Universidad Nacional de Cajamarca-Medicina Humana

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Ttulo:

Probabilidades

Alumnos:Cerna Gallardo Geiser MartnCotrina Aquino Elvis JonathanLeal Pinedo Alexander MichaelHerrera Ygnacio Jos MiguelSilva Snchez Juan Carlos

Cajamarca, febrero del 2014

PROBABILIDADES

1) Concepto:

El concepto deprobabilidadproviene del trminolatinoprobabiltas.En primera instancia se entiende por probabilidad como aquella posibilidad que hay entre diversas posibilidades de que un determinado hecho suceda. Es decir que esaquello que puede suceder o pasar.La idea de probabilidad es algo en lo que diversos pensadores han trabajado a lo largo de la historia de la humanidad. En un principio estos trminos se relacionaban exclusivamente con los juegos de azar ya practicados hace ms de cinco mil aos. El concepto ha sufrido tales cambios y ha sido objeto de inters tan particular que hoy en da la probabilidad es considera incluso como una de lasramas de la matemtica. En este caso se define a la probabilidad como el estudio y medicin cuantitativa de que un determinado hecho suceda o se produzca. Para ello se determinan ciertos presupuestos del contexto, sus posibles combinaciones y adems se hace uso de la disciplina de la estadstica. En este caso las probabilidades suelen ser representados en nmero mayores a cero e inferiores a uno o en fracciones.Dentro de lateora de la probabilidadse intenta determinar la cantidad de veces que puede un determinado resultado acontecer, con el fin de conocer que suceso es el ms probable. Algunos de los elementos que se tienen en cuenta son el espacio de muestras, los sucesos, los sucesos elementales y las partes.En el estudio de la probabilidad pueden ser identificados tres tipos de mtodos. El primero es llamado el mtodo de distribucin binominal. En este caso los es posible obtener dos resultados, los mismos son independientes y excluyentes entre s. Por ejemplo si se lanza una moneda puedo obtener cara o cruz, al obtener cara no puedo obtener cruz y viceversa. El segundo mtodo es llamado de multiplicacin. En este caso se determina una probabilidad de varios eventos que son independientes entre s, es decir que los resultados obtenidos no tendrn influencia en los dems resultados. El ltimo mtodo es el de la suma o regla de adicin. En este caso la posibilidad de que suceda un evento especfico es equivalente a la sumatoria de las probabilidades particulares. Esta regla se da bajo la condicin que los eventos sean excluyentes entre s.Las reas en la que puede seraplicado los estudios de la probabilidadson diversas. Algunos ejemplos son grficos o tablas relacionadas con la compra y venta de las empresas, son tambin utilizadas en los censos o en diversos estudios de las ciencias sociales y naturales. Las tablas estadsticas suelen reflejar las llamadas frecuencias, sean las mismas acumuladas, con intervalos o de doble entrada. En dichas tablas la informacin recolectada en organizada de manera clara y visible para que sean comprensibles fcilmente.Algunos de losgrandes pensadoresque se preocuparon por la probabilidad fueron por ejemplo Galileo Galilei; a quien se le atribuyen las bases para la posterior fundacin de la estadstica, Blaise Pascal; quien formul una teora acerca de las propiedades de los nmeros que es an muy utilizada, Pierre La place; quien defini ciertas aplicaciones prcticas a la teora de la probabilidad, entre muchos otros pensadores.

2) Formulas que se utilizan en probabilidades:Ley de Laplace

Probabilidad de la unin de sucesos incompatiblesAB =p(AB) = p(A) + p(B)Probabilidad de la unin de sucesos compatiblesAB p(AB) = p(A) + p(B) p(AB)Probabilidad condicionada

Probabilidad de la interseccin de sucesos independientesp(AB) = p(A) p(B)Probabilidad de la interseccin de sucesos dependientesp(AB) = p(A) p(B/A)Probabilidad de la diferencia de sucesos

Teorema de la probabilidad totalp(B) = p(A1) p(B/A1) + p(A2) p(B/A2) + ... + p(An) p(B/An)Teorema de Bayes

0 p(A) 1p(E) = 1

3) postulados bsicos:

4) Espacio muestra y tipos de eventos:

Tipos de espacio muestral

Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios mustrales: discretos y continuos. DiscretosSon aquellos espacios donde el nmero de sucesos elementales es finito o infinitonumerable. Espacio probabilstico discretoEs aquel cuyo espacio maestral es discreto. Podemos diferenciar varios tipos de espacio probabilstico discreto: Espacio Probabilstico Discreto EquiprobableSu espacio muestral es finito de tamaon.La probabilidad de cualquier suceso elemental E es, de aqu se deduce que para todo suceso A la probabilidad es Espacio Probabilstico FinitoSu espacio muestral es discreto finito.Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen. Procesos Estocsticos Finitos Y Diagramas de rbolUnproceso estocsticoes una sucesin finita de experimentos aleatorios, cada uno de ellos con un n finito de resultados posibles. Se representan con diagrama de rbol.Por ejemplo, imaginemos que se lanza una moneda y un dado de seis caras. La probabilidad de obtener un resultado particular corresponde a la multiplicacin de sus probabilidades. Es decir, la probabilidad de obtener cara y un tres ser:

Ahora bien, la probabilidad de un suceso cualquiera es la suma de las probabilidades de los distintos resultados aislados posibles. As, la probabilidad de sacar siempre un resultado impar en los dados, independientemente del resultado de la moneda, ser:

EspacioProbabilstico Infinito ContableAquel cuyo espacio muestral es discreto infinito contable. Por ejemploLa probabilidad de que salga cara en la primera tirada ---->La probabilidad de que salga nuevamente cara en la segunda tirada ---->La probabilidad de que salga nuevamente cara en la tercera tirada ---->

Continuos

Son aquellos espacios donde el nmero de sucesos elementales es infinito incontable.Espacio probabilstico continuo

Espacio muestral infinito no numerable. -No es posible observar puntos concretos del espacio.Tiene sentido hablar de intervalos observados. - No es posible asignar probabilidad a un punto concreto, se asigna a intervalos.Por tanto la funcin P est definida sobre intervalos ----->-Habitualmente cuando trabajamos con magnitudes fsicas.ParticionessEs posible definirparticionessobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una particin sobrese define como un conjunto numerable:tal que:

Espacio Muestral y Eventos

Experimentos Aleatorios y Espacios Muestrales Experimentos Aleatorios y EspaciosMuestrales:Un experimento es una observacin de un fenmeno que ocurre en la naturaleza.

Tipos de experimentos:

Experimentos Determinsticos: Son aquellos en donde no hay incertidumbre acerca del resultado que ocurrir cuando stos son repetidos varias veces.

Experimentos Aleatorios: Son aquellos en donde no se puede anticipar el resultado que ocurrir, pero si se tiene una completa idea acerca de todos los resultados posibles del experimento cuando ste es ejecutado.

5) Regla de la multiplicacin y adicin:

La regla de la suma

Escribe la regla de la suma y explcala con palabras. Esta se da por P(A + B) = P(A) + P(B). Explica que A y B son eventos que pueden ocurrir, pero no pueden hacerlo al mismo tiempo.

Daejemplosde eventos que no pueden ocurrir simultneamente y muestra cmo funciona la regla. Un ejemplo: Laprobabilidadque la siguiente persona que entre al saln sea un estudiantes y laprobabilidadde que la siguiente persona sea un maestro. Si laprobabilidadde que la persona sea un estudiante es 0,8 y la que sea un maestro es 0,1, entonces laprobabilidadde que la persona sea un maestro o un estudiante es 0,8 + 0,1 = 0,9.

Regla de multiplicacin de probabilidadesSi se tienen varios eventos sucesivos e independientes entre s, la probabilidad de que ocurran todos ellos a la vez corresponde a la multiplicacin de las probabilidades de cada uno de los eventos.Ejemplos:1.Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, cul es la probabilidad de acertar a todas?La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad de acertar en las cuatro es:

2.Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo o una hija es , cul es la probabilidad de que al tener tres hijos, 2 solamente sean varones?Si H representa el nacimiento de un hombre y M el de una mujer, tenemos los siguientes casos favorables: HHM HMH MHHLa probabilidad de cada uno de estos eventos es:

6) Probabilidad condicionadaProbabilidad condicionales laprobabilidadde que ocurra uneventoA, sabiendo que tambin sucede otro eventoB. La probabilidad condicional se escribeP(A|B), y se lee la probabilidad deAdadoB.No tiene por qu haber una relacin causal o temporal entreAyB.Apuede preceder en el tiempo aB, sucederlo o pueden ocurrir simultneamente.Apuede causarB, viceversa o pueden no tener relacin causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al mbito de la probabilidad. Pueden desempear un papel o no dependiendo de la interpretacin que se le d a los eventos.Un ejemplo clsico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. Cul es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso se escribira como P (Cara | 6).Elcondicionamientode probabilidades puede lograrse aplicando elteorema de Bayes.DefinicinDado unespacio de probabilidady doseventos (o sucesos)con, la probabilidad condicional deAdadoBest definida como:

se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fraccin en los que tambin se cumple A.

Interpretacinse puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fraccin en los que tambin se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza,sera la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se est enfermo de gripe.Grficamente, si se interpreta el espacio de la ilustracin como el espacio de todos los mundos posibles, A seran los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la interseccin representara los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza. En este caso, es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sera la proporcin de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El rea verde dividida por el rea de B. Como el rea verde representay el rea de B representa a, formalmente se tiene que:

Propiedades1. 1. Es decir, si todos los que tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1.1.

La proporcin de zona verde dentro de B es la misma que la de A en todo el espacio y, de la misma forma, la proporcin de la zona verde dentro de A es la misma que la de B en todo el espacio. Son sucesos independientes.Independencia de sucesosDos sucesos aleatoriosAyBson independientes si y slo si:

O sea que siAyBson independientes, su probabilidad conjunta,oPuede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

En otras palabras, siAyBson independientes, la probabilidad condicional deAdadoBes simplemente la probabilidad deAy viceversa.Exclusividad mutua

Los conjuntos A y B no intersecan. Son mutuamente excluyentes.Dos sucesosAyBson mutuamente excluyentes si y slo si. Entonces,.Adems, sientonceses igual a 0.La falacia de la probabilidad condicionalLafalaciade la probabilidad condicional se basa en asumir queP(A|B) es casi igual aP(B|A). El matemticoJohn Allen Paulosanaliza en su libroEl hombre a numricoeste error muy comn cometido por personas que desconocen laprobabilidad.La verdadera relacin entreP(A|B) yP(B|A) es la siguiente:

7) Teorema de BayesEn lateora de la probabilidadelteorema de Bayeses un resultado enunciado porThomas Bayesen 1763que expresa laprobabilidad condicionalde unevento aleatorioAdadoBen trminos de la distribucin de probabilidad condicional del eventoBdadoAy ladistribucin de probabilidad marginalde sloA.En trminos ms generales y menos matemticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podra saber (si se tiene algn dato ms), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestin para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculacin ntima con la comprensin de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.Seaun conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales. Entonces, la probabilidadviene dada por la expresin:

donde: son las probabilidades a priori. es la probabilidad deen la hiptesis. son las probabilidades a posteriori.

Thomas Bayes(1763)

Frmula de BayesCon base en la definicin deProbabilidadcondicionada, obtenemos la Frmula de Bayes, tambin conocida como la Regla de Bayes:

AplicacionesEl teorema de Bayes es vlido en todas las aplicaciones de la teora de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de laestadsticatradicional slo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmacin emprica mientras que los llamados estadsticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cmo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos informacin adicional de un experimento. La estadstica bayesiana est demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en funcin de la evidencia emprica es lo que est abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicacin de esto son losclasificadores bayesianosque son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura ospam, que se adaptan con el uso.Como observacin, se tieney su demostracin resulta trivial.

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