Guia 7- Probabilidad Condicional y Bayes-1-11 (Pye-Ing)

Gua No. 7: Probabilidad Condicional y Teorema de Bayes UAN

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PROBABILIDAD y ESTADSTICA Facultades de Ingeniera Electromecnica y Sistemas Distancia

TALLER No. 7 PROBABILIDAD CONDICIONAL y BAYESI-2011 Profesor: Mg. Jos Ciro Anzola Caldas. E-mail: [email protected] 1. PRESENTACIN En esta gua encuentra la introduccin al concepto de probabilidad en eventos simples, las reglas para el clculo de eventos compuestos, es decir aquellos que involucran dos o ms eventos simples, en las cuales estn las reglas multiplicativas, de la probabilidad condicional y el Teorema de Bayes. Para su comprensin y desarrollo operativo se requiere utilizar los conceptos bsicos de la teora de conjuntos y tcnicas de conteo.

2. OBJETIVOS Conceptualizar la definicin de probabilidad de un evento simple Definir los eventos a considerar en cada caso Identificar la regla de clculo requerida para la solucin de las diferentes situaciones y aplicaciones de la probabilidad.

3. MARCO TEORICO3.1. PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad de ocurrencia de un evento A cuando se conoce que ya ocurri un evento B se llama probabilidad condicional de A dado B y se denota P(A|B). Definicin 1. Sean A y B eventos de un espacio muestral S. La probabilidad de A dado B, est dada por:P( A B ) = P( A B ) , P( B )

con P( B ) 0

Ejemplo 1. Considere el experimento de lanzar dos dados simultneamente, determine la probabilidad, de que la suma total sea 7, dado que sali un nmero primo. El espacio muestral tiene 21 elementos que son: 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,3 3,4 3,5 3,6 4,4 4,5 4,6 5,5 5,6 6,6 Sea A el evento de obtener suma total 7 y B el evento de obtener un nmero primo 1


P(AnB)=3/21 P(B)=14/213 P( A B ) 3 P( A B ) = = 21 = 14 P( B ) 14 21

Definicin 2. A y B son eventos independientes si: P( A B ) = P( A) y P ( B A) = P ( B ) 3.2. REGLA MULTIPLICATIVA

Hace referencia a la probabilidad de la interseccin de dos eventos Definicin 1. Sean A y B eventos de un espacio muestral S. La probabilidad de A interseccin B, esta dada por:P( A B ) = P ( A B ) P ( B )

o P ( A B ) = P ( B A) P ( A)

Teorema 1. Si A y B son independientes, entonces: P( A B ) = P( A) P( B ) Ejemplo 1. Consideremos el experimento de extraer cartas de una baraja Cul es la probabilidad de extraer dos reyes . a) sin devolver la 1 carta b) con devolucin. Solucin: a) R1 : conseguir rey en la 1 extraccin b) R2 : conseguir rey en la 2 extraccin a) b) P(R1R2) = P(R1) P(R2/R1) = 4/40 3/39 P(R1R2) = P(R1) P(R2) = 4/40 4/40

Ejemplo 2. De acuerdo con una encuesta, la probabilidad de que una familia posea dos automviles si su ingreso anual es mayor que $35.000.000 es 0.75. De los hogares encuestados, 60% tenan ingresos mayores que $35.000.000 y 52% tena dos autos. Cul es la probabilidad de que una familia tenga dos autos y un ingreso mayor que $35.000.000 al ao? Sea A el evento de poseer dos autos y B el evento de tener ingresos anuales mayores que $35.000.000 P(A|B)=0.75

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P(A) = 0.52 P(B) = 0.60 Luego: P( A B ) = (0.75) (0.60) = 0.45 3.3. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Sea B1, B2,,Bn, los eventos de una particin de un experimento de espacio muestral S, tal que la probabilidad de cada uno de ellos es diferente de de cero, entonces para cualquier evento A, de S tenemos:P ( A) = P ( Bi A) = P ( Bi ) P ( A Bi )i =1 i =1 k k

Demostracin:A = A E = A ( B1 B2 ... Bn ) = ( A B1 ) ( A B2 ) ... ( A Bn )

Entonces:P ( A) = P ( Bi A) = P( Bi ) P( A Bi )i =1 i =1 k k

3.4.

TEOREMA DE BAYES

Si los eventos B1, B2,,Bk, constituyen una particin del espacio muestral S, donde P ( Bi ) 0 , para i = 1, 2,, k, entonces para cualquier evento A en S tal que P( A) 0 ,

P ( Br A ) =

P ( Br A )k i =1

P( Bi A) P( Bi ) P( A Bi )i =1

=

P ( Br ) P ( A Br )k

, para r = 1,2,..., k

Demostracin:P ( B r A) =

P ( B r A) P ( A)

Usando el Teorema anterior (3.3. Probabilidad Total) en el denominador, tenemos:P ( Br A) = P( Br A)

P( Bi A)i =1

k

Aplicando el Teorema anterior (3.2. regla de la multiplicacin) al numerador y denominador, tenemos: P ( B ) P ( A Br ) P ( Br A ) = k r P( Bi ) P( A Bi )i =1

1


Ejemplo: Se tienen dos urnas, la M tiene 3 bolas blancas y 2 negras, la N tiene 2 bolas blancas y 3 negras. Se elige una urna al azar y de ella se extrae una bola. Calcular la probabilidad de que sea blanca. Sea: A1: elegir la urna M A2: elegir la urna N B : extraer bola blanca P(B) = P(M) P(B/M) + P(N) P(B/N) = 1/2 3/5 + 1/2 2/5 = 1/2 Aplicando el Teorema de Bayes:P( M B ) = P( M ) P ( B M ) P( M ) P( B M ) + P( N ) P( N ) 1 3 3 2 5 = = 1 3 1 2 5 + 2 5 2 5

3.5.

TABLAS DE DOBLE ENTRADA Y DIAGRAMAS DE ARBOL

3.5.1. TABLAS DE DOBLE ENTRADA. Presenta variables que surgen cuando se estudian dos caractersticas asociadas a la observacin de un fenmeno o suceso. Son tablas de datos referentes a dos variables, formada, en las cabeceras de las filas, por las categoras o valores de una variable y en las de las columnas por los de la otra, y en las casillas de la tabla, por las frecuencias o numero de elementos que renen a la vez las dos categoras o valores de las dos variables que se cruzan en cada casilla (o probabilidades compuestas).Tambin llamadas tablas de contingencias (variables cualitativas, principalmente).

Y y1 y2 x1 n11 n12 Donde: x2 n21 n22 n : Nmero de individuos que presentan la modalidad Xi de la variable X y la modalidad Yj de la X ni* : Nmero de individuos que presentan la modalidad Xi . (Marginal) x la ns1 n*j : Nmero de individuos que presentan smodalidad Yj . (Marginal) n : Nmero de individuos de la poblacin o muestra. xk nk1variable Y. (Compuesta o interseccin) 1 ij

X

ns2 nk2

n*1

n*2


Las distribuciones marginales de las variables estadsticas X, e, Y se obtienen a partir de la tabla de doble entrada considerando una sola variable. Representan las frecuencias de los valores de una variable independientemente de los valores de la otra. 3.5.1.1. Utilidad

Para representar variables estadsticas bidimensionales, esto es brindan informacin estadstica de dos eventos relacionados entre s. Es til en casos en los cuales los experimentos son dependientes de otro experimento. Cuando el nmero de "parejas" de valores (x,y) es numeroso y adems muchos de ellos aparecen repetidos. Cuando se quiere calcular la probabilidad de sucesos de experimentos compuestos, estos estn representados al interior de cada casilla. Ejemplo1: Se representa por X el nmero de hijos de 100 familias y por Y el nmero de hijas

Informacin OriginalNro de hijas (Y) Nro de hijos (X) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 Sub Total 1 (F) 19 16 7 5 47

La lectura de esta tabla es sencilla. Por ejemplo: habra 31 familias que tendran un hijo, 38 que tendran 2 hijas, 11 familias que tendran 1 hijo y 2 hijas y 2 familias tendran 3 hijos y 3 hijas.

3.5.2. DIAGRAMAS DE RBOL

El Diagrama de rbol, o sistemtico, es una tcnica que permite obtener una visin de conjunto de los medios necesarios para alcanzar una meta o resolver un problema. Esto es, un diagrama de rbol es una representacin grfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un nmero finito de maneras de llevarse a cabo. 3.5.2.1. Utilidad

Descomponer cualquier meta general, de modo grfico, en fases u objetivos concretos. Determinar acciones detalladas para alcanzar un objetivo. Visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el anlisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas. En el clculo de probabilidades de sucesos de experimentos compuestos, las ramas indican las distintas posibilidades de ocurrencia.

1


Ejemplo 1: Un mdico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su genero: masculino (H) o femenino(M), tipo de sangre: A, B, AB u O y en cuanto a la presin sangunea: Normal (N), Alta (A)o Baja (B).

H

Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el nmero de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 que igualmente se podran enumerar (H,A,N); (H,A,A); (H,A,B); (H,B,N), (H,B,A); (H,B,B); . . . ; (M,O,B). 3.6. DEPENDENCIA ESTADSTICA

Las variables (o eventos) X, e, Y son independientes si el valor de una variable no influye en el valor de la otra, lo que significa que las distribuciones condicionadas relativas coinciden. 3.7. PROBABILIDAD CONDICIONAL Y DIAGRAMAS DE RBOL

Un evento B es dependiente de otro A, si para que ocurra B es necesario que ocurra el evento A. Un instrumento til dentro de la probabilidad condicional son las representaciones que nos permiten analizar la problemtica de los eventos cuando estos ocurren uno despus del otro. Concretamente estamos hablando de las tablas de doble entrada y de los diagramas de rbol. Este ltimo est constituido de varias ramas, cada rama parte de un nodo que representa un evento aleatorio diferente. Cada evento forma un universo, por lo que cada rama, de acuerdo con el axioma de normalizabilidad, tendr que ser igual a uno.

M1


3.7.1. TABLAS DE CONTINGENCIA Y DIAGRAMAS DE RBOL. En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y prctico organizar la informacin en una tabla de contingencia o en un diagrama de rbol. Las tablas de contingencia y los diagramas de rbol estn ntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fcilmente uno de ellos y a partir de l podemos construir el otro, que nos ayudar en la resolucin del problema. 3.7.1.1. Conversin de una Tabla en Diagrama de Arbol

Las tablas de doble entrada (o de contingencia) estn referidas a dos caractersticas que presentan cada una dos o ms sucesos. En el caso de los sucesos A, , B y B , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma del diagrama de rbol del dibujo. En ste, cada uno de los sucesos A y se les ha asociado los sucesos B y B .

a

Sobre las ramas del diagrama de rbol se han anotado las probabilidades condicionales correspondientes, deducidas de las relaciones anlogas a:

1


3.7.1.2.

Conversin de un diagrama de rbol en tabla de doble entrada o de contingencia

De manera recproca, dado el diagrama de rbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente si ms que utilizar la expresin: P( BA ) = P( B/A ) P( A ), para calcular las probabilidades compuestas (de las intersecciones) de sucesos que forman la tabla.

E S T R UCT UR A T AB LA D E D O B LE E NT R

Y APara el Ejemplo 1, se tienen la siguientes representaciones:

Informacin OriginalE P[E A] Nro de hijas (Y) P[ A]

X

S T

S ub T hijos Nro de o tal (X)P[A] Tabla de probabiidades arg in ales M (A) P ro b ab ilid ad es19 0 18 ro b ab (Y) C Nro dePhijas ilid ad es16o m p u estas (B) 1 11 1 2 P [ A E] Pro b ab ilid ad es (C) 2 P [ A / E] = 7 6 (F)] (G) P[ E C o de hijos Nrond icio n ales:(X) (D) 3 5 3 (A) 0 0,19 0,18 Sub Total 47 38 (B) 1 0,16 0,111

P[E ] P 1 P[ ] 2 P (F) [] (G) P


Es importante resaltar, que el diagrama de rbol se construyo, partiendo de los eventos inherentes a la variable X (nmero de hijos) y tanto las probabilidades marginales como compuestas son exactamente las mismas para ambos diagramas. Igualmente el rbol puede disearse partiendo de los eventos que conforman la variable Y (nmero de hijas), hecho que varia las probabilidades marginales y condicionales, ms no las compuestas. La eleccin de la variable (o sucesos) que atiende la primera rama (marginal) depende de los objetivos que se persigan en el anlisis y/o toma de decisiones.

4. ACTIVIDADES1. Suponiendo que la riqueza es independiente del gnero, calcular: Adinerado (a) Hombre Mujer Total 0,002 Pobre Total 0,607 0,393

a) Las probabilidades que faltan en la tabla. b) La probabilidad de que sabiendo que una persona no es pobre que sea hombre. c) La probabilidad de que una persona sea adinerada o mujer. d) Si e hombre que sea pobre. 2. En una pequea ciudad hay dos bibliotecas. En la primera, el 50% de los libros estn relacionados con medicina, mientras que, en la segunda lo son el 70%. Un lector elige al azar una biblioteca siguiendo un mtodo que implica que la probabilidad de elegir la primera biblioteca es el triple que la de elegir la segunda. Una vez llega a la biblioteca seleccionada, elige al azar un libro, relacionado o no con medicina.

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a) Sabiendo que acudido a la primera biblioteca, obtener la probabilidad de que no haya seleccionado uno relacionado con medicina. b) Sabiendo que acudido a la primera biblioteca, obtener la probabilidad de que haya seleccionado uno relacionado con medicina. c) Sabiendo que acudido a la segunda biblioteca, obtener la probabilidad de que haya seleccionado uno relacionado con medicina. d) Calcular la probabilidad de que elija un libro relacionado con medicina. 3. La siguiente tabla resume los resultados de un estudio que analiza la efectividad de los cascos de seguridad para ciclistas, para prevenir lesiones en la cabeza en caso de accidentes. Los datos consisten en una muestra aleatoria de 793 individuos que sufrieron un accidente en bicicleta durante un periodo del ao especfico:

a) Qu porcentaje de ciclistas sufrieron lesiones en la cabeza? b) Qu porcentaje de ciclistas no usa el casco? c) Si se elige un ciclista al azar, cual es la probabilidad de que no use el casco y tampoco haya sufrido lesiones en la cabeza? d) Si se selecciona al azar un ciclista que ha sufrido lesiones en la cabeza, Cul es la probabilidad de que no llevase puesto el casco? e) Si se selecciona al azar un ciclista que usa el casco, Cul es la probabilidad de que no haya sufrido lesiones en la cabeza? 4. Considere los siguientes datos, tomados de un estudio que analiza la exactitud de los certificados de defuncin. En dos hospitales se compararon los resultados de 575 autopsias con las causas de muerte anotadas en los certificados. Uno de los hospitales que participo en el estudio era regional, al cual denominaremos A; el otro era un hospital universitario, al cual notaremos por B.

Uso de ca Lesin en la cabeza SI SI 17 NO 130 Total 147

a. Representar la misma tabla, reemplazando los valores absolutos por sus respectivas probabilidades calculadas. b) Representar los datos, en trminos probabilsticos en un diagrama de rbol, graficando en la primera rama, la clasificacin del hospital (Regional o universitario). c) De cual hospital regional o universitario, se analizo el mayor nmero de certificados autopsias para el estudio? d) Cul es el nivel de exactitud confirmada de los certificados de defuncin? e) Si se esta analizando un certificado del hospital regional, Cul es la probabilidad de que coincida exactamente la causa de muerte anotada en el certificado con los resultados arrojados en la autopsia? f) Si se selecciona un certificado al azar Cul es la probabilidad de que se encuentre inexacto sin cambio alguno y que sea del hospital universitario?

Hospital A B Total1

Estado de Exactitud confirmad 157 268 425


g) Que porcentaje de certificados no estn en estado de exactitud conformada 5. Se efectu un estudio sobre enfermedades respiratorias durante el primer ao de vida. Como parte de este estudio, se clasifico un grupo de nios de acuerdo a su nivel socioeconmico., obtenindose los siguientes resultados: Nivel socioeconmico Bajo Medio Alto Total Nmero de varones 79 122 192 393 Nmero de varones con sntomas 31 29 27 87

a) Calcular la probabilidad de padecer los sntomas respiratorios persistentes en cada nivel socioeconmico. b) Calcule las posibilidades de experimentar sntomas respiratorios persistentes tanto para los grupos del nivel socioeconmico medio y bajo como tambin del grupo del nivel socioeconmico alto. c) Existe alguna asociacin entre el nivel socioeconmico y los sntomas respiratorios?. Justifique su respuesta. 6. Un grupo de 30 personas, con enfermedades diversas, son sometidas a un programa de ejercicios diarios. Las personas que tuvieron disposicin a ser apoyadas con el programa se clasifican de la siguiente forma: 10 diabticos, 12 hipertensos y el resto con problemas diversos. Por otro lado, se observ que despus de 1 mes el 13 % de los diabticos sometidos al programa tuvieron resultados notables, 35% de las personas con hipertensin tuvieron mejoras y del resto de las diversas enfermedades, el 15% tuvieron resultados favorables. Al trmino del programa se elige un paciente al azar a fin de preguntar sobre la visin del programa. a) Represente la investigacin en un diagrama de rbol, en trminos absolutos. b) Represente la investigacin en una tabla cruzada, en trminos absolutos. c) Represente la investigacin en un diagrama de rbol, en trminos probabilsticos. d) Represente la investigacin en una tabla cruzada, en trminos probabilsticos. e).- Cul es la probabilidad de elegir un paciente que haya respondido al programa? f).- Cul es la probabilidad que uno de los entrevistados adems de ser uno de los que mejor respondi sea de diabtico? 7. En el planeta Zxy se pueden encontrar varias clases de animales, llamemos a estas clases Wurros, Hobexas y Wackas. Todos tienen un tamao muy pequeo, y sus pieles son o bien escamosas o bien estn cubiertas de suave pelo. Adems, una observacin atenta ha permitido deducir lo siguiente: Todos los Wurros tienen 5 6 patas. Su color es rojizo, y tienen la piel peluda y suave. El nmero de patas de las Hobexas es un entero que vara uniformemente entre 4 y 6, ambos inclusive. Su piel es escamosa. En cuanto a las Wackas, tienen 4 5 patas, y ofrecen a la vista una tonalidad casi siempre azulada, pero a veces (28% de los casos) rojiza. Los animales que tienen un nmero impar de patas cojean siempre. Los animales que tienen un nmero par de patas cojean slo cuando tienen alguna anomala (malformacin

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congnita, heridas, etc.), lo cual ocurre en el 19% de los casos para los animales de 4 patas, y en el 35% para los de seis. a) Plantear el problema de la clasificacin de animales de Zxy mediante un diagrama de rbol. b) Vemos un bicho rojizo que cojea. Cmo lo clasificamos? c) Las Hobexas y Wackas son confiadas e inofensivas. La escamosa piel de las Hobexas es muy apreciada, por lo que cada piel se vende por 6000 euros. La piel de las Wackas se vende por 4000 euros. Los Wurros no solamente son imposibles de capturar, sino que se defienden a coces, causando daos por valor de 1000 euros. Vale la pena intentar capturar al animal avistado? 8. La tabla corresponde a 1000 estudiantes universitarios clasificados de acuerdo con los puntajes que obtuvieron en un examen de admisin a la universidad. Tambin muestra la calidad de los colegios en donde se graduaron segn la clasificacin que hizo un grupo de educadores. PUNTAJE BAJO (B) MEDIO (M) ALTO (A) TOTAL CLASE DE COLEGIO INFERIOR REGULAR SUPERIOR (P) (R) (S) 100 50 50 75 175 150 25 75 300 200 300 500 TOTAL 200 400 400 1000

(a) Calcular la probabilidad de que un estudiante escogido al azar (1) haya obtenido un puntaje bajo en el examen. (2) se haya graduado en un colegio de nivel superior, (3) haya obtenido un puntaje bajo en el examen y se haya graduado de un colegio de nivel superior, (4) haya obtenido un puntaje bajo en el examen, dado que se haya graduado en un colegio de nivel superior, (5) haya obtenido un puntaje alto en el examen o se haya graduado en un colegio de nivel superior. (b) Calcular las siguientes probabilidades: (1) P(A) (2) P (H) (3) P (M) (4) P(A | H) (5) P (MP) (6) P (H | S)

9. La siguiente tabla muestra el resultado de 500 entrevistas hechas durante una encuesta cuyo objeto era analizar las opiniones de los residentes de cierta ciudad acerca de la Ley de despenalizacin del aborto. Los datos tambin se clasificaron segn el sector de la ciudad donde se aplic el cuestionario. (a) Se selecciona un cuestionario al azar entre los 500. Cul es la probabilidad (1) de que sea contestado el cuestionario? (2) de que la persona a quien iba dirigida la encuesta no est en su casa? de que se rehse a contestar? (3) de que viva en el sector Norte?, Centro?, Sur? Occidente? (4) de que conteste el cuestionario, dado que vive en el sector Centro? (5) de que la persona encuestada rehse contestar el cuestionario o viva en el sector occidente? SECTOR DE LA CIUDAD NORTE (A) CENTRO (B) SUR (C) RESULTADO DE LA ENTREVISTA CONTEST NO ESTABA REHUS (C) EN CASA (N) CONTESTAR (R) 100 25 5 115 5 5 50 60 15 TOTAL 125 125 125

1


OCCIDENTE (D) TOTAL

35 300

50 135

40 65

125 500

(b) Calcular las siguientes probabilidades: 1 . 4 . P(AR) P(N D) 2 . 5 . P(BC ) P(B R) 3 . 6 . P(D) P(C)

10. Una empresa de trabajo temporal ha realizado un amplio estudio sobre los tipos de empleo solicitados por los estudiantes de Bachiller, Formacin Profesional y Universitarios. El informe clasifica estos solicitantes de empleo como cualificados o no para los trabajos que solicitan, y de los datos que contiene se desprende que slo el 25% estaban cualificados para el trabajo que solicitaban, de los cuales, un 20% eran estudiantes universitarios, un 30% estudiaban Formacin Profesional y un 50% Bachillerato. La situacin entre los no cualificados es diferente: un 40% de ellos era estudiante universitario, otro 40% estudiaban Formacin Profesional y slo un 20% se encontraba en Bachillerato. 1 2 3 a. Qu porcentaje de estos estudiantes se encontraban en Bachillerato y estaban cualificados para los empleos que solicitaban? b. Cul es la probabilidad de que uno de estos estudiantes que solicitaba empleo estudiara Formacin Profesional? c. Entre los estudiantes universitarios que solicitaron empleo, qu porcentaje no estaba cualificado para los puestos de trabajo que solicitaban? 11. En un sistema de alarma, la probabilidad de que esta funcione habiendo peligro es 0.95 y la de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1: 1 2 3 4 a. Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro. b. Hallar la probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione. c. Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro. d. Cul es la probabilidad de que la alarma funcione? 12.Considere una fbrica de botellas que cuenta con dos mquinas para producir sus botellas. En esa fbrica se producen 10000 botellas al da. La mquina A produce 6500 botellas diarias de las cuales el 2% son defectuosas. La mquina B produce 3500 botellas cada da de las cuales el 1% son defectuosas. El inspector de la compaa selecciona una botella al azar y encuentra que est defectuosa. Cul es la probabilidad de que la mquina haya sido producida por la mquina A? 13.Tomado de: Levin-Rubin (2004, pgina 163). Un grupo de inters pblico est planeando impugnar las primas de seguro de automviles en una de estas tres ciudades: Atlanta, Baltimore o Cleveland. La probabilidad de que se escoja Atlanta es de 0,40; Baltimore 0,35 y Cleveland 0,25. El grupo sabe tambin que tiene una posibilidad de 60% de recibir un dictamen a su favor si escogen Baltimore, de 45% si eligen Atlanta y de 35% si se deciden por Cleveland. Si el grupo ha recibido un dictamen favorable, Qu ciudad es ms probable que hayan escogido? 14.Tomado de: Levin-Rubin (2004, pgina 163). Martin Coleman, gerente del departamento

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de crdito de Becks, sabe que la compaa utiliza tres mtodos para conminar a pagar a los clientes morosos. De los datos que se tienen registrados, l sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente, 20% se les sugiere que paguen va telefnica y al restante 10% se les enva una carta. Las probabilidades de recibir algn pago como consecuencia de tres mtodos son 0,75, 0,60 y 0,65 respectivamente. El seor Coleman acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas. Cul es la probabilidad de que la peticin de pago se haya hecho: a. Personalmente? b. Por telfono? c. Por correo?

5. BIBILIOGRAFA. 1. Walpole, Myers, Myers. Probabilidad y estadstica para ingenieros. Prentice Hall, Octava edicin 2. Montgomery y Runger. Probabilidad y estadstica aplicadas a la ingeniera. Segunda edicin Mc Graw Hill 3. Devore, Jay . Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias Quinta edicin ,Thonson Learning 4. Spiegel, Estadistica , Mc Graw Hill 5. Canavos, Probabilidad y estadistica, aplicaciones y mtodos, Mc Graw Hill 6. Millar I, Freid J, probabilidad y estadistica para ingenieros 7. Meyer Paul, Probabilidad y estadistica, Limusa 6. CIBERGRAFA. http://dieumsnh.qfb.umich.mx/http://dieumsnh.qfb.umich.mx/..\matematicas/Default.htm..\matemat icas/Default.htm..\AU/Adigital.htm..\AU/Adigital.htmhttp://148.216.10.83/docunature/http://148.21 6.10.83/docunature/ www.fundibeq.org http://carmesimatematic.webcindario.com/http://carmesimatematic.webcindario.com/

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