2.1 Definicin de matriz, notacin y orden. DEFINICION: Se llama MATRIZ a todo cuadro de nmeros distribuidos en filas y columnas.Las matrices aparecen por primera vez hacia el ao 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teora se debe al matemtico W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notacin matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas.

Los trminos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m n.2.2 Operaciones con matrices. =Suma=

Las matrices se pueden sumar y restar entre s, con la condicin que sean del mismo orden. La suma se obtiene sumando los elementos de dos matrizes que pertenecen a la misma fila y a la misma columna. Dada las matrices A y B del mismo orden, la matriz sumante se obtiene sumando cada trmino de A correspondiente en B:

=Propiedades de la suma= Asociativa: (A+B)+C = A + (B+C) Conmutativa: A + B= B + A Elemento neutro: A + 0 = A Elemento simtrico: A - B = A + ( - B )

=Producto por un escalar=

Con un nombre real k y la matriz A de orden (m,n), definimos el producto de K por A el producto de cada elemento que les forma cada uno. Igual que la siguiente forma: cuando K=2

=Propiedades del producto escalar= k ( A + B ) = kA + kB ( k + h )A = kA + hA k ( hA) = ( kh ) A 1A = A2.3 Clasificacin de las matrices. =Triangular superior=En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

=Triangular inferior=En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

=Diagonal=En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

=Escalar=Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

=Identidad=Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

=Potencia=Se llama potencia k-sima de una matriz cuadrada A, donde k OE , un entero positivo, al producto de A por s misma, repetido k veces.

Ak =AAA......k veces ...... A

Se conviene en que:

A- k = (A- 1) k " k OE

A0 = I

=Traspuesta=Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A(A + B)t = At + Bt( A)t = At(A B)t = Bt At

=Simtrica=Una matriz simtrica es una matriz cuadrada que verifica:A = At.

=Antisimetrica=Una matriz antisimtrica o hemisimtrica es una matriz cuadrada que verifica:A = -At.

=Compleja=Sus elementos son nmeros complejos aij e

=Conjugada=Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo).

=Hermitiana o hermitica=Una matriz hermitiana (o hermtica) es una matriz cuadrada de elementoscomplejos que tiene la caracterstica de ser igual a su propia traspuestaconjugada. Es decir, el elemento en la i-sima fila y j-sima columna es igual al conjugado del elemento en la j-sima fila e i-sima columna, para todos los ndices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*: Por ejemplo,

es una matriz hermtica.

=Antihermitiana=una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relacin:

A * = -A

o en su forma componente, si (A = ai,j):

Para todas las i y las j.=Ortogonal=Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 -1.2.4 Transformaciones elementales por rengln. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz. La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz ms fcil de estudiar. En concreto, siempre ser posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuacin.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los numeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer numero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Porejemplo, entre las matrices:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no est escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

La siguiente cuestin que abordaremos es la definicin de rango para una matriz cualquiera que no est escalonada. La idea ser la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuacin.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:1. Intercambiar la posicin de dos filas.2. Multiplicar una fila por un nmero real distinto de cero.3. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un nmero cualquiera.Nota: Anlogamente podramos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos despus.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

=Teorema=A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cmo se hace. Obsrvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Despus se pasa a la componente (2,2), y as sucesivamente.

El teorema anterior nos permite hacer una definicin importante:

Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este nmero no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un nmero menor o igual que el nmero de filas y el nmero de columnas de A. Adems, el rango es cero si y slo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.2.5 Clculo de la inversa de una matriz. Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operacin. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicacin de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicacin, en general no es conmutativo, es decir AB es distinto de B*A.

En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos AB y BA, que darn como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes sern, en general, distintas.

Sabemos tambin que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analoga con el caso de los nmeros reales, podemos plantearnos la siguiente cuestin:Si tenemos un nmero real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un nmero real x tal que 2x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.

Evidentemente, en el caso de los nmeros reales es bien fcil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x =12, es decir, el inverso de un nmero real es otro nmero que multiplicado por el da el elemento neutro, el 1.

Todo nmero real, salvo el 0, tiene inverso.

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los nmeros reales:1. No podemos despejar la matriz X del modo X = In A, porque no hemos definido la divisin de matrices.2. No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz inversa (sea lo que sea, por analoga con los nmeros).

Definamos, en primer lugar, el trmino de matriz inversa:Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A1 y tal que:A * A1 = In y A1 * A = In

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es nica (slo hay una).2.6 Definicin de determinante de una matriz. El determinante de una matriz cuadrada es un nmero real cuya definicin exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeas, y estudiaremos mtodos y tcnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

En cuanto a la notacin, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los parntesis de la matriz por barras verticales.

El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales.

El determinante de una matriz es un nmero. Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular. Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.

Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a ms de una ecuacin con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan lneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficacin.

En un sistema mal condicionado es difcil identificar el punto exacto en que las lneas de las ecuaciones se interceptan.

2.7 Propiedades de los determinantes. 1.- |At|= |A|El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2.-|A|=0 Si:Posee dos lneas iguales

Todos los elementos de una lnea son nulos.

Los elementos de una lnea son combinacin lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3.-Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal

4.-Si en un determinante se cambian entre s dos lneas paralelas su determinante cambia de signo.

5.-Si a los elementos de una lnea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un n real el valor del determinante no vara.

6.-Si se multiplica un determinante por un nmero real, queda multiplicado por dicho nmero cualquier lnea, pero slo una.

7.-Si todos los elementos de una fila o columna estn formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8.-|AB| =|A||B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

2.9 Aplicacin de matrices y determinantes. Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasicar valores numricos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Sabiendo que en un ao se venden el siguiente nmero de paquetes:

Resumir la informacion anterior en 2 matrices A y B, de tamao respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un ao (A) y los precios (B).

Nos piden que organicemos la informacin anterior en dos matrices de tamao concreto. Si nos jamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de informacin, y simplemente recogen los datos numricos del problema en cuestin.

Otras matrices son las llamadas matrices de relacin, que indican si ciertos elementos estn o no relacionados entre s. En general, la existencia de relacin se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relacion de expresa con un 0.

Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la informacin dada por un grafo y expresarla numricamente.

En Matemticas, un grafo es una coleccin cualquiera de puntos conectados por lineas. Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar: Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, lineas que unan un punto consigo mismo, ni lineas paralelas, es decir, lineas que conectan el mismo par de puntos. Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada linea, mediante una echa.Estos tipos de grafo pueden verse en la gura:

Relacionadas con los grafos se pueden denir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos jaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que: un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la la i hasta el punto de la columna j mediante una linea que los una directamente. un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una linea que los una directamente.La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la gura anterior ser: