REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DE EDUCACIÓN Y DEPORTE

I.U.P SANTIAGO MARIÑOCARRERA (46) INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO MECÁNICO

MATERIA: ESTADÍSTICA I

Probabilidades

Facilitador: Integrantes:

Efraín López Obel Villegas C.I: 23.701.189

Marcano Eddie C.I: 20.763.504

Barcelona, Enero 2013.

Índice

Introducción__________________________________________________________________3Concepto de Probabilidad________________________________________________________4Objetivos de las Probabilidades___________________________________________________4El valor de la probabilidad________________________________________________________4Evento estadístico______________________________________________________________4Experimento Aleatorio__________________________________________________________5El enfoque clásico______________________________________________________________5El enfoque de frecuencia relativa__________________________________________________6El enfoque subjetivo____________________________________________________________6Espacio muestral_______________________________________________________________6Distribuciones de probabilidad____________________________________________________7Clasificación de las Distribuciones de Probabilidad____________________________________7Distribución binomial___________________________________________________________7Distribución de probabilidad hipergeométrica._______________________________________8Características de la distribución hipergeométrica_____________________________________9Distribución de probabilidad de poisson___________________________________________10Distribución de probabilidad normal______________________________________________11La aproximación normal para la distribución binomial y de poisson______________________12Distribución T-Student_________________________________________________________13La Distribución chi-cuadrado_____________________________________________________14Conclusión___________________________________________________________________16Bibliografía___________________________________________________________________17

Introducción

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El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.

Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continuó con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos.

En el campo de la ingeniería la probabilidad se usa para control de calidad, un ejemplo en el día a día es en la fiabilidad, muchos bienes de consumo, como los automóviles y la electrónica de consumo, utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de avería también está estrechamente relacionada con la garantía del producto.

En el trabajo que se presenta a continuación se define claramente este concepto, se define el término evento estadístico y espacio muestral con claros ejemplos, los cuales podría decirse que vemos a diario pero no los sabemos conceptualizar.

Concepto de Probabilidad

Se define como cálculo de probabilidad al conjunto de reglas que permiten determinar si un fenómeno ha de producirse, fundando la suposición en el cálculo, las estadísticas o la teoría.

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La probabilidad es la medida cuantitativa por medio de la cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

Objetivos de las Probabilidades

El objetivo fundamental de la probabilidad, es la de mostrar al alumno la importancia y utilidad del Método Estadístico en el ámbito económico-empresarial. Con tal fin, el alumno deberá aprender a manejar los métodos y técnicas más adecuadas para el correcto tratamiento y análisis de la información proporcionada por los datos que genera la actividad económica. Para ello se comienza afianzando los conocimientos que el alumno ya posee de Estadística Descriptiva, además de algunos conceptos nuevos relacionados con este tema.

El valor de la probabilidad

El valor más pequeño que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor mayor es 1, que indica que el evento

ciertamente ocurrirá. Entonces si decimos que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un

evento A y P (A’) la probabilidad de no-ocurrencia de A, tenemos que:0≤P(A) ≤1P(A)+P (A’)=1Evento estadístico

En estadística, un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabilísticos los eventos se clasifican de la siguiente forma:

Mutuamente excluyentes: aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Ejemplo: cara o escudo.Independientes: Estos no se ven afectados por otros independientes. Ejemplo: el color del zapato y la probabilidad que llueva hoy.Dependientes: cuando un evento afecta a la probabilidad de ocurrencia de otro. Ejemplo: repaso, calificaciones.No excluyentes entre sí: cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra el otro. Ejemplo: que una persona sea doctor que tenga 56 años, ser estudiante y ya estar casado.

Experimento Aleatorio

La definición de Experimento Aleatorio viene a decir que, cuando no se puede predecir el resultado de un experimento antes de realizarlo se dice que es un experimento aleatorio. En

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los experimentos aleatorios se observa que cuando el número de experimentos aumenta, las

frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso e, fn (e ).

fn (e )=numerode ocurrencias deen

tiende a converger hacia cierta cantidad que denominamos probabilidad de e.

Prob [ e ]=limn → ∞

fn (e)

Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones:

Es posible conocer previamente todos los posibles resultados (espacio muestral) asociados al experimento.Es imposible predecir el resultado del mismo antes de realizarlo.Es posible repetirlo bajo las mismas condiciones iniciales un número ilimitado de veces.A cada realización de un experimento se le llama experiencia o prueba.

El enfoque clásico

Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:

P ( A )= xx+z

El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada resultado sea igualmente posible. Este enfoque es llamado enfoque porque permite, (en caso de que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra.

Ejemplo: El profesor de estadísticas para elegir el orden de los grupos en la exposición coloco 8 papales escritos cada uno con un número del 1 al 8 sin repetir ¿Cuál es la posibilidad de sacar el número 8 para exponer de último? X=1Z=7

P ( A )= 11+7

=0.125 ó12.5%

El enfoque de frecuencia relativa

También llamado Enfoque Empírico, determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un número de observaciones. En este enfoque no

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ese utiliza la suposición previa de aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y recopilación de datos.

P ( A )= Nº de observaciones de( A)Tamaño de lamuestra

Ejemplo: Supongamos que Torno CNC frabrica 1000 tuercas diarias, a través de un seguimiento se ha observado que se presentan 75 piezas defectuosas ¿Cuál es la probabilidad de que E ocurra?

P ( A )= 1261000

=¿ 0.126 ó 12.6%

El enfoque subjetivo

Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

Ejemplo: hay un 80% de que todas las cuchillas para maquinas - herramientas fabricadas sean vendidas.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Por espacio muestral (también conocido como espacio de muestreo) se entiende el grupo de todos los resultados específicos que se pueden obtener tras una experimentación de carácter aleatorio.

De acuerdo a la naturaleza de los elementos que conforman un espacio muestral, este se puede clasificar en:

Discreto: Se dice que un espacio muestral Ω es discreto si al enumerar sus elementos, estos números pueden ponerse en una correspondencia uno a uno con el conjunto de los enteros positivos o cuando contiene un número contable de elementos. Continuo: Se dice que un espacio muestral Ω es continuo si sus resultados consisten de todos los puntos de un intervalo de números reales, o todos los puntos de un plano, o en general algún rectángulo en el espacio dimensional.Ejemplo: Supóngase que se analiza un cilindro de aire, para detectar la presencia de una molécula rara. Los resultados posibles de este experimento pueden resumirse simplemente

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como Si ó No, lo que depende de si el cilindro seleccionado contiene o no la molécula. Es así como en este ejemplo el espacio muestral solo contiene dos resultados posibles:

E=Si , No

Distribuciones de probabilidad

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, lo implica que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales. Una distribución de probabilidades es una lista de las probabilidades de todos los resultados posibles que pudiera resultar si el experimento se hace; es decir, es la suma de todas las funciones en las que interviene la variable aleatoria “x” bajo estudio.

Clasificación de las Distribuciones de Probabilidad

Distribuciones Discretas: Se presentan cuando nuestra variable de estudio es discreta; esto es, solo puede asumir valores enteros, sin decimales.

Eventos dependientes Distribución Binomial Distribución de Poisson

Eventos independientes Distribución Hipergeométrica

Distribuciones Continuas: Se presentan cuando nuestra variable de estudio es continua; esto es, puede asumir valores dentro de un intervalo de valores.

Distribución Normal Aproximación Normal para la Distribución Binomial Aproximación Normal para la Distribución de Poisson

Distribución binomial

La distribución Binomial es posiblemente la más importante de las distribuciones discretas. Esta Distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

El experimento consta de n ensayos o pruebas idénticas.Los datos recopilados son el resultado de conteos.Cada ensayo sólo puede tener un resultado de dos posibles, que se llaman “éxito” ( p) y “fracaso” (q), los cuales son mutuamente excluyentes.

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La probabilidad p de “éxito” es constante de ensayo a ensayo, es decir, es invariable. La

probabilidad de un fracaso es (1 - p) = q.Los ensayos son estadísticamente independientes, esto es la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.

Interesa conocer x, el número de éxitos observados en n pruebas.

Fórmula: fx ¿(kn) px qn−x

Media: μ=n . p

Varianza: σ 2=n . p . q

Desviación Típica: σ 2=n . p . q

En donde:f ( x )=¿Función de x de la distribución binomial(k )=¿ Coeficiente binomial (análisis combinatorio) n=¿ Tamaño de la muestra ó número de ensayos (pruebas)x=¿Número de éxitos observados (valor de variable)p=¿ Probabilidad de éxito en cada ensayoq=¿ Probabilidad de fracaso que se obtiene por: 1- p

Ejemplo: Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.Sea x = Numero piezas defectuosas en las 50 seleccionadas.

Como n = 50 y p=71000

=¿ 0.007 entonces x ∼ Bin(50, 0,007). Por lo tanto,

P (X¿1)¿(501 ) (0.007 )1(1−0.007)50−1=¿0.248

Distribución de probabilidad hipergeométrica.

Cuando el muestreo se realiza sin reposición para cada uno de los elementos que se toman de una población finita de elementos, no se puede aplicar el proceso de Bernoulli debido a que existe un cambio sistemático en la probabilidad de éxitos al ir extrayendo elementos de la población, en este caso la distribución discreta de probabilidad apropiada resulta ser la distribución hipergeométrica.

Características de la distribución hipergeométrica

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Suponga que se obtiene una muestra de elementos de una población y se determina si cada uno de ellos tiene o no una característica determinada. Los datos obtenidos son de tipo “acierto” y “falla” como en el caso de la distribución binomial.

Si el número de elementos de la población es grande en comparación con el de la muestra, la probabilidad de seleccionar un elemento con una determinada característica en un solo ensayo es igual a la proporción de “éxito” p de elementos con esa característica en la población. Dado que la población es grande comparada con el tamaño de la muestra, esta probabilidad permanecerá constante (para propósitos prácticos) de ensayo a ensayo y el número de aciertos sigue una distribución de probabilidad binomial.

Sin embargo, si el número de elementos en la población es pequeño en relación con el tamaño

de la muestra, es decir: n>(0.05)(a+b) ó n>(0.05)(n)

a = Número de elementos de la población finita considerados aciertos;b = Número de elementos de la población finita considerados fallos;a+b = N = Número de elementos de la población finita;

La probabilidad de un acierto en un ensayo dado depende de los resultados precedentes. Entonces el número a de aciertos sigue lo que se conoce como una distribución de probabilidad hipergeométrica.

Supóngase que vamos a muestrear una población finita sin reposición en la que los elementos de la población están clasificados únicamente en dos clases: aciertos y fallos. Si estamos interesados en tomar una muestra aleatoria de n elementos, formado a“éxitos” o aciertos y b “fracasos” o fallos y nos interesa conocer la probabilidad de obtener xaciertos y n−x, entonces está dada por:

Formula: f(x)¿(kx )(N−k

n−x )(N

x )

Media: μ=n( kN )

Varianza: σ2=n . p . q (N−n

N−1)

Deviación Estada: σ2=n . p . q (N−n

N−1)

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Dónde:

f (x)¿ Función de probabilidad de x de la distribución hipergeométrica;

k=¿Número de resultados exitosos en los N elementosN=¿Tamaño de la poblacionx=¿Muestra éxiton=¿Tamaño de la muestra;() = Análisis combinatorio.

Ejemplo: De cada 2.000 tornillos fabricados por una determinada máquina hay 2 defectuosos. Para realizar el control de calidad se observan 150 tornillos y se rechaza el lote si el número de defectuosos es mayor que 1. Calcular la probabilidad de que el lote sea rechazado.Sea x=nºde defectuosos de un total de n = 150 si en N = 2.000 hay un total de k=¿ 2 ∈ HG

(k=2 , n=150 , N=2000). Se pide P ( X>1 )=1−[ P ( X=0 )+P ( X=1 ) ]=¿

¿1−[ (20)(2.000−2150 )(2.000150 )

+(21)(2.000−2150−1 )

(2.000150 ) ]Como los cálculos son complicados, se va a aproximar la variable X por una binomial Bi

(n=15 , p= 22.000

=0.001)

P ( x>1 )=1−[ P ( x=0 )+P ( X=1 ) ]=¿

¿1−¿

Distribución de probabilidad de poisson

La distribución recibe su nombre en honor de Simeon Poisson (1781-1840) quien la estudió y dio a conocer en 1837. El definió lo que ahora recibe el nombre de variable aleatoria de Poisson, como el número de acontecimientos raros de un evento específico que ocurren en una unidad de tiempo o espacio especificado. Un proceso de Poisson es el acontecimiento de una serie de eventos de un tipo dado, en forma aleatoria, en un tiempo o espacio, tal que:

El número de acontecimientos dentro de un tiempo o espacio especificado es igual a cualquier entero entre 0 e infinito;El número de acontecimientos dentro de una unidad de tiempo o espacio es independiente del de cualquier otra unidad (que no se traslape)La probabilidad de acontecimientos es la misma en todas esas unidades.

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Fórmula: f(x) ¿ μ2e−μ

x !Media: μ=n . p

Varianza: σ 2=n . pDesviación estándar: σ 2=n . p

En donde:f ( x )=¿ Función de xde la distribución de probabilidad de Poissonμ=¿Valor esperado (media aritmética del número de ocurrencias (éxitos) en un intervalo de tiempo determinado)x=¿ Número de acontecimientos por unidad de tiempo o espacio (valor de la variable)

!¿ Factorial de un númeroe=¿2.71828 (base de logaritmos naturales)

Ejemplo: supongamos que un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño. Si la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año en curso es de 1/200, determinemos la probabilidad de que: 4 generadores fallen durante el año en curso, más de 1 generador falle durante el año en curso.

El promedio de motores que fallan en el año en cuso es λ= np= (3840) (1/1200)=3.2.

Sea x la variable que define el número de motores que pueden fallar en el año, con valores x=¿ 0, 1, 2, 3,….., 3840. En principio, x → B (3840, 1/1200), pero dado que n es muy grande y p muy pequeño, podemos considerar que x → P (3.2). Por tanto,

P [X= 4] ¿ e−3.23.24

4 !=¿0.17809

Por su parte,

P [X >1]=1-P [X=0,1]¿1−e−3.23.20

0 !− e−3.23.20

1 !=¿0.82880

Distribución de probabilidad normal

Esta distribución de probabilidad fue descrita primeramente en 1753 por Abraham de Moivre (1667-1754), pero fue popularizada por Adolphe Quetelet (1796 - 1574) quien la utilizó para analizar el concepto de “el hombre promedio”, y por Carl Friedrich Gauss (1777-1855) que la usó para describir errores de medición en astronomía.

Si el tipo de variable aleatoria cuantitativa que se presenta es de naturaleza continua, es decir, que pueden tomar valores en todos los puntos de una escala y sin interrupciones entre valores

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posibles. Considérese las características medidas en unidades de dinero, tiempo, distancia o peso, etc., la distribución que se va a utilizar es la llamada Distribución de Probabilidad Normal.Fórmula de la distribución normal estándar

Z= x−μσ

En donde:z=¿Puntuaciones estándarx=¿Valor observadoμ=¿Media poblacional de la distribuciónσ Desviación estándar poblacional de la distribución

Ejemplo: La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media de 10 gigapascales (Gpa), desviación estándar de 1.4 Gpa. Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a 12 GPa. Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación. Determine el 95º.Percentil de la resistencia de esta aleación.μ=¿10 σ=¿1.4

z=(12−10)1.4

=¿1.43

El área a la derecha de z=¿1.43 es 1–0.9236=0.0764La puntuación de z en el 25º percentil es -0.67El 25º percentil es entonces 10-0.67 (1.4)=9.062 Gpa.La puntuación de z en el 95º percentil es 1.645El 25º percentil es entonces 10+1.645(1.4)=12.303Gpa

La aproximación normal para la distribución binomial y de poisson

La distribución normal de probabilidad da una aproximación bastante buena a la distribución binomial yn de Poisson cuando el número de ensayos es grande. Una regla práctica nos dice que podemos usar la aproximación normal a la binomial y de Poisson cuando:

Aproximación normal para la Aproximación normal para ladistribución binomial distribución de Poisson

n > 30 n > 30p > 0.05 p > 0.05n p > 5 n p > 5n q > 5 n q > 5

Puesto que la distribución normal maneja variables continuas y la distribución binomial y de Poisson variables discretas, se hace necesario corregir las variables discretas que manejan el modelo binomial y de Poisson y esto se logra restando o sumando ½ al valor de la variable aleatoria discreta.

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Fórmula de la aproximación normal para la distribución binomial y de poisson

Z=(x ±½ )−μ

σEn donde:x ¿ Valor de la variable aleatoria discreta que se comporta de acuerdo al modelo binomial o de Poisson.μ ¿ n p = La media poblacional de una distribución binomial o de Poisson.

σ 2=n . p . q = La desviación estándar poblacional de una distribución binomial.

σ 2=n p = La desviación estándar poblacional de una distribución de Poisson.Z=¿ Valor de x en unidades de desviación estándar ya corregida.½ ¿Factor de corrección por continuidad (F.C.C.)

Distribución T-Student

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Surge, en la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando la desviación típica de una población se desconoce y debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media μy varianza σ 2. Si x

es el promedio de las nobservaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución, es una distribución normal estándar.

z= x−μσ

√n

Supóngase que la varianza de la población σ 2 es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se reemplaza σ pors? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta.

La media y la varianza de la distribución t son μ= 0 y σ 2=v

(v−2) , para >2, respectivamente.

Ejemplo: Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre –t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una

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media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal.

De la tabla encontramos que t0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711. Por tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.711 y 1.711.

Se procede a calcular el valor de t :

t=518−50040

√25

=2.25

La Distribución chi-cuadrado

En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. Osea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas. Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una

muestra de tamaño n de una población normal con varianza σ 2, el estadístico:

(n−1)s2

σ2

tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de

libertad y se denota x2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada está dado por:

X2=(n−1)s2

σ2

donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y σ 2 la varianza de la población de donde se extrajo la muestra.

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

Los valores de x2 son mayores o iguales que 0.El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.Las distribuciones x2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.Cuando n >2, la media de una distribución x2 es n -1 y la varianza es 2(n-1).

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El valor modal de una distribución x2 se da en el valor (n-3).

La siguiente figura ilustra tres distribuciones x2. Note que el valor modal aparece en el valor (n -3) = (gl-2).

Ejemplo: Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar σ=1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

X2=(17−1)(2)2

(1)2=√64=8

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2).

Conclusión

Las distribuciones en la probabilidad, describen el comportamiento de fenómenos estadísticos es decir, es un listado de las probabilidades de todos los resultados posibles que podrían presentarse si se efectúa un experimento. Los datos que se introducen en las fórmulas están basados en la observación y el recuento, básicamente todo es en base a una población ya conocida.

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En el campo de la ingeniería es una materia fundamental para el desarrollo, sobre todo en el campo de la fabricación, ya sea de productos y piezas mecánicas. La estadística se encarga de mostrarle al operario o al administrador de recursos, si su producción es viable dado a la utilización de probabilidades. Así por medio de técnicas de control de calidad y mejora de los procesos de producción se puede llevar a la funcionalidad perfecta.

Referencias Electrónicas

http://www.monografias.com/trabajos32/teoria-probabilidades/teoria-probabilidades.shtml

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_207_49.html

http://www.ditutor.com/probabilidad/espacio_muestral.html

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http://www.franciscojaviercruzariza.com/attachments/File/Distribuciones_de_Probabilidad.pdf

http://www.buenastareas.com/ensayos/Distribuci%C3%B3n-Binomial-De-Poisson-y-Normal/2790704.html

http://www.vitutor.com/pro/3/b_f.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_hipergeom%C3%A9trica

http://es.wikipedia.org/wiki/Evento_estad%C3%ADstico

http://marcylissetheliasvasquez.blogspot.com/2008/09/eventos.html

http://experimentoaleatorio.wordpress.com/2009/06/20/hello-world/

http://es.wikibooks.org/wiki/Tablas_estad%C3%ADsticas/Distribuci%C3%B3n_chi-cuadrado

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node48.htm

http://www.vadenumeros.es/sociales/ejemplos-distribucion-binomial.htm

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/toc.html

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