PROBABILIDAD Y ESTADISTICAU N I D A D 1

CONJUNTOS COORDINABLES

DEFINICION: Dos conjuntos A y B son coordinables si es posible definir una función biyectiva de A en B

SIMBOLICAMENTE: A B ⇔ ∃ f : A → B / f es biyectiva

PROPIEDADES: REFLEXIVA: A A

SIMETRICA: A B ⇒ B A

TRANSITIVA: A B ∧ B C ⇒ A C CONJUNTOS FINITOS E INFINITOSA = { a, b, c } ; conjunto formado por los meses del año; ∅DEFINICION: Un conjunto A es finito si es el conjunto vacio o si es coordinable con el

intervalo natural [ 1, n ]N SIMBOLICAMENTE: A es finito si A = ∅ ∨ si A [ 1, n ]N DEFINICION: Un conjunto A es infinito si no es el conjunto vacio y no es coordinable con

ningún intervalo natural [ 1 , n ]N CONJUNTOS NUMERABLES Y NO NUMERABLESA= { 2, 3 , 9 } , ℕ0, M = { 3, 6, 9, 12, … }DEFINICION: Un conjunto A es numerable y es coordinable con un subconjunto de ℕ

FINITOSNUMERABLES

INFINITOS

DEFINICION: Un conjunto A es infinito numerable si es coordinable con el conjunto (ℕ ℕ0)

2X SI X ≥ 0

es infinito numerable f: ℤ ℤ → ℕ0 / f(x) =

-2X-1 SI X < 0

-Un conjunto A es infinito no numerable si no es coordinable con el conjunto ℕA = { X ∈ ℝ / 1 ≤ X ≤ 2 } Es infinito no numerable

CLASE O FAMILIAA = {2, 3}; P(A) = {{2}, {3}, A, }∅DEFINICION: Un conjunto A cuyos elementos son conjuntos es una clase o familiaP(A) es clase o familia, A1 = {{a}, {b}}

ANILLO BOOLEANO DE CONJUNTOS

A = { , ∅ {a}, {b},{ a, b} } UNION DE PARES DE ELEMENTOS ∈ A DIFERENCIA DE PARES DE ELEMENTOS ∈ AUNION:

∅ ∪ = ∅ ∅ ∈ A ∅ ∪ {a} = {a} ∈ A ∅ ∪ {b} = {b} ∈ A ∅ ∪ {a , b} = {a , b} ∈ A

{a} ∪ = ∅ {a} ∈ A{a} ∪ {b} = {a , b} ∈ A{a} ∪ {a} = {a} ∈ A{a} ∪ {a, b} = {a , b} ∈ ADIFERENCIA

∅ - = ∅ ∅ ∈ A ∅ - {a} = ∅ ∈ A ∅ - {b} = ∅ ∈ A ∅ - {a, b} = ∅ ∈ A

{a} - = ∅ {a} ∈ A{a} - {a} = ∅ ∈ A{a} - {b} = {a} ∈ A {a} - {a, b} = ∅ ∈ ADEFINICION: Una clase A ≠ , tal que ∅ ∀ A, ∀ B ∈ A, ( A ∪ B) ∈ A y (A – B ) ∈ A es un anillo booleano de conjuntosTEOREMA 1: El conjunto de partes o conjunto potencia de un conjunto A es anillo booleano de conjuntosHIPOTESIS: A conjunto P(A) conjunto de partes o potenciaTESIS: P(A) Es anillo booleano de conjuntos DEMOSTRACION: A1 ∈ P(A) ∧ A2 ∈ P(A) significa A1 ⊂ A ∧ A2 ⊂ A entonces

(A1 ∪ A2) ⊂ A, entonces (A1 ∪ A2) ∈ P(A) A1 ∈ P(A), A2 ∈ P(A) A1 ⊂ A, A2 ⊂ A (A1 – A2) ⊂ A, entonces

(A1 – A2) ∈ P(A) TEOREMA 2: EL CONJUNTO PERTENECE A TODO ANILLO BOOLEANO DE ∅CONJUNTOS A

TESIS: ∅ ∈ A, A anilloDEMOSTRACION: ∀ A ∈ A, (A – A ) ∈ A, A – A = ∅ ∴ ∅ ∈ A ALGEBRA BOOLEANA DE CONJUNTOS S = {a, b, c} , B = { , S, {a, b}, {c}∅ } B1={ , S∅ } , B2 = { , {a, b}, ∅ }UNION:

∅ ∪ = ∅ ∅ ∈ B ∅ ∪ S = S ∈ B ∅ ∪ {a, b} = {a , b}

∅ ∪ {c} = {c}

S ∪ {a, b} = S ∈ S ∪ {c} = S ∈ B, {a, b} ∪ {c} = S ∈ B( )′ = S , S′ = , ({a, b})′ = {c}, ({c})′ = {a,b} ∅ ∅ EL COMPLEMENTO ∈ BDEFINICION: Una clase B ≠ , formada por subconjuntos de un conjunto S es algebra ∅booleana de conjuntos si ∀ A, B se verifica que (A ∪ B) ∈ B y A′ ∈ BTEOREMA 3: El conjunto potencia de un conjunto A es algebra booleana de conjuntos

TEOREMA 4: Toda algebra booleana A es anillo booleano

TESIS: A algebra ⇒ A es anilloDEMOSTRACION: A, B ∈ A, (A ∪ B) ∈ A A′ , B ∈ A, (A′ ∪ B) ∈ A, (A′ ∪ B′) ∈ A, entonces (A ∩ B′ ) ∈ A Pero A ∩ B′ = A – B ∴ (A – B) ∈ A FUNCION DE CONJUNTOS

DEFINICION: Una función f definida de una clase A en un conjunto B se llama función de conjuntos

f : A → B Función de conjuntos DEFINICION: Una función f definida de una clase A en se llama función real de conjuntos ℝ

DEFINICION: Una función real de conjuntos f : A → es no negativa si para todo A ℝ ∈ A se verifica que f(A) ≥ 0

DEFINICION: Una función real de conjuntos f : A → es aditiva si ℝ ∀ A, B ∈ A, tales que A ∩ B = se verifica que f(A ∅ ∪ B) = f(A) + f(B) MEDIDA

DEFINICION: Una función real de conjuntos f: A → es medida si:ℝi) A es anillo booleano de conjuntosii) f(A) ≥ 0, ∀ A ∈ A (NO NEGATIVIDAD)iii) A ∩ B = , f(A ∅ ∪ B) = f(A) + f(B) (ADITIVIDAD)

PROPIEDADES DE LA MEDIDA: f: A → ℝ Medida f(① ) = 0∅ A ② ⊂ B entonces f(A – B) = f(A) – f(B) A ③ ⊂ B entonces f(A) ≤ f(B)

A④ 1, A2, A3 disjuntas de a pares, entonces f(A1 ∪ A2 ∪ A3) = f(A1) + f(A2) + f(A3) A⑤ 1, A2,..., AN son disjuntos de pares, entonces f(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ AN) = f(A1) + f(A2) + … + f(AN) f(A) - f(A - B) + f(A ⑥ ∩ B), Cualquiera sea A

DEMOSTRACION

-1- A ∈ A, A ∪ = A∅(*) f(A ∪ ) = f(A), por ser f Medida se tiene∅

f(A ∪ ) = f(A) + f( )∅ ∅

por (*) f(A) + f( ) = f(A)∅ f( ) = f(A) – f(A)∅ f( ) = 0 ∅

-2-B = A ∪ (B – A)f(B) = f [A ∪ (B – A )]f(B) = f(A) + f(B-A) ⇒ f(B-A) = f(B) – f(A) -3- Por propiedad ② f(B-A) = f(B) – f(A) f(B-A) ≥ 0 (POR NO NEGATIVIDAD DE MEDIDA)

∴ f(B) – f(A) ≥ 0 ⇒ f(B) ≥ f(A) -4-f(A1 ∪ A2 ∪ A3) = f[ (A1 ∪ A2) ∪ A3 ] = f(A1 ∪ A2) + f(A3) = f(A1) + f(A2) + f(A3)

-5-Aplicación de principio de inducción completa (PIC)-Hipótesis Inductiva: f(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An-1) = = f(A1) + f(A2) + … + f(An-1)= = f(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An-1 ∪ An) = = f[(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An-1 ∪ An)]= = f (A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An-1) + f( An)= = f (A1) + f(A2) + … + f(An-1) + f(An)-6-A = (A – B) ∪ (A ∩ B)f(A) = f(A-B) + f(A ∩ B)

-7-f (A ∪ B) = f( A-B) + f(A ∩ B) + f(B-A)

A ∪ B = (A-B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B-A)f(A ∪ B) = f [ (A-B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B-A) ] f(A ∪ B) = f (A-B) + f (A ∩ B) + f (B-A) ]

-8- f( A ∪ B) = f(A) + f(B) – f(A ∩ B)

A ∪ B = A ∪ (B – A )f(A ∪ B) = f(A) + f(B – A) = f(A) + f(B) – f(A ∩ B)

-9- f(A1 ∪ A2 ∪ A3) = f(A1) + f(A2) + f(A3) – f (A1 ∩ A2) – f(A1 ∩ A3) – f(A2 ∩ A3) + f(A1 ∩ A2 ∩ A3)

-10- f(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∪ An-1 ∪ An) = = f(A1) + f(A2) + f(A3) + … + f(An) – f(A1 ∩ A2) - … - f(A1 ∩ An) - … - f(An-1 ∩ An) + (-1)n+1 f(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An)

U N I D A D 2

Experimento Aleatorio: Un experimento aleatorio es aquel cuyos resultados no puede predecirse

Espacio Muestral: Es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento aleatorio

Ejemplos:ξ : experimento aleatorio

Arrojar un dado equilibrado①Arrojar una moneda equilibrada② ③

Espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}① E = {c, s}②

E= {b, r , a}③

NOTA: EL ESPACIO MUESTRAL NO ES NECESARIAMENTE UNICO

ENUNCIADOS TOMANDO EL EJEMPLO DE LOS DADOSA. EL RESULTADO ES PARB. EL RESULTADO ES MULTIPLO DE 3C. EL RESULTADO ES MAYOR QUE 2D. EL RESULTADO ES MENOR O IGUAL QUE 6E. EL RESULTADO ES 7

SUCESO O EVENTO : ES EL SUBCONJUNTO DE UN ESPACIO MUESTRALA. A= {2, 4 6}B. B= {3, 6}C. C= {3, 4, 5, 6}D. D = EE. E = (∅ SUCESO IMPOSIBLE)

RELACIONES ENTRE SUCESOS

OPERACIONES ENTRE SUCESOS

∩ ∪ ∧ ∨ ⊆ ⊂ ∈ ∉ ∀ ⇒ ∃ ∅ ∴⇔ ∀ A × B ∞ ¬P ∖ → ↔ ≠ ≡ ≤ ≥  

a∣b "a divide exactamente a b" a ≡ b (mod m) "a es congurente con b en módulo m" ∫f(x) dx "integral de la función f(x) respecto de x" 

"El conjunto vacío"∅   "Naturales"ℕ   "Enteros"ℤ   "Racionales"ℚ   "Reales"ℝ   "Complejos"ℂ  

①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ⑪⑫⑬⑭⑮⑯⑰⑱⑲⑳