Probabilidades -...

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Profesor José Francisco Vergara Pag. 222

EstadísticaEstadística

Tercera Unidad

Probabilidades

Sumario:Esta unidad pretende que el alumno se entere de que en todo proceso administrativo deberátomar decisiones, para las cuales muchas veces no sólo no conoce con certeza lo que puedesuceder, sino además, el valor de ocurrencia de los posibles resultados.

Probabilidades

Profesor José Francisco VergaraPag. 222

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A: INTRODUCCIÓN

Todo empresario en general, o administrador en particular, siente la curiosidad de conocerlos posibles resultados de un evento cualquiera, como podría ser por ejemplo:

- ¿Cuál es la posibilidad de requerir una mayor cantidad de inventario para responder a losrequerimientos?

- ¿Qué posibilidad de éxito podré tener en la comercialización de un nuevo producto?- ¿Qué factibilidad existe de que una determinada maquinaria de la línea de producción

dure menos que el tiempo estimado por sus fabricantes?- ¿Cuál es la posibilidad de que una maquinaria produzca un artículo defectuoso?- ¿Cuál es la probabilidad de que un vendedor olvide respaldar una venta con la salida de

bodega correspondiente?- ¿Cuál es la posibilidad de que un artículo defectuoso provenga de un determinado turno

de producción?

Estos y muchos más son los problemas a los que tenemos que enfrentarnos diariamente. Enesta unidad entonces, pretendemos que el alumno pueda percibir la gran incertidumbre querodea los procesos productivos y de comercialización.

Por otra parte, no basta con darse cuenta de este hecho, sino que además intente medir elgrado de incertidumbre, con el objetivo de minimizar el riesgo que esto implica y de estaforma tomar decisiones lo más acertadas posibles.

B: Conducta esperada en el alumno

Al término de esta unidad usted deberá estar en condiciones de conocer y expresar, inclusoen el lenguaje de uso corriente, los siguientes conceptos del ámbito de la estadística:

- El concepto de incertidumbre.- El concepto de probabilidad de un suceso.- Las formas más comunes del cálculo de las probabilidades de un suceso.- La forma verbal de uso corriente del concepto de probabilidad.- Identificar los diferentes tipos de sucesos (simple, compuesto, condicional, etc.).- El significado del uso de los modelos estadísticos, como por ejemplo el Teorema de

Bayes.- La o las aplicaciones más importantes de la probabilidad.

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C: Objetivos de la Unidad

- Conocer y usar los conceptos de posibilidad y probabilidad.- Distinguir entre probabilidad simple y compuesta y las reglas que la definen.- Conocer y usar los teoremas básicos de probabilidad.- Distinguir y entender la diferencia entre probabilidad simple y condicional.- Entender y saber utilizar el teorema de Bayes.- Distinguir entre probabilidad total y probabilidad condicional.- Aplicar el teorema de Bayes.

C: Contenidos de la Unidad

3.1.- Concepto de Probabilidad.3.1.1.- Posibilidades.3.1.2.- Probabilidades3.1.3.- Algunos elementos de Teoría de Conjuntos aplicados a Probabilidades.

3.2.- Definición Clásica de Probabilidad.3.3.- Definición Relativa de Probabilidad.3.4.- Teoremas. Adición y Multiplicación de Probabilidades.

3.4.1.- Propiedad Aditiva de la Probabilidad.3.4.2.- Probabilidad Conjunta (o Compuesta).3.4.3.- Probabilidad Condicional.3.4.4.- Teorema de Multiplicación de Probabilidades.

3.5.- Teorema de Bayes.

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3.1.- Concepto de probabilidad

3.1.1.- Posibilidades

El simple proceso de contar sigue desempeñando un papel importante en administración y econo-mía. Todavía se tiene que contar 1, 2, 3, ... Por ejemplo, cuando se hacen inventarios, cuando secuenta el número de artículos defectuosos producidos por una máquina, o cuando se señala cuán-tas llamadas atiende una determinada oficina, o el número de reclamos que recibe una centro deinformaciones, etc.

En el proceso de determinar todas las posibilidades, existen 2 tipos de problemas:

- El problema de citar todo lo que puede suceder en una situación dada, y- El problema de determinar cuántas cosas diferentes pueden acontecer.Cada uno de éstos, responde a una realidad distinta y por lo tanto debe resolverse usandotécnicas matemáticas diferentes. Para aclararlo veamos un ejemplo.

Un servicio de reparto a domicilio tiene 3 camiones de distinto tonelaje y 3 choferes paraconducirlos, ¿De cuántas formas puede asignarse un chofer a cada vehículo?

Chofer Camión

Notas:

Si interesa tan sólo conocer el número de opciones que existen, sin el detalle de éstas sepuede usar lo que se conoce como multiplicación de opciones: «si una elección consta dedos pasos, donde el primero puede realizarse en m formas, y por cada una de éstas, el segun-do puede efectuarse de n formas, entonces es posible resolver toda la situación de m.n mane-ras».

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Para aclarar estos conceptos y las características en que estos problemas pueden presentarse, esconveniente recordar los elementos de análisis combinatorio.

3.1.2.- Probabilidades

El concepto es de uso diario, puesto que en la toma de decisiones que se debe hacer para realizarcualquier actividad durante la jornada laboral, se encuentra implícita la posibilidad de que el hechono ocurra como se espera.

En cada acto de nuestra vida hay presente una dosis de incertidumbre que debemos medir dealguna manera.

Los fenómenos naturales se caracterizan por su multicausalidad, que originan incertidumbreen las relaciones planteadas en las ciencias que las estudian.

De igual manera, y más complejo aún por la dificultad de prever, son los fenómenos sociales, losque a pesar de la incertidumbre en relación con la ocurrencia de un hecho, puede existir la necesi-dad de predecir el resultado para adoptar una decisión.

Ejemplo

Cada vez que se hace un viaje, no se conoce con certeza si ocurrirá o no un accidente. Hay unapequeña probabilidad de que éste ocurra (depende de lo que se usa para viajar), ¡¡Tomar ladecisión de hacer el viaje supone predecir que no habrá accidente!!

Obviamente, la probabilidad de que no ocurra el accidente es mayor y complementaria a la deocurrencia.

¡¡ En esto se basa la decisión de viajar!!

La probabilidad es la posibilidad numérica de que ocurra un suceso.

La probabilidad de un evento es medida por valores entre 0 y 1. Mientras mayor sea la probabili-dad de que ocurra un evento, más cercano a uno será su valor.

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3.1.3.- Algunos elementos de Teoría de Conjuntos aplicados a Probabilidades

Para un experimento x dado:Ω : Espacio Muestral : conjunto tal que cada posible resultado del experimento corresponde a un elemento de Ωω : Punto Muestral : elemento de Ω.A : Suceso A : cualquier subconjunto de Ω .φ : Conjunto vacío : suceso que no contiene elementos.

Notas:Un suceso puede tener uno o varios elementos.Si un suceso no tiene elementos, se dice suceso imposible.Si un suceso contiene todos los elementos del espacio muestral, entonces se llama sucesoseguro.A ∩ B : suceso conjunto : ocurren simultáneamente los sucesos A y B.

A ∪ B : unión de sucesos: alguno de los dos sucesos A ó B ocurre u ocurren ambos.

Si A ∩ B = φ, entonces se dice que los sucesos A y B son mutuamente excluyentes. No puedenocurrir de manera simultánea.

Si A ∪ B = Ω y A ∩ B = φ, se dice que A y B son sucesos complementarios.

Actividad de Aprendizaje

Construya unidades semánticas con palabras de enlace que unan aquellos conceptos que haseleccionado de la lectura anterior. Utilice el formato que se entrega a continuación pararealizar esta actividad. Recuerde que las palabras de enlace deben formar NECESARIA-MENTE una unidad semántica COHERENTE

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Construya un mapa de conceptos de al menos tres niveles de profundidad.

3.2.- Definición clásica de probabilidad

La probabilidad de que un hecho ocurra es la razón entre el número de casos favorables a laocurrencia del suceso y el total de casos posibles (se supone sucesos equiprobables).

n(A)P (A) = ——

n(Ω)

Ejemplo:

Supongamos que se tiene una baraja de cartas española (40 cartas) y se quiere calcularla probabilidad de que al elegir una carta se obtenga oro.

Se sabe que: n(Ω) = 40 y n(A) = 10 (existen 10 cartas de la pinta de oro en la bara-ja)

Por lo tanto: n(A) 10 P (A) = —— = —— = 0,25 hay un 25% de probabilidad de n(Ω) 40 que al elegir una carta del naipe ésta sea oro.

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3.3.- Definición relativa de probabilidad

Si un evento A se observa n veces en un gran nnúmero N de repeticiones de un experimento, P (A) = ——entonces: N

Estas dos definiciones son complementarias.

La probabilidad de un evento tiene que satisfacer ciertas propiedades :- Si un evento A no puede ocurrir → P(A) = 0- Si el evento ocurre seguramente → P(A) = 1- En general, P(A) es una fracción → 0 ≤ P(A) ≥ 1

Algunos eventos A y B poseen la propiedad única de que P(A ∩ B) = 0. Es decir, si un eventoocurre, el otro no puede ocurrir( y viceversa), a estos eventos se les llama mutuamenteexcluyentes.

Actividad de Aprendizaje

En el siguiente cuadro, SELECCIONE Y ESCRIBA aquellas palabras o conceptosque en su opinión son la(o)s más relevantes de los puntos anteriores:

concepto concepto concepto concepto

Construya una definición propia de probabilidad y compárela con la dada en el texto.Construya un ejemplo donde los eventos sean mutuamente excluyentes.

Establezca relaciones entre conceptos. Construya unidades semánticas con sus propiaspalabras.

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Haga un Mapa de Conceptos y luego un resumen de lo que ha aprendido. No olvide aplicarlos conceptos que se le indicaron en el apartado Instrucciones para los Alumnos.

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3.4.- Teoremas: adición y multiplicación de probabilidades.

3.4.1.- Propiedad aditiva de la probabilidad:

a) Si los eventos son mutuamente excluyentes, es decir P(A ∩ B) = 0, entonces:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) A ∩ B = φ

b) Si no son mutuamente excluyentes , es decir si : P(A ∩ B) ≠ 0, entonces:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

A ∩ B ≠ φ

c) Esto se puede generalizar para más de dos sucesos de la forma siguiente:si Ai son los sucesos e i son la cantidad de sucesos, entonces para i = r sucesos

P(∪ Ai ) = P(A1) + P(A2) + ... + P(Ar) - P(A1 ∩ A2) - P(A1 ∩ A3) - ... - P(A r -1 ∩ Ar)- P(A1 ∩ A2 ∩ A3) -... - P(A r -2 ∩ Ar- 1 ∩ Ar ) - ...-P(A1 ∩ A2 ∩…∩ Ar- 1 ∩ Ar)

3.4.2.- Probabilidad conjunta (o compuesta)

Es el hecho de que dos o más sucesos ocurran simultáneamente A ∩ B (A y B).

Corresponde a la parte ennegrecida del gráfico.

BA

Ω

Ω

A B

Ω

A ∩ BA B

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3.4.3.- Probabilidad condicional P(A/B)

Es aquélla que indica que ocurra un hecho cuando se establece como condición que previamentehaya ocurrido otro.

P(A/B): probabilidad que ocurra A sabiendo que ha ocurrido, ocurre u ocurrirá B.

3.4.4.- Teorema de multiplicación de probabilidades

P(A ∩ B) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B)

La probabilidad de que un hecho compuesto ocurra, es igual a la probabilidad de uno deellos multiplicada por la probabilidad del otro, sabiendo que el primero ocurrió.

De forma general para la probabilidad conjunta de varios sucesos, se tiene que:

P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ ...) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/ A1∩ A2)P(A4/ A1∩A2 ∩ A3)...

Dos o más hechos son independientes cuando la ocurrencia de uno de ellos no afecta laprobabilidad de ocurrencia de él o los otros. Por lo tanto se cumple que:

P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B)

De acuerdo con lo anterior.

Si P(A ∩ B) = P(A) * P(B) ⇒ A y B son independientes

De forma análoga, si A, B y C son eventos mutuamente independientes, entonces la probabilidadde que ocurran A, B y C será:

P(A ∩ B ∩ C) = P(A) . P(B) . P(C)

B

A

Ω

C

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Importante:

Los hechos independientes jamás pueden ser mutuamente excluyentes. Es decir, si la ocu-rrencia de un hecho hiciera imposible la ocurrencia de otro hecho, como sucede en aconteci-mientos mutuamente excluyentes, estos hechos lógicamente no son independientes.

3.5.- Teorema de Bayes

Sean A1, A2, ..., An sucesos incompatibles entre sí ( son sucesos mutuamente excluyentes);supóngase además que la unión de todos los Ai es el suceso seguro: r

(∪ Ai) = Ω i = 1

Sea B un suceso cualquiera en Ω, la probabilidad condicional de la ocurrencia de Ai,cuando el evento B ha ocurrido es:

Notas:- Este teorema es una ampliación de la probabilidad condicional.- El denominador de la expresión se conoce como el teorema de la probabilidad

total.- El teorema de Bayes trata de responder a las siguientes interrogantes:- Si se ha producido B, qué probabilidad existe de que lo haya sido por un cierto Ai?- ¿Qué probabilidad existe de que la causa de B haya sido un cierto Ai?

P Ai B

=

P Ai( )P BAi

P A1( )P BA1

+ P A2( )P BA2

+ ... + P An( )P BA n

P Ai B

=

P Ai( )P BAi

P Ai( )P BA i

i =1

i= n

∑

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De forma gráfica, el Teorema de la probabilidad total sería:

El conjunto B corresponde a la unión de los sucesos:

B = (A1 ∩B) ∪ (A2 ∩B) ∪ ... ∪ (An ∩B). Sucesos excluyentes

∴∴∴∴∴ P(B) = P(A1 ∩B) + P(A2 ∩B) + ...+ P(An ∩B)

∴∴∴∴∴ P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + ... + P(An)P(B/An)

A1 A2 A3 A4

A6

A5

B

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Ejemplo 1

En una empresa, del total de trabajadores se tiene que el 50% son técnicos profesiona-les, el 30% oficinistas y el 20% personal de servicio. Además, el 8% de los profesionales, el9% de los oficinistas y el 10% del personal de servicio son de provincia (el resto de la capital). Si se selecciona un trabajador al azar, determine la probabilidad de que el trabajador,siendo de provincia, sea técnico profesional.

Ai : trabajador de alguna función i específica B: trabajador de provincia.

Por lo tanto: P(A1) = 0,50 P(A2) = 0,30 P(A3) = 0,20

P(B/ A1) = 0,08 (Técnicos profesionales de provincia).

P(B/ A2) = 0,09 (Oficinistas de provincia).

P(B/ A3) = 0,10 (Personal de servicio de provincia).

Usando el teorema, tenemos:

P(A1) P(B/ A1)P(A1 /B) = ————————————————————————————— = P(A1) P(B/ A1) + P(A2) P(B/ A2) + P(A3) P(B/ A3)

0,50 * 0,08 = ——————————————— 0,50 * 0,08 + 0,30 * 0,09 + 0,20 * 0,1

0,040 = ————— = 0,4598

0,087

⇒ Existe un 46% de probabilidad de que el trabajador de provincia seleccionado sea técnico profesional.

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Ejemplo 2

A un consultor de administración se le pide su opinión acerca de la razón por la cual lasecretaria de un ejecutivo, insatisfecha, renunció a su trabajo. Sin poder obtener algunainformación directa acerca de la secretaria, tomó los siguientes datos de una moraleja yestudio de motivación corporativos a gran escala: “Entre todas las secretarias insatisfe-chas”

- El 20% lo están porque les desagrada su trabajo.- El 50% porque sienten que están mal pagadas.- El 30% porque les desagrada su jefe.

Además, las probabilidades de que renuncien respectivamente son: 0,60; 0,40 y 0,90.

Sobre la base de estas cifras, ¿Cuáles son las probabilidades de que la secretaria hayarenunciado debido al trabajo, al sueldo o al jefe?.

renunciaLe desagrada 0,60 0,20 . 0,60= 0,12

0,20 el trabajo renuncia

0,50 Esta mal 0,40 0,50 . 0,40 = 0,20pagada

0,20 renunciaLe desagrada 0,20 . 0,90 = 0,27el jefe 0,90

Probabilidad total 0,59

Por lo tanto, la probabilidad de que una secretaria renuncie por cualquier causa, esde un 59%

La probabilidad de que una secretaria insatisfecha haya renunciado por alguna causaparticular será:

Debido al trabajo: P = 0,12/ 0,59 = 0,20Se deduce que es más probable

Debido al sueldo: P = 0,20/ 0,59 = 0,34 que la secretaria haya renunciadodebido al desagrado por su jefe.

Debido al jefe : P = 0,27/ 0,59 = 0,46

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Actividad 3.1.-

Problema 1.-

En una encuesta de mercadotecnia para un gran almacén, se clasificó a los clientes de latienda según el sexo y residencia. Los resultados se presentan en la tabla siguiente:

Sexo Residencia Masculino Femenino

Suburbios 0,17 0,67Ciudad 0,04 0,12

Supóngase que se selecciona un adulto de este grupo de consumidores. Halle las proba-bilidades siguientes:

a) Que el consumidor resida en los suburbios.

b) Que el consumidor sea mujer y viva en la ciudad.

c) Que el consumidor sea hombre.

Problema 2.-

Los pedidos nuevos de los productos de una compañía varían en valor monetario, segúnla siguiente distribución de probabilidades:

Monto de venta 0 - 1000 1001-2000 2001-3000 3001-4000 4001-5000 Probabilidad 0.10 0.35 0.25 0.20 0.10

a) Obtenga la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor que $2000.

b) Encuentre la probabilidad de que un nuevo pedido sea igual o menor que $ 2000,dado que el pedido excede a mil.

c) Determine la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor que $3000, dado que laventa exceda a $ 2000.

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Retroalimentación

Problema 1.-

En una encuesta de mercadotecnia para un gran almacén, se clasificó a los clientes de latienda según el sexo y residencia.

La tabla puede ser completada de la forma siguiente:

SexoResidencia Masculino Femenino Totales

Suburbios 0,17 0,67 0.84Ciudad 0,04 0,12 0.16Totales 0,21 0,79 1,00

Sean: M: el cliente sea de sexo masculino. F: el cliente sea de sexo femenino. S : el cliente resida en los suburbios. C: el cliente resida en la ciudad.

a) Que el consumidor resida en los suburbios: p (S) = 0,84

Es decir, existe un 84% de probabilidad de que el cliente seleccionado resida en lossuburbios.

b) Que el consumidor sea mujer y viva en la ciudad:

p (M ∩ C) = p(M) . p(C/M) = 0.79 . (0,12/0,79) = 0,12

Es decir, hay un 12% de probabilidad de que cliente sea mujer y además viva enla ciudad.

c) Que el consumidor sea hombre: p (H) = 0,21

Hay un 21% de probabilidad de que el cliente sea hombre.

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Problema 2.-

Los pedidos nuevos de los productos de una compañía varían en valor monetario, segúnla siguiente distribución de probabilidades:

Monto de venta 0 - 1000 1001-2000 2001-3000 3001-4000 4001-5000Probabilidad 0.10 0.35 0.25 0.20 0.10 = 1,00

a) Obtenga la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor que $2000.

p (x >2.000) = p (2.001<x <3.000)+ p (3.001< x <4.000) + p(4.001< x <5.000)

= 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55

Hay un 55% de probabilidad de que el pedido sea mayor que $ 2.000.

b) Encuentre la probabilidad de que un nuevo pedido sea igual o menor que $2000,dado que el pedido excede a mil.

p( [x ≤ 2.000] ∩ [x > 1.000]) p (x ≤ 2.000/ x > 1.000) = —————————————————— =

p(x > 1.000)

0,35 0,35 = ———— = ——— = 0,3888

1- 0,10 0,90Hay, aproximadamente, un 39% de probabilidad de que el sea igual o menor que $ 2000,dado que el pedido excede a mil.

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c) Determine la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor que $3000, dado que laventa excede a $ 2000.

p( [x > 3.000] ∩ [x > 2.000]) p([x > 3.000]) p (x > 3.000/ x > 2.000) = ———————————— = ———————— =

p(x > 2.000) p(x > 2.000)

0,30 = ——— = 0,5454 0,55

hay, aproximadamente, un 55% de probabilidad de que el nuevo pedido sea mayor que$3000, dado que las ventas exceden a $ 2000.

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Actividad 3.2.-

Problema:

Bam Bam Zamorano usa 3 clases de chuteadores, de las marcas A, B y C respectiva-mente. Juega con ellos dependiendo de ciertas cábalas; por lo cual se tiene que jugó conla marca A un 45% de las veces. Con los de la marca B un 35% de las veces y con los dela marca C un 20% de las veces. Además se sabe que si juega con los de la marca A, suequipo tiene una probabilidad de 0,5 de ganar; si juega con los de la marca B su equipogana con probabilidad 0,45 y si juega con los de la marca C, su equipo gana con proba-bilidad 0,6. Si un partido fue ganado. ¿Cuál es la probabilidad de que Bam Bam hayajugado con los chuteadores marca B?

Retroalimentación

De acuerdo con los datos del problema podemos escribir lo siguiente:

- La probabilidad que juegue con la marca A es de 0,45.- La probabilidad que juegue con la marca B es de 0,35.- La probabilidad que juegue con la marca A es de 0,20.

Además, las probabilidades de que gane los partidos respectivamente son: 0,50; 0,45 y0,60.

Tomando como base estas probabilidades, se pide determinar cuál es la probabilidad deque habiendo ganado, él haya jugado con los chuteadores marca B.

Chuteadores p (ganar)

A 0,50 0,45 . 0,50 = 0,2250,45

0,35 B 0,45 0,35 . 0,45 = 0,1575

0,20 C 0,60 0,20 . 0,60 = 0,12

Probabilidad total 0,5025

Corresponde a la Probabilidad total, es decir a la probabilidad de ganar, independien-temente de la marca de chuteador que se haya empleado)

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La probabilidad total calculada (0,5025), significa que en un 50,3% de las veces quejuega Bam Bam el equipo gana.

La probabilidad de que habiendo ganado, haya jugado con algún particular tipo dechuteador, será entonces:P(marca A/ ganó) = 0,225/0,5025 = 0,4478P(marca B/ganó) = 0,1575/0,5025 = 0,3134P(marca C/ganó) = 0,12/0,5025 = 0,2388

Entonces, si el equipo ha ganado, existe un 31,34% de probabilidad de que Bam Bamhaya jugado con los chuteadores marca B.

Nótese, que existe una mayor probabilidad de que si el equipo gana, es por que Bam Bamjugó con los chuteadores marca A.

Probabilidades

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Actividad de autoevaluación

- Si A representa el evento de que los trabajadores conduzcan un automóvil hacia sutrabajo en la ciudad R , y B representa el evento de que haya espacio de estacionamientoa su disposición. Explique con palabras qué probabilidades expresan:

P( A’ )

P( B’ )

P( AU B)

P( A ∩ B)

P( A’ U B)

P( A’ ∩ B’)

- La probabilidad de que un inspector de una fábrica de tejidos clasifique un suéter comoimperfecto, de segunda calidad o de tercera calidad es 0,04; 0,02 ó 0,01. ¿Cuál es laprobabilidad de que un suéter reciba una o la otra de estas tres calificaciones?

- Si F es el evento de que una empresa tenga problemas financieros, B es el evento de quelos acreedores pidan que la empresa se declare en bancarrota y L es el evento de que laempresa se liquide en beneficio de los acreedores, escriba de manera simbólica las pro-babilidades de que:

- Los acreedores pidan que la empresa se declare en bancarrota y se liquide la empre-sa en beneficio de los acreedores.

Probabilidades


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- La empresa no tenga problemas financieros, pero los acreedores pidan que la empresa sedeclare en bancarrota.

- Se liquide la empresa en beneficio de los acreedores o bien los acreedores pidan quela empresa se declare en bancarrota.

- La empresa no esté en dificultades financieras y los acreedores no pidan que sedeclare en bancarrota.

- Una casa vendedora de ropa mediante pedidos por correo, comercia 2 líneas deproductos; una relativamente cara y la otra barata. Una encuesta de 1000 pedidosprodujo las frecuencias que se señalan en la tabla:

Línea de ProductosSexo 1 2 Total

Masculino 132 147 279Femenino 516 205 721

Total 648 352 1.000

- Calcular la probabilidad del evento A: consumidor es mujer.- Hallar la probabilidad de B: el pedido es para línea 1.- La probabilidad de que el pedido sea de la línea 2 y el consumidor sea mujer.- Calcular la probabilidad de que el pedido sea para la línea 1, dado que el consumi-

dor es mujer.- Comprobar si A y B son o no eventos independientes.

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