PROBABILIDAD

GUA PARA EL EXAMEN DE ADMISIN A LA MAESTRA DE ADMINISTRACIN

SEPI-UPIICSA-IPN

PROBABILIDADELABORADA POR

DR. EDUARDO GUTIRREZ GONZLEZ

Octubre del 2005

CONTENIDO

ELABOR EL DR. EDUARDO GUTIRREZ GONZLEZ

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51 ............................................................................................. selaugi sotnemele noc senoicatumreP 3.1.2 41 ..........................................................................................senoicatumreP :niciteper nis solgerrA 2.1.2 31 ............................................................................................. )ozalpmeeR( niciteper noc solgerrA 1.1.2 31 ...................................................................................................... DADILIBABORP Y OETNOC ED SACINCT 11 .............................................................................................................................................. soicicrejE 01 ......................................................................................................... dadilibaborp al ed nicazitamoixa 4.1 01 ...................................................................otneve nu ed otnemelpmoc o oiratnemelpmoc otnevE -.4 01 ................................................................................................................. sotneve ertne aicnerefiD -.3 01 .............................................................................................................. sotneve ertne niccesretnI -.2 01 ........................................................................................................................ sotneve ertne ninU -.1 01 ...................................................................................... sotneve ertne selatnemadnuf senoicarepO 2.3.1 9 ........................................................................................... sotneve ertne selatnemadnuf senoicaleR 1.3.1 8 ................................................................................................... sotneve erbos selatnemadnuf sotpecnoC 3.1 8 ..................................................................................................... )iroiretsop a( anaiseyab etneirroC 4.2.1 8 ............................................................................................................................ avitejbus etneirroC 3.2.1 7 .................................................................................................................)iroirp a( acisalc etneirroC 2.2.1 6 ........................................................................................................................ atsitneucerf etneirroC 1.2.1 6 ...........................................................................................................dadilibaborp al ed senoicaterpretnI 2.1 6 .................................................................................................................... sotneve erboS 6.1 solpmejE 5 ................................................................................................. .selartseum soicapse erboS 5.1 olpmejE 5 ..................................................................................socitsnimreted sotnemirepxe erboS 4.1 olpmejE 5 ...........................................................................................soirotaela sotnemirepxe erboS 3.1 olpmejE 4 ...........................................................................................socitslibaborp soledom erboS 2.1 olpmejE 4 ..........................................................................................socitsnimreted soledom erboS 1.1 olpmejE 4 ............................................................................................... socitslibaborp y socitsnimreted soledoM 1.11 ......................................................................................................................................................... ODINETNOC

05 .................................................................................................................................................... 3 soicicrejE 84 ..........................................................................................................................ocirtmoegrepih oledoM 8.4 84 .................................................................................................................................................... 2 soicicrejE 64 ..................................................................................................................................ocirtmoeg oledoM 7.4 64 .................................................................................................................................................... 1 soicicrejE 44 ............................................................................................................................... selaimonib salbat ed osU 44 ............................. selaimonib salbat ed osu y selaimonib soledom sol ed sedadilibaborp ed oluclC 1.6.4 34 ..................................................................................................................................... laimonib oledoM 6.4 34 ............................................................................................. DADILIBABORP ED SOTERCSID SOLEDOM 14 ........................................................................................... satercsid sairotaela selbairav ed soicicrejE 04 ............................................................................................... dav anu ed aicnairav al ed sedadeiporP 1.5.4 93 .............................................................................................................................. dav anu ed aicnairaV 5.4 93 ......................................................................................... dav anu ed odarepse rolav led sedadeiporP 1.4.4 83 ......................................................................................................................dav anu ed odarepse rolaV 4.4 63 ............................................................................................................... dadilibaborp ed nicubirtsiD 1.2.4 53 ..................................................................................................................satercsid sairotaela selbairaV 2.4 53 ................................................................................................................................ sairotaela selbairaV 1.4 53 .....................................................................................................SATERCSID SAIROTAELA SELBAIRAV 03 .............................................................................................................................................. soicicrejE 92 .......................................................................... .roiretna oicicreje led lobr ed amargaid le ecarT -.2 72 ............................................................................................................................seyab ed ameroet 4.3 62 ..................................................................................................................setneidnepedni sotnevE 3.3 42 ............................................ lanoicidnoc dadilibaborp al ne lobr ed samargaid sol ed oelpmeE 2.2.3 32 ................................................................................ sedadilibaborp ed nicacilpitlum al ed algeR 2.3 22 ......................................................................................................LANOICIDNOC DADILIBABORP 1.3 02 ...................................................................................................................................................soicicrejE 81 .......................................................................... dadilibaborp al a oetnoc ed sacinct sal ed nicacilpA 4.2 61 .....................................................................................................................................amus al ed algeR 3.2 51 ....................................................................................................................................... senoicanibmoC 2.2GUA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

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3

28 ...............................................................................................5002 led ozraM nisimdA ed nemaxE 47 ................................................................................................................. 0002 nisimdA ed nemaxE 47 ................................................................................................................. 8991 nisimdA ed nemaxE

47 ............................................................................................................... sounitnoc soledom soicicrejE 37 ........................................................................................................................................... 2 soicicrejE 17 .............................................................................................................. selautnecrop salbat ed osU 4.4.5 86 ........................................................................................... adalumuca nicnuf al ed salbat ed osU 3.4.5 86 .............................................................................. radntse lamron nicubirtsid al ed sedadeiporP 2.4.5 66 ................................................................................................................ sedadilibaborp ed oluclC 1.4.5 56 ....................................................................................................................................... lamron oledoM 4.5 56 ........................................................................................................................................... 1 soicicrejE 36 ............................................................................................................................... laicnenopxe oledoM 3.5 36 ............................................................................................DADILIBABORP ED SOUNITNOC SOLEDOM 16 .............................................................................................. saunitnoc sairotaela selbairav soicicrejE 95 .......................................................................................cav anu ed aicnairav al ed sedadeiporP 3.2.5 95 .............................................................................. aunitnoc airotaela elbairav anu ed aicnairaV 2.2.5 85 .................................................................................cav anu ed odarepse rolav led sedadeiporP 1.2.5 85 ......................................................aunitnoc airotaela elbairav anu ed aicnairav y odarepse rolaV 2.5 75 ........................................................... adalumuca nicubirtsid ed nicnuf anu ed sedadeiporP a2.1.5 75 .............................................................. aunitnoc airotaela elbairav anu ed adalumuca nicnuF 2.1.5 75 ......................................................................................... dadilibaborp ed dadisned ed nicnuF 1.1.5 65 ................................................................................................... SAUNITNOC SAIROTAELA SELBAIRAV 35 ............................................................................................................ sotercsid soledom ed soicicrejE 35 .................................................................................................................................................... 4 soicicrejE 25 ................................................................................................................................nossiop ed salbat ed osU 05 ...................................................................................................................................nossiop ed oledoM 9.4

GUA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

1.1 MODELOS DETERMINSTICOS Y PROBABILSTICOS Uno de los objetivos del estudio de las Ciencias es desarrollar estructuras conceptuales que permitan comprender los fenmenos que ocurren en la naturaleza y poder predecir sus efectos que de ellos se derivan. De la experiencia cientfica se deduce fcilmente que para poder estudiar un fenmeno es necesaria su imitacin o reproduccin en una cantidad suficiente para que su investigacin sea lo ms precisa posible. Esta necesidad es lo que da origen a los modelos. Por modelo, entenderemos a la representacin o reproduccin de los fenmenos. Los modelos pueden ser de diferentes tipos, para nuestros objetivos nos interesarn modelos de tipo matemtico. Definicin 1.1 Modelo matemtico Un Modelo Matemtico es una representacin simblica de un fenmeno cualquiera, realizada con el fin de estudiarlo mejor. Por ejemplo: fenmenos fsicos, econmicos, sociales, etc. Los modelos matemticos los podemos clasificar en: determinsticos y probabilsticos. Definicin 1.2 Modelos determinsticos Cuando se realiza el modelo matemtico de un fenmeno y en l se pueden manejar los factores que intervienen en su estudio con el propsito de predecir sus resultados, lo llamaremos Modelo Determinstico. EJEMPLO 1.1 Sobre modelos determinsticos El modelo de una compaa en donde dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres mquinas. Ah el tiempo por mquina asignado a los dos productos est limitado por una cantidad determinada de horas por da; igualmente, el tiempo de produccin y la ganancia por captulo de cada producto se pueden establecer de tal manera que combinando los productos podemos obtener una ganancia ptima. En el modelo anterior se puede notar que en l nosotros estamos controlando los diferentes parmetros que intervienen; por lo tanto, al establecer el modelo matemtico correspondiente y los valores para los factores podemos predecir su resultado. Definicin 1.3 Modelo probabilstico o estocstico A los modelos matemticos de los fenmenos en los cuales no se pueden controlar los factores que intervienen en su estudio, y adems dichos factores ocurren de manera tal que no es posible predecir sus resultados, los llamaremos Modelos Probabilsticos. EJEMPLO 1.2 Sobre modelos probabilsticos Si deseamos conocer el lugar de cada de un satlite que se sali de su rbita y se dirige a la tierra no podemos predecir el lugar donde l caer, puesto que no podemos controlar su movimiento; por lo tanto, slo es posible indicar una regin en donde se cree caer el satlite con un valor numrico que represente la aseveracin.

4


Definicin 1.4 Experimento aleatorio o probabilstico Al proceso por el cual se describen los resultados que no se conocen y no se pueden predecir, lo llamaremos experimento aleatorio. EJEMPLO 1.3 Sobre experimentos aleatorios Observacin de la cantidad de artculos defectuosos en un lote de 50 artculos, en donde existen 9 defectuosos. Se eligen los artculos sin reemplazo y se anotan los resultados hasta obtener el ltimo defectuoso. Definicin 1.5 Experimento determinstico Al proceso por el cual se describen los fenmenos de los que se pueden predecir sus resultados, lo llamaremos experimento determinstico. EJEMPLO 1.4 Sobre experimentos determinsticos La mezcla de sustancias qumicas para la obtencin de algn compuesto. Al realizar un experimento generalmente se registran sus resultados para obtener las conclusiones correspondientes al fenmeno en estudio, por lo que surge la necesidad de introducir un concepto referente al conjunto de todos los resultados del experimento. Definicin 1.6 Espacio muestral Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento probabilstico lo llamaremos Espacio Muestral del experimento y lo denotaremos por S. A los elementos de un espacio muestral los llamaremos puntos muestrales. EJEMPLO 1.5 Sobre espacios muestrales. Se realiza el experimento sobre el lanzamiento de una moneda 3 veces y anotan sus resultados posibles. En el espacio muestral a representa guila y s cara1

S = {sss, ssa, sas, ass, saa, asa, aas, aaa}.Definicin 1.7 Evento Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral S, se llama evento a un conjunto de resultados posibles de S. Fcilmente podemos notar que un evento, no es ms que un subconjunto de un espacio muestral. Definicin 1.8 Evento simple Al evento que consta de un slo elemento le llamaremos evento simple.

.otnujnoc led sotnemele somamall sol ,otnujnoc le namrof euq sotejbo sol A .cte ,sartel ,soremn nos omoc ,satcartsba nibmat onis ,.cte ,sarodatupmoc ,socsid omoc sacisf sasoc ols on somednerpmoc otejbo roP .nmoc ne sedadeiporp sanugla o anugla ed oidem rop adinifed neib sotejbo ed nicceloc anu a otnujnoc rop somednetnE 15


EJEMPLOS 1.6 Sobre eventos Obtenga el evento indicado en los espacios muestrales de los ejemplos anteriores. Se lanza una moneda 3 veces y se anotan sus resultados posibles. Sea el evento E: Aparece una sola guila. Representando guila por a y sol por s, el evento ser:

E = {ssa, sas, ass}1.2 INTERPRETACIONES DE LA PROBABILIDAD La palabra probabilidad es empleada por el ser humano con demasiada frecuencia; por ejemplo en expresiones tales como: Es probable que hoy estudie estadstica, El equipo mexicano de ftbol est jugando mal, y es muy probable que en su siguiente partido pierda, El cielo est bastante despejado; por lo tanto, no hay muchas posibilidades de que hoy llueva, etc. Como se pudo notar en las expresiones anteriores, las palabras relacionadas con la probabilidad tienen la caracterstica de basarse en sucesos que pueden ser verdaderos y que a causa de los hechos observados; resultados preliminares; tiempo, etc. se puede hablar de la posibilidad de su ocurrencia. A pesar de los esfuerzos realizados por muchos matemticos para asignar de forma nica la probabilidad a un suceso todo ha sido en vano puesto que desde los inicios de su estudio hasta nuestros das, no tenemos una forma nica de asignacin de probabilidades. Con lo que contamos son con diferentes corrientes de probabilidad, las cuales se aplican para asignar un valor numrico a la posibilidad de la ocurrencia de algn suceso probabilstico. De hecho, el verdadero significado de la probabilidad sigue siendo conflictivo; por lo tanto, en lugar de comenzar el curso con una definicin formal de probabilidad comentaremos sus 4 corrientes ms comunes. 1.2.1 CORRIENTE FRECUENTISTA En la corriente frecuentista -tal vez una de las ms empleadas-, se asigna un valor de probabilidad a un evento E, a partir de lo que se considera que ocurrir. Su definicin o interpretacin de la probabilidad est basada, como su titulo lo indica, en la frecuencia relativa con la que se obtendra E, si el experimento se repite una gran cantidad de veces, en condiciones similares (no idnticas, puesto que en este caso el proceso no sera aleatorio). Por ejemplo, se lanza una moneda 3 veces y se cuenta la cantidad de soles que aparecen. Sea el evento E: Obtencin de dos soles en los tres lanzamientos, la pregunta es cul es la probabilidad de que ocurra el evento E? Para responder a la pregunta desde el punto de vista frecuentista, se debe de realizar el experimento una gran cantidad de veces. Supongamos que el experimento se repite 1000 veces en condiciones similares y como resultado se obtienen 400 casos con dos soles, en tal situacin, se dira 400 que la probabilidad de que ocurra E, ser: = 0.4 . Si ahora el experimento se repite 100,000 1000 veces, de las cuales 38,000 resultan con dos soles, diramos que la probabilidad de que ocurra E es:2

e d l a t o t l e e r t n e o s e c u s l e e r r u c o e u q n e s e c e v e d d a d i t n a c al e d e t n e i c o c l a l a u g i s e

osec u s nu ed avitaler aicneucerF 2.otne m irepxe le etiper es euq secev

6


38,000 = 0.38 , de esta forma podramos repetir nuestro experimento tantas veces como se quiera y 100,000 obtener una frecuencia relativa para la probabilidad del evento E, pero surge la pregunta porqu diferentes resultados para un mismo evento?. La respuesta est en la interpretacin de que entendemos por: repetir el experimento una gran cantidad de veces, qu se entiende por una gran cantidad de veces? y cul sera dicha cantidad de repeticiones?. Estas condiciones son muy vagas para servir de base en una definicin cientfica de probabilidad. Aunado a lo anterior en muchos de los fenmenos no podemos realizar una gran repeticin de estos, por ejemplo: a).- Para calcular la probabilidad de que el lanzamiento de un cohete resulte exitoso. Evidentemente, no podemos realizar una gran cantidad de lanzamientos de cohetes, para que de esta manera se obtenga la probabilidad en forma frecuentista del xito de un lanzamiento. b).- Para calcular la probabilidad de que Juan Prez se case este ao. En este caso tampoco podemos realizar una gran cantidad de repeticiones del experimento para indicar el valor numrico que represente desde el punto de vista de la frecuencia relativa de que Juan Prez se casar o no este ao. 1.2.2 CORRIENTE CLASICA (A PRIORI) En la corriente clsica se consideran espacios muestrales uniformes, es decir se asigna probabilidades a eventos, basndose en resultados equiprobables (igualmente verosmiles). Esto es, los clasistas asignan la misma probabilidad a cada punto del espacio muestral ( 1 n , en donde n es la cantidad de elementos del espacio muestral), posteriormente para obtener la probabilidad de la ocurrencia de un evento E, se suma la cantidad de elementos de E, y se multiplica por la probabilidad de un elemento del espacio muestral ( 1 n ). Cabe notar que de lo anterior se deduce, que la probabilidad de los puntos muestrales se establece a priori, es decir, antes de cualquier experimento. Resolviendo el ejemplo anterior en la forma clsica tendremos, lo siguiente: Se lanza una moneda equilibrada 3 veces y se anotan los resultados posibles que aparecen, sea el evento E: Obtencin de dos soles en los tres lanzamientos, la pregunta es cul es la probabilidad de que ocurra el evento E? Para responder a la pregunta, desde el punto de vista clasista obtenemos el espacio muestral; representando guila por a y sol por s, tendremos:

S = {sss, ssa, sas, ass, saa, asa, aas, aaa}.En estos casos, ssa representa que los primeros 2 lanzamientos resultaron soles y el tercer lanzamiento guila. Considerando que cada punto del espacio muestral es equiprobable con probabilidad de ocurrencia 1 8 , tendremos que la probabilidad del evento E (resulten dos soles en los tres lanzamientos), se resuelve al conocer la cantidad de elementos del evento:

E = {ssa, sas, ass},como E contiene 3 elementos tenemos que la probabilidad de que ocurra el evento E es: Probabilidad de E = 3 1 = 0.375 . 8

Algunas de las dificultades por las que atraviesa esta interpretacin de probabilidad son: 7


En primer lugar al hablar de resultados equiprobables (tienen la misma probabilidad), estamos empleando el concepto que se est definiendo. En segundo lugar cuando los resultados no son equiprobables. En tercer lugar no se indica un mtodo para realizar el clculo de las probabilidades.1.2.3 CORRIENTE SUBJETIVA En la corriente subjetivista (esta interpretacin de la probabilidad es muy empleada en el estudio de la Teora de decisiones), se asignan probabilidades a eventos basndose en el conocimiento o experiencia que cada persona tiene sobre el experimento; por lo tanto, la probabilidad asignada est sujeta al conocimiento que el cientfico tenga con respecto al fenmeno estudiado. Para un mismo experimento las probabilidades asignadas por diferentes personas pueden ser distintas. La interpretacin subjetiva de la probabilidad tiene diferentes dificultades, una de ellas es la dependencia en el juicio de cada persona al asignarla, adems que tal juicio debe estar completamente fuera de contradicciones lo que es sumamente difcil por depender de la persona que la asigne. Podemos mencionar que en la asignacin de probabilidades subjetivas se emplea en muchos casos el conocimiento frecuentista que se tenga del experimento. 1.2.4 CORRIENTE BAYESIANA (A POSTERIORI) En la corriente bayesiana se asignan probabilidades a eventos, despus del experimento. Es decir las probabilidades son del tipo dependiente, esto es basndose en el conocimiento de la ocurrencia de eventos que estn en dependencia con el evento estudiado. Por ejemplo, en el caso anterior cuando se lanza una moneda equilibrada, 3 veces y se cuenta la cantidad de soles que aparecen, el evento E :Obtencin de dos soles en los tres lanzamientos, la pregunta es cul es la probabilidad de que ocurra el evento E?, si se sabe que el primer lanzamiento result un sol. Como se puede comprender no se debe comenzar un estudio matemtico de la teora de las probabilidades si se quiere tener una forma universal de asignacin de probabilidades para los diferentes eventos. Por lo tanto, es necesario estructurar a la probabilidad sobre una base axiomtica que le d el formalismo que el lgebra, la Geometra y las otras reas de las matemticas tienen, esto se puede lograr haciendo uso de la teora de conjuntos aplicada a los eventos, formando lo que se denomina lgebra de Eventos. 1.3 CONCEPTOS FUNDAMENTALES SOBRE EVENTOS Notacin de eventos. Al espacio muestral de un experimento lo denotamos por S, y a los eventos por letras maysculas, como son A, B, C, etc. A los resultados del experimento, que cumplen las condiciones del evento, se les representa por letras minsculas, como son a, b, etc. Si el resultado a del experimento realizado pertenece al evento A, esto lo simbolizaremos a A , en caso de que no pertenezca, se simbolizar por . Los eventos tambin se representan por llaves, dentro de las cuales se escriben sus elementos ( sin repetirlos ), o las propiedades que dichos elementos cumplen. Definicin 1.9. Eventos finitos. Si al contar los elementos de un evento resulta una cantidad determinada, entonces dicho evento se llama finito. 8

A

a


Por ejemplo: 1.- A: Es un nmero par, resultado del lanzamiento de un dado, esto es, A = {2, 4, 6} . 2.- A: Al menos se observan 4 soles en 6 lanzamientos de una moneda, esto es, A = {4, 5, 6}. Definicin 1.10 Evento vaco o no realizable. El Evento que no contiene ningn elemento, esto es, no existe algn resultado del experimento que cumpla las condiciones del evento se llama evento vaco. Por ejemplo. A: Lanzamiento de un par de dados y que la suma de sus lados sea mayor a 13, esto es A = { } , el evento A no tiene ningn elemento. La mxima suma de las caras en el lanzamiento de dos dados es 12. El evento vaco, se suele simbolizar por . Definicin 1.11 Eventos infinitos Si al contar los resultados posibles de un evento el proceso de conteo no termina con el tiempo, entonces el evento se llama infinito. Por ejemplo: 1.- E: La cantidad de lanzamientos de una moneda hasta obtener la primer guila. E = { 2, 3, 4, 5, K}. 1, 2.- El evento cuyos elementos son todos los puntos del intervalo indicado en donde los extremos son diferentes, E = (2,7) . 1.3.1 RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE EVENTOS Definicin 1.13 Igualdad de eventos Los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento son iguales, si cualquier resultado de A es tambin elemento de B, y viceversa A = B, si a A, entonces a B y viceversa, b B, entonces b A Una relacin muy particular entre los eventos consiste en estudiar los casos cuando todos los elementos de un evento dado estn contenidos en el otro evento. Definicin 1.14 Subeventos Sean los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento, se dice que A es subevento de B si cualquier elemento que est en A est en B. Lo anterior se simboliza, A B . Es decir, A B ; si a A , entonces a B . Definicin 1.15 eventos mutuamente excluyentes (ver conjuntos ajenos o disjuntos) Los eventos A y B, correspondientes a un mismo experimento, se llaman mutuamente excluyentes si no tienen resultados comunes. Esto es: Para cualquier a A , entonces ; igualmente, para todo b B , entonces . Podemos generalizar que el evento vaco con cualquier otro evento es mutuamente excluyente. 9

B

a

A

b


1.3.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES ENTRE EVENTOS 1.- UNIN ENTRE EVENTOS La unin de los eventos A y B, correspondiente a un mismo experimento, es otro evento formado por los resultados que pertenecen al evento A o al evento B o a los dos. La unin la simbolizaremos por: (A unin B).

2.- INTERSECCIN ENTRE EVENTOS La interseccin entre los eventos A y B, correspondientes a un mismo experimento, es otro evento formado por los elementos que pertenecen a ambos eventos. La interseccin, la simbolizaremos A B (A interseccin B). A B = { x x A y x B} la interseccin entre los eventos A y B. 3.- DIFERENCIA ENTRE EVENTOS La diferencia del evento A menos el evento B, correspondientes a un mismo experimento, es otro evento formado por los elementos del evento A, que no pertenecen al evento B. La diferencia, la simbolizaremos A B (A menos B). A B = { x x A y x B} la diferencia del conjunto A, menos B. 4.- EVENTO COMPLEMENTARIO O COMPLEMENTO DE UN EVENTO El complemento del evento A, es otro evento formado por los resultados del experimento que pertenecen al espacio muestral, pero que no pertenezcan al evento A. El complemento del evento A, lo simbolizaremos, como A o A (complemento de A) A = {x x S y x A} el evento complementario de A.cc

1.4 AXIOMATIZACIN DE LA PROBABILIDAD Definicin 1.18 Probabilidad axiomtica

, ed ,setneyulcxe etnemautum sotneve ed )atinifni o( atinif nisecus reiuqlauc araP .3 amoixA . ,S lartseum oicapse le araP .2 amoixA . , ailimaf al ed ,E otneve reiuqlauc araP .1 amoixA :satinif sailimaf arap ,vorgomloK ed samoixa sodamall samoixa sert setneiugis sol noc nelpmuc , ne E otneve reiuqlauc arap serolav sol euq lat se y , olavretni le ognar y se oinimod oyuc ,P acirmun nicnuf al a acitmoixa dadilibaborP someramall ,sotnevE ed arbegl led seyel sal noc nelpmuc sotnemele sus euq lat , sotneve ed ailimaf anu y ,S lartseum oicapse noc otnemirepxe nu odaD

P( E ) 0

P( S ) = 1

1 k

=

.

k

n

n

2

P U E = P( E ) + P (E = 1 k 1 k n

:elpmuc es , n

E , E , E ,K, E3 2 1

) + L + P ( E ) = P (E )

A

[0,1]

P (E )

A

A

A

A

B

A

A B = { x x A o x B} la unin de los eventos A y B.

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TEOREMA 1.1 Sea el evento vaco, entonces P () = 0 TEOREMA 1.2

TEOREMA 1.3 Para cualquier evento E, 0 P ( E ) 1 TEOREMA 1.4 Si A y B son eventos de un mismo espacio muestral, tales que P ( A) P ( B ) TEOREMA 1.5 Para dos eventos cualesquiera A y B de un mismo espacio muestral, se cumple que: P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) P ( A B ) EJEMPLO 1.13 1).- Sean los eventos a y b, correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que: P A = 0.6 , Empleando el Teorema 1.2, tenemosc

PB

( ) = 0.7 y P( A B) = 0.2 , calcule P( A B) .

Finalmente, del Teorema 1.5 P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) P ( A B ) = 0.4 + 0.3 0.2 = 0.5 . 2).- Sean los eventos a y b, correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que: P ( A B ) = 0.2 , P A = 0.2 y P ( A B ) = 0.2 , calcule P ( A) y P (B ) . Empleando el Teorema 1.2,P ( A) = 1 P A = 1 0.2 = 0.8 y P ( A B ) = 1 P ( A B ) Finalmente, del teorema 1.5c c c

(

)

( )

P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) P ( A B ), despejando P ( B ) P ( B ) = P ( A B ) P ( A) + P ( A B ) = 0.8 0.8 + 0.2 = 0.2

EJERCICIOS1).- Cmo se le llama al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estocstico? 2).- Cmo se le llama al conjunto que representa a una parte de todos los resultados posibles (pueden ser todos los resultados o ninguno) de un experimento estocstico? 3).- Cules son los tipos de corrientes de probabilidad ms comunes? 11

c

( )

(

) = 1 0. 2 = 0. 8 .

c

P ( A) = 1 P A = 1 0.6 = 0.4 y P ( B ) = 1 P Bc

( )

( ) = 1 0.7 = 0.3 .

c

B A

c

Para cualquier evento E, P E

( ) = 1 P( E )

, entonces

( )


4).- Si un administrador asigna probabilidades a eventos dependiendo de su experiencia para realizar una toma de decisin, l estara empleando la corriente de probabilidad llamada. 5).- Cuando la probabilidad de ocurrencia de un evento se asigna antes que se realice el experimento se le llama probabilidad de tipo... 6).- Cundo dos eventos son mutuamente excluyentes? 7).- Enumera las operaciones fundamentales entre eventos. 8).- Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. Cules incisos son correctos? a).d). y y b).e).- c).f). = 9).- Describa los tres axiomas de Kolmogrov, para un lgebra finita. 10).- Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. Cules incisos son correctos? d).a). = b).e).- P ( A ) = P ( A) 1 c).- P ( A) = 1 P ( A ) 11).- S el evento E est constituido de puros elementos negativos, entonces su probabilidad tendr que ser negativa? Justifique respuesta. 12).13).14).15).16).17).En el caso en que A B = , slo puede ocurrir si A y B son....)

A B = slo puede ocurrir si...En qu se basa la definicin frecuentista para calcular la probabilidad de un evento? Cmo se considera el espacio muestral en la corriente clsica de probabilidad? Cmo es la asignacin de probabilidades a los eventos en la corriente subjetiva? Por qu a la corriente bayesiana se le conoce tambin con el nombre de a posteriori?

18).- Cules son las dificultades por las que atraviesa la interpretacin clsica, para la asignacin de probabilidades a los diferentes eventos? 19).- Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. Cul inciso es correcto? a).c).- y b). d).20).- Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. Cul inciso es correcto? a).c). = b). d).- P( A ) = P ( A) 1 21).- Qu corriente de probabilidad ser conveniente emplear para la asignacin de un valor numrico al suceso de que Miguel Prez se case este ao? 22).- Si A y B son P( A B ) = P( A) P( B) ? dos eventos mutuamente excluyentes, entonces en general)

B

B

A (P

B A A B B A

A

A (P

B B A A B A)

S

B

Ac

A (P

)

B

c

Ac

A (P

B

B

B

B

)

)A ( P A (P

)

)A ( P A (P

Ac

A

B A A A B A A B A)B B ) ) )B B

A B A A B A

A (P A (P

A (P A (P

12

TCNICAS DE CONTEO Y PROBABILIDADDefinicin 2.1 las cantidades respectivas de elementos de Sean A , K , A k conjuntos diferentes y dichos conjuntos, entonces la cantidad de arreglos diferentes que contienen un elemento de cada conjunto; escribiendo primero los elementos del conjunto 1, seguidos de los del conjunto 2 y as sucesivamente hasta escribir los del conjunto k, la llamaremos regla generalizada de la multiplicacin est dada por: n n L n EJEMPLO 2.1 Si se tienen 8 libros de Filosofa, 4 de Historia y 7 de Matemticas, todos ellos diferentes, cuntos arreglos de 3 libros, que contengan un libro de cada tema, se pueden formar con todos los libros anteriores?, si primero van los libros de Filosofa, seguidos por los de Historia y finalmente los de Matemticas. Como se puede escoger de 8 maneras un libro de Filosofa, de 4 maneras uno de Historia y de 7 maneras el de Matemticas, la regla de la multiplicacin, nos indica que el total de arreglos que consten de tres libros diferentes (uno de cada tema), ser 8 4 7 = 224 . 2.1.1 ARREGLOS CON REPETICIN (REEMPLAZO) Diremos que los arreglos son con repeticin o reemplazo, cuando despus de elegido un elemento puede volverse a seleccionar (cada vez que se realice una nueva extraccin). Es decir, si tenemos un conjunto A con n elementos diferentes y realizamos una extraccin, esto se podr hacer de n formas diferentes. Si nos condicionamos a colocar el elemento elegido en el conjunto (reemplazarlo), al realizar una segunda extraccin la podremos realizar otra vez de n formas, y as sucesivamente k veces, resultando n 4 L4n = n arreglos diferentes. n 14243 k veces Definicin 2.2 Sea el conjunto A = {a , a ,K , a } con n elementos diferentes, la cantidad de arreglos que contengan k elementos elegidos con reemplazo del conjunto A estar dada por: n EJEMPLO 2.2 Cuntos nmeros diferentes de placas se pueden formar con los nmeros dgitos y las letras del alfabeto, si cada nmero de placa consta de 3 letras y 3 dgitos? Supngase que se permite la repeticin. Cada letra del arreglo se puede escoger de 26 maneras, ya que se permite la repeticin. Igualmente cada dgito del arreglo se puede escoger de 10 maneras; por lo tanto, existen 26 26 26 10 10 10 = 26 10 nmeros de placas diferentes.3 3 n 2 1k

k

n,

k

Kk

,2

2

n , 1n1

k

1


2.1.2 ARREGLOS SIN REPETICIN: PERMUTACIONES Diremos que los arreglos son sin repeticin o sin reemplazo, cuando despus de elegido un elemento ya no puede volver a ser seleccionado. Es decir, si tenemos un conjunto A = {a , a ,K , a } con n elementos diferentes y realizamos una primer extraccin, esto se podr hacer de n formas diferentes. Sea el elemento elegido a , ste ya no se regresa al conjunto teniendo un conjunto A = {a , a , a , a , K , a } con elementos diferentes, de tal forma que cuando se efecte una segunda extraccin la podremos realizar slo de formas, y as sucesivamente hasta el k simo conjunto el cual contendr (n (k 1)) elementos diferentes para elegir uno y por la regla de la multiplicacin la cantidad de arreglos diferentes que se puedan formar con los k conjuntos estar dada n ( n 1) ( n 2) L(n ( k 1) ) arreglos diferentes. 1444444 444444 2 3 k elementos Definicin 2.3 Sea el conjunto A = {a , a ,K , a } con n elementos diferentes, la cantidad de arreglos ordenados que contengan k elementos elegidos sin reemplazo del conjunto A estar dada por el nmero resultante de:n 2 1 n 2 1

n (n 1) (n 2) L (n (k 1))EJEMPLO 2.3 Cuntos nmeros diferentes de placas se pueden formar con los nmeros dgitos y las letras del alfabeto, si cada nmero de placa consta de 3 letras y 3 dgitos? Supngase que no se permite la repeticin. La primer letra se puede elegir de 26 maneras, la segunda de las 25 restantes y la tercer letra de las 24 sobrantes, en el caso de los nmeros dgitos se escogern, el primero de 10 maneras, el segundo de 9 y el tercero de 8, finalmente por la definicin 3.4 y la regla de la multiplicacin se tiene que la cantidad de arreglos es (26 25 24) (10 9 8) = 11232000 . Definicin 2.5 Factorial de un nmero. El factorial de un nmero n N se define como el producto sucesivo 1 2 L n . y se simboliza por .NOTA:!n

0! = 1

Definicin 2.4 Llamaremos Permutacin de k elementos escogidos de un total n (todos diferentes) a:n k

La cual representa la cantidad total de arreglos ordenados de tamao k, que se pueden formar con n elementos diferentes cuando no se permite la repeticin

0

P =k n

n! , (n k )!

1 n

1 n

3

1 n

5

4

2

1

2

.

14


2.1.3 PERMUTACIONES CON ELEMENTOS IGUALES En los casos en que se quiere formar arreglos con todos los elementos de un conjunto entre los cuales existen algunos que son iguales, tenemos lo siguiente. De forma general cuando se tienen n elementos iguales, n elementos iguales, y n elementos iguales, tales que: n + n +L+ n = n , resultar la cantidad total de ordenamientos diferentes, considerando todos los n elementos por ordenamiento:nm2 1

EJEMPLOS 2.4 1.- Se tiene 4 computadoras Acer de aspecto semejante, 3 computadoras Digital tambin de aspecto semejante y 3 computadoras Compaq igualmente de aspecto semejante, en cuntas maneras diferentes se pueden ordenar en lnea recta todas las computadoras? Como se tiene en total 10 computadoras, de las cuales existen 4, 3 y 3 de aspecto semejante, de la expresin 1, se tendr:10! = 4200 total de arreglos diferentes. 4!3! 3!

2.- Cuntas permutaciones diferentes, se pueden formar con todas las letras de la palabra Guanajuato? El problema es del caso en el que existen elementos iguales, se tienen 3 a, 2 u y una letra g, n, j, t y o. Empleando la expresin 1, tendremos que el total de arreglos es:10! = 302400 permutaciones diferentes 3! 2!1!1!1!1!1!

2.2 COMBINACIONES Definicin 2.5 Dado un conjunto con n elementos diferentes, llamaremos combinacin a cualquier subconjunto no ordenado de tamao k. Denotaremos al nmero de combinaciones de tamao k que se pueden!

NOTAS 1.- Una diferencia fundamental entre las permutaciones y las combinaciones consiste en que el orden de los elementos de los grupos escogidos en estas ltimas no importa, slo se considera su cantidad de elementos en el grupo, mientras que en las permutaciones el orden entre sus elementos es fundamental. Permutaciones ab ba. 15

k

n !k

(

!

n

kC n

n

k

0

formar con los n elementos por: C ,k n

. En donde

m

2

1

m

2

1

mn

K nn

2 1

P

=

n! ; con n + n +L+ n = n n !n !L n !

m

2

1

(1)

=

)

, 0 k n

(2)


Combinaciones

{a ,b} = {b, a} .Pn

2.- En muchas literaturas para la notacin de combinatoria, tambin suele usarse alguna de las , esta ltima se emplea en las calculadoras, junto con la de para las siguientes: n y k permutaciones. EJEMPLO 2.5 Cuntos grupos de 2 elementos se puede formar de un conjunto que contiene 5 elementos?. Como en estos casos no importa el orden entre los elementos de los arreglos de la expresin (2), 5! tendremos que C = = 10 , es el total de grupos diferentes que consten de dos elementos cada 2!(5 2 )! uno. Por ejemplo, si el conjunto es {a , b , c, d , e,} , los grupos de 2 elementos son:2 5k k

{a ,b} ,{a , c} ,{a , d},{a , e} ,{b, c},{b, d} ,{b, e} ,{c, d} ,{c, e},{d , e} .2.3 REGLA DE LA SUMA Definicin 2.6 Sean A , A ,, A diferentes tipos de arreglos que pueden ocurrir de las siguientes formas n , n ,,n respectivamente, entonces el total de arreglos de todos los m tipos ocurrirn de:m2 1

formas y se le llamar regla de la suma.NOTA

La aplicacin de la regla de la suma por lo general se realiza cuando aparecen en el enunciado del problema las frases: a lo ms, al menos, por lo menos, menos que, menos que, etc. EJEMPLO 2.6 Se va a seleccionar un comit de 5 personas a partir de un grupo de 20, de los cuales 3 son hermanos de cuntas maneras se puede formar el comit, si por lo menos dos de los hermanos estarn en el comit? Como en el problema se pide que al menos dos de los tres hermanos estn en el comit, se tiene que existen dos tipos de arreglos. Un tipo de estos arreglos, ser cuando se tengan dos hermanos en el comit, lo que podr ocurrir de la siguiente manera (notar que el orden en este problema no es importante, ya que slo interesa que en el comit existan 5 personas). Puesto que se requieren cinco personas en el comit y dos de ellas deben de elegirse de los tres hermanos, tenemos por la regla de la multiplicacin, que esto podr ocurrir de: C C maneras,3 71 3 71 2 3

en donde C representa la cantidad de maneras de escoger dos de los tres hermanos, mientras que C representa la cantidad de maneras de escoger a las otras tres personas de los 17 restantes.2 3

m

m

Cn

2

2

1

1

n + n +L+ n

16


El segundo tipo de arreglos, es cuando en el comit se elijan los tres hermanos, lo cual puede ocurrir de: C C maneras,2 71 2 71 3 3

en donde C representa la cantidad de maneras de escoger tres de los tres hermanos, mientras que C representa la cantidad de maneras de escoger a las otras dos personas de los 17 restantes.3 3

Finalmente, por la regla de la suma, tenemos que el total de maneras en que pueden ocurrir los dos tipos de arreglos es: C C + C C = 3680 + 1136 = 2176. EJEMPLOS 2.7 1.- Una prueba de falso y verdadero est formada de 14 preguntas de las cuales 8 son verdaderas y las dems falsas cuntos arreglos de 14 respuestas se pueden dar, si se contestan todas las preguntas? Observemos que el problema se refiere a los casos en que existen elementos iguales (ya que si dos o ms respuestas son verdaderas no se distingue entre ellas). Por lo tanto, de la frmula (1), tendremos que la cantidad de arreglos posibles est dada por:6,8 412 71 3 3 3 71 2 3

P

=

14! = 3003 maneras de contestar el examen. 8!6!

2.- En una fbrica se distribuyen 15 aparatos electrnicos en tres lneas diferentes, con 5 aparatos en cada lnea. Si dos de los aparatos resultaron defectuosos, de cuntas maneras se pueden distribuir los aparatos en las cinco lneas, cuando a).- los dos defectuosos quedan en la lnea uno? b).- los dos defectuosos quedan en una misma lnea? Solucin: En este problema, el orden entre los aparatos no importa, slo nos interesa que existan 5 en cada lnea. a).- Se tiene que de los cinco aparatos de la lnea uno, dos son defectuosos, por lo que podemos escoger C defectuosos y C buenos para la lnea uno, mientras que para la lnea dos se escogern los 5 de los 10 buenos restantes. Finalmente los 5 de la lnea 3 se escogern de los 5 buenos restantes, lo cual se puede representar de la siguiente forma:5 5

b).- Ahora se pide que los dos aparatos defectuosos se localicen en una misma lnea, la cual puede ser la primera, la segunda o la tercera. Cada tipo de arreglo tendr la misma cantidad de casos, por lo cual es necesario resolver slo uno. Por ejemplo, en la primer lnea (inciso a) y despus multiplicarlo por la cantidad de casos a ocurrir C = 3 . Basndose en lo anterior, se tendr 372072 = 216216, maneras de distribuir los 15 aparatos.1 3

C

5 01

C

3 31

C 22C

5 5

C

5 01

C

3 31

3 31

C 22C

2 2

=

= 72072

17


2.4 APLICACIN DE LAS TCNICAS DE CONTEO A LA PROBABILIDAD Slo se considerarn espacios muestrales finitos; por lo tanto, simbolizamos por ( S ) 0 , a la cantidad de elementos del espacio muestral y por (E ) la cantidad de elementos de algn evento E. Al considerar que los elementos del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad de uno 1 y, por la definicin clsica de probabilidad tendremos la probabilidad del cualesquiera de ellos es (S ) evento igual a: (E) . con ( S ) 0 y . P( E ) = (S ) En los ejemplos siguientes el procedimiento de solucin consiste en lo siguiente: Primero. Definimos al experimento del que se habla en el problema. Segundo. Se encuentra el espacio muestral del experimento. Tercero. Se define y encuentra al evento correspondiente.

Finalmente se aplica la definicin clsica de probabilidad. EJEMPLOS 2.8 1.- Una urna contiene 13 bolas numeradas del 1 al 13, de las cuales 3 son rojas, 4 blancas y 6 azules; todas idnticas en forma y tamao. Se selecciona al azar 2 bolas de la urna. Calcule la probabilidad de que exactamente una de ellas sea roja, si se extraen a).- una tras otra sin reemplazo. El experimento consiste en: La extraccin de dos de las 13 bolas, una tras otra sin reemplazo. Por lo tanto, el espacio muestral S tendr ( S ) = 13 12 = 156 elementos. Por otro lado, el evento E se define como: Los resultados del experimento en los que una, y slo una, de las dos bolas es roja. Lo anterior puede ocurrir en dos casos: Primero cuando la primer bola extrada es roja y la opciones; y el segundo caso cuando la primera no es roja y la segunda s segunda no lo es = lo es = opciones. Por lo tanto, ( E ) = 30 + 30 = 60 , y la probabilidad ser: ( E ) 60 = = 0.3846 . P( E ) = ( S ) 156 b).- Las dos a la vez. El experimento consiste en: La extraccin de dos, de las 13 bolas a la vez.2 31

Por lo tanto, el espacio muestral S tendr ( S ) = C

= 78 elementos.1 01 1 3

Por otro lado, el evento E se definir como: Los resultados del experimento en los que una, y slo una de las dos bolas es roja. Lo anterior ocurre de ( E ) = C C = 30 maneras, y la probabilidad es:

S

E

03 01 3

03 3 01

18


P( E ) =

( E ) 30 = = 0.3846 . ( S ) 78

c).- Con reemplazo. El experimento consiste en: La extraccin de dos de las 13 bolas una tras otra, con reemplazo. Por lo tanto, el espacio muestral S tendr ( S ) = 13 13 = 169 elementos. Por otro lado, el evento E se define as: Los resultados del experimento en los que una, y slo una, de las dos bolas es roja. Lo anterior puede ocurrir, en dos casos: el primero ocurre cuando la primer bola extrada es roja opciones, y el segundo caso es cuando la primera no es roja y la y la segunda no lo es, = segunda s es roja, = opciones. Por lo tanto, ( E ) = 30 + 30 = 60 , y la probabilidad ser:

2.- Si se sientan en lnea recta 7 hombres y 4 mujeres, en forma aleatoria. Calcule la probabilidad de que: a).- todas las mujeres se sienten en los primeros 4 lugares? b).- todas las mujeres deben sentarse siempre en lugares contiguos? Solucin: Notemos que en este problema, s importa el orden. El experimento lo definiremos como: La manera en que pueden sentarse 11 personas en lnea recta. Por lo tanto, el espacio muestral S tendr ( S ) = 11! puntos muestrales. a).- Vamos a definir al evento E: Las mujeres deben sentarse primero. Debido a que las mujeres solas pueden sentar de 4321 = 4! = 24 formas diferentes, mientras que los hombres se pueden sentar de 7! = 5040 formas. Por la regla de la multiplicacin, tenemos que el total de arreglos cuando las mujeres se sentarn primero es:

de donde,

P( E ) =

b).- En este caso el evento E: Las mujeres deben sentarse siempre juntas. Se tendrn diferentes tipos de arreglos, uno cuando estn las mujeres en primer lugar, otro en segundo, en tercero, etc. hasta el octavo lugar, y todos van a tener la misma cantidad de maneras de acomodarlos; por lo tanto, empleando el resultado del inciso a, tendremos que el total de arreglos cuando las mujeres van siempre juntas est dado por:

de donde: P( E ) =

03 3 01 03 01 3

P( E ) =

( E ) 60 = = 0.3550 ( S ) 169

(E ) = 4!7! = 245040 = 120960,

( E ) 4!7! 120,960 = = = 0.0030 39,916,800 ( S ) 11!

(E ) = 4!7!8 = 967680. ( E ) 4!8! 967,680 = = = 0.0242 39,916,800 ( S ) 11!19


EJERCICIOS1).- Cul es el nombre que se le da a los arreglos en donde el orden entre sus elementos no es de importancia? 2).- Qu diferencia existe entre arreglos con elementos iguales y arreglos con repeticin? 3).- Qu relacin existe entre una permutacin sin repeticin y una combinacin? 4).- En qu consiste la principal diferencia entre una permutacin y una combinacin? 5).- El administrador de una red de 3 salas tiene en su poder 20 pelculas diferentes con clasificaciones A (6 pelculas), B (4 pelculas) y C (10 pelculas), para proyectar en los siguientes 10 das. Si por polticas de la administracin en un periodo de 10 das se proyectan 2 pelculas diferentes en cada sala, y el administrador hace la programacin al azar. Cul es la probabilidad de que la asignacin de las dos pelculas en la sala uno sean del tipo A, la asignacin de las dos pelculas en la sala 2 sean del tipo B y finalmente las dos pelculas en la sala 3 sean del tipo C? 6).- Considere todas las letras de la palabra Administracin. Calcule la cantidad de arreglos diferentes que se pueden formar considerando todas las letras al mismo tiempo. 7).- Una persona, que no sabe leer absolutamente nada, acomoda en lnea recta en un estante de una tienda de libros de viejos, en la calle Donceles, 6 libros de Filosofa, 4 de Qumica y 8 libros de Historia (todos ellos diferentes). En cuntas formas se pueden acomodar los libros si los de Filosofa deben de ir juntos? 8).- Se dispone de un grupo de doce problemas, para realizar de tarea. a).- De cuntas maneras diferentes se puede asignar la tarea si consta de cinco problemas? b).- Si se tiene 2 problemas ms difcil que los dems, cuntas veces se incluirn los 2 problemas ms difciles en la tarea? 9).- Un experimento consiste en lanzar dos dados, utilice los teoremas combinatorios para determinar el nmero de puntos muestrales y asigne probabilidades a los puntos muestrales y encuentre la probabilidad de que la suma de los nmeros que aparecen en los dados sea igual a 9. 10).- Para presentar un examen de Fsica, el profesor les da a sus alumnos de antemano 60 preguntas diferentes; las cuales el da del examen colocar en una urna y el estudiante deber elegir aleatoriamente 3 preguntas, sin reemplazo. Supngase que el primer estudiante que va a elegir slo se preparo en 50 de las preguntas (las cuales puede contestar sin equivocacin), mientras que de las otras 10 no sabe absolutamente nada (si le toca una de ellas la dejara en blanco). El estudiante aprobar el examen si contesta bien al menos dos de las tres preguntas. Calcule la probabilidad de que en dichas condiciones el estudiante apruebe el examen. 11).- En un componente electrnico existen 20 placas de tres tipos diferentes (8 del tipo I, 5 del tipo II y 7 del tipo III). Se seleccionan al azar 5 placas para inspeccionarlas. Encuentre la probabilidad de: a).- Que las 5 placas sean del mismo tipo. b).- Que dos sean del tipo I; una del tipo II y 2 del tipo III. 12).- Un productor tiene almacenados nueve motores diferentes; dos de los cuales fueron suministrados por un proveedor en particular. Se deben de distribuir los motores en tres lneas de produccin, con tres motores en cada lnea. Si la asignacin de los motores es aleatoria, encuentre la probabilidad de que los dos motores del proveedor queden en una misma lnea. 20


13).- En un centro comercial quedan 10 carros de control remoto para la venta, entre los cuales existen 4 defectuosos. Si el seor Jaime Lpez entra a la tienda para comprar dos de tales carros para sus hijos, Juan y Carlos. Calcule la probabilidad de que al menos uno de los carros elegidos sea defectuoso. 14).- En una tienda se tienen 40 refrigeradores de los cuales 35 son buenos y 5 defectuosos. Encuentre la probabilidad de que en los siguientes 4 pedidos que se vendan, se encuentren dos defectuosos. 15).- Un juego consiste en elegir 6 nmeros sin repeticin de 47 posibles (Melate). La persona que halla elegido con anterioridad al sorteo los 6 nmeros resultantes correctos, ganar el juego. Calcule la probabilidad de que 3 de los 6 nmeros elegidos por una persona coincida con los 6 nmeros resultantes del sorteo. 16).- El alumno Armando Gonzlez se ha preparado en 25 temas, de un total de 35, para un examen, en el cual se les entregar una ficha con 5 temas al azar de la lista de 35. Si el alumno deber contestar correctamente al menos 3 temas de los 5 para pasar, calcule la probabilidad de que Armando Gonzlez apruebe el examen. 17).- Cul es la probabilidad de que el portero de un cine s niegue dejar entrar a 2 menores de edad (ya que se exhibe una pelcula slo para adultos), al revisar las identificaciones de 4 personas de entre un grupo de 8, de los cuales tres no son mayores de edad?. 18).- Considere todas las letras de la palabra Estadstica. Calcule la cantidad de arreglos diferentes que se pueden formar considerando todas las letras al mismo tiempo (ignorando la acentuacin). 19).- Un examen de lgebra Lineal en la UPIICSA est formado por tres temas. El tema A contiene 6 preguntas, el tema B, 4 preguntas y el tema C, 8 preguntas. Se debe contestar 5 preguntas. De cuntas maneras diferentes puede elegir sus preguntas un estudiante, si a lo ms debe de elegir 2 preguntas del tema C? 20).- En un grupo de 30 personas se tiene 4 con apellido Gmez. Si se elige un equipo de 3 personas representante del grupo. De cuntas formas diferentes se puede realizar la eleccin de tal manera que al menos una de las personas elegidas tenga el apellido Gmez? 21).- En una tienda se tiene 30 artculos de los cuales 20 son buenos y 10 defectuosos. Se seleccionan 8 artculos, de cuntas maneras se llevar a cabo la eleccin de tal forma que a lo ms 2 sean defectuosos?

21


3.1 PROBABILIDAD CONDICIONALDefinicin 3.1 Dados dos eventos A y B llamaremos probabilidad condicional del evento A dado que sucedi B a: P( A B) , con P ( B ) > 0 P( A | B) = P( B) EJEMPLOS 3.1 1.- Dados los eventos A y B (dentro de un mismo espacio muestral S), tales que P ( A) = 0.6 , P ( B ) = 0.4 y P ( A B ) = 0.1 . Calcule la P ( A | B ) . De la frmula 1, tenemos que: P( A | B) =0 .1 = 0.25 . 0 .4

2.- Supngase que en un lote de 50 automviles VW se repartirn aleatoriamente 20 para el mercado interno y 30 para el de exportacin. Diez de los automviles de exportacin son de color blanco, y los otros 20 de color azul. Mientras que la mitad de los automviles del mercado interno son de color blanco y la otra mitad azul. Si el gerente elige aleatoriamente un automvil de color blanco cul es la probabilidad de que dicho automvil sea de exportacin? Este tipo de problemas se resuelve fcilmente empleando una tabla para representar los datos. Mercado interno, I Mercado externo, E Totales Blanco, B 10 10 20 Azul, A 10 20 30 Totales 20 30 50

Puesto que nos restringimos a la eleccin de un automvil blanco la probabilidad de que el automvil elegido sea de exportacin es de tipo condicional. Representemos por I, los automviles del mercado interno, por E los del externo, por B los de color blanco, y finalmente por A los de color azul. Notamos que el espacio muestral en este caso consta de 50 elementos. Por tanto: La probabilidad de elegir un automvil blanco es: P ( B ) = probabilidad de elegir un automvil blanco y de exportacin es:P( E B) =

( B ) 20 = = 0.40 , mientras que la ( S ) 50

( E B) 10 = = 0.20 . (S ) 50

Luego P ( E | B ) =

P ( E B ) 0.20 = = 0. 5 . 0.40 P( B)

22


3.2 REGLA DE LA MULTIPLICACIN DE PROBABILIDADES Al calcular la probabilidad de la interseccin de dos eventos A y B cuando conocemos la probabilidad de uno de ellos y la probabilidad del otro condicionado al primero se puede emplear la formula 1, para realizar el clculo, por medio de una regla a la que llamaremos Regla de la multiplicacin de Probabilidades.P( A B) = P( B) P( A | B) ,

(2)

tambin de forma equivalente a partir de P ( B | A) , se obtiene:P ( A B ) = P ( A) P ( B | A) .

(3)

A las frmulas anteriores, se les conoce como Regla de la multiplicacin de probabilidades. EJEMPLO 3.2 En una urna se tienen 13 bolas numeradas del 1 al 13 de las cuales 5 son rojas y 8 blancas todas idnticas en forma y tamao. Se seleccionan al azar 2 bolas una tras otra sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que las dos bolas extradas sean blancas. Primero simbolicemos por A: La primer bola extrada es blanca B: La segunda bola extrada es blanca. Como originalmente en la urna existen 13 bolas, de las cuales 8 son blancas, tenemos P ( A) =

8 . 13

Cuando calculamos la probabilidad del evento B nos restringimos a la extraccin de una bola blanca quedando en la urna 12 bolas de las cuales 7 son blancas. Se tiene entonces que la probabilidad 7 de extraer una segunda bola blanca es P ( B | A) = . 12 Finalmente, con las probabilidades calculadas, y empleando la expresin 3, se obtiene:P( A B) = P( A) P( B | A) = 8 7 56 = = 0.3590 . 13 12 156

La regla de la multiplicacin para tres eventos.P ( A B C ) = P( A ( B C ) ) = P ( B C ) P ( A | B C ) = = P(C ) P( B | C ) P( A | B C )

En su forma general la regla de multiplicacin de Probabilidades para n eventos estar dada por la expresin: P ( A A K A ) = P( A )P( A | A )P ( A | A A )L P( A | A A K A2 1 n 2 1 3 1 2 1 n 2 1

)23

1 n


3.2.2 EMPLEO DE LOS DIAGRAMAS DE RBOL EN LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

El rbol lo comenzaremos trazando desde un punto que llamaremos vrtice las diferentes ramas, llamadas caminos o aristas; cada una de ellas llega a otro vrtice y de igual forma desde ese punto pueden trazarse otras aristas y as sucesivamente hasta terminar con todos los caminos posibles. En la teora de las probabilidades siempre debe cumplirse que la suma de todas las probabilidades de los diferentes caminos de cualquier vrtice sea igual a 1. La probabilidad de una rama cualquiera se obtiene multiplicando las probabilidades de los caminos descendentes, esto se hace a partir del vrtice de la ltima arista y hasta llegar al vrtice inicial. Es importante hacer notar que las probabilidades de los caminos ascendentes son probabilidades condicionales; puesto que estn restringidas a que sucedan los eventos de las aristas por las que est dirigido el camino. EJEMPLO 3.3 Una bolsa contiene 5 pelotas blancas y 3 negras, una segunda bolsa contiene 3 blancas y 6 negras, finalmente una tercer bolsa contiene 8 pelotas blancas y 3 negras, todas las pelotas son de igual forma y tamao. Se saca una pelota aleatoriamente de la primer bolsa y se coloca sin verla en la segunda, posteriormente de sta se saca una pelota y se coloca en la tercera. Cul es la probabilidad de que una pelota que se saque bajo estas condiciones de la tercer bolsa sea negra? Resuelva por diagramas de rbol, pero escriba en forma simblica las probabilidades encontradas. Primero vamos a hacer un diagrama que nos represente las diferentes acciones que pueden ocurrir al sacar e introducir pelotas de una urna a otra. Posteriormente comenzamos con la asignacin de probabilidades a las diferentes ramificaciones del diagrama de rbol ya elaborado. Ver figura siguiente. Explicacin: 3er. bolsa Si sacamos una pelota blanca de la primer bolsa y se 2da. bolsa (8+1)b coloca en la segunda tendremos, en sta, + = pelotas blancas y 6 negras. 1er. bolsa (3+1)b 3n En caso de que la pelota de la primer bolsa sea negra 8b 5b en la segunda bolsa tendremos 3 blancas y + = (3+1)n 6n negras. (8+1)b Finalmente, si de la segunda bolsa se extrae una 3b 3n 3n pelota blanca al colocarla en la tercer bolsa tendremos 8b + = blancas y 3 negras, en caso contrario sern (6+1)n (3+1)n + = negras y 8 blancas. extrada de la bolsa k es blanca.k k

Simbolizando por B

al evento.

La pelota

De igual forma por N al evento: La pelota extrada de la bolsa k es negra. En el siguiente diagrama mostraremos las probabilidades correspondientes: 24

7 1 6

4 1 3

4 1 3 9 1 8


P( B | B B ) = P( B | B ) =1 2

9 12

P( N | N N ) =

Segn el diagrama anterior resultan las siguientes probabilidades: Para la bolsa 1: P( B ) =1

5 3 y P( N ) = . 8 81

Despus de ocurrida la extraccin de la bolsa 1, tenemos las probabilidades condicionales para la bolsa 2: En el caso de la primera ramificacin en la primera bolsa:1 2

P( B | B ) =1 2

4 2 = 10 5

o P( N | B ) =

6 3 = . 10 5

Para el caso de la segunda ramificacin en la primera bolsa: 3 7 P( B | N ) = o P( N | N ) = . 10 10 Finalmente despus de ocurridas las extracciones de las bolsas 1 y 2, tenemos las probabilidades condicionales para la bolsa 3: En el caso de la primera ramificacin en la segunda bolsa:1 2 3 1 2 1 2

P( B | B B ) =1 2 3

9 3 3 1 = o P( N | B B ) = = . 12 4 12 4

En el caso de la segunda ramificacin en la segunda bolsa:

1

1

2

2

3

3

P( N | N ) =1 2

7 10

P( B | N N ) =

1

2

3

P( B | N ) =1 2

3 10

P( N | B N ) = 8 12

1

2

3

P( N ) =1

3 8

P( B | B N ) =

1

2

3

1

2

P( B ) =1

5 8

P( N | B ) =

6 10

P( N | N B ) =

1

1

2

2

3

4 10

3 12 8 P( B | N B ) = 12 P( N | B B ) =3

1

2

3

4 12 9 12 3 12

4 12

25


En el caso de la tercer ramificacin en la segunda bolsa:1 2 3

P( B | B N ) =1 2 3

9 3 3 1 = o P( N | B N ) = = . 12 4 12 4

En el caso de la cuarta ramificacin en la segunda bolsa:1 2 3

P( B | N N ) =1 2 3

8 2 4 1 = o P( N | N N ) = = . 12 3 12 3

De los resultados anteriores fcilmente se calculan las probabilidades de que la bola extrada de la tercera urna sea negra. Para tal efecto tenemos 4 casos, tal y como se muestra a continuacin:P( N | B B ) P( B | B ) P( B ) =1 1 2 2 1 3

3 4 5 1 = . 12 10 8 16 4 6 5 1 = . 12 10 8 8 3 3 3 9 = . 12 10 8 320 4 7 3 7 = . 12 10 8 80 1 1 9 7 97 + + + = = 0.303125 . 16 8 320 80 3203

P( N | B N ) P( N | B ) P( B ) = P( N | N B ) P( B | N ) P( N ) =1 1 2 2 1 3 1 1 2 2 1 3

P( N | N N ) P( N | N ) P( N ) =1 1 2 2 1 3

Finalmente por el principio de la suma resultar P( N ) = 3.3 EVENTOS INDEPENDIENTES Definicin 3.2

Dos eventos A y B son independientes, si y slo si P ( A B ) = P ( A) P ( B ) .OBSERVACIN

Del ejemplo anterior podemos concluir que los ejercicios en donde se realicen elecciones, las condiciones con o sin reemplazo influyen en los eventos para que sean independientes o dependientes. Con reemplazo independencia Sin reemplazo dependencia TEOREMA 3.1 Si S es un espacio muestral, A y B eventos independientes en S, entonces las parejas siguientes, tambin son independientes A y B ; A y B ; A y B .c c c c

1

2

3

P( B | N B ) =1 2 3

8 2 4 1 = o P( N | N B ) = = . 12 3 12 3

(5)

26


EJEMPLO 3.4 En una urna se tienen 13 bolas numeradas del 1 al 13 de las cuales 5 bolas son rojas y 8 blancas, todas idnticas en forma y tamao. Se seleccionan al azar 2 bolas de la urna, una tras otra con reemplazo. Calcule la probabilidad de que las dos bolas extradas sean blancas. Primero simbolicemos por A: La primer bola extrada es blanca B: La segunda bola extrada es blanca Como originalmente en la urna existen 13 bolas, de las cuales 8 son blancas. Considerando que el experimento consiste en extraer dos bolas una tras otra con reemplazo, tenemos que el espacio muestral S tiene ( S ) = 13 13 = 169 elementos. Por otro lado, el evento : Ambas bolas blancas, tiene ( A B ) = 8 8 = 64 elementos, y ( A B) 64 por tanto, P( A B) = . = (S ) 169 Vamos a calcular las probabilidades de A y de B y comprobaremos que estos eventos son independientes. Para el evento A tenemos 13 bolas de las cuales 8 son blancas; por lo tanto: P ( A) =

Despus de esto volvemos a colocar la bola en la urna quedando 8 blancas y 5 rojas, de tal forma 8 que al sacar otra vez una bola la probabilidad del evento B es: P ( B ) = . 13 Fcilmente se comprueba que los eventos son independientes puesto que:

3.4 TEOREMA DE BAYES Veamos ahora como se resolveran ciertos problemas en donde se conoce el espacio muestral y una particin de ste. Adems de que se tiene conocimientos con respecto a las probabilidades de los eventos de la particin y se quiera calcular la probabilidad de algn otro evento del espacio muestral. Pero antes de continuar recordemos el concepto de particin de un espacio muestral. Pues bien sea S un espacio muestral, se dice que los eventos E , E , K , E forman una particin de S, si cumplen con lo siguiente: P( E ) 0 , para toda k = 1, 2, K , n . S = UE . Para cualesquier par de eventos E y E , con i j , de la particin se cumple E E = .j ij i

1 k

=

n

2

1

B A

8 . 13

P( A B) = P ( A) P ( B ) =

8 8 64 . = 13 13 169

k

n

k

)b )c

)a

27


EJEMPLOS 3.5 1.- Sea el experimento Lanzamiento de dos monedas, y anotemos las combinaciones de resultados posibles, S = {ss, sa, as, aa} (denotando sol por s y guila con a). Los siguientes eventos forman una particin de S.

E : Resulte una sola guila, E = {sa, as} . E : Resulten dos guilas, E = {aa} .E : Ningn guila, E = {ss} . 2.- Un espacio muestral S siempre tiene una particin formada con un evento E, tal que 0 < P ( E ) < 1 , y su complemento. Este tipo de particin se emplea con mucha frecuencia en los problemas de probabilidad. Dichos eventos s forman una particin de S; puesto que cumplen con las tres condiciones de una particin. Graficamente una particin del espacio muestral se observa de la siguiente forma: S2

E

Fig. 3.1 Muestra la particin de un espacio muestral. TEOREMA 3.2 De la probabilidad total Si S es un espacio muestral, A un evento en S y E , E , K , E una particin de S, entonces P ( A) = P ( A | E ) P ( E ) + P ( A | E ) P ( E ) + L + P ( A | E ) P ( E ) . EJEMPLO 3.6 Un preso que se fugo es buscado por la polica, la cual est segura que el prfugo slo puede seguir uno de 5 caminos posibles C , C , C , C y C , los cuales puede elegir con las probabilidades, 0.20, 0.30, 0.10, 0.25 y 0.15, respectivamente. Por las condiciones policacas de cada una de las ciudades a las que puede llegar las probabilidades, respectivamente, de que pueda ser atrapado, son; 0.20, 0.10, 0.40, 0.30 y 0.40. Calcule la probabilidad de que sea capturado. De las condiciones del problema podemos deducir las probabilidades:5 4 3 2 1 n n 2 2 1 1 n 2 1

P (C ) = 0.20 , P (C ) = 0.30 , P(C ) = 0.10 , P (C ) = 0.25 y P(C ) = 0.15Como podemos notar tendremos tantas ciudades como caminos, por lo tanto numeraremos a las ciudades con respecto al camino elegido. 285 4 3 2 1

n

7

E

5

E

6

4

E

E

... E

3

1

E

1

2

3

2

3

1

E


Simbolizando por A el evento: El fugitivo es atrapado, tendremos que para ser atrapado en la ciudad k, con k = 1, 2, 3, 4, 5 primero debe huir por el camino k. Se tienen entonces las probabilidades condicionales:

P ( A | C ) = 0.20 , P ( A | C ) = 0.10 , P( A | C ) = 0.40 , P ( A | C ) = 0.30 y P( A | C ) = 0.40 ,finalmente por el Teorema de la probabilidad total resulta:P ( A) = P ( A | C ) P (C ) + P ( A | C ) P (C ) + L + P ( A | C ) P (C ) = = 0.20 0.20 + 0.10 0.30 + 0.40 0.10 + 0.30 0.25 + 0.40 0.15 = 0.2455 5 2 2 1 1

TEOREMA 3.3 Teorema de Bayes Si S es un espacio muestral A un evento en S y E , E , K , E una particin de S, entonces para cualquier evento k de la particin tendremos que: P( A | E ) P( E ) . P( E | A) = P( A | E ) P( E ) + P( A | E ) P( E ) + L + P( A | E ) P( E ) EJEMPLOS 3.7 1.- Del ejemplo anterior, si el fugitivo fue atrapado, cul es la probabilidad de que la detencin se efectuar en la ciudad nmero 2? Empleando la simbologa anterior y el Teorema de Bayes tendremos:2 2 2 n n n k 2 2 k 1 2 1 1 k

P (C | A) =2

P (C A) P ( A | C ) P (C ) = P ( A) P ( A | C ) P (C ) + P ( A | C ) P (C ) + L + P ( A | C ) P (C ) 0.10 0.30 = 0.122 0.2455 5 2 2 1 1

=

2.- Trace el diagrama de rbol del ejercicio anterior. Explicacin del diagrama de rbol: El vrtice inicial tiene 5 caminos. En cada uno de ellos se anotan sus probabilidades de ser elegido (observe que la suma de los 5 es uno). En la parte de arriba en el otro vrtice en cada caso se trazan otros dos caminos, uno para el evento A, y el otro para su complemento; la suma de probabilidades por vrtice sigue siendo uno. De lo anterior se deduce que las segundas probabilidades son condicionales; puesto que nos estamos restringiendo a la ocurrencia de que haya elegido alguno de los caminos. Por lo tanto, las probabilidades son:3 2c

A09.0 01.02

P ( A | C ) = 0.20 ,1

P ( A | C ) = 0.10 ,

P ( A | C ) = 0.40 ,

P ( A | C ) = 0.30 y P( A | C ) = 0.40 ;5 4

5

4

3

2

c

A

c

c

A

c 07.0 03.0

A A

A A

A A

A

06.0 04.0

06.0 04.0

08.0

02.0

3

4

C

C

5

C

C

1

01.0

C

1

52.0

03.0 51.0

02.0

29

.?atelpmoc niccepsni anu rop sap euq odad osoutcefed aes oluctra nu euq ed dadilibaborp al se luC .atelpmoc niccepsni anu rop nasap soneub soluctra sol sodot ed y sosoutcefed soluctra ;atelpmoc niccepsni anu rop sol sodot ed ;sosoutcefed nos sodicudorp soluctra sol sodot ed rasap nebed euq sol egocse rosivrepus nu ,niccudorp ed aenl anu ed lanif la nagell soluctra sol odnauC -.)61 .sobma ed soenrre setroper sol ne aicnednepedni enopus eS .setroper ed odoirep etneiugis le ne neuqoviuqe es sobma euq ed dadilibaborp al aluclac ,50.0 led se agah ol oiciruaM euq ed y 30.0 ed se euqoviuqe es siuL euq ed dadilibaborp al iS .serodartsinimda sobma a aerat amsim al ajed etnereg le ,aserpme al ed soreicnanif setroper sol obac a navell es odnauC .oiciruaM y siuL ,serodartsinimda 2 eneit oigitserp narg ed aapmoc anU -.)51 ?lartseum oicapse le se ninu ayuc setneidnepedni sotneve ed otinif otnujnoc nu somenet odnauc nacilpa nedeup es ,seyaB ed le y latot dadilibaborp al ed sameroet soL -.)41 .? lareneg ne secnotne ,setneyulcxe etnemautum sotneve sod nos B y A iS -.)31 .onu aes erpmeis amus ayuc salleuqa ,sairatnemelpmoc sedadilibaborp rop odneidnetnE . 1 ) B ( P 0 eserdisnoC ?sairatnemelpmoc ) c B | A ( P y )B | A ( P sedadilibaborp sal noS -.)21P( A B ) = P( A)< k ) = q

arap , k

a).-

P( X k ) = 1 q

k = 1, 2, L k = 1, 2, L

m, k = 1, 2, L

2

E( X ) =

1 p

V (X ) =

1 p p

1 k

1 k

=

=

1 k

p k = 1, 2, 3, K,

G (k ; p ) = q

secnotne ,

q =1 p

osacarf y p otix noc ,acirtmoeg airotaela elbairav anu se X iS1 k

p =1

soluclc sol arap


Finalmente el tercer y ltimo punto para la aplicacin de las formulas tendremos: a).- Del Teorema 4.2 inciso b) resulta: P( X > 5) = q = (0.75) = 0.2373 . b).- Del Teorema 4.2 resulta: E ( X ) = EJERCICIOS 2 1).- Sea una mquina despachadora de refrescos que arroja un poco ms de 20 ml por vaso derramndose el lquido en un 5% de los vasos despachados. Podemos definir a la variable aleatoria X: Cantidad de vasos despachados hasta obtener el primero que se derramar. Considere que la forma de despachar el lquido por la mquina es independiente de vaso en vaso. Calcule la probabilidad de que el primer vaso que se derrame se encuentre despus del 15vo. vaso despachado. 2).- Un inspector de la SECOFI ha encontrado que en 6 de 10 tiendas que visita se presentan irregularidades. Si el inspector visita una serie de tiendas al azar. Cul es la probabilidad de que: a).- la primer tienda con irregularidades fuera encontrada despus de revisar la cuarta? b).- Cuntas tiendas se espera que tenga que visitar para encontrar la primera con irregularidades? 3).- En un lote grande de artculos hay 3% de defectuosos. Si se selecciona al azar un artculo uno tras otro hasta encontrar un defectuoso. Cul es la probabilidad de que se deban inspeccionar ms de 5 artculos? 4).- Se estima que el 70% de una poblacin de consumidores prefiere una marca particular de pasta de dientes A. Cul es la probabilidad que al entrevistar a un grupo de consumidores a).- sea necesario entrevistar exactamente 4 personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A? b).- se tenga que entrevistar al menos 6 personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A? 4.8 MODELO HIPERGEOMTRICO Un modelo probabilstico ser de tipo Hipergeomtrico cuando los experimentos que se realizan con respecto a un evento E son tales que sus pruebas no son independientes. En estos modelos se consideran lotes de artculos, los cuales estn constituidos de elementos divididos en dos clases. El experimento consiste en elegir una muestra del lote sin reemplazo y calcular las probabilidades cuando sus elementos pertenezcan a una de las clases. Definicin 4.14 Un experimento aleatorio se llama Hipergeomtrico si cumple con las condiciones: 1.- El experimento se realiza considerando un lote de tamao N en el cual sus elementos estn divididos en dos clases de tamaos m y N m . 2.- Se toma una muestra de tamao n, sin reemplazo del lote. 3.- Se calculan las probabilidades de que k elementos de una de las clases estn en la muestra de tamao n.1 1 = =4 . p 0.255 5

48


Definicin 4.15 A la variable aleatoria discreta X definida en un experimento Hipergeomtrico que representa a la cantidad de elementos que se encuentran en la muestra perteneciente a la clase de xitos se le llama Variable aleatoria Hipergeomtrica. Teorema 4.3secnotne ,n oamat ed ozalpmeer nis artseum anu egile es lauc al ed N oamat ed nicalbop anu ne sotix m noc acirtmoegrepiH airotaela elbairav anu se X iS

P( X = k ) =

m E ( X ) = n N

m m N n V ( X ) = n 1 N N N 1

EJEMPLO 4.9 En un lote de 10 componentes electrnicos de TV en buen estado, se agregan 3 defectuosos, todos en apariencia y tamao iguales. Una persona compra 4 de tales componentes para reparar televisores. Calcule la probabilidad de que la persona tenga que regresar a reclamar al vendedor, por haber obtenido componentes defectuosos. Primer punto, definicin de la variable. Sea X: Cantidad de componentes defectuosos en la seleccin El segundo punto, clasificacin del modelo. Por las condiciones del problema se deduce que la seleccin se realizo sin reemplazo. Adems el tamao del lote es finito e igual a 13 y slo tenemos dos clases de componentes, buenos y defectuosos. De lo anterior se deduce que X es una variable Hipergeomtrica, con: = , = , = . Tercer y ltimo punto aplicacin de formulas. De las condiciones del problema tenemos que la persona reclamar, s al menos un componente resulta defectuoso. Por lo tanto, la probabilidad que necesitamos calcular es:

P ( X 1) = 1 P ( X = 0) = 1

C

Este resultado nos indica, que probablemente el comprador regresar a reclamar.NOTA

Los modelos Hipergeomtricos debido a su naturaleza son mucho muy empleados en los problemas de Teora del Control Estadstico, en donde juega un rol muy importante al analizar los componentes de los lotes, para determinar si se puede aceptar o rechazar un lote dividido en dos clases, buenos y defectuosos.

4 31 4 0 01 3

C C

1 0.2937 = 0.7063 .

0 ,

N m n xm k

C

=

{

+

,

mx{n + m N , 0} k mn{n, m}

n N k n k m N m

m n nm

3

m

4

n 31

N

n N , k n k m N m

C C

{

}

C C } C

=1

49


EJERCICIOS 3 1).- Para llevar a cabo un reporte de control de calidad sobre la fabricacin de videos; de un lote de 25 de estos se elige una muestra aleatoria de 5 y se prueban, en caso de que no se encuentren defectuosos entre estos 5 el reporte se escribe satisfactorio. Cul es la probabilidad de que el reporte sea satisfactorio, si en el lote se han introducido 4 videos defectuosos? 2).- En el aeropuerto Benito Jurez de la ciudad de Mxico debido a la gran afluencia de pasajeros, slo se revisa el 10% de estos a la salida. Si de un grupo de 20 turistas, 12 tienen compras muy por arriba de la cantidad permitida y se conserva el mismo 10% de revisiones para las 20 personas, cul es la probabilidad de que las dos personas revisadas tengan que pagar los impuestos correspondientes por exceso de compras permitidas por las autoridades del aeropuerto? 3).- Se van a escoger al azar sin reemplazo 8 objetos de un lote con 15 buenos y 6 defectuosos. a).- Calcule la probabilidad de que se encuentren exactamente 2 defectuosos entre los 8 objetos seleccionados. b).- Cuntos de los 8 objetos se espera que no estn defectuosos. 4.9 MODELO DE POISSON El ltimo de los modelos probabilsticos discreto que estudiaremos es el llamado: Modelo de Poisson . Este modelo estudia los experimentos cuyos resultados tienen lugar en intervalos continuos ; de tiempo, reas, volmenes, etc. Antes de seguir, cabe mencionar que el modelo de Poisson es discreto puesto que en sus experimentos slo nos interesar la cantidad de resultados que pueden ocurrir en un intervalo (de los antes mencionados), ms no la continuidad del intervalo. El modelo de Poisson tiene muchas aplicaciones. Se emplea generalmente en donde, se desea optimizar los tiempos, tanto de espera como de servicio, a este tipo de problemas se les estudia en el rea de Investigacin de operaciones en los temas: Lneas de Espera o Teora de Colas.NOTA4

Para ejemplificar la definicin de experimento de Poisson al hablar de intervalo, nos referiremos al tiempo, pero tomaremos en cuenta que en lugar de tiempo se podra tratar de un rea, un volumen, etc. Definicin 4.16 A la variable aleatoria X definida en un experimento de Poisson, que representa la cantidad de resultados, que ocurren en el intervalo de tiempo (t , t ) , se le llama Variable aleatoria de Poisson. En estas condiciones es obvio que X es discreta con valores: 0, 1, 2, 3,.... Los intervalos dependen del experimento, y estos pueden ser: Un minuto, un da, una semana, un ao, etc. Un metro cuadrado, una hectrea, etc.0

.laicnenop xE opit ed sou nitnoC soledoM s ol n o c n i c a l e r a h c e r t s e a n u n e n e i t s o t s , n o s s i o P e d s o l e d o M s o l n e r r u c o e u q s o l n e s o u n i t n o c s o l a v r e t n i s o l a o d i b e D 4 .omsitengam y sedadilibaborp ed oluclc ,dadiralipac ,dadicitsale ,etselec acincem al :erbos sojabart ed eires anu ed rotua y acitmetam acisf al ed serodaerc sol ed onu eu F .0481 ne siraP n e otreu m y 1871 sreiv ihti P ne odicaN .nossioP s ineD no m iS sec n arf ocit m et am la ron oh n E 3

3

50


Un metro cbico, etc.

EJEMPLOS 4.10 1).- La cantidad de llamadas telefnicas a un conmutador en un intervalo de 5 minutos. 2).- La cantidad de accidentes automovilsticos mensuales en un crucero determinado. 3).- La cantidad de carros que llegan a un estacionamiento en una hora determinada. 4).- El nmero de partculas que pasan a travs de un contador en un milisegundo. 5).- La cantidad de errores de mecanografa por pgina en un libro determinado. 6).- Cantidad de rboles infectados por ciertos gusanos en un rea determinada. 7).- Llegadas de clientes a una tienda durante un intervalo de tiempo determinado. Simbolicemos por P (k ; t ) = P ( X = k ) - La probabilidad de que en el experimento de Poisson ocurran k resultados en un intervalo (t , t ) . Definicin 4.17 Llamaremos Distribucin de Probabilidad de Poisson, a las parejas (k , P(k ; t ) ) , para k igual a 0, 1, 2, 3, ....0

En el siguiente teorema daremos la formula para calcular probabilidades de Modelos de Poisson, pero debido a lo complejo de su demostracin no la llevaremos a cabo. Teorema 5.16 (t , t )0

= V ( X ) = t2

El parmetro est dado por:

=

E( X ) - Representa la razn esperada de resultados en el intervalo de estudio. t

En caso de que t sea igual a una unidad del intervalo (1 hora, 1 da , 1 metro, etc.), y E ( X ) tienen el mismo valor numrico. En tal caso, podemos escribir la formula para el calculo de e probabilidades como: P (k , ) = . k!k

0 k

t

( t ) P ( k ; t ) = P ( X = k ) = e k! k

k = 0, 1, 2, K

P ( k ; t ) = 1=

= E ( X ) = t

secnotne ,

X

y ,

(t , t )0

R = {0, 1, 2, K}

olavretni le ne nossioP ed airotaela elbairav anu se X iS ) olavretni led dutignol al t rop odnatneserper(

51


USO DE TABLAS DE POISSON Las tablas de Poisson estn dadas para la funcin de distribucin acumulada, como se muestra a continuacin.x

a).- P ( X 3) = P (3; 5.40) = 0.2133 , P ( X < 4) = P (3; 5.40) = 0.2133 . b).- P ( X 3) = 1 P (2; 5.40) = 1 0.0948 = 0.9052 , P ( X > 2) = P ( X 3) = 1 P (2; 5.40) = 1 0.0948 = 0.90524443.0 9820.0 3373.0 ) 04.5 ;1( P ) 04.5 ;4 ( P )4

EJEMPLO 4.11

En una tienda los clientes llegan al mostrador conforme una distribucin de Poisson con un promedio de 10 por hora. En una hora dada, cul es la probabilidad de que lleguen al menos 5 clientes? Identificacin de datos: Definamos a la variable aleatoria X : Cantidad de clientes que llegan a la tienda. Un promedio de 10 clientes por hora, = 10t

P( X 5) = 1 P( X 4) = 1 [P ( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) + P( X = 4)] = e (10) e (10) e (10) e (10) e (10) = 1 + + + + = 0! 1! 2! 3! 4! = 1 0.0293 = 0.97074 01 3 01 2 01 1 01 0 01

clientes Por lo tanto, = t = 10 (1 hora) = 10 clientes , con lo cual: hora

La probabilidad es bastante grande, puesto que considerando un valor esperado de 10 clientes ser muy probable que 5 o ms clientes lleguen en el transcurso de una hora. 52

aroh 1

X 2(P

c).-

=

=

=

.

clientes . hora=

En un intervalo de una hora dada, es decir:

.

.

)

m X k(P

Las probabilidades ms comunes para calcular son: P ( X k ) , P ( X k ) y ejemplo, para = 5.40 , tendremos (ver valores en la tabla anterior):

7892.0 7213.0 2723.0 2243.0 5753.0 3373.0 4061.0 0071.0 0081.0 6091.0 7102.0 3312.0 6660.0 5170.0 8670.0 4280.0 4880.0 8490.0 9810.0 6020.0 4220.0 4420.0 6620.0 9820.0 7200.0 0300.0 3300.0 7300.0 1400.0 5400.0

09.5

08.5

07.5

06.5

05.5

04.5

6101.0 8801.0 7421.0 5241.0 3251.0 6261.0 6371.0 1581.0 4791.0 2012.0 8322.0 1832.0 4130.0 2430.0 4040.0 7740.0 8150.0 3650.0 1160.0 3660.0 9170.0 0870.0 5480.0 6190.0 0500.0 5500.0 7600.0 2800.0 1900.0 1010.0 1110.0 3210.0 6310.0 0510.0 6610.0 3810.0

5983.0 1604.0 5044.0 3674.0 6494.0 2315.0 1235.0 2155.0 4075.0 8985.0 3906.0 8826.0 4522.0 1832.0 0562.0 2492.0 7903.0 7523.0 3243.0 4953.0 2773.0 4593.0 2414.0 5334.0

03.5

02.5

t

=00.5

0 k

Funcin acumulada de la Distribucin de Poisson, P ( x; t ) =

=

e (t ) . k!k t

ed serolaV08.4 07.4 06.4 05.4 04.4 03.4 02.4 01.4 00.4

x0 1 2 3 4

.

Por


La probabilidad anterior se pudo haber calculado por tablas, con = t = 10 clientes ,P ( X 5) = 1 P ( X 4) = 1 P (4; 10) = 1 0.0293 = 0.9707 .

EJERCICIOS 4 1).- Una secretaria comete en promedio dos errores al escribir una pgina. Si los errores cometidos son independientes y siguen un proceso de Poisson Cul es la probabilidad de que cometa 1 o ms errores en la siguiente pgina que escriba? 2).- Desde el ao 1996 el cierre de empresas por problemas financieros ha ocurrido, en promedio, a razn de 5.7 cierres por ao. Suponga que el nmero de cierres por ao tiene una distribucin de Poisson. Encuentre la probabilidad de que, ninguna empresa cierre durante un periodo de 4 meses. 3).- Supngase que una cajera de un Banco atiende (en promedio), a razn de 4.5 clientes por cada 10 minutos, y adems que la cantidad de personas atendidas por la cajera sigue un proceso de Poisson. Calcule la probabilidad, de que dicha cajera atienda a slo 2 clientes en el transcurso de los siguientes 10 minutos.

EJERCICIOS DE MODELOS DISCRETOS1).- Qu representa P ( X = k ) , para una variable X con distribucin binomial? 2).- Qu representa P ( X = k ) , para una variable X con distribucin geomtrica? 3).- Qu representa P ( X = k ) , para una variable X con distribucin Hipergeomtrica? 4).- Qu representa P ( X = k ) , para una variable X con distribucin de Poisson? 5).- Cundo se termina un experimento de Bernoulli? 6).- Qu diferencias fundamentales existen entre los modelos binomial y geomtrico? 7).- Qu semejanzas existen entre los modelos binomial y geomtrico? 8).- En qu modelo siempre son iguales el valor esperado y su variancia? 9).- En que modelo discreto la dependencia entre sus pruebas es una de sus caractersticas? 10).11).Qu valores puede tomar el rango de una variable aleatoria con distribucin geomtrica? Qu valores puede tomar el rango de una variable aleatoria con distribucin de Poisson?

1).- Segn las estadsticas de la ciudad de Mxico, en la colonia Doctores se cometen en promedio 10 asaltos a automovilistas al da. Si los asaltos son independientes y se apegan a un proceso de Poisson. a).- Calcule la probabilidad de que en un da determinado se cometan ms de 10 asaltos a automovilistas. b).- Calcule la probabilidad de que en el transcurso de las 6 y 12 horas del da de maana, no se cometan asaltos a automovilistas. Comente el resultado obtenido. 2).- Si el costo de pasaje por persona en una Combi es de $2.5 y cada vehculo transporta en promedio 12 pasajeros por cada 30 minutos. Suponga que la cantidad de personas transportadas por la combi sigue una distribucin de Poisson. 53


a).b).-

Encuentre el ingreso esperado por da de trabajo de un chofer (1 da de trabajo equivale a 10 horas), si en gasolina invierte 200 pesos diarios. La probabilidad de que en un intervalo determinado, de 30 minutos, transporte a lo ms la mitad del promedio dado anteriormente?

3).- La administracin de la empresa PARTEC, S.A. quiere conocer las probabilidades que pueden suceder para llevar a efecto un control de calidad, para lo cual e

PROBABILIDAD

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