PROBLEMA 1

A una esfera maciza de radio unidad se le hace una perforación cilíndrica siguiendo un eje

diametral de la esfera. Suponiendo que el cilindro es circular de radio , con y que

el eje que se usa para taladrar la esfera es el , el sólido resultante queda definido por:

*( ) +

Calcular el área total de la superficie exterior de V (incluyendo la parte cilíndrica). ¿Para qué

valor de a se hace máxima el área calculada? ¿Cuál es el valor del área máxima de V?

SOLUCIÓN:

Sea la superficie de la parte esférica superior, parametrizada con coordenadas cilíndricas de

la siguiente manera:

{( ) ( ) . √ / }

El producto fundamental es

|

√

|

(

√ ) (

√ ) ( )

Su módulo es

‖

‖ √(

√ )

(

√ )

√ ( )

√

| |

√

√

Por lo tanto, su superficie es:

( ) ∫

∬ ‖

‖

∫ ∫

√

∫

∫

√

( )( ) |

( ) (( )

( )

) √

Por lo tanto, al tratarse de una media-esfera, el área total de la parte esférica es

. √ / √

El área de la parte cilíndrica viene dado por (sin calcular integrales):

. √ / √

El área total es

( ) √ √ ( )√

Para obtener el valor del parámetro a para obtener el valor del área máxima, se deriva e iguala

a cero:

( )

. ( )√ /

√ ( )

√

√

√

Cuyas soluciones son

{

Y la que satisface el problema es

obteniéndose un área máxima de

(

) (

)√ (

)

√

√

PROBLEMA 2

Hallar

∬

Donde es el campo vectorial

( )

Y la superficie S el siguiente conjunto

*( ) +

SOLUCIÓN:

Sea D el disco definido por

*( ) +

Sea W el sólido cuya frontera es la superficie

*( ) +

Y la normal unitaria del sólido orientada exteriormente como se muestra en la figura

Como ( ) entonces se puede aplicar el teorema de Gauss a la frontera cerrada del

sólido W:

∯

∭

Calculando el valor de la divergencia de :

( )

( )

( )

Así

∯

∭

∭

( )

Y transformando el sólido W a coordenadas esféricas:

| ( )

( )|

*( ) +

Luego se obtiene el flujo sobre la superficie cerrada

∯

∭

∭

( ) ∭

∫

∫

∫

Para calcular la integral del flujo sólo sobre la superficie del hemisferio superior de la esfera

(sin la tapa), entonces se debe calcular la integral del flujo sobre la tapa D y luego determinar

la integral de flujo sobre la superficie S según la identidad:

∯

∬

∬

∬

∯

∬

La normal orientada exteriormente de la superficie es , luego se calcula el flujo

∬

∬

∬ ( ) ( )

∬ ( )

∬

∬

( )

∬

∯

∬

( )

PROBLEMA 3

Sea definido por la siguiente función vectorial

( ) ( )

Sea la superficie del cono definida por

{( )

}

y sea D el disco definido por

*( ) +

(a) Encuentre el valor del flujo del vector sobre la superficie total del cono con tapa:

∯

(b) Encuentre el valor del flujo del vector sobre la superficie del cono S:

∬

SOLUCIÓN:

(a) Sea W el sólido cuya frontera es la superficie

{( )

}

Como ( ) entonces se puede aplicar el teorema de Gauss a la frontera cerrada del

sólido W:

∯

∭

Calculando el valor de la divergencia de :

( )

( )

( ) ( )

Así

∯

∭ ( )

Y transformando el sólido W a coordenadas cilíndricas:

| |

| |

Además . Así el sólido del cono W en coordenadas cilíndricas es

{( )

}

∯

∭ ( )

∭ ( )

∫ ∫ ∫ ( )

∫ ∫ ∫ ( )

∫ ∫ (

) |

∫ ∫ ((

) (

(

)

))

∫ ∫ (

(

)

)

∫ ∫ (

)

∫ (

)

∫

(

) |

z

r

H

R

H

Superficie S

Superficie D

(

) (

)

((

) (

) ) (

)

(

)

∯

(

)

(b) Para calcular la integral del flujo sólo sobre la superficie lateral del cono (sin la tapa),

entonces se debe calcular la integral del flujo sobre la tapa del cono D y luego

determinar la integral de flujo sobre la superficie S según la identidad:

∯

∬

∬

La tapa del cono es el plano definido por

*( ) +

Cuya normal orientada exteriormente es

∬

∬

∬ ( )

∬

∬

∬

( )

Luego, se determina la integral de flujo sobre la superficie del cono S

∬

∯

∬

(

)

PROBLEMA 4

Verifique el teorema de Stokes para

Si es el paraboloide con la circunferencia como su

frontera (sentido arbitrario).

SOLUCIÓN:

Sea la circunferencia . Se debe encontrar una parametrización a la

superficie cuya frontera es

*( ) +

Puede parametrizarse adecuadamente usando coordenadas cilíndricas:

Como la proyección de la superficie sobre el plano XY es una circunferencia con centro en el

origen entonces por lo que la parametrización de S viene dada por

{( ) ( ) }

Y el dominio es *( ) +

Como el campo vectorial ( ) entonces se puede aplicar el teorema de Stokes que

permite determinar el valor de la integral de la trayectoria C mediante

∮

∬

Calculando el rotacional del campo vectorial:

||

||

(

( )

( )) (

( )

( )) (

( )

( ))

( ) ( ) ( ) ( )

El producto fundamental de la parametrización es

|

|

( ) ( ) ( )

( )

∮

∬

∬

( ) ( )

∮

∬

∬ ( )

∫ ∫ ( )

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

( ) (

)

Por otro lado, se calcula la integral de trayectoria por parametrización de la curva lo que

permite verificar el Teorema de Stokes

* +

∮

∫ ( ) ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫

∫

PROBLEMA 5

Calcule la integral

∮

donde es el campo vectorial

( ) ( ( ) )

Y C es la curva de intersección de la superficie con la superficie esférica

con , en el semiespacio , orientada en sentido antihorario visto

desde un punto ( ) con grande positivo.

SOLUCIÓN:

(a) La ecuación es un cilindro centrado en ( ) y de radio tal

como se demuestra a continuación

(

)

.

/

.

/

Y la ecuación es una esfera centrada en el origen y radio . La curva C es la

intersección del cilindro y la esfera tal como se muestra en la siguiente figura

Se debe encontrar una parametrización a la superficie cuya frontera es C, es decir, la parte de

la esfera dentro del cilindro :

{( ) .

/

.

/

}

Puede parametrizarse adecuadamente usando coordenadas cilíndricas:

| | √

Como la proyección de la superficie sobre el plano XY abarca los cuadrantes y

entonces el ángulo varía

Por lo que la parametrización de S viene dada por

{( ) . √ /

}

Y el dominio D es

{( )

}

Como el campo vectorial ( ) entonces se puede aplicar el teorema de Stokes que

permite determinar el valor de la integral de la trayectoria C mediante

∮

∬

Calculando el rotacional del campo vectorial:

||

( )

||

(

( )

( ))

(

( )

( ( )))

(

( )

( ( )))

( ) ( ) ( )

El producto fundamental de la parametrización es

( ) . √ /

|

√

|

(

√ ) (

√ ) ( )

(

√ ) (

√ )

La normal a la superficie S cuyo sentido es positivo para la integral de superficie es cuya

componente z es positiva. Se puede verificar que la z-componente del producto fundamental

(vector normal) es positiva ya que siempre . Si no hubiese sido positiva, se invierte el

orden del producto cruz. Por último se calcula la integral de superficie:

∮

∬

∬

( (

√ ) (

√ ) )

∮

∬

∬

∫ ∫

∫ (

|

)

∫

∫

(

( )) |

(

( ) )

PROBLEMA 6

Sean campos escalares con segundas derivadas continuas, V un sólido en el

espacio cuya frontera es la superficie cerrada S.

(a) Demuestre que

( )

(b) Demuestre la segunda identidad de Green.

∯ (

)

∭ ( )

(c) Suponga que es idénticamente cero en V. Muestre que

∯

∭ ‖ ‖

NOTA: La función

es la derivada direccional del campo escalar en la dirección del vector

unitario normal a S.

SOLUCIÓN:

(a) Se calcula ( ) :

( ) ( ) (

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(b) Como ( ) entonces se puede aplicar el teorema de Gauss a la frontera cerrada

del sólido W:

∯

∭

∯ (

)

∯ ( )

∯ ( )

Se calcula la divergencia del campo . Usando el resultado anterior de la parte (a),

entonces se tiene que

( ) ( ) ( )

∯ (

)

∯ ( )

∭ ( )

∭ ( )

(c) Usando el hecho de que en y usando la identidad de la parte (a)

∯

∯

∯

∭ ( )

∭ ( )

∭ (‖ ‖ )

∭ ‖ ‖

PROBLEMA 7

Sea S una superficie suave, continua y cerrada, siendo esta la frontera de un sólido V en el

espacio y un campo vectorial con segundas derivadas continuas en V. Demuestre

que

∯

SOLUCIÓN:

Como ( ) entonces se puede aplicar el teorema de Gauss a la frontera cerrada del

sólido :

∯

∭ ( )

Sólo hay que probar que ( ) . Sea ( ) ( )

||

|| (

) (

) (

)

Luego se calcula ( ) y se anulan las derivadas cruzadas segundas por ser ( )

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

PROBLEMA 8

Encontrar las constantes y tales que el campo

( ) ( )

Sea conservativo. Usando estos valores y encontrar el valor de la siguiente integral:

∫ ( )

Donde es la curva definida por el siguiente conjunto

{ √

( ) }

SOLUCIÓN:

( ) es un campo ( ), es conservativo si y sólo si

Calculando el rotacional

||

|| |

|

||

( ) ( )

Así, los valores de a y b que cumplen con la condición anterior son

Por lo que el campo

( ) (

)

Es conservativo. Como ( ) es un campo conservativo, entonces existe una función

escalar que cumple con

( ) ( )

(

) (

)

( )

( )

Derivando la ecuación anterior respecto a y queda

(

( ))

( ) ( )

La función f queda

( )

( )

Derivando la ecuación anterior respecto a z queda

(

( ))

( )

Así, la función potencial es

( )

Como el campo ( ) es conservativo, la integral sobre no depende de su trayectoria, por

lo tanto:

∫ ( )

∫ ( )

( ( )) ( ( ))

Usando la parametrización se calculan las posiciones de los extremos de la curva

.

/ (√ .

/

. .

/ /

.

/ .

/) ( )

( ) .√ ( ) ( ( ) ) ( ) ( )/ ( )

∫ ( )

( ( )) ( ( )) ( ) ( )

Utilizando una función potencial

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

∫ ( )

( ) ( ) ( )

PROBLEMA 9

Halle la integral

∫ ( ) ( )

donde es la curva

( ) (

)

( ( )

( )) ( )

(

)

SOLUCIÓN:

( ) es un campo ( ), es conservativo si y sólo si

Calculando el rotacional

||

|| |

|

||

( ) ( )

Por lo tanto el campo ( ) es conservativo. Como ( ) es un campo conservativo,

entonces existe una función escalar que cumple con

( ) ( )

( ) (

)

( )

( )

Derivando la ecuación anterior respecto a y queda

(

( ))

( ) ( )

La función queda

( )

( )

Derivando la ecuación anterior respecto a z queda

(

( ))

( )

Así, la función potencial es

( )

Como el campo ( ) es conservativo, la integral sobre no depende de su trayectoria,

por lo tanto:

∫ ( )

∫ ( )

( ( )) ( ( ))

Usando la parametrización se calculan las posiciones de los extremos de la curva

( ) . .

// ( )

( ) ( ) ( )

∫ ( )

( ( )) ( ( )) ( ) ( )

Utilizando una función potencial

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

∫ ( )

( ) ( )

(

)

PROBLEMA 1

Resolver la siguiente ecuación en variable compleja

SOLUCIÓN:

Se utilizan las siguientes identidades

(

)

( )

( ) ( )

Se realiza el cambio de variable

( ) ( )

Se multiplica ambos lados por w

( ) ( )

( ) ( )

( ) √( ) ( )( )

( )

√ ( )

( )

√

( )

√

( ) ( √ )

( √ )

( √ )

( )

( )( ) ( √ ) (

) (

√

)( )

Se deshace el cambio de variable

( √

) ( )

( √

) ( )

√ . /

( √

)√

. /

(√ ) . /

Se aplica logaritmo complejo en ambos lados de la ecuación

(√ ) . /

(√ ) .

/

(√ )

.

/

Las soluciones vienen dadas por

.

/ (√ )

PROBLEMA 2

Sea tal que | | y . Demuestre que

|

|

SOLUCIÓN:

|

| |

( )

( ) | |

| |

| |

| | | |

| |

|

|( )( )

( )( )| |

( )( )

| | | |

| | |

| | |

| | | |

| | | |

| | |

|

| | | |

| | | |

| |

| |

| | |

|

| | | |

( )

| | |

| |

| |

PROBLEMA 3

Calcular todos los valores de tales que

SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Si entonces:

Las soluciones son:

PROBLEMA 4

Encontrar todas las soluciones a la ecuación

√

SOLUCIÓN:

( √ ) ( √ )

√ | √ | .

/

.

/

Así

( √ ) .

/

.

/

( .

/ )

√

.

/

.

/

Como la ecuación es un polinomio de grado 4, según el teorema fundamental del álgebra

entonces tiene 4 raíces siendo estas:

.

/

.

/

.

/

.

/

PROBLEMA 5

Comprobar que la función definida por

( ) {

( )

Satisface las condiciones de Cauchy-Riemann en el punto , pero no es analítica en dicho

punto.

SOLUCIÓN:

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el punto y por lo tanto ( ) es

derivable en . Sin embargo

( )( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) no satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un ε-entorno alrededor de , por

lo tanto no es analítica en .

PROBLEMA 6

Si en un cierto dominio la función compleja y su compleja conjugada

son ambas analíticas, probar que es una función constante en ese dominio.

SOLUCIÓN: La función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann por ser una función

analítica

La función conjugada también satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann por ser

una función analítica

( )

( )

Por lo tanto las funciones y satisfacen las ecuaciones simultáneamente

{

( )

( )

{

( )

( )

Igualando la primera de estas con la tercera igualdad

Igualando la segunda con la cuarta:

De estas ecuaciones se obtiene que

Por lo que

( )

Así la función debe ser constante en todo su dominio.

PROBLEMA 7

Sea la función definida por

( )

(a) Hallar una función tal que ( ) ( ) sea una función analítica.

(b) Expresar como una función ( ) que satisface ( ) .

SOLUCIÓN:

Como la función es analítica, satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Por lo que

( ) ( )

( ( ))

( ) ( ) ( )

La función ( ) es

( )

Y la función ( ) es

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

Y la función es

( )

PROBLEMA 8

Sea una región simplemente conexa que no contiene al punto ( ) y sea ( ) la

función definida por

( )

( ) ( )

(c) Hallar una función tal que ( ) ( ) sea una función analítica en

.

(d) Expresar como una función ( ).

SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( ) ( )

es una función analítica en si y sólo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en :

Reescribiendo ( ) en términos de logaritmo

( )

( ) ( )

(( )

( ) )

Y usando la segunda ecuación de Cauchy-Riemann y sabiendo que ( ) es una función

( ) :

(

(( )

( ) ))

( (( )

( ) ))

( (( )

( ) ))

(

(( )

( ) ))

Por lo tanto

(

(( )

( ) ))

Integrando ambos lados respecto a la variable

( )

(( )

( ) ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Luego se usa la primera ecuación de Cauchy-Riemann para determinar ( )

( ) ( )

( ) ( )

(( ) ( )

)

( ) ( )

(( ) ( )

)

( ) ( )

( ) ( )

(( ) ( )

) ( )

( )

( )

(( ) ( ) ) ( )

igualando las dos ecuaciones anteriores

( ) ( )

(( ) ( )

)

( ) ( )

(( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

Por lo tanto la función ( ) es

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

( ) ( ) )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Reescribiendo ( ) ( ) en términos de y su conjugada:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

| | ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

PROBLEMA 9

Demuestre que si es una función analítica ( ) ( ) ( ), entonces:

(a) Sus componentes real e imaginaria ( ) y ( ) satisfacen la ecuación de Laplace

( )

(b) Si C es una curva cerrada en el plano complejo que es frontera del conjunto ,

entonces

∮ ( )

SOLUCIÓN:

(a) Como la función es analítica, satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Derivando las dos ecuaciones anteriores respecto a cada lado de la igualdad, se tiene que

Y Derivando también respecto a

Igualando las derivadas cruzadas

Se obtiene que

(b) Si C es una curva cerrada en el plano complejo y es una función analítica entonces

se puede aplicar el Teorema de Green en el plano complejo:

∮ ( )

∮ ( ) ( )

∮ ( )( )

∮

∮

∮

∮

∬ (

( )

)

∬ (

)

∮

∬ (

)

Y como la función f es una función analítica, entonces se satisface las ecuaciones de Cauchy-

Riemann:

Así

∮

∬ (

)

∮

∬ (

)

Por lo tanto

∮ ( )

∮

∮

PROBLEMA 10

Una función ( ) que satisface

(

) | ( )| | ( )|

Demostrar que ( ) tiene que ser una función analítica.

SOLUCIÓN:

Una función analítica satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Y como ( ) es una función analítica, entonces sus componentes reales

( ) ( ) satisface la ecuación de Laplace (ver PROBLEMA 8):

Ahora sabiendo que | ( )|

(

) | ( )| (

)( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

Como las funciones u y v satisfacen la ecuación de Laplace, la expresión anterior se simplifica a

(

) | ( )| (

)

(

)

(

)

(

)

((

)

(

)

(

)

(

)

)

La derivada de ( ) se puede encontrar a partir de las derivadas de sus componentes u y v:

Así

|

|

| ( )| (

)

(

)

(

)

(

)

y se tiene que

(

) | ( )| ((

)

(

)

(

)

(

)

)

(((

)

(

)

) ((

)

(

)

)) (| ( )| | ( )| )

| ( )|

PROBLEMA 11

(a) Halle la serie de Taylor de

( )

alrededor de y su radio de convergencia.

(b) Usando la parte (a) encuentre la serie de Taylor alrededor de de

( )

( )

SOLUCIÓN:

(a) Se reescribe la serie geométrica para que su serie tenga términos de ( )

( )

( )

∑ (

)

∑( )

( )

( ) ( )

( )

El radio de convergencia de la serie de Taylor son los valores de z tales que

| ( )

( )|

| ( )

( )|

|

( )

( )

( )

( )

|

|

| |

|

|

|

| |

√ | | √

(b) Se deriva dos veces la serie desarrollada anteriormente

( ) ∑( )

( )

( )

( )

∑

( )

( )

∑ ( )

( )

∑

( ) ( )

( )

( )

∑

( ) ( )

∑( )

( ) ( )

∑( )( )

( ) ( )

PROBLEMA 12

Sean con | | | | y sea la siguiente función

( )

( )( )

Encuentre las series de Laurent para los siguientes dominios

(a) | | | |

(b) | | | | | |

(c) | | | |

SOLUCIÓN:

Primero se descompone la función en fracciones simples

( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

Donde se obtienen

( )

( )( )

(

)

CASO 1: | | | |

Las series de

Convergen en su serie de Taylor con potencias positivas alrededor de z=0 ya que ambas se

encuentran dentro de su radio de convergencia

( )

(

)

(

)

∑

| |

∑ .

/

|

|

∑ .

/

|

|

por lo tanto

( )

(

∑ .

/

∑ .

/

)

∑ (

)

CASO 2: | | | | | |

La serie de Taylor de

diverge ya que se encuentra fuera de su radio de convergencia |

| , y la serie de

converge a la serie de Taylor por encontrarse dentro de su radio de convergencia. Se desarrolla

una expansión en serie de Laurent de potencias negativas para la función

.

( )

(

)

(

)

∑ .

/

|

|

( )

(

∑ .

/

∑ .

/

)

∑ (

)

CASO 3: | | | |

En este caso todas las series de Taylor divergen y sólo convergen la expansión de potencias

negativas en serie de Laurent

( )

(

)

(

)

∑ (

)

|

|

Por lo tanto

( )

(

∑ .

/

∑ (

)

)

∑( )

Así se resume que

( )

{

∑ (

)

| | | |

∑ (

)

| | | | | |

∑( )

| | | |

También la serie que converge en | | | | | | se puede expresar como

( )

∑

Con

{

PROBLEMA 13

Determine los primeros cuatro términos de la serie de Laurent, centrada en de

( )

( )

Y diga cuál es la región de convergencia.

SOLUCIÓN:

∑

| |

derivando ambos lados la ecuación anterior

(

)

( )

(∑

) ∑

∑( )

| |

( )

(∑

∑( )

) ∑ ( )

| |

( )

{

∑ ( )

∑

( )

| |

( )

( )

(∑

( )

)(∑( )

) | |

Expandiendo las series parcialmente

∑

( )

∑( )

(∑

( )

)(∑( )

) (

)( )

( ) ( )

( ) ( )

(

) (

)

( )

( )

(

)

| |

PROBLEMA 14

Calcular la integral

∮

(a) | |

(b) | |

(c) | |

SOLUCIÓN:

Factorizando

1 -2 -5 6 1 1 -1 -6

1 -1 -6 0

( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )

(a) CASO 1: | |

No encierra ningún polo, por lo que

es una función analítica en la región cuyo

borde es la curva por lo que

∮

(b) CASO 2: | |

Encierra dos polos y ya que se verifica que estos se encuentran dentro de la

región | |

| | | |

| | | |

Se calculan los residuos asociados a cada polo simple, no se calcula el residuo asociado a

ya que esta es una singularidad evitable y su residuo vale cero.

( )

( )

( )

( )( )( )

( )

( )

( )( )( )

∮

( )

( ) (

) (

)

(c) CASO 3: | |

Sólo encierra el polo ya que se verifica que este se encuentra dentro de la región

| |

| | | |

| | | |

Por lo tanto se tiene solo el residuo en y este ya ha sido calculado anteriormente:

∮

( ) (

)

PROBLEMA 15

Calcular

∮

( )( ) | |

SOLUCIÓN:

Se tiene un polo doble en y un polo simple en dentro de la circunferencia

| | . Por lo tanto, sus residuos son:

En

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

En

( )( )

(( )

( )( ) )

(

)

( ( ) ( )

( ) )

(

( ) )

( )( ) ( ) ( )

(( ) )

( )( ) ( ) ( )

(( ) )

( )( ) ( )

( )

( ( ) )( ) (( ) ( ) )

( )

( )( ) ( )

( )

( )

∮

( )( ) | |

(

( )( )

( )( ) )

(

(

))

PROBLEMA 16

Sea la función definida por

( )

(a) Encuentre las singularidades de ( ) y calcule el residuo en cada uno de estos puntos.

(b) Calcule

∮ ( )| |

SOLUCIÓN:

Los polos en este caso suceden cuando

Así

( )

Según el Teorema Fundamental del Álgebra la ecuación anterior solo tiene 4 raíces. Los 4 polos

simples son:

Como el denominador de la función anterior tiene ceros simples, entonces se puede expresar

de la forma

( ) ( ) ( ) ( )

Derivando la ecuación anterior

( )

(( ) ( ))

( ) ( ) ( )

Y evaluándola en

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Cualquier residuo en cualquiera de sus polos viene dado en forma general por

( )

( ) ( )

( )

( )

| |

Como | | . Entonces

| | |

|

Y la fórmula del residuo se simplifica a

( )

En

( )

( )

. .

/ .

//

(

√

√ )

√

En

( )

( )

. .

/ .

//

(

√

√ )

√

En

( )

( )

( (

) (

))

(

√

√ )

√

En

( )

( )

( (

) (

))

(

√

√ )

√

La circunferencia de radio infinito encierra todos los polos, por lo tanto

∮ ( )| |

∑

( )

(

√

√

√

√ )

PROBLEMA 17

Sea una función entera tal que ( )

con ( ) .

Calcular

∮ ( )

( )

| |

SOLUCIÓN:

Como ( ) entonces es un polo de multiplicidad 2 y es un polo simple. Como

ambos polos se encuentran dentro del disco | | entonces la integral se calcula mediante el

teorema de los residuos

∮ ( )

( )

| |

(

( )

( )

( )

( ))

Para el polo doble en se tiene que

( )

( )

(( )

( )

( ))

( ( )

)

( ( ) ( ) )( ) ( )

( )

( ( ) ( ) ( ) ( ))( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Luego

( )

( ) ( ) ( )

Para el polo simple en se tiene que

( )

( )

(( ) ( )

( ))

( ( )

)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

∮ ( )

( )

| |

(

( )

( )

( )

( )) ( ( ))

( )

PROBLEMA 18

Sea la circunferencia | | recorrida en sentido antihorario. Sea

( ) ∮

( )

Demostrar que ( ) es constante en

* | | + * | | +

SOLUCIÓN:

CASO 1 cuando | | :

Como el punto z satisface | | entonces quiere decir que este se encuentra fuera de la

circunferencia C y así no encierra el polo w = z por lo tanto

( ) | | | |

Como el integrando es una función analítica porque el polo no está encerrado por C, entonces

su residuo es nulo

( ) ∮

( )

( )

CASO 2 cuando | | :

Como el punto z satisface | | entonces quiere decir que este se encuentra DENTRO de

la circunferencia C y así encierra el polo w = z por lo tanto la integral se calcula como el

residuo del integrando en este polo:

( ) ∮

( )

( )

(( )

( ) )

( )

( )

( )

( ) ∮

( )

{ | |

| |

PROBLEMA 19

Sea , ) con la función definida por

( )

∮

( )

| |

Encuentre ( ) explícitamente.

SOLUCIÓN:

Se tiene un polo doble en y polos simples en . Por lo tanto, sus residuos son:

En

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( ) ( )

( )

En

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( ) ( )

( )

En

( )

(

( ))

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

∮

( )

| |

( )

( )

( )

( )

∮

( )

| |

(

)

( )

PROBLEMA 20

Sea la región interior a la curva y sea una función analítica excepto en

que tiene un polo de multiplicidad . Además tiene un cero de multiplicidad

con . Demuestre que

∮

( )

( )

SOLUCIÓN:

Como tiene un cero de multiplicidad entonces se cumple que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

(

( )

( ))

( ) (

( )

( ))

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Como tiene un polo de multiplicidad entonces se cumple que:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

(

( )

( )

)

( ) (

( )

( )

)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

∮

( )

( )

( )

( )

( )

( )

PROBLEMA 21

Sea una función definida por

( ) ∑√

( )

Calcule el residuo de la función ( ) ( ) en .

SOLUCIÓN:

( ) ∑√

( ) ( ) ∑√

( ) ( ) ∑√

( )

( )

⏟ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(( )

( ) )

(( )

( )

( ))

( )

( )

( )

( )

Expandiendo la serie parcialmente y evaluando en

( ) ∑√

( )

( ) √

√

( )

√

( ) ( )

√

Derivando la serie término a término y evaluando en

( ) √

√

( ) ( )

√

( )

( )

( )

( )

√

√

√

√

√

√ √

PROBLEMA 22

Sea un valor entero y sea una función analítica alrededor de un punto tal

que

( )

( )

( )

( ) ( )

Calcule el residuo de la función ( ) ( ) en , en términos de los coeficientes de la

serie

SOLUCIÓN:

Se pone

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (

( ) )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )( ) ( ) (

( ) )

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

(( )

( ) ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Además se conoce que ( ) es una función cuya parte analítica tiene la serie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Evaluando la serie anterior en se tiene ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

PROBLEMA 23

Calcule

∮ .

/

| |

SOLUCIÓN:

Clasificando las singularidades del integrando dentro del disco | |

. /

Se tiene que es una singularidad esencial ya que la serie de .

/

(

) ∑

( )

( )

| |

Presenta infinitas potencias negativas y también se tiene un polo simple en . Primero se

determina el residuo asociado a la singularidad . Para esto se encuentra el coeficiente del

término de de la serie de .

/

∑

| |

. /

(

)

(

)( )

El residuo en es el coeficiente del término de la serie:

. /

∑

( )

( )

( )

El residuo en se halla a partir de la fórmula integral de Cauchy

. /

( )

. /

(

) ( )

∮ .

/

| |

(

. /

. /

) ( ( ) ( ))

PROBLEMA 24

Calcule

∮

( ) | |

SOLUCIÓN:

Como en el integrando presenta una singularidad esencial, entonces se calcula el

residuo mediante series de potencias de Laurent:

∑

| |

∑

( )

| |

∑

| |

(

)

( ) ∑

∑( )

( )

(

) ( )

( ) (

) ( )

( )

∑

( )( )

∑ ( )

∑( )

∑( )

( )

∑( )

En el integrando contiene un polo doble, por lo tanto su residuo es:

( )

(( )

( ) )

(

)

.

/

.

/

∮

( ) | |

( )

( )

PROBLEMA 26

Sea la función definida por

( )

Encuentre las singularidades de ( ) y calcule el residuo en cada uno de estos puntos.

SOLUCIÓN:

Todos los polos de ( ) son polos simples. Se hallan a partir de la ecuación:

( )

Como tiene ceros simples entonces se puede expresar como:

( ) ( ) ( ) ( )

Derivando la ecuación anterior

(( ) ( )) ( )

( ) ( )

Y evaluándola en

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

A partir de la identidad

( )

( )

Entonces

(

) (

) ( )

( )

.

/

( ) ( ) ( )

PROBLEMA 27

Sea la función definida por

( )

Encuentre las singularidades de ( ) y calcule el residuo en cada uno de estos puntos.

SOLUCIÓN:

( )

Por lo que ( ) tiene polos simples en

( )

Como el denominador de la función anterior tiene ceros simples, entonces se puede expresar

de la forma

( ) ( ) ( ) ( )

Derivando la ecuación anterior

( )

(( ) ( ))

( ) ( ) ( )

Y evaluándola en

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

En

( )

Todos residuos valen -1

( )

PROBLEMA 28

Sea la función definida por

( )

Encuentre las singularidades de ( ) y calcule el residuo en cada uno de estos puntos.

SOLUCIÓN:

Los polos de la función anterior son simples y suceden cuando

Ya que la función coseno y la función seno no se anulan en el mismo punto. Se conoce que la

función seno se anula en un múltiplo entero de por lo que los polos son

Como la función seno tiene ceros simples en cada esta función se puede escribir

como

( ) ( ) ( ) ( )

Derivando la ecuación anterior

(( ) ( ))

( ) ( ) ( )

Y evaluándola en

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Por lo que todos los residuos en todos los polos valen 1.

PROBLEMA 29

Clasificar las singularidades de

( ) ( )

( )

Y hallar los residuos en dichos puntos.

SOLUCIÓN:

Primero se encuentran los puntos tales que

( )

De las cuales se sabe que tiene 4 raíces por el Teorema Fundamental del Algebra. Empleando

el cambio de variable

( )

Se emplea el método de Ruffini para factorizar el polinomio ya que se conoce una de sus raíces

:

1 ( ) 1 1

1 0

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( √ )( √ )

Las singularidades se presentan en

√

En entonces se presenta una singularidad evitable ya que el límite de la función en dicho

punto es finito (esto es aplicando la regla de L'Hopital):

( )

( )

( )

( )

( )

Entonces la función en es una función analítica y su residuo es nulo

( )

Las singularidades que se presentan en , √ que anula únicamente el

denominador, son polos simples ya que su multiplicidad algebráica de todas estas

raíces es 1 (viendo la factorización).

( ) ( )( )( √ )( √ )

Calculando los residuos en estos polos:

En

( )

( )

( )( )( √ )( √ )

( )

( )

( )( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

En √

√

( ) √

( )

( )( )( √ )( √ )

√

( √ ) ( )

( √ )( √ )( )

√

( )

( √ )( )

(√ )

(√ √ ) .(√ ) /

(√ )

√ ( )

En √

√

( ) √

( )

( )( )( √ )( √ )

√ ( √ )

( )

( √ )( √ )( )

√

( )

( √ )( )

( √ )

( √ √ ) .(√ ) /

(√ )

√ ( )

PROBLEMA 30

Sea la función definida por

( ) ( )

Encuentre, clasifique las singularidades de ( ) y calcular

∮ ( )| |

SOLUCIÓN:

es una singularidad evitable. Sólo es necesario probar que el límite de ( )

cuando existe y es finito:

( )

( )

( )

( ( ))

(

( ))

.

/ (

( ))

Si se redefine la función ( ) como

( ) {

( )

Entonces es una función analítica en .

es un polo simple. Sean las funciones analíticas ( ) y ( ) tales que

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) tiene un cero simple en y ( ) tiene un cero de orden 2 en , entonces ( )

tiene un polo simple en :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Por lo tanto el siguiente límite existe y es finito:

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

son polos de orden 2.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) no tiene un cero en y ( ) tiene un cero de orden 2 en , entonces ( )

tiene un polo doble en con :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Por lo tanto el siguiente límite existe y es finito:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Para calcular

∮ ( )| |

Se encuentran las singularidades que se encuentran dentro del disco | | :

se encuentra dentro del disco ya que | |

se encuentra dentro del disco ya que | |

se encuentran fuera del disco ya que | | | | | |

Se concluye que y se encuentran dentro del disco | | . Por el teorema de

los residuos:

∮ ( )| |

.

( )

( )/

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Así

∮ ( )| |

( )

PROBLEMA 31

Sea la función definida por

( )

( ) ( )

Encuentre, clasifique las singularidades de ( ), determine el residuo en sus polos simples y

calcular

∮ ( )|

|

SOLUCIÓN:

es una singularidad evitable. Sólo es necesario probar que el límite de ( )

cuando existe y es finito:

( )

( ) ( )

( ) ( )

(

( ) ( )) (

)

( ) ( )

Entonces es una función analítica en si se redefine la función ( ) como

( ) {

( ) ( )

es un polo doble. Sean las funciones analíticas ( ) y ( ) tales que

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

) .

/

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

) .

/ ( (

)

) .

/

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) .

/ (

) .

/ ( (

)

) .

/

( ) tiene un cero doble en , entonces ( ) tiene un polo doble en

( ) (

)

( ) ( ) ( )

Por lo tanto el siguiente límite existe y es finito:

(

)

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

. /

( )

( )

( )

Son polos simples los puntos tal que ( ) a excepción de .

( )

(

) (

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

) (

)

( )( )

( )( )

( ) tiene un cero simple en

, entonces ( ) tiene un polo simple en

:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Por lo tanto el siguiente límite existe y es finito:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Calculando el residuo en

:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

.

/

( )

Sólo el polo simple está contenido en |

|

por lo tanto

∮ ( )|

|

( ) ( )

.

/

( )

( )

PROBLEMA 32

Calcule

∫ ( )

( )

SOLUCIÓN:

Esta integral de variable real se resuelve usando cálculo de variable compleja. Se reemplaza

( ) por la función compleja en el integrando y se plantea una integral de curva

cerrada definiendo las siguientes trayectorias:

* | | +

{ }

Así, si entonces

∮

( )

∫

( )

∫

( )

La integral sobre la recta se reduce a la integral de variable real. La integral sobre el

integrando que contiene la función seno es cero ya que el integrando es una función

impar:

∫

( )

∫

( )

∫ ( ) ( )

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

La integral sobre la curva cerrada se calcula con el teorema de los

residuos. Primero se encuentran los polos:

( ) (( )( ))

( ) ( )

Así el integrando tiene dos polos de orden 2 en . Pero solamente el polo se

encuentra dentro de la trayectoria y sólo se debe calcular el residuo en este

polo:

∮

( )

( )

( ) ( )

(( )

( ) ( ) )

(

( ) )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

La integral sobre la curva es cero cuando

Primero se encuentra el módulo máximo del integrando:

|( ) | || | | | | ( )

Por lo tanto si se invierte la desigualdad anterior:

|( ) |

( )

y multiplicando por la función exponencial (cuyo módulo es uno):

|

( ) |

( )

|∫

( )

| ∫ |

( ) |

∫

( )

| |

( ) ∫ | |

( ) ( )

( )

Si entonces

|∫

( )

|

( )

∫

( )

La integral sobre el arco de circunferencia es cero. Se toman límites de en ambos

lados de la igualdad de

∮

( )

∫

( )

∫

( )

Así

( )

∫

( )

( )

∫

( )

( ) ∫

( )

( )

∫ ( )

( )

( )

PROBLEMA 33

Sea la región definida por

{( ) ( )

( ) }

Calcule el área de .

SOLUCIÓN:

Se desea calcular la integral del área de la región que es

( ) ∬

∫ ( )

( )

Esta integral de variable real se resuelve usando cálculo de variable compleja. Se reemplaza

( ) por la función compleja en el integrando y se plantea una integral de curva

cerrada definiendo las siguientes trayectorias:

* | | +

{ }

{ }

Así, si entonces

∮

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

Como la primera integral se calcula como

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

(( ) )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

La segunda integral es cero cuando . Se encuentra una cota para el integrando sobre el

arco de circunferencia :

| ( )| | ||| | | | | | |(| | ) ( )

Por lo tanto

| ( )|

( )

Como | |

| |

| ( )| |

( )|

( )

|∫

( )

| ∫ |

( ) |

∫ |

( ) |

( )∫ | |

( ) ( )

( )

La integral sobre tiene un módulo máximo

|∫

( )

|

La integral sobre el arco de la circunferencia pequeña se calcula introduciendo la

parametrización:

∫

( )

∫ ( )

(( ) )

∫ ( )

( )

y la integral sobre la región completa cuyo borde es , se calcula mediante el teorema de

los residuos. El integrando tiene tres polos simples: , , , pero el único

polo que se encuentra en el interior de es :

∮

( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

Recordando que

∮

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

Se toman límites en ambos lados en y

La integral sobre

∮

( )

La integral sobre

∫

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

( )

La integral sobre

∫

( )

( ∫ ( )

( )

) ∫ ( )

( )

∫ ( )

∫

La integral sobre es nula ya que su módulo máximo tiende a cero cuando

|∫

( )

|

|∫

( )

|

∫

( )

Sustituyendo las expresiones cuando y

∫

( )

( )

∫ ( )

( )

( )

∫ ( )

( )

( )

( )

PROBLEMA 34

Demuestre que

∫

( )

Con entero.

SOLUCIÓN:

Esta integral de variable real se resuelve usando cálculo de variable compleja. Se plantea una

integral de curva cerrada definiendo las siguientes trayectorias:

* +

{

}

{ }

Así, si entonces

∮

∫

∫

∫

La primera integral se calcula como

∫

∫

La tercera como

∫

∫

( )

∫

∫

La segunda integral tiende a cero cuando el parámetro R tiende a infinito. La función

tiene una cota en el arco

| | | | | | | | |

|

Y como

|∫

| ∫ |

|

∫ |

|

∫ | |

∫ | |

∫ | |

∫

Así

|∫

|

|∫

|

Por lo tanto

∫

Entonces

∮

∫

∫

∫

∮

∫

∫

∫

∮

∫

∫

∮

( )∫

La integral de curva cerrada se calcula usando el teorema de los residuos, de la siguiente

manera

∮

∑

La función

es analítica en todos los puntos de la región interior a la curva cerrada

excepto cuando .

( ) ( )

Estas serían todas las raíces de para ya que esta ecuación

representa las n-raíces de un polinomio.

La curva sólo encierra a uno de esto polos, es decir, el único polo que hay en esta región es

la primera raíz compleja, cuando :

Sea ( ) . Como ( ) tiene ceros de multiplicidad simple en , entonces se puede

escribir esta función como

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

El residuo de la función en este polo se puede calcular a partir de la fórmula

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )

Así

( )

( )

Se tiene el valor de la integral sobre la curva cerrada

∮

( )∫

∫

∫

( )

. /

( )

PROBLEMA 35

Sea el conjunto * | | + y sea la función definida por

( ) ∫

(a) Encuentre ( ) explícitamente.

(b) Usando la parte (a) muestre la siguiente fórmula de integración

∫

( )

( ) | |

Sugerencia: Calcule ( ) .

SOLUCIÓN:

(a) Esta integral de variable real se calcula transformando al plano complejo. La curva de

integración es la circunferencia unitaria de centro en el origen | | parametrizada

por

{ , - }

Y definiendo la región interior a como

* | | +

Así

( ) ∫

∮

| |

∮

| |

∮

| |

∮

| |

Se hallan los polos del integrando, es decir, se resuelve la ecuación:

√( )

√

√

√ | |

. √ / . √ /

√

√

∮

| |

√

. √ /

. √ /. √ /

√

√

√ √

√

√

Por lo tanto

( ) ∫

∮

| |

√

√ | |

(b) A partir del resultado anterior

( ) ∫

√ | |

Se deriva la función ( ) dos veces:

( )

∫

(

√ ) | |

( ) ∫

(

)

( ( ) )

( ) ∫

( )

( )

( ) ∫

( )

( )

( ) ∫

(

( ) )

( ( ) )

( ) ∫( )( )

( )

( ) (

) ( ) ( )

∫

( )

( ) (

) ( )

(

)

∫

( )

( ) | |

PROBLEMA 36

Calcule

∫

SOLUCIÓN:

Como el integrando es una función par entonces

∫

∫

multiplicando por 2 los límites de integración y dividiendo entre 2 el argumento del integrando

y la integral

∫

( )

sumando a los límites de integración y restando al argumento del integrando

∫

.

/

∫

. /

Ahora esta si es una integral cuyos límites de integración pertenecen a una circunferencia

completa. Esta integral de variable real se calcula transformando al plano complejo. La curva

de integración es la circunferencia unitaria de centro en el origen | | parametrizada por

{ , - }

Y definiendo la región interior a como

* | | +

(

)

(

) (

)

Así

∫

. /

∮

| |

∮

| |

∮

| |

∮

| |

Se hallan los polos del integrando, es decir, se resuelve la ecuación:

√ ( )( )

√

√

√

Y se tienen los dos polos sobre el eje real

√ √

Sólo está dentro de la circunferencia unitaria, se calcula el residuo sólo en √ :

∮

| |

( )

( )( )

√ ( √ )

√

∫

∫

. /

∮

| |

(

√ )

√

√

PROBLEMA 37

Calcule

∫

SOLUCIÓN:

Como el integrando es una función par entonces

∫

∫

multiplicando por 2 los límites de integración y dividiendo entre 2 el argumento del integrando

y la integral

∫

( )

∫

( )

Ahora esta si es una integral cuyos límites de integración pertenecen a una circunferencia

completa. Esta integral de variable real se calcula transformando al plano complejo. La curva

de integración es la circunferencia unitaria de centro en el origen | | parametrizada por

{ , - }

Y definiendo la región interior a como

* | | +

(

)

(

) (

)

Así

∫

. /

∮

| |

∮

| |

∮

| |

∮

| |

Se hallan los polos del integrando, es decir, se resuelve la ecuación:

√ ( )( )

√

√

√

Y se tienen los dos polos sobre el eje real

√ √

Sólo está dentro de la circunferencia unitaria, se calcula el residuo sólo en √ :

∮

| |

( )

( )( )

√ ( √ )

√

∫

∫

( )

∮

| |

(

√ )

√ √