ProbabilidadProbabilidadClase No. 3

Probabilidad como medida numérica de la posibilidad de que un evento ocurra

S = cara, cruz

Un evento es una colección de puntos muestrales y un subconjunto del espacio muestra.

Tabla. Resultados Experimentales (Puntos Muestrales) Para Proyecto de Generación EnergéticaDuracion (meses)

Etapa1 Etapa 2 Notación Proyecto CompletoDiseño Construccion Resultados Duración (meses)

2 6 (2,6) 82 7 (2,7) 92 8 (2,8) 103 6 (3,6) 93 7 (3,7) 103 8 (3,8) 114 6 (4,6) 104 7 (4,7) 114 8 (4,8) 12

Análisis de un proyecto de expansión de la empresa KP & L*Generación de energía

Objetivo: Incrementar la capacidad de generación de energía de una de sus plantas. El proyecto está dividido en dos etapas; etapa de diseño y etapa de construcción

Pronostico de tiempo requerido para cada proyectoAnálisis de proyectos de construcción similares

Meses

Experimento de pasos multiples

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizarUn experimento de pasos múltiples.

Regla de conteo para experimentos de pasos múltiples

Total de Resultados

Tabla. Duración de 40 proyectos de KP & LDuracion (meses)

Etapa1 Etapa 2 NotaciónNo. De Proyectos que

tuvieronDiseño Construccion Resultados Esta duración (meses)

2 6 (2,6) 62 7 (2,7) 62 8 (2,8) 23 6 (3,6) 43 7 (3,7) 83 8 (3,8) 24 6 (4,6) 24 7 (4,7) 44 8 (4,8) 6

Total: 40

Asignaciones de probabilidades

•Método clásico•Método de frecuencia relativa•Método subjetivo

Antecedentes de proyectos similares

Reglas para la aplicación de probabilidades

Interesa conocer si el proyecto termina en 10 meses o menos

PuntoTerminación de

Proyecto Proyectos con esta ProbabilidadMuestral Duración (meses) duración (meses) del punto muestral

(2,6) 8 6 0.15(2,7) 9 6 0.15(2,8) 10 2 0.05(3,6) 9 4 0.1(3,7) 10 8 0.2(3,8) 11 2 0.05(4,6) 10 2 0.05(4,7) 11 4 0.1(4,8) 12 6 0.15

1

Tabla. Asignación de probabilidades para el proyecto KP&L empleando El método de frecuencias relativas.

Cual es la Probabilidad de P (L) y P(M) ?

Probabilidad de que el proyecto dure 10 meses o menos= 0.7

Reglas de Conteo

CombinacionesPermutaciones

Cuantas combinaciones de dos partes pueden seleccionarse?

Permutaciones

Regla de conteo que calcula el número de resultados experimentales cuando se seleccionan n objetos de un conjunto de N objetos y el orden de selección es relevante.

Complemento

La probabilidad del evento A se puede calcular si se conoce su complemento

Espacio Muestra

Complemento del evento A

El complemento de un evento A con respecto a S. es el conjunto de todos los elementos de S que no están en A. Se describe el complemento de A porAC

Considere el caso de un administrador de ventas que después de revisar sus informes de ventas, encuentra que un 80% de los contactos con clientes nuevos no producen ninguna venta. Si A denota que hubo una venta y Ac el evento no hubo venta, el administrador tiene

P(AC ) = 0.80 , mediante la ecuación anterior se obtiene;

La conclusión es que la probabilidad de una venta en el contacto con el cliente nuevo es 0.20

Ejemplo: Un gerente de compras encuentra que la probabilidad de que el proveedor surta un pedido sin piezas defectuosas es 0.90, empleando el complemento podemos concluir que la probabilidad de que el pedido contenga piezas defectuosas es P(A);

Ley de la Adición

Probabilidad de que ocurra por lo menos uno de dos eventos. Si A y B son eventos, nos interesa hallar la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B o ambos.

Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto unión de los dos, que se denota como el cual contiene todos los elementos de A y de B.

La unión de dos eventos

Espacio Muestra S

Evento BEvento A

Intersección de dos eventos

Los elementos comunes a A y B forman un conjunto denominado intersección de A y B, representado por .Es decir, es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:

Espacio Muestra S

Evento BEvento A

Ley de la Adición

Ejemplo.- Empresa ensambladora con 50 empleados, se espera que los trabajadores terminen a tiempo su trabajo y que pase la inspección final.

El jefe de producción encuentra que 5 de los 50 empleados no terminan a tiempo su trabajo, 6 de los 50 ensamblaron mal una pieza y 2 de los 50 no terminaron su trabajo a tiempo y armaron mal una pieza

Ejemplo.- Estudio efectuado por el director de personal de una empresa de software.

En el estudio se encontró que el 30% de los empleados que se van de la empresa antes de dos años, lo hacen por estar insatisfechos con el salario, 20% se van de la empresa por estar descontentos con el trabajo y 12% por estar insatisfechos con las dos cosas, el salario y el trabajo.

Cual es la probabilidad de que un empleado se vaya de la empresa en menos de dos años lo haga por estar insatisfecho por el salario, con el trabajo o con las dos cosas?

Sea

Eventos Mutuamente Excluyentes

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen puntosmuestrales en común

Ejemplo:Un experimento genera un espacio muestral que contiene ocho sucesos E1,...,E8 con p(Ei) = 1/8, i = 1,...,8. Los sucesos A y B se definen así:A = E1,E4,E6B = E3,E4,E5,E6,E7Encuentre:(a) P(A)(b) P(B)(c) P(AU B)

a) P(A) = 3/8(b) P(B) = 5/8(c) P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AΩB)P(A U B) = 3/8 + 5/8 - 2/8 = 6/8 = 0,75

Probabilidad Condicional

P A B) Probabilidad de A dado B.

Ejemplo:Promoción de los agentes de policía de una determinada ciudad

Muestra: 1200 agentesHombres: 960Mujeres: 240

Promovidos en los últimos 2 años: 324

Protesta del comité femenil argumentando la poca cantidad de mujeres promovidas.

Eventos:

Tabla de Probabilidades Conjuntas

Probabilidad de que un agente sea promovido dado que es hombre

P (A M) 288/960 = 0.30

Probabilidad condicional de que seobserve el evento A dado que el evento B ha ocurrido.

Cual es la probabilidad de que un agente sea promovido dado que es mujer?

P A W) 36/240 = 0.15

Que conclusiones obtiene?Que conclusiones obtiene?

Eventos Independientes

Ley de la multiplicación.-Ley de la multiplicación.-Basada en la definición de probabilidad condicional

Despejando de la ecuación:

Ejemplo:-Departamento de circulación de un periódico

84% de los hogares están subscritos a la edición diaria de periódico, P(D)=0.84

Probabilidad de que un hogar ya suscrito a la edición diaria se inscriba también a La edición dominical (evento S) es 0.75

Cual es la probabilidad de que un hogar se suscriba a ambas, a la edición diaria ya la dominical?

Aplicando la ley de multiplicación:

P (S D) = 0.75

Ley de multiplicación para eventos independientes

Hay 63% de probabilidad de que un hogar se suscriba a ambas, a la edición diaria ya la dominical?

Hay 63% de probabilidad de que un hogar se suscriba a ambas, a la edición diaria ya la dominical?

Ejercicios

1. Suponga 2 eventos A y B y que P(A)=0.50, P(B)=0.60 ,P(A Π B) =0.40a.Halle P(A B)b.Halle P(B A)c.A y B son independientes?

2. Una muestra de estudiantes de la maestría en administración de negocios, arrojó lasiguiente información sobre la principal razón que tuvieron los estudiantes para elegirla escuela en donde hacen sus estudios.

a. Con estos datos elabore una tabla de probabilidad conjunta.

b. Use las probabilidades marginales: calidad de la escuela, costo de la escuela y otras para comentar cual es la principal razón por la que eligen una escuela.

c. Si es un estudiante de tiempo completo, ¿cual es la probabilidad de que la principal razón para su selección de la escuela halla sido la calidad de la escuela?

d. Si es un estudiante de medio tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que la principal razón para su elección de la escuela haya sido la calidad de la escuela.

e. Si AA denota el evento es estudiante de tiempo completo y B B denota el evento la calidad de la escuela fue la primera razón de su selección. ¿son independientes los eventos A y B? Justifique su respuesta.

Revisión de probabilidades

Medio para calcular las probabilidades posterioresMedio para calcular las probabilidades posteriores

Probabilidad PreviaProbabilidad Previa

A1; Evento que la pieza viene del proveedor 1A2; Evento que la pieza viene del proveedor 2

De las piezas compradas 65% viene del proveedor 1P(A1)=0.65, P(A2)=0.35

La calidad de piezas varia de acuerdo al proveedor

EventosG: Evento que la pieza esta buenaB: Evento de que la pieza está mala

=100=100

Calidad

Previa

Proceso de recibir una pieza de los dos proveedores

Las piezas se emplean en un proceso de fabricación y una maquina sedescompone al procesar una pieza mala.

¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 1?¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 2?

Aplicar el Teorema de Bayes:Se buscan las probabilidades posteriores

Del árbol de Probabilidades

Para hallar P(B) se sabe B solo puede presentarse de dos maneras:

1

2

Resolviendo

Eventos mutuamente excluyentes cuya unión es todo el espacio muestral

Para realizar cálculos del teorema de Bayes

Para realizar cálculos del teorema de Bayes

Para realizar cálculos del teorema de Bayes

Ejercicios