PROBABILIDADES

ESTADSTICAPROBABILIDADES

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Per, DECNA DE AMRICA)E.A.P ING. DE MINAS

Ao de la Diversificacin Productiva y del Fortalecimiento de la Educacin

ESTADISTICA

PROBABILIDADES

ALUMNO: CADILLO ALVARADO ALEXANDER BERNABE

DOCENTE: OSCAR BERNUY VERAND

CICLO: III

Lima 13 junio2015

Probabilidad CondicionalSean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.Se llamaprobabilidaddel suceso Bcondicionadoa A y se representa porP(B/A)a laprobabilidad del suceso B una vez ha ocurrido el A.Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

Regla de multiplicacin de probabilidadesSi se tienen varios eventos sucesivos e independientes entre s, la probabilidad de que ocurran todos ellos a la vez corresponde a la multiplicacin de las probabilidades de cada uno de los eventos.EjemplosSi se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, cul es la probabilidad de acertar a todas?La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad de acertar en las cuatro es:

Sucesos independientes:

Dossucesos son independientesentre s, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro:Ejemplo:el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son independientes: el que un alumno sea ms o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa.Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las siguientescondiciones:P (B/A) = P (B)es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B.

Teorema de la probabilidad total

ElTeorema de la probabilidad totalnos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:Ejemplo:En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas:a) Amarilla: probabilidad del 50%.b) Verde: probabilidad del 30%c) Roja: probabilidad del 20%.Segn el color de la papeleta elegida, podrs participar en diferentes sorteos. As, si la papeleta elegida es:a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.

Con esta informacin,qu probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?:1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%2.- Aplicamos la frmula:

Luego,P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.

Teorema de BayesElTeorema de Bayesviene a seguir elproceso inversoal que hemos visto en elTeorema de la probabilidad total:Teorema de la probabilidad total:a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).Teorema de Bayes:a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (estaba lloviendo o haca buen tiempo?).Lafrmuladel Teorema de Bayes es:

Ejemplo:El parte meteorolgico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que nieve: probabilidad del 30%c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.Segn estos posibles estados meteorolgicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estbamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nev, llovo o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan"probabilidades a priori"(lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).Una vez que incorporamos la informacin de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan"probabilidades a posteriori".Vamos a aplicar la frmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el da del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.b) Probabilidad de que estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%

Variable AleatoriaSe llamavariable aleatoria a toda funcin que asocia a cada elemento del espacio muestral E un nmero real.Se utilizan letras maysculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minsculas (x, y, ...) para desinar valores concretos de las mismas

. Variable aleatoria discretaUnavariable aleatoria discreta es aquella que slo puede tomar valores enteros.Ejemplos:El nmero de hijos de una familia, la puntuacin obtenida al lanzar un dado. Variable aleatoria continuaUnavariable aleatoria continuaes aquella quepuede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalode la recta real.Ejemplos:La altura de los alumnos de una clase, las horas de duracin de una pila. Funcin de Distribucin de una Variable Aleatoria En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la variable aleatoriaxtome exactamente un determinado valorxi,sino conocer la probabilidad de que tome valores menores o iguales que un cierto valorxi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores de la funcin de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicacin llamadafuncin de distribucinSeaxuna variable aleatoria. La probabilidad de quexsea menor o igual que un valort, se escribeP (x t)y esta probabilidad ser funcin det. Si a esta funcin la designamos porF(t):F(t)=P (x t) Esta funcin se llamafuncin de distribucin. Sixies creciente coniy suponemos quetest comprendido entre dos de estos valores valores:xh-1< txhla condicin: x t x = x1 x = x2................x = xhP (x t) = P (x1) + P (x2) + .......... + P (xh)Luego la funcin de distribucin F(t) esla suma de las probabilidades de todos los sucesosx = xi tales quexi tEjemplo. En el ejemplo anterior del lanzamiento de una moneda, la funcin F(t) toma los siguientes valores:Para 0 < t1F(t) = 1/2

Para 1 < t2F(t) = 1/2 + !/4 = 3/4 = 1 - 1/22

Para 2 < t3F(t) = 1/2 + !/4 + 1/8 = 7/8 = 1 - 1/23

Para n-1 < tnF(t) = 1 - 1/2n

Vemos que F(t) es una funcin escalonada, creciente y si t

Funcin de Distribucin de una Variable Aleatoria Continua

Para conocer la probabilidad de que la variable aleatoriaxtome valores menores o iguales que un cierto valorxies necesario acumular los distintos valores de la funcin de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicacin llamadafuncin de distribucinLa probabilidad de quexsea menor o igual que un valort, se escribeP (x t)y esta probabilidad ser funcin det. Si a esta funcin la designamos porF(t):F(t)=P (x t) Esta funcin se llamafuncin de distribucin.Ejemplo.Sea un disco graduado entre dos valores a y b, a