PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA

• Se presentan algunos problemas que fueron resueltos en clase. Para más problemas

resueltos puede consultarse la obra:

• “TERMO II”, 250 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA

EXPLICADOS Y RESUELTOS.

• Manuel Zamora, Universidad de Sevilla, 1998.

PROBLEMA 4

Se prepara una disolución de gases formada por masas iguales de helio, neón y xenon. Halle las fracciones molares de los tres gases en la disolución.

He M1 = 4,026

Ne M2 = 20,183

Xe M3 = 131,30

Los moles de los gases son:

La masa de cada gas es1/3 de la masa total:

11

11 3 M

m

M

mnHe

3321m

mmm

Datos: M (He) = 4,026; M (Ne) = 20,183 M (Xe) = 131,30

22

22 3 M

m

M

mnNe

33

33 3 M

m

M

mnXe

Los moles totales son:

321321 333 M

m

M

m

M

mnnnn

Las fracciones molares son:

Realizando las operaciones resulta:

813,0323121

3211

MMMMMM

MM

n

nxHe

321

323121

MMM

MMMMMMmn

162,0323121

3122

MMMMMM

MM

n

nxNe

025,0323121

2133

MMMMMM

MM

n

nxXe

PROBLEMA 5

La disolución anterior de helio, neón y xenón se comporta como un gas ideal y cada uno de los gases también. Se define la presión parcial de un gas ideal en una disolución ideal como aquella que ejercería esa misma cantidad de gas puro ocupando el mismo volumen que la disolución y a la misma temperatura que ella. Determine la presión parcial de los tres gases anteriores sabiendo que la presión total sobre la disolución es de 101,3 kPa.

Los gases puros cumplirán:

Sea V el volumen y T la temperatura. La disolución cumplirá la ecuación:

RTnVpHe 11

nRTRTnnnVpo )( 321

Datos: po = 101,3 kPa

RTnVpNe 22

111 xn

n

p

p

o

Dividiendo cada una de estas por la primera:

RTnVpXe 33

222 xn

n

p

p

o 3

33 xn

n

p

p

o

Las presiones parciales valen:

Como en el problema anterior se calcularon las siguientes fracciones molares:

025,0;162,0;813,0 321 xxx

Datos: po = 101,3 kPa

kPapxpNe o 4,163,101162,022

kPapxpXe o 5,23,101025,033

kPapxpHe o 4,823,101813,011

Problema 9

• Una balanza de Jolly es un muelle fijo por su extremo superior y en su extremo inferior cuelga un platillo. El muelle se considera ideal y cumple la ecuación: F = -E( - o), donde F es la fuerza recuperadora y E =98,0 N.m-1. Calcule el trabajo sobre la balanza cuando se carga con M = 1,00 kg: a) Se coloca M de golpeb) Se coloca el kilogramo en porciones sucesivas de m = 250 g. Tras cada carga se espera que la balanza alcance el equilibrio.

Datos: F = -E( -o ); E = 98,0 N/m; M = 1,00 kg; m = 0,25

kg.

Estado inicial de equilibrio:

La condición de equilibrio mecánico es: 0)( mgEFF oexternararecuperado

00 om

Estado parcial de equilibrio: Egmmm iii /

mEmgmm 025,0/1

mEmgmm 050,0/22 2

mEmgmm 075,0/33 3

mEMgMm 100,0/4

1º estado final:

2º estado final:

3º estado final:

4º estado final:

Datos: F = -E( -o ); E = 98,0 N/m; M = 1,00 kg; m = 0,25 kg.

a) M de golpe:

JmgmgdW o 06,0)( 101

1

b) Al colocar las porciones:

Suma:

JMgMgdW oao

98,0)( 4

4

JmgmgdW 12,0)(22 122

2

1

JmgmgdW 18,0)(33 233

3

2

JmgmgdW 24,0)(44 344

4

3

J60,0)24,018,012,006,0(Wb

PROBLEMA 10• Dos resortes idénticos y sin masa cumplen la ley

elástica F = Ex, donde F es la fuerza externa aplicada y x la deformación, con el mismo coeficiente elástico E = 1·104 N/m. El primer resorte está unido por uno de sus extremos al techo y por el otro a la cara superior de una masa, m = 120 kg, que está sujeta en el aire por un soporte mecánico. El segundo resorte está unido por uno de sus extremos al suelo y por el otro a la cara inferior de la misma masa. En la situación inicial ninguno de los soportes está deformado. Cuando se retira el soporte la masa queda sujeta por los dos resortes, y cae verticalmente. ¿Qué altura descenderá?

Datos: F = Ex; E = 1·104 N/m; m = 120 kg.

21 WWmghEp • La conservación de la energía mecánica en

la masa m es:

los trabajos de los resortes:

2

0 11 2

1EhExdxdxFW

h

o

h

2

0 22 2

1EhExdxdxFW

h

o

h

Resulta:

cmE

mghEhmgh 8,112

• La presión ejercida sobre m =100 g de un metal se aumenta de p1 = 0,00 MPa hasta p2 = 100,0 MPa de forma isoterma y cuasiestática. Aceptando que la densidad del metal y su coeficiente de compresibilidad son constantes e iguales a d = 10,0 g.cm-3 y a k = 0,67.10-10 Pa-1, respectivamente, calcule el trabajo realizado.

PROBLEMA 13

Datos: m =100 g, d = 10,0 g.cm-3, k = 0,67.10-10 Pa-1, p1 = 0,00 MPa p2 = 100,0 MPa.

El coeficiente decompresibilidad:

2

1

2

1

34,31

p

p

kpp

pJdppe

d

mkpdVW

El trabajo utilizando la integral dada, vale:

Tp

V

Vk

1

kpkp ed

meVV 1

TkdpVd ln

Si p1 = 0 V1 = m/d: V

V

pkdpVd

1 0ln

dped

mkdV kp

Datos: m =100 g, d = 10,0 g.cm-3, k = 0,67.10-10 Pa-1,

p1 = 0,00 MPa p2 = 100,0 MPa.

La integración se simplifica:

Estos problemas aceptan una aproximaciónen el caso de que k << p:

En cuyo caso:

kpd

me

d

mV kp 1

JJpdpkd

mpdVW

p

p

p

p34,335,3

2

1

2

12

dpd

mkdV

• Un mol de un gas ideal evoluciona isocóramente desde p1 = 0,700 MPa y T1 = 300,0 K hasta la presión atmosférica normal po = 1,00 atm. A continuación se calienta a presión constante hasta un volumen V2. Finalmente se comprime isotérmicamente hasta su presión inicial, con lo que alcanza el mismo volumen que tuvo al principio. Los tres procesos constituyen un ciclo cerrado. ¿Cuál será el trabajo que realiza el gas cuando lo recorre de manera cuasiestática?.

PROBLEMA 14

Datos: p1 = 0,700 MPa, T1 = 300,0 K y

po = 1,00 atm = 0,1 MPa

• Transformaciones:

1

11 p

RTV 1

1

12 T

p

p

R

pVT oo

op

RTV 1

2

1

1

1

V

T

p

1

2

1

1

1

1

V

T

p

V

T

p o

V

2

1

1

2

1

1

1

1

V

T

p

V

T

p

V

T

p o

p

o

V o

1

1

1

2

1

1

2

1

1

1

11

V

T

p

V

T

p

V

T

p

V

T

p

T

o

p

o

V o

Datos: p1 = 0,700 MPa, T1 = 300,0 K y

po = 1,00 atm = 0,1 MPa

• Trabajos:

01

11

V

VpdVW

0cicloW

11122 1

2

1

2

1 p

pRTVVpdVppdVW o

o

V

Vo

V

V

11 1

p

pRTW o

ciclo

11

2

1113 lnln

1

2

1

2 p

pRT

V

VRT

V

dVRTpdVW o

V

V

V

V

111 ln1

p

p

p

pRTW oo

ciclo Jp

p

p

pRTW oo

ciclo3

111 10·69,2ln1

Problema 18

• Se mezclan adiabática e isobáricamente mh = 10,0 g de hielo a Th = – 10,0º C con ma = 50,0 g de agua a Ta = 30,0º C. Determine el estado final y el incremento de entalpía del sistema.

• Datos: • Calor específico del agua líquida: ca = 0,24 J g-1K-1

• Calor específico del hielo: ch = 0,12 J g-1K-1

• Calor latente de fusión del hielo: L = 330 J g-1.

Datos: mh = 10,0 g, Th = – 10,0º C, ma = 50,0 g, ta = 30,0º C, ca = 0,24 J g-1K-1, ch = 0,12 J g-1K-1, L = 330 J g-1

Este tipo de problemas requiere un tanteo inicial. Supongamos que el estado final es agua líquida a 0º C.

J3312LTTcm hohh

J1500TTcm aoaa

Luego el agua no es capaz de fundir todo el hielo y al final coexisten hielo y agua a 0º C.

El calor tomado por el hielo:

Calor cedido porel agua:

Datos: mh = 10,0 g, Th = – 10,0º C, ma = 50,0 g, ta = 30,0º C, ca = 0,24 J g-1K-1, ch = 0,12 J g-1K-1, L = 330 J g-1

Como el sistema es adiabático e isobárico:

0HVdpHQ

Despejando m:

Si m es la masa de hielo fundida: 0 aoaahohh TTcmmLTTcmH

g5,4

L

TTcmTTcmm aoaahohh

Estado final: g5,5m;g5,54m;Cº0T hieloaguao

Problema 24• Un cilindro adiabático con un gas ideal (cV = 1,50R)

a: po = 1,013 105 Pa, To = 300 K y Vo = 20,0 dm3 . El pistón que lo cierra, de superficie A = 4,00 dm2, es adiabático sin masa ni rozamiento y está unido al extremo inferior de un muelle, fijo por arriba, con una constante elástica E = 100,0 N cm-1 sin deformación inicial. En el interior del cilindro hay una resistencia eléctrica alimentada desde fuera. ¿Qué calor debe disiparse en la resistencia para que la presión del gas alcance el valor p = 0,300 MPa?.

Datos: cV = 1,50R, po = 1,013 105 Pa, To = 300 K, Vo = 20,0 dm3, A = 4,00 dm2, E = 100,0 N cm-1

A

Epp o

83,0RTVpn ooo

EFF r

Estado final:

Fuerza del resorte:

Estado inicial

Cualquier estado del gas:

nR

EAp

nR

pVT o

mAE

pp

A

Epp o

oo

o 7,011

Gas:

Datos: cV = 1,50R, po = 1,013 105 Pa, To = 300 K, Vo = 20,0 dm3, A = 4,00 dm2, E = 100,0 N cm-1

dE4Ap5,2dEApdTncdQ oov

Por el primer principio :

• Al cambiar la altura del pistón:

nR

EApdT o )2(

5,1R

cV

kJ80,6dE4dAp5,2Q7,0

0

7,0

0o

Ad

AlE

pdTncpdVdUdQ ov

Problema 25 • Un cilindro de paredes rígidas y adiabáticas está

cerrado por un pistón móvil, adiabático, sin masa ni rozamiento. Inicialmente, a ambos lados del pistón hay n moles del mismo gas ideal ( = 1,50) a po, To y Vo. Con la resistencia eléctrica se da calor muy lentamente hasta que la presión del gas superior alcanza el valor p = 3,375 po. Exprese en función de los datos: a) Las temperaturas finales, b) el calor suministrado y c) el trabajo intercambiado.

Datos: = 1,50, po, To y Vo, p = 3,375. po .

El gas inferior:

El proceso se considera cuasiestático. En el gas superior se cumple:

111adiabático

ooo T,V,pT,V,p

11oo VpVp

oo VVp

pV 44,0

2

11

222ooo T,V,pT,V,p

12 pp

o1o2 V56,1VV2V

ooo

1 T49,1nR

Vp49,1T o

oo2 T27,5

nR

Vp27,5T

La condición de equilibrio lleva a:

El trabajo realizado sobre el gas superior:

El calor: se integra:

oooo11

1o

11

V

V

V

V

2211

V

V

21

Vp97,01

VpVp

1

VVk

dVVkdVpdVpW1

o

1

o

2

o

21V21 dVpdTncdVpdUdQ

ooo2V

V

V

21

T

T

V Vp51,9WTTncdVpdTncQ2

o

2

o

Problema 39.

Un mol de un gas monoatómico recorre, en el sentido de las agujas del reloj, un ciclo reversible formado por dos procesos isóbaros, con las presiones p1 = 100,0 kPa y p2 = 300,0 kPa, y dos procesos isócoros con los volúmenes V1 = 22,0 dm3 y V3 = 26,0 dm3. Calcule el rendimiento del ciclo .

Datos: p1 = 100,0 kPa y p2 = 300,0 kPa, V1 = 22,0 dm3, V3 = 26,0 dm3 Cuestión: Halle su rendimiento.

KRvpT 6,264111

• Gas ideal: RRcv 5,123

41 pp 1n 43 vv 21 vv 32 pp

KRvpT 8,793222

KRvpT 2,938333

KRvpT 7,312444

2312

4123

QQ

WW

Q

W

consumido

total

0.;;21 121 Wconstv

0121212 TTcUQ v

344414 .;;14 vvpWconstp

023223

232323

vvpTTc

WUQ

v

132232 .;;32 vvpWconstp

041441414141 vvpTTcWUQ v

0.;;43 343 Wconstv

0343434 TTcUQ v%3,8083,0

Problema 40.

Un gas ideal diatómico recorre un ciclo frigorífico reversible formado por dos líneas adiabáticas y dos isócoras con V1 = 18,0 dm3 y V3 = 28,0 dm3. Calcule su eficiencia.

Datos: V1 = 18,0 dm3 , V3 = 28,0 dm3 Cuestión: Calcule la eficiencia.

Adiabáticas reversibles:

40,125 vvv cRcRc

3312 VpVp

Isotermas:

3411 VpVp

13

4

2

1 p

p

p

p

2

2

1

11

p

T

p

T

R

V

2

2

1

11

p

T

p

T

R

V

12

1

2

1 p

p

T

T

14

3

4

3 p

p

T

T

0;12 21 W

1432

21

1432

21

TTTT

TT

WW

Q

W

QE

consumido

absorbido

133

111

VTVT

0434343 TTncUQ v

0;41 14 Q

0;34 42 W

0;23 32 Q

411414 TTncUW v

0212121 TTncUQ v

233232 TTncUW v

134

112

VTVT 1

3341

121 VTTVTT

17,5

1

1

)( 1132134

21

vvTTTT

TTE

Problema 41.

Una máquina reversible toma la misma cantidad de calor de dos fuentes cuyas temperaturas son T1 = 500 K y T2 = 400 K, produce trabajo y cede calor a otra fuente a T3 = 300 K . Determine su rendimiento.

Problema 44. Determine el incremento de entropía de un kilogramo de agua que, a presión constante, se calienta desde T1 = 27º C hasta T2 = 100º C de las siguientes formas: a) Con una llama a T3 = 700º C. b)Con una resistencia eléctrica cuya temperatura es de T3 = 300º C.Desprecie la dilatación del agua y tome su calor específico como 1,00 cal/gK.

Datos: T1 = 27º C, T2 = 100º C, a) T3 = 700º C, b) T3 = 300º C, c = 1 cal/gK Cuestión: Incremento de entropía del agua.

Balance calorífico:Calor en el agua:

Integrando:

mcdTdq

dTTT

mcT

dQ

T

dqdSdSdS

iifuenteaguauniv

11

i

univ T

TT

T

TmcS 12

1

2ln

0 dQdq

KcalSa univ /7,142) KcalSb univ /3,90)

Problema 47. Tres cuerpos que tienen las capacidades caloríficas C1 = 103 J/K , C2 = 2.103 J/K y C3 = 3.103 J/K se encuentran a las temperaturas T1 = 500 K , T2 = 400 K y T3 = 300 K. Los tres cuerpos se aíslan adibáticamente del exterior, se les extrae la mitad del trabajo máximo que pueden proporcionar y, finalmente, se ponen en contacto térmico entre sí. Determine la temperatura final de los tres cuerpos.

Datos: C1 = 103 J/K, C2 = 2.103 J/K , C3 = 3.103 J/K

T1 = 500 K , T2 = 400 K y T3 = 300 K. Cuestión: Temperatura final con la mitad del trabajo.

• Se establece un ciclo reversible infinitesimal que extraiga el trabajo máximo:

T

T

T

dqdqdqdqdqdqdW

T

T

T

03

3

2

2

1

1

321

3

2

1

• El trabajo intercambiado por el ciclo es:

• Integrando entre el estado inicial y final:

• Para calcular la temperatura final:

• Integrando entre los estados:

332211321 dCdCdCdqdqdqdW

TCCCTCTCTCWmáximo )( 321332211

03

33

2

22

1

11

3

3

2

2

1

1

dCdCdCdqdqdq

0lnlnln3

32

21

1 T

TC

T

TC

T

TC

• La temperatura final: donde: y finalmente

• Disponiendo ahora de W = Wmáximo/2: y, por fin:321

321 TTTT

6

1

321

11

CCC

C

kJWyKT máximo 0,435,359

3

1

321

22

CCC

C2

1

321

33

CCC

C

321321 TTTT

')( 321332211 TCCCTCTCTCW

KCCC

TCTCTCWT 1,363'

321

332211

Problema 51.

En un calorímetro adiabático se mezclan m1 = 30,0 g de hielo a T1 = 0,00º C con m2 = 200,0 g de agua a T2 = 50,0º C. Sabiendo que el calor de fusión del hielo vale L = 80,0 cal/g y el calor específico del agua es c = 1,00 cal/gK, determine los incrementos de entropía que experimentan el sistema y el universo.

Datos: m1 = 30 g, T1 = 0º C, m2 = 200 g, T2 = 50º C, L = 80 cal/g, c = 1 cal/gK Cuestión: Incremento de entropía del sistema y del universo.

El balance calorífico necesita un tanteo. Se supone al final sólo líquido a 0ª C:

Al fundir el hielo:Al enfriar el agua:Estado final: hielo fundido y T1 < T < T2.

Balance:

kcalLmQH 4,2111

kcalTcmQH 10222

022111 TTcmTTcmLmH

CK

cmm

LmcTmTmT º0,332,306

21

12211

Datos: m1 = 30 g, T1 = 0º C, m2 = 200 g, T2 = 50º C, L = 80 cal/g, c = 1 cal/gK Cuestión: Incremento de entropía del sistema y del universo.

El incremento de entropía del sistema:

Como el calorímetro es adiabático:

)()()( 211 enfriarScalentarSfundirSSsistema

T

T

T

T

sistema T

cdTm

T

cdTm

T

LmS

21

21

1

1

KcalT

Tcm

T

Tcm

T

LmSsistema /4,1lnln

22

11

1

1

KcalSS sistemauniv /4,10 medioS

Problema 48. Un sistema está formado por m = 100,0 g de hielo a po = 1,00 atm y T = 0,00º C. Dicho sistema se pone en contacto con un medio ambiente a po = 1,00 atm y To = 20,0º C . Sabiendo que el calor de fusión del hielo vale L = 80,0 cal/g y el calor específico del agua es c = 1,00 cal/gK, determinar los incrementos de entropía que experimentan el sistema y el universo entre el estado inicial descrito y el final de equilibrio mutuo.

Datos: m = 100,0 g, po = 1,00 atm, Tf = 0º C, po = 1,00 atm,

To = 20,0º C , L = 80,0 cal/g, c = 1,00 cal/gK, Cuestión: Incremento de entropía del sistema y del universo.

El proceso es doble: fusión y calentamiento:

T

mcdT

T

LdmdS

fagua

Finalmente:

0 dqdQ mcdTLdmdq

f

o

fagua T

Tmc

T

LmS ln

oamb T

mcdTLdmdS

.

o

foamb T

TTmcLmS

)(.

KcalSagua /4,36

KcalSSS ambaguauniverso /2,2.

Problema 66Un cilindro diatermo contiene tres pistones trabados y sin rozamientos, uno central, a, y dos extremos, b y c. En cada una de las cámaras que forman existe un mol de gas ideal en equilibrio térmico con el ambiente a T0=300 K (p0=1,00 atm). Uno de los gases se encuentra inicialmente a la presión p1=5,00 atm, mientras que el otro está a p2=2,00 atm. Determinar el máximo trabajo útil que puede extraerse de ese sistema cuando se libera primero el pistón central, a, y después uno de los pistones extremos.

El diagrama del cilindro diatermo con los tres pistones trabados es:

1 mol, 300 K, p=?

1 mol, 300 K, p=?

1 mol5 atm300 K

1 mol, 2 atm300 K

b a c b c

92,45

300·082,0

1

01

p

RTv

El volumen de cada cámara es:

l 30,122

300·082,0

2

02

p

RTv l

Datos: T0, p1, p2.

v=v1+v2=17,22 l 86,22 0

v

RTp atm

1 2

El trabajo que hace cada gas es:

2

2022121 v

dvnRTdvpdvpdW

1

1011212 v

dvnRTdvpdvpdW

con dv1+dv2=0v1 pasa de 4,92 l a 17’22/2 lv2 pasa de 12,30 l a 17’22/2 l

El trabajo útil obtenido al quitar el pistón a es:

50630,12

61,8ln

92'4

61,8ln300·082,021

WWW a

útil J

Ahora quitemos otro pistón, por ejemplo el c:

2 moles, 300 K, p=2,86 atmv=17,22 l

2 moles, 300 K, 1 atm

Datos: T0, p1, p2, p, v1, v2, v.

El volumen que ocupan los 2 moles cuando se quita c:

2,491

300·082,0·2

0

03

p

nRTv l

El trabajo que realizan el gas y el medio es:Wgas=p0(v3-v)=1(49,2-17,22)=3240 J

dWmedio=pdv0=-pdv ya que dv+dv0=0Entonces:

5234ln 30

v

vnRTWmedio J

199432405234 cútilW J 5,21994506 total

útilW kJ

Datos: T0, p1, p2, p, v1, v2, v, .aútilW

Problema 75

Un sólido posee una ecuación de estado dada por:

con v0, y k constantes. Expresar el incremento de entropía que acompaña a una compresión brusca {p1 p2} de ese sólido a la temperatura constante de T0.

)··1(0 pkTvv

Datos: v0, , k, p1, p2,

Según la ecuación fundamental:

pdvdvv

udTcpdvduTds

Tv

Y según la ecuación termodinámica de estado:

pT

pT

v

u

vT

Sustituyendo:

)·( 00 kdpvdTvT

pTdTc

dvppT

pTdTcTds

vv

vv

)··1(0 pkTvv

Datos: v0, , k, p1, p2, )··1(0 pkTvv

)·( 00 kdpvdTvT

pTdTcTds

vv

Como el proceso es isotermo:

kdpvT

pds

v0·

Dado que:

1

Tpv p

v

v

T

T

pkT

p

v

Sustituyendo:

dpvds 0 integrando )( 120 ppvs

Problema 76Cierto gas cumple la ecuación de estado:

Exprese el cambio de entropía que acompaña la expansión isoterma del gas hasta duplicar su volumen inicial.

TRvv

ap ··

2

La ecuación fundamental nos da la expresión del cambio de entropía con el cambio de volumen:

pdvdvv

udTcpdvduTds

Tv

Pero, según la ecuación termodinámica de estado:

pT

pT

v

u

vT

Si sustituimos y tenemos en cuenta que el proceso es isotermo, obtenemos:

dvT

pds

v

Datos: a, v1, v2, pv=RT-a/v

(1)

2lnln1

2 Rv

vRs

Datos: a, v1, v2, pv=RT-a/v

Por otra parte:2v

a

v

RTp

Derivando:v

R

T

p

v

Sustituyendo en (1):v

dvRds

De donde, integrando: