Problema de la ocho reinas. Implementación en Prolog.

Universidad Nacional de TrujilloFacultad de Ciencias Físicas y

MatemáticasEscuela Profesional de

Informática

Monografía.

Problema de la ocho reinas. Implementación en Prolog.

Autores:

- Vallejos Bardales Gian Piere.- Vela Fernández Jesús Luiscin.- Villanueva Ruiz Mayra Isabel.

Trujillo – Perú2014

Universidad Nacional de Trujillo – Escuela de InformáticaProblema de las ocho reinas

Índice

Dedicatoria 3

Introducción 4

1. Capítulo I: Marco Teórico 5

1.1 Realidad Problemática 5

2. Capítulo II: Conceptos y Algoritmos Asociados 6

2.1 Definición 62.1.1 Suposiciones sobre el espacio de soluciones 62.1.2 Algoritmo Genérico de Backtracking 62.1.3 State Space Tree (Arbol de espacio de estados) 6

2.2 Búsqueda en Profundidad 7

2.2.1 Definición 72.2.2 Backtracking y DFS 7

2.2.3 Algoritmo 72.2.4 Pseudocódigo 8

2.3 Problema de las 8 reinas 8

2.3.1 Definición 8 2.3.2 Historia 8 2.3.3 Planteamiento del Problema 9 2.3.4 Algoritmo 11 2.4 Programa en Prolog 12

Conclusiones 14

Referencias 15

Anexos 16

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A nuestros compañeros estudiantes que buscan saber un poco más de Prolog, a nuestra escuela y a nuestra Universidad.

A nuestros padres, familiares y amigosque confían en lo que podemos hacer y

esperan lo mejor de nosotros.

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Introducción

El problema de las 8 reinas, propuesto por el ajedrecista alemán Max Bezzel en 1948, es uno de muchos (Mochila, Jarras de Agua, etc.), que buscan en desafiar la habilidad, la abstracción y la lógica de aquellos que intentan darle solución.

En pocas palabras, este problema trata sobre cómo se deberían ubicar 8 reinas en un tablero de ajedrez de dimensión 8 de tal forma que ninguna amenace a la otra. Un requisito simple al ser leído pero que hizo pensar a muchos matemáticos de aquella época como Gauss y Georg Cantor.

En la actualidad este problema se ha generalizado y ya no solo son 8 reinas, sino N-reinas sobre un tablero de dimensión N, donde se busca la misma idea, evitar que las reinas se amenacen entre sí.

Para nosotros, los informáticos, no nos es suficiente obtener una solución en papel, buscamos que con la ayuda de un computador, al cual le ingresemos como dato de entrada el número de N reinas, de como respuesta las posibles soluciones en cada caso.

Los lenguajes de programación en los que se ha implementado este problema son distintos, pero en esta monografía nos centraremos en el lenguaje Prolog (Programación Lógica), que con sus conceptos de unificación y backtracking (vuelta atrás) hacen de la implementación de este problema, algo mucho más sencillo.

En el primer capítulo se detalla una vista general de la realidad problemática sobre cómo es que la educación está caminando y cómo es que con Prolog esto puede cambiar. Y el segundo capítulo da alcances de conceptos necesarios para el entendimiento de nuestra implementación, detallamos el seudocódigo y el código del programa en sí.

No es necesario saber mucho de Prolog para entender nuestra aplicación, así que para cualquiera que quiera iniciarse en este mundo o que ya tenga conocimiento alguno de este lenguaje, le será sencillo de entender y porque no, optimizarlo.

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I. Capítulo 1: Marco Teórico

1.1. Realidad Problemática

La situación actual en los centros educativos e instituciones, señala un deterioro del clima escolar, que considera acelerado, y una desmotivación del profesorado y del alumnado, calificando la situación de grave, de alcance internacional.

Algunas de las causas del problema, es la nueva realidad social de la escuela ("con culturas, niveles curriculares y hasta idiomas diferentes"), la inadecuación del currículo a esta realidad, la revolución tecnológica en la que estamos inmersos.

Finalmente se proponen algunas medidas educativas y convivenciales; como hemos visto, en nuestro ámbito de la programación como Ingenieros Informáticos el programar en Prolog abre nuestras mentes a un nuevo modo de ver la computación. Puede que nos resulte difícil comprender esta técnica, pero nos preocupa, finalmente, más que su dificultad, su utilidad, ya que muchas veces nos preguntamos para qué aprender conceptos que puede que en el futuro no sirvan.

Trataremos de mostrar con un ejemplo de forma general la importancia actual que este tipo de paradigmas tiene. En concreto, el paradigma declarativo lógico y, por supuesto, el lenguaje Prolog.

Prolog se puede utilizar para resolver, básicamente, cualquier tipo de problema. Principalmente es útil en la gestión de Juegos, en Inteligencia Artificial y Sistemas Expertos, como lenguaje especialmente pensado para construir bases de conocimientos basados en la lógica que forman parte importante de cualquier agente inteligente, en la construcción de Compiladores e Intérpretes, en el Reconocimiento del Lenguaje Natural, etc.

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II. Capítulo 2: Conceptos y Algoritmos Asociados.

1.2. Backtracking:

1.2.1. Definición:También llamada búsqueda atrás, es una técnica de programación para hacer búsqueda sistemática a través de todas las configuraciones posibles dentro de un espacio de búsqueda.Para lograr esto, los algoritmos de tipo backtracking construyen posibles soluciones candidatas de manera sistemática. En general, dado una solución candidata s:

a) Verifican si s es solución. Si lo es, se procesa esta solución (dependiendo del problema).

b) Construyen todas las posibles extensiones de s, e invocan recursivamente al algoritmo con todas ellas.

A veces los algoritmos de tipo backtracking se usan para encontrar una solución, pero otras veces interesa que las revisen todas (por ejemplo, para encontrar la más corta).

1.2.2. Suposiciones sobre el espacio de soluciones:a. Supondremos que una solución se puede modelar como un vector a=(a1 ,a2 ,…,an), donde cada elemento a i es tomado de un

conjunto ordenado finito S i.b. Representamos a una solución candidata como un vector a=(a1 ,…,ak ) .

c. Las soluciones candidatas se extenderán agregando un elemento al final.

1.2.3. Algoritmo Genérico de Backtracking.

1.2.4. State Space Tree (Árbol de espacio de estados):En la teoría de sistemas dinámicos discrétos, un state space es un conjunto de valores tales que el siguiente proceso puede seguir. En backtracking podemos crear un state space tree para ver los posibles candidatos que se deben recorrer para generar una solución.

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1.3. Búsqueda en Profundidad (Depth First Search).

1.3.1.Definición:Una búsqueda en profundidad o Depth First Search en inglés es un algoritmo que permite recorrer todos los nodos de un grafo o árbol de manera ordenada pero no uniforme. Su funcionamiento consiste en ir expandiendo todos y cada uno de los nodos que va localizando, de forma recurrente, en un camino concreto. Cuando ya no quedan más nodos que visitar en dicho camino, regresa (Backtracking), de modo que repite el mismo proceso con cada uno de los hermanos del nodo ya procesado.

Análogamente existe el algoritmo de búsqueda en anchura (BFS – Breadth First Search).

1.3.2. Backtracking y DFS:La principal diferencia entre el backtracking y el DFS es que el backtracking va generando sus propias soluciones mientras la búsqueda en profundidad recorre un grafo ya realizado.Para poder crear una solución efectiva de backtracking se puede generar un state space tree y aplicar una búsqueda en profundidad para poder obtener los resultados que se deseen.

1.3.3.Algoritmo.Sea G = (V, A) un grafo convexo, V’ = V un conjunto de vértices, A’ un vector de arcos inicialmente vacío y P un vector auxiliar inicialmente vacío:

a) Se introduce el vértice inicial en P y se elimina del conjunto V’.b) Mientras V’ no sea vacío repetir los puntos 3 y 4. En otro caso

parar.c) Se toma el último elemento de P como vértice activo.d) Si el vértice activo tiene algún vértice adyacente que se

encuentre en V’:- Se toma el de menor índice.- Se inserta en P como último elemento.- Se elimina de V’.- Se inserta en A’ el arco que le une con el vértice activo.- Si el vértice activo no tiene adyacentes se elimina de P.

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1.3.4.Pseudocódigo:

1.4. Problema de las 8 reinas.

1.4.1.Definición:El problema de las ocho reinas es un pasatiempo propuesto por el ajedrecista alemán Max Bezzel en 1848. En el juego de ajedrez la reina amenaza a aquellas piezas que se encuentren en su misma fila, columna o diagonal.El juego de las ocho reinas consiste en colocar sobre un tablero de ajedrez ocho reinas sin que estas se amenacen entre ellas.Para resolver este problema se necesita emplear el paradigma de backtracking.

1.4.2.HistoriaEl problema fue originalmente propuesto en 1848 por el ajedrecista Max Bezzel, y durante los años, muchos matemáticos, incluyendo a Gauss y a Georg Cantor, han trabajado en este problema y lo han generalizado a n-reinas. Las primeras soluciones fueron ofrecidas por Franz Nauck en 1850. Nauck también se abocó a las n-reinas (en un tablero de nxn de tamaño arbitrario). En 1874, S. Günther propuso un

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método para hallar las soluciones usando determinantes, y J.W.L. Glaisher redefinió su aproximación.

1.4.3.Planteamiento del Problema

Como cada reina puede amenazar a todas las reinas que estén en la misma fila, cada una ha de situarse en una fila diferente. Podemos representar las 8 reinas mediante un vector [1-8], teniendo en cuenta que cada índice del vector representa una fila y el valor una columna. Así cada reina estaría en la posición (i, v[i]) para i = 1-8.

Por ejemplo el vector (3, 1, 6, 2, 8, 6, 4, 7) significa que la reina 1 está en la columna 3, fila1; la reina 2 en la columna 1, fila 2; la reina 3 en la columna 6, fila 3; la reina 4 en la columna 2, fila 4; etc... Como se puede apreciar esta solución es incorrecta ya que estarían la reina 3 y la 6 en la misma columna. Por tanto el vector correspondería a una permutación de los ocho primeros números enteros.

Un asunto importante que tenemos que tener en cuenta es cómo saber si dos damas no se comen entre ellas diagonalmente. Para las posiciones sobre una misma diagonal descendente se cumple que tienen el mismo valor (fila – columna), mientras que para las posiciones en la misma diagonal ascendente se cumple que tienen el mismo valor (fila + columna). Entonces, si tenemos dos reinas colocadas en las posiciones (i, j) y (k, l) entonces están en la misma diagonal si y sólo si cumple:

i – j == k – l ó i + j == k + lj – l == i – k ó j – l = k – i

Teniendo en cuenta estas consideraciones, podemos aplicar un esquema retroactivo para implementar las ocho reinas de una manera realmente eficiente. Para ello, reformulamos el problema como un problema de búsqueda en un árbol. Decimos que en un vector V1…k de enteros entre 1 y 8 es k-prometedor, para 0 <= k <= 8, si ninguna de las k reinas colocadas en las posiciones (1, V1), (2, v2),…, (k, Vk) amenaza a ninguna de las otras. Las soluciones a nuestro problema se corresponden con aquellos vectores que son 8-prometedores.

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Figura 01. Explicación de 8 reinas.

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1.4.4.Algoritmo.

Sea N el conjunto de vectores de k-prometedores, 0 <= k <= 8, sea G = (N, A) el grafo dirigido tal que (U, V) pertenece a A si y sólo si existe un entero k, con 0 <= k <= 8 tal que:

- U es k-prometedor- V es (k+1) prometedor- Ui = Vi para todo i que pertenece a {1, …, k}

Este grafo es un árbol. Su raíz es el vector vacío correspondiente a k = 0 sus hojas son o bien soluciones (k = 8), o posiciones sin salida (k < 8). Las soluciones del problema de las ocho reinas se pueden obtener explorando este árbol. Sin embargo no generamos explícitamente el árbol para explorarlo después. Los nodos se van generando y abandonando en el transcurso de la exploración mediante un recorrido en profundidad.

Hay que decidir si un vector es k-prometedor, sabiendo que es una extensión de un vector (k – 1 )-prometedor, únicamente necesitamos comprobar la última reina que haya que añadir. Este se puede acelerar si asociamos a cada nodo prometedor el conjunto de columnas, el de diagonales positivas y el de diagonales negativas controlados por las reinas que ya están puestas.

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Figura 02. Esquema reducido del árbol de soluciones.


1.5. Programa en Prolog.

Predicados:

a) nreinas (N, S).

Primer predicado y usado para consultar en el intérprete de Prolog.

nreinas (N ,S ):−crearTablero(N ,Tablero) ,

permutar(Tablero ,S ),

tableroCorrecto(S) .

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nreinas(N ,S ):−crearTablero(N ,Tablero) ,permutar(Tablero ,S ),tableroCorrecto(S) .

crearTablero(0 ,[ ]) .crearTablero(X ,[X∨R ]) :−XMenos1 is X−1 ,XMenos 1≥0 ,crearTablero(XMenos1 ,R) .

permutar([ ] ,[ ]) .permutar(X ,[C∨Z ]):−seleccionar(X ,C ,R) , permutar (R ,Z ).

seleccionar([X∨R ] ,X , R) .seleccionar([C∨R ] , X ,[C∨Y ]) :−seleccionar (R , X ,Y ) .

tableroCorrecto([ ]) .tableroCorrecto([C∨R ]):−not (amenaza(C ,R)) ,tableroCorrecto(R) .

amenaza ¿X isC−Prof ;X=C .amenaza (X ,Prof ,[¿∨R]) :−ProfMas 1is Prof +1 ,amenaza (X ,ProfMas 1 ,R) .amenaza (¿ ,[ ]) :−fail .amenaza (X ,Y ) :−amenaza(X ,1 ,Y ) .


b) crearTablero (X, Y).

Genera un tablero de dimensión X, además testea que Y es una lista de X elementos que contiene los números enteros comprendido entre 1 y X (pueden ser ambos).

crearTablero(0 ,[ ]) .

crearTablero(X ,[X∨R ]) :−XMenos1 is X−1 ,

XMenos 1≥0 ,

crearTablero(XMenos1 ,R) .

Se debe tener en cuenta que dentro del tablero cada reina debe estar ubicada en una columna distinta, por tanto el tablero (tableros) solución será (serán) en donde se de una permutación de este tipo.

El tablero tiene la forma [N ,N−1 ,N−2 ,…,1] .

c) permutar (LX, LY).

Se comprueba si LY es una permutación de los elementos de LX.

permutar([ ] ,[ ]) .

permutar(X ,[C∨Z ]):−seleccionar(X ,C ,R) , permutar (R ,Z ).

Para permutar, se selecciona el primer valor de la lista y se permuta con el resto de la lista.

d) seleccionar (L, X, R).

Se comprueba si X es un elemento de L y R es la lista L sin el elemento X.

seleccionar([X∨R ] ,X , R) .

seleccionar([C∨R ] , X ,[C∨Y ]) :−seleccionar (R , X ,Y ) .

e) tableroCorrecto(X).

Se testea si en el tablero X, ninguna reina amenaza a la otra.

tableroCorrecto([ ]) .

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tableroCorrecto([C∨R ]):−not (amenaza(C ,R)) ,

tableroCorrecto(R) .

f) amenaza(X, Y).

Se comprueba si una reina colocada en la columna X de la fila n de un tablero amenaza a cualquiera de las demás reinas colocadas en las filas 0…n−1 del resto del tablero, y cuyas columnas vienen especificadas en la lista Y.

amenaza ¿

X isC−Prof ;

X=C .

amenaza (X ,Prof ,[¿∨R]) :−ProfMas 1is Prof +1 ,

amenaza (X ,ProfMas 1 ,R) .

amenaza (¿ ,[ ]) :−fail .

amenaza (X ,Y ) :−amenaza(X ,1 ,Y ) .

Conclusiones

En síntesis, las estrategia de búsqueda nos da una idea de cómo los investigadores en IA proponen diferentes formas de solución para los problemas; estas técnicas son clásicas y es por ello que deben ser conocidas por todos aquellos que están relacionados con programación de soluciones por computadora. Existen otros métodos que requieren de mayor complejidad de programación para encontrar mejores soluciones en un tiempo razonable, como son el método de ascenso de la colina, algoritmos genéticos, las redes neuronales. Todos ellos requieren de una mayor complejidad de computación y mayor conocimiento e información del problema.Por tanto, el mundo real es más complejo de lo que se formula en los problemas para solucionar por computadora, sin embargo asumimos que los seres humanos para encontrar soluciones tampoco requieren de mucha información, o al menos no requiere conocer todo el universo para encontrar soluciones buenas.

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Referencias.

Bibliografía.

[1] Russell, Stuart J., Norvig, Peter., Inteligencia Artificial: Un enfoque moderno 2da Edición, Prentice Hall, 2004.[2] Nilsson, Nils J., Artificial Intelligence: A New Synthesis, Morgan Kaufmann, 1998.[3] Simon, Herbert A., Las ciencias de lo artificial, Comares, 2006.[4] Colaboradores de Wikipedia. Inteligencia artificial [en línea]. Wikipedia, La en ciclopedia libre, 2009 [fecha de consulta: 2 de enero del 2009]. Disponible en <http://es.wikipedia.org/w/index.php?

title=Inteligencia_artificial&oldid=2298 6524>.

Webgrafía.

Wikipedia - Vuelta atrás o Backtracking. http://es.wikipedia.org/wiki/Vuelta_atr%C3%A1s

Wikipedia - State Space Tree http://en.wikipedia.org/wiki/State_space

Wikipedia - Búsqueda en profundidad http://es.wikipedia.org/wiki/B%C3%BAsqueda_en_profundidad

Departamento de Matemática Aplicada - Búsqueda en Profundidad http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/busqueda/

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ANEXOS

Tabla comparativa de estrategias de búsqueda en espacios de estados:

Se muestra una comparativa entre las estrategias de búsqueda. Esta nos puede dar una idea rápida de cuál estrategia debemos utilizar al intentar resolver un problema de búsqueda en espacio de estados.

Búsqueda Ventajas DesventajasProfundidad Requisitos modestos de

memoria; fácil implementación

Puede tener ciclos infinitos y no encontrar el resultado.

Amplitud Encuentra la solución si existe dentro del espacio de búsqueda; fácil programación.

Requiere de mucha memoria para; almacenar los nodos.

Con retroceso Menor requisito de memoria al de profundidad, fácil programación.

Puede tener ciclos infinitosy no encontrar el resultado

Primero el mejor Puede encontrar buenas soluciones; resultados más eficientes que una búsqueda no informada.

Puede tener ciclos infinitos; requiere diseño de una heurística complejidad de programación de la heurística.

A* Encuentra buenas soluciones; No se crean ciclos requerimientos moderados de memoria.

Requiere de muy buenas heurísticas.

Minimaxfácil programación

Encuentra una solución óptima. Puede retroceder en caso de no haber una salida.

Sólo funciona para juegos contra adversarios.Crece exponencialmente alnúmero de movimientosRequiere de una muy buenaFunción de evaluación.

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Glosario de Términos:

Árbol: estructura de datos ampliamente usada que imita la forma de un árbol (un conjunto de nodos conectados). Un nodo es la unidad sobre la que se construye el árbol y puede tener cero o más nodos hijos conectados a él. Se dice que un nodo a es padre de un nodo b si existe un enlace desde a hasta b (en ese caso, también decimos que b es hijo de a).

Camino solución: Un grafo dirigido de los nodos visitados que nos llevan a la solución.

Cola: es una estructura de datos, caracterizada por ser una secuencia de elementos en la que la operación de inserción push se realiza por un extremo y la operación de extracción pop por el otro.

Estrategia de Búsqueda: método computacional para resolver problemas.

Heurística: Del griego heuriskein, encontrar. Criterio que puede resolver un problema pero que no hay garantía de que siempre lo resuelva. Estimación del coste necesario para alcanzar una solución desde el estado actual.

Pila: es una lista ordinal o estructura de datos en la que el modo de acceso a sus elementos es de tipo LIFO (del inglés Last In First Out, último en entrar, primero en salir) que permite almacenar y recuperar datos.

Prolog: Prolog se enmarca en el paradigma de los lenguajes lógicos, lo que lo diferencia enormemente de otros lenguajes más populares tales como Fortran, Pascal, C.

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