesta: la probabilidad de que, tomando un examen al azar, corresponda aun alumno reprobado es del 6,68%.

e) del apndice II, para un rea igual a 0,15 corresponde z = 1, 04

4,78681004,1x;XzSx;S

Xxz =+=+=

=

Respuesta: el puntaje correspondiente al percentil 85 es 78, lo que implica que15% de los mejores alumnos tiene como mnimo 78 puntos.

TEMA 21

La estatura media de 50 estudiantes de un colegio que tomaban parte de laspruebas atlticas fue de 68,2 pulgadas con una desviacin tpica de 2,5pulgadas; mientras que 50 estudiantes que no mostraban inters en talparticipacin tenan una estatura media de 67,5 pulgadas con una desviacintpica de 2,8 pulgadas.

a) Ensayar la hiptesis de que los estudiantes que participan en laspruebas atlticas son ms altos que los otros.

b) En cunto deberan incrementarse los tamaos de las muestras decada uno de estos grupos para que la diferencia observada de 0,7pulgadas en las estaturas medias sea significativa al nivel designificacin a) 0,05; b) 0,01 ?

Solucin: ( ver ej. 10.18, pg. 242 )

a) Hay que decidir entre dos hiptesis:H0: 1= 2, y no hay diferencia de alturasH1 : 1 > 2, y la altura media del primer grupo es

mayor que el segundo.

Bajo la hiptesis H0,

53.050

8.2

50

5.2

NNy0

22

2

22

1

21

xxxx 2121=+=

+

==

donde hemos usado las desviaciones tpicas muestrales como estimacionesde 1 y 2. Luego:

32.153.0

5.672.68XXz

21 xx

21

=

=

=

Con un contraste a una sola cola al nivel de significacin 0.05rechazaramos H0 si z fuera mayor que 1.645 (valor de z para nivel 0.05).As que no podemos rechazarla a este nivel de significacin. Hay que notar,sin embargo, que la hiptesis puede ser rechazada al nivel 0.10 (con z =1.28) si estamos dispuestos a correr el riesgo de equivocarnos con unaprobabilidad de 0.10 (un 10%).Conclusin: podemos afirmar con un nivel de significacin 0.05 que losestudiantes que participan en las pruebas atlticas no son ms altos que losotros.b) Si N es el tamao de cada grupo y suponiendo que la desviacin

tpica de los grupos siguen siendo la misma, entonces bajo la hiptesisH0tenemos:

N

75.3

N

09.14

N

8.2

N

5.2

NNy0

2222

21

xxxx 2121==+=

+

==

Para una diferencia observada en alturas medias de 0.7 pulgadas tenemospues:

75.3

N7.0

N

75.3

5.672.68XX

z21 xx

21

=

=

=

b1) como z z0.05, tenemos:

78N;4.77N;7.0

75.3645.1N;645.1

75.3

N7.0

Respuesta:Las muestras deberan incrementarse en 7850=28 para que ladiferencia observada de 0,7 pulgadas en las estaturas medias seasignificativa al nivel de significacin 0,05.

b2) como z z0.01, tenemos:

157N;3.156N;7.0

75.333.2N;33.2

75.3

N7.0

Respuesta:Las muestras deberan incrementarse en 15750=107 para quela diferencia observada de 0,7 pulgadas en las estaturas medias seasignificativa al nivel de significacin 0,01.

TEMA 22

En promedio seis personas utilizan un cajero bancario automtico cada hora, en

el transcurso de las horas ms concurridas en una tienda de departamentos.Cul es la probabilidad de que:

a) menos de 5 personas utilicen la caja durante una hora.b) nadie utilice la caja durante un intervalo de 10 minutos.c) nadie utilice la caja durante un intervalo de 5 minutos.

(Utilizar Poisson).

Solucin:

Frmula para distribucin de Poisson:

!x

e)x(p

x =

, donde: = 6

personas / h, para nuestro problema.

a) p (x

8/10/2019 Proba Ejers

6/9

489902,008,001,0

58,2N;pq

e

zN;

N

pqze

22

cc =

=

==

166415,05,001,0

58,2N;pq

e

zN;

N

pqze

22

cc =

=

==

b) Como en una hora hay un promedio de 6 personas utilizando elcajero, en 10 minutos habr 1 persona utilizando el cajero, portanto = 1

3679.0!1

e1)0x(p

10

===

Respuesta: la probabilidad de que ninguna persona utilice la caja duranteun intervalo de 10 minutos es del 36.79%.

c) Como en una hora hay un promedio de 6 personas utilizando elcajero, en 5 minutos habr 1/2 persona utilizando el cajero, por tanto =

6065.0!1

e5.0)0x(p

5.00

===

Respuesta: la probabilidad de que ninguna persona utilice la caja durante

un intervalo de 5 minutos es del 60.65%.

TEMA 23Los siguientes datos son el nmero de ventas que una muestra de nuevevendedores de vehculos en Asuncin y una muestra de seis vendedores enEncarnacin realizaron en cierto periodo fijo:

Asuncin 59 68 44 71 63 46 69 54 48

Encarnacion 50 36 62 52 70 41

Utilcese el nivel de significancin del 0,01 para probar si la diferencia entre lamedia de las dos muestras es significativa.

Solucin:Hiptesis nula: 021 =

y la diferencia no es significativa.

Hiptesis alternativa:21

y la diferencia es significativa.

Nivel de significacin = 0,01Grados de libertad 221 += NN = 9 + 6 2 = 13

Criterio: Utilizando un ensayo a dos colas se acepta la hiptesis nula si01,301,3 t , de lo contrario se acepta la hiptesis alternativa. El

estadstico t se obtiene de la formula:donde

21

21

11

NN

XXt

+

=

221

2

22

2

11

+

+=

NN

sNsN

21,XX: Media muestral de poblacin 1 y 2

21, ss : Desviacin tpica muestral de 1 y 2

21,NN: tamao de la muestra de la poblacin 1 y 2

Clculos:

589

522

9

48546946637144685911 ==

++++++++==

=

N

X

X

N

j

j

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9

87

9

5848

9

5854

9

5869

9

5846

9

5863

9

5871

9

5844

9

5868

9

5859 222222222

1

2___

1 =

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

N

XX

S

N

j

j

833,516

311

6

41705262365012 ==

+++++==

=

N

X

X

N

j

j

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

482

6

833,5141

6

833,5170

6

833,5152

6

833,5162

6

833,5136

6

833,5150 222222

1

2___

2 =

+

+

+

+

+

=

=

=

N

XX

S

N

j

j

91=N 62 =N

luego calculando t:

03,198579,5

1667,6

82977,35

1667,6

18

5

13

6

4829872

1667,6

6

1

9

1

269

36

48296

9

8729

833,5158===

+

=

++

+

=

xx

xx

t

Conclusin:Se acepta la hiptesis nula de que la diferencia entre las medias no essignificativa.

TEMA 24Un artculo publicado en la revista The Enginer ( junio 1999), notific losresultados de una investigacin sobre los errores en el cableado en aeroplanoscomerciales que pueden producir informacin falsa a la tripulacin. Es posibleque tales tipos de errores de cableado hayan sido responsables del desastre de laBritish Airways en enero de 1989 al provocar que el piloto apagara el motorequivocado. De 1600 aeroplanos seleccionados al azar, se encontr que el 8%tenan errores en el cableado que podan mostrar informacin falsa a latripulacin.a) Encontrar un intervalo de confianza del 99% para la proporcin de

aeroplanos que tienen este tipo de cableado. Interpretar la respuesta.b) Suponiendo que se utiliza este ejemplo para proporcionar una estimacin

preliminar de p, de qu tamao debe se la muestra para producir unaestimacin de p que difiera, con una confianza de 99% del verdaderovalor a lo ms en 1%?. Interpretar.

c) De que tamao debe ser la muestra si se desea tener una confianza de almenos 99% de que la proporcin muestral difiera de la proporcinverdadera a lo ms en 1%, sin importar cual sea el valor verdadero de p? Interpretar.

Solucin:a) N = 1600 aeroplanos ; p(error) = 0.08 ; p/ 99% de confianza: zc= 2,58

Respuesta: Con un 99% de confianza, podemos afirmar que la proporcin deaeroplanos que tienen este tipo de error se encuentran entre el 6,3% y 9,7%.

b)

Respuesta: El tamao de la muestra debe ser de al menos 4899 aeroplanos, paraque la proporcin muestral no difiera del verdadero a lo ms en 1%.c) Si no conocemos el valor de p tomamos p = 0,5 y q = 0,5 ya que estos sonlos valores que pueden producir el mayor error posible:

Respuesta: Si no conocemos el valor de p, y tomamos p = 0,5, entonces eltamao de la muestra debe ser de al menos 16641 aeroplanos. Esto esaproximadamente 3 veces mayor que si conocemos el valor de p.

TEMA 25

Para determinar si en realidad existe una relacin entre el aprovechamiento deun empleado en el programa de capacitacin y su rendimiento real en el trabajo,consideramos una muestra de 400 casos y obtenemos los resultados que seadvierten en la siguiente tabla:

Debajo del promedio Promedio Sobre el promedio

Deficiente 23 60 29

Promedio 28 79 60

Muy buena 9 49 63xito

en

el

trabajo

Aprovechamiento en el programa de entrenamiento

Con el nivel de significacin 0,01 prubese la hiptesis nula de que elaprovechamiento en el programa de capacitacin y el xito en el trabajo sonindependientes.

Solucin:Hiptesis nula: el aprovechamiento en el programa de capacitacin y el xito enel trabajo son independientes.Hiptesis alternativa: el aprovechamiento en el programa de capacitacin y el

xito en el trabajo no son independientes.Nivel de significacin = 0,01Nro de grados de libertad: (h-1)(k-1)=(3-1)(3-1)=2x2=4Criterio: se rechaza la hiptesis nula si 277,132 , o sea el valor de

2

99,0para 4 grados de libertad, donde

2 esta dado por la formula:

=j j

jj

e

eo 2

2 )(

ko : frecuencia observada

ke : frecuencia esperada

Clculos:Hallando primero las frecuencias esperadas para las primeras dos celdas de losprimeros dos reglones, y, por sustraccin, las frecuencias de las otras celdas se

encuentra que:

Debajo del promedio Promedio Sobre el promedio Total

Def ici ente 112*60/400 112*188 /400 42 ,6 112

Promedio 167*60/ 400 167*188/400 63,5 167

Muy buena 18,1 56,9 45,9 121

Total 60 188 152 400

xito

en

el

trabajo

Aplicando la formula:

9,59

)9,4563(

9,56

)9,5649(

2,18

)2,189(

5,63

)5,6360(

5,78

)5,7879(

25

)0,2528(

6,42

)6,4229(

6,52

)6,5260(

8,16

)8,1623()( 2222222222

2 +

+

+

+

+

+

+

+

=

=j j

jj

e

eo

34,202 =

Decisin: Dado que 34,202 = sobrepasa 13,277, la hiptesis nula debe

rechazarse; se concluye que existe dependencia entre el aprovechamiento de unempleado en el programa de capacitacin y su xito en el trabajo.

TEMA 26

Una muestra aleatoria de 30 empleados de nivel secretarial de una organizacingrande, el departamento de seleccin de personal le aplica una prueba estndarde mecanografa. Los resultados muestrales son: X= 63 p .p.m. (palabras porminuto) y S = 5 p.p.m. Pruebe la hiptesis de las secretarias exceden lavelocidad de mecanografa de 60 p.p.m., utilizando = 1%.Considerando que si la velocidad promedio de mecanografa es de 64 p.p.m. setiene una diferencia considerable con respecto al valor hipottico de 60 p.p.m.,determinar:

a) Error tipo I (). Interpretar.b) Error tipo I I (). Interpretar.

Encontrar la potencia de la prueba (1 - ) e interpretar lo que ello significa.Solucin:N = 30 ; X =63 ppm ; S = 5 ppmH0: m = 60 ppm, y no hay diferencia entre las velocidades en mecanografa conel valor hipotticoH1> m = 60 ppm, y hay diferencia entre las velocidades en mecanografa con elvalor hipotticoDe la tabla, para a = 1%z = 2.33Clculo de z:

28.3

30

5

6063

N

Xzc =

=

=

Como zc> z rechazamos H0y aceptamos A1Conclusin: las secretarias exceden en velocidad mecanogrfica al valorhipottico 60 ppm.

017,008,0;1600

02,008,058,208,0;

N

pqzp c

8/10/2019 Proba Ejers

7/9

Otra forma: calculando X:

13.626030

533.2X;

N

Xz =+=

=

Como X > X concluimos que las secretarias exceden en velocidadmecanogrfica al valor hipottico 60 ppm.

a) a = 1%Conclusin: La probabilidad de rechazar una hiptesis verdadera es de1%b)

13.626030

533.2X =+=

05.2

9128.0

87.1

305

6413.62

N

Xzc =

=

=

=

b = 0.5 ( Area entre z = 0 y z = -2.05 = 0.5 0.4798 = 0.0202Conclusin: La probabilidad de aceptar una hiptesis falsa es de 2.02%c) Potencia = 1 b = 0.9798Conclusin: La probabilidad de rechazar una hiptesis falsa es de 97.98 %

TEMA 27Se est capacitando a nueve personas en cuatro materias distintas y se lesasigna, en forma aleatoria, a tres mtodos diferentes de instruccin. A cadainstruccin se le asignaron tres estudiantes, como se indica en el siguientecuadro. Realizar un anlisis de todas las diferencias posibles a un nivel designificacin 0.05.

MATERIA Mtodo de InstruccinA1 A2 A370 83 81

B1 79 89 8672 78 7977 77 74

B2 81 87 6979 88 7782 94 72

B3 78 83 7980 79 7585 84 68

B4 90 90 7187 88 69

Solucin:

Conclusin: al nivel 0,05 se puede concluir: Existe diferencia significativa entre mtodos de instruccin Existe diferencia significativa entre mtodos de instruccin No existe diferencia significativa entre materias

TEMA 28Segn la oficina nacional de Estadsticas, el promedio total de ahogamientosaccidentales al ao es 3 cada 100000 habitantes. Calcular la probabilidad de queen una ciudad de 200000 habitantes haya: a) 0 b) 6 c) entre 4 y 8 d)menos de 3, ahogados por accidente al ao. Utilizar distribucin de Poisson..

Solucin:Frmula:

!X

e)X(p

X =

; = 3/100000 200000 = 6

a)00248,0

!0

e6)60X(p

60

====

Respuesta:la probabilidad de que en una ciudad de 200000 habitantes no hayaahogados es del 2,48 %b)

1606,0!6e6)66X(p

66

====

Respuesta:la probabilidad de que en una ciudad de 200000 habitantes haya 6ahogados es del 16,06 %

c)6960,0

!8

e6

!7

e6

!6

e6

!5

e6

!4

e6)68,7,6,5,4X(p

6867666564

=+++++===

Respuesta: la probabilidad de que en una ciudad de 200000 habitantes hayaentre 4 y 8 ahogados es del 16,06%d)

0620,0!2

e6

!1

e6

!0

e6)6)2,1,0X(p)63X(p

626160

=++=====<

Respuesta:la probabilidad de que en una ciudad de 200000 habitantes hayamenos de 3 ahogados es del 6,20%

TEMA 29Dados los siguientes datos: 9915780Xy168X,170N 2 ===

a) Cuntos sujetos obtuvieron puntajes entre 160 y 180?b) Cul es la posicin probable de la media de la poblacin con un

nivel de confianza del 85%?c) Qu tamao de la muestra debera utilizar para reducir el error de

estimacin de la pregunta b) a la mitad y a un nivel deconfianza del 80%?

d) Cul es el puntaje correspondiente al percentil 75?Solucin:El clculo de la desviacin tpica puede hacerse con la frmula:

5.173168170

9915780)X(

N

Xs 22

2

==

=

a) para x = 160:05.0048.0

5.173

1685.159z1 =

=

para x = 180:07.0072.0

5.173

1685.180z1 =

=

Adems: A = A1+ A2.De las tablas, para z1= - 0.05 : A1= 0.0199

para z2= 0.04 : A2= 0.0279A = 0.0199 + 0.0279 = 0.0445. Luego, para A = 0.0455: N 1= 0.048 170 = 8.16 8Respuesta: 8 sujetos obtuvieron calificaciones entre 160 y 180 puntos.

b) El intervalo est dado por:N

szx c

.

De las tablas, el 85% del rea se encuentra entre z1= - 0.14 y z2= 1.44.

207

169

170

5.17344.1168

Respuesta: con un nivel de confianza del 85% podemos afirmar que la media seencuentra entre 169 y 207 puntos.

c) El error est dado por

N

sz c=

. Entonces16.19

170

5.17344.1 ==

. El

error reducido a la mitad es:58.9

2=

. De las tablas, el 80% del rea se

encuentra entre z1= - 1.285 y z2= 1.285. Luego:

N

5.173285.158.9 =

, de

donde: N 542

Respuesta: El tamao debera ser de 542 sujetos para que el error deestimacin del item b) se reduzca a la mitad, para un nivel de confianzadel 80%.

d) De las tablas, el 75% del rea izquierdo ( ver figura), se encuentra a laizquierda de z = 0.675, con lo cual el percentil 75 est definido por z =0.675.

De la frmulaxszx,

s

xxz +=

=

11.2851685.173675.0x =+= Respuesta: El puntaje que corresponde al percentil75 es 285. O sea que el 75% de los sujetos obtuvieronpuntajes menores o igual a 285.

MATERIA Mtodo de InstruccinA1 A2 A3 x 70 83 81 234 78

B1 79 89 86 254 84,6772 78 79 229 76,3377 77 74 228 76

B2 81 87 69 237 79

79 88 77 244 81,3382 94 72 248 82,67B3 78 83 79 240 80

80 79 75 234 7885 84 68 237 79

B4 90 90 71 251 83,6787 88 69 244 81,33

960 1020 900 2880x 80 85 75

Variacin Grados delibertad

Cuadrado medio F de laprueba

Valores deF para

nivel 0,05entre

materiasVR= 30,89

a 1 = 33,10

1a

Vs R2R =

=

5676,0s

s2E

2R =

p/ 3 y 24gl:

FC= 3

entremtodosVC= 600

b 1 = 2300

1b

Vs C2C =

=

54,16

s

s2E

2C =

p/ 2 y 24gl:

FC= 3,41

InteraccinVI= 533,78

(a1)(b1)= 6

96,88)1b)(1a(

Vs I2I =

=

905,4

s

s2E

2I =

p/ 6 y 24

gl:FC= 2,51

ResidualVE= 453,33

ab(c 1) =24 14,18

)1c(ab

Vs E2E =

=

Total

V = 1600

abc 1 =

35

( )

( )

( )

( ) 78,533XxxxcV

600XxacV

89,30XxbcV

35136gl;1600V

358602640XxV

8036

2880X

2kjjK

JKI

2k

b

1kC

2j

a

1jR

2

l,k,jl,k,j

==

==

==

===

=++==

==

=

=

05.0 07.0

A

44.1 44.1

%85

285.1 285.1

%80

675.0

%75

8/10/2019 Proba Ejers

8/9

8/10/2019 Proba Ejers

9/9

TEMA 34Una moneda da 6 caras en 6 tiradas. Podemos concluir al nivel de significacina) 0.05 b) 0.01 de que la moneda es buena?

Solucin:Contraste a dos colasHay que decidir entre dos hiptesis:H0: p = 0,5 y la moneda es buenaHA: p 0,5 y la moneda no es buenaLa probabilidad de obtener 6 caras en 6 tiradas, con p = 0,5 utilizando ladistribucin binomial est dada por:

015625,064

1

2

1

2

1C)6X(p

0666 ==

==

las dems posibilidades estn dadas por:

015625,064

1)6X(p)0X(p =====

64

20)3X(p;

64

15)4X(p)2X(p;

64

6)5X(p)1X(p ==========

la distribucin de probabilidades es como se indica:

Contraste a una sola cola:como 1/64 = 0,015625 > 0,01 y 1/64 = 0,015625 < 0,05 rechazamos H0 al nivel0,05 pero no al nivel 0,01Contraste a dos colas:como 1/64 + 1/64 = 1/32 > 0,01 y 1/64 + 1/64 < 0,05 rechazamos H0 al nivel0,05 pero no al nivel 0,01

TEMA 35Los siguientes datos representan el volumen mensual de ventas (Y) en millonesde guaranes y los meses de experiencia en ventas de 6 vendedores profesionalesde una fbrica de productora de alimentos.a) ajustar una curva de la forma de frmula Y = A + B X 1+ C X 2+ D X 3

por el mtodo de mnimos cuadrados.b) graficar los puntos y la curva de ajuste.

Meses 1 3 4 6 10 20Ventas 3 8 11 12 10 9

Solucin:Hagamos el cambio de variable Z = X1La ecuacin de ajuste est dada por:Y = a0+ a1Z + a2Z2+ a3Z3Donde a0, a1 y a2 se obtienen resolviendo el sistema:

Y = n A + B Z + C Z2+ D Z3ZY = A Z + B Z2+ C Z3+ D Z4

Z2Y = A Z2 + B Z3 + C Z4+ D Z5Z3Y = A Z3 + B Z4 + C Z5+ D Z6

Y(ventas)

X(meses

)

Z=1/Y

Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 ZY Z2Y Z3

Y

3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 38 3 1/

31/9 1/27 1/81 1/24

31/729 8/3 8/9 8/2

7

11 4 1/4

1/16

1/64 1/256 1/1024

1/4096 11/4

11/16

11/64

12 6 1/6

1/36

1/216 1/1296

1/7776

1/46656 2 1/3 1/18

10 10 1/10

1/100

1/1000

1/10000

1/100000

1/1000000

1 1/10 1/1000

9 20 1/20

1/400

1/8000

1/16000

1/320000

0

1/64000000

9/20

9/400

9/8000

53 4419/10

360

437

12000

12701

129600

131827

1,00523

1,0016415

178

900

4529

27000

95441

53=6A+1,9 B+ 437/360 C+12701/12000 D

178/15=1,9A+437/360 B+12701/12000 C+13182731/12960000 D

4529/900=437/360A+12701/12000B+13182731/12960000 C+1,00523 D

95441/27000=12701/12000 A+13182731/12960000 B+1,00523 C+1,00164 D

de donde resulta: A = 7,46464 ; B = 45,032 ; C = 160,424 ; D = 110,909

con estos valores, la ecuacin de la curva pedida es :Y = 7,46464 + 45,032 X 1 160,424 X 2+ 110,909 X 3

53 = 6 A + 1,9 B + 1,21389 C + 1,05842 D

11,86667 = 1,9 A + 1,21389 B + 1,05842 C + 1,01719 D

5,03222 = 1,21389 A + 1,05842 B + 1,01719 C + 1,00523 D

3,53485 = 1,05842 A + 1,01719 B + 1,00523 C + 1,00164 D

de donde resulta: A = 7,51733 ; B = 44,1612 ; C = 157,383 ; D = 108,686con estos valores, la ecuacin de la curva pedida es :Y = 7,51733 + 44,1612 X 1 157,383 X 2+ 108,686 X 3

641

641

646

646

6415

6415

6420

X

)X(p