Presentacin de PowerPoint

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN AGUSTN FACULTAD DE GEOLOGA GEOFSICA Y MINASMTODOS DE MODELIZACIN GEOFSICA

TEMA:PROBLEMA INVERSO DIRECTO

ALUMNOS: ALVAREZ PILLCO MIGUEL MAMANI HUAMAN MARLENY ALARCON CERVANTES VICTOR

2014

El problema inverso aparece en muchas ramas de lacienciay de lasmatemticas.UNPROBLEMA INVERSO El problema inverso de la geofsicaLos mtodos geofsicos se basan en el estudio de los diferentes campos fsicos que se generan o propagan en el interior de la Tierra. Los ms importantes son el gravitatorio,el magntico, el electromagntico y el ssmico.Formulacin general de los problemas directo e inverso

Podemos esquematizar, de forma general, los problemas directo e inverso de la geofsica de la siguiente manera:Problema directo: modelo{parmetros modelo m} datos (d).Problema inverso: datos (d ) modelo {parmetros modelo m}.

PROBLEMAS INVERSOS LINEALESUn problema inverso lineal puede ser descrito por:D = G(m)dondeG es unoperador lineal que describe la relacin explcita entre los datos D, y los parmetros del modelo M y es una representacin del sistema fsico. En el caso de un problema inverso lineal discreto que describa a unsistema lineal,DY Mson vectores, y el problema puede ser escrito como:D = G(m)donde Ges unamatriz.

PROBLEMAS INVERSOS NO LINEALESUna familia de problemas inversos inherentemente ms difciles son los referidos conjuntamente como problemas inversos no lineales.Los problemas inversos no lineales tienen una relacin ms compleja entre los datos y el modelo, representados por la ecuacin:D= G(m).Aqu G es un operador no lineal y no puede ser separado para representar una correspondencia lineal de los parametros del modelo que forman m en los datos.

En este tipo de problemas, lo primero que se debe hacer es comprender la estructura del problema y dar una respuesta terica a las cuestiones de Hadamard (de tal manera que el problema est solucionado desde el punto de vista terico). Una vez hecho esto se sigue con el estudio de la regularizacin y de las interpretaciones de la evolucin de las soluciones con nuevas medidas (probabilsticas o de otro tipo). De ah que las secciones siguientes correspondientes realmente no se refieren a estos problemas.

DIFERENCIAS ENTRE P.I.L Y P.I.N.LMientras que los problemas inversos lineales estaban completamente resueltos desde el punto de vista terico a finales del siglo XIX, slo una clase de problemas no lineales lo estaba antes de1970: el problema espectral inverso y el de la dispersin inversa (en un espacio de una dimensin), tras el trabajo fundamental de la escuela matemtica rusa (Krein,Gelfand, Levitan,Marchenko).Los problemas inversos no lineales se estudian tambin en muchos campos de las ciencias aplicadas (acstica, mecnica, mecnica cuntica, dispersin electromagntica, en ondas radar, ssmicas, en toda clase de procesado de imgenes, etc).Los P.I.N.L. son mas difciles de tratar y hasta muchos otros son ambiguos (se pueden entender de varios modos), las computadoras nos ayudan en este campo pero con el criterio cientfico de un profesional.

Cuando un problema es inversoejemplo elementalEjemplo histrico

CLASICACIN DE LOS MTODOS DE INVERSINmtodos discretosmtodos funcionalesAdoptan un nmero Finito de parmetros modelo.Implican algn tipo de funcin, de forma que los datos y/o las incgnitas se expresanmediante una relacin espacial o temporal.MTODO DIRECTOMediante el algoritmo de Talwani se puede calcular el campo gravitacional de un cuerpo irregular a lo largo de un perfil que corta la estructura perpendicularmente. La seccin transversal se aproxima a un polgono con un nmero finito de vrtices y una densidad de masa (Talwani, 1959).

ALGORITMO DE LEVENBERG-MARQUARDT (ALM)En este algoritmo se determina el error de retropropagacin conbase en el error cuadrtico.

El ALM se puede aplicar utilizando diferentes desarrollosAjuste por mnimos cuadrados con informacin a priori para el problema inverso no lineal.Expansin de orden uno de la serie de Taylor para el problema inverso no lineal, donde el gradiente se aplica a la funcin terica (Mirko,2000)

FACTOR DE ENTRENAMIENTOEl mtodo de regularizacin bayesiana, es una generalizacin delAlgoritmo de Levenberg Marquardt (Tarantola, 1987) usa la matrizde covarianza para los datos y la matriz de covarianza para losparmetros del modelo; se caracteriza por producir una buena perolenta convergencia

CURVA DE APRENDIZAJE

La curva de aprendizaje se obtiene al graficar el nmero de iteracionescontra la funcin estado. Utilizando el factor de entrenamientoCm, se garantiza una rpida convergencia a una solucin ptima y no presenta mnimos ni mximos locales.

VENTAJAS DE ALMEste algoritmo se ajusta con informacin a priori, que regulariza el clculo de los pesos a travs de la penalizacin de pendientes, rugosidad o derivadas de alto orden en el modelo (trminos omitidos). Es til para la obtencin de una solucin suavizada (Scales,2001).Ajusta los valores absolutos de las perturbaciones de los parmetros durante sucesivas aproximaciones de Taylor (Meju,1994)Combina la velocidad del algoritmo de Newton con la estabilidad del mtodo de gradiente descendente (Meju, 1994).

ESTADO DE LA INFORMACIN Y DENSIDAD DE PROBABILIDAD

La aproximacin bayesiana combina los estados de la informacinterica con la informacin obtenida de medidas (datos) a travs defunciones de probabilidad gaussiana. Diferentes configuracionesde los parmetros generan diferentes funciones de probabilidadgaussiana que, agrupadas, definen la densidad de probabilidad asociada a la solucin del problema de inversin.En la distribucin de densidad de probabilidad se puede definiruna frontera razonable lmite del conjunto de soluciones que mejorajusta los datos, permitiendo el reconocimiento de patrones

APLICACIN

El ALM fue desarrollado en plataforma Visual Basic y C++, en elcual se puede ver el proceso de entrenamiento, as como la respectiva convergencia a travs de cada una de las iteraciones.PROBLEMA INVERSO: GEOFISICAMenke (1989) dice que el problema inverso es simplemente el conjunto de MTODOS usados para extraer informacin til de nuestro entorno a partir de medidas fsicas o datos. La informacin til vendr especificada como valores numricos de alguna propiedad de este entorno. Estas propiedades tambin se referirn como mtodo especfico (normalmente una teora matemtica o modelo) que relaciona los parmetros con los datos. El problema inverso contrasta con el problema directo, donde se predicen los datos a partir de los parmetros y de un modelo. Normalmente el problema inverso es ms difcil de resolver que su correspondiente problema directo.PROBLEMA INVERSO: GEOFISICALa teora del problema inverso en su sentido ms amplio ha sido desarrollada por los investigadores que trabajan con mtodos geofsicos. La razn es que dichos investigadores tratan de entender el interior de la Tierra slo a partir de datos obtenidos desde la superficie. Sin embargo, el problema inverso aparece en muchas otras ramas de las ciencias fsicas, como pueden ser la tomografa mdica, el procesado de imagen o el ajuste de curvas. En nuestro caso los sern las resistividades o conductividades del suelo, los datos sern las tensiones medidas en la superficie y el modelo queda an por determinar.PROBLEMA INVERSO: PROSPECCION ELECTRICA (EJM)La interpretacin de los sondeos elctricos a fin de determinar las resistividades y espesores de las capas en un medio estratificado ha sido un tema de investigacin desde principios de siglo. Hasta la disponibilidad de ordenadores, el intrprete se basaba en los procedimientos de ajuste de curvas. Desde que el problema directo para medios estratificados fue resuelto por medio de la teora lineal de filtros (Gosh, 1971a, 1971b), han aparecido muchos trabajos que tratan sobre la interpretacin automtica y numrica (Inman, 1975; Koefoed, 1979; Pous, Marcuello y Queralt, 1987; Zohdy, 1989).PROBLEMA INVERSO: GEOFISICA APLICADA1.- Determinacin de la Propiedad Fisica2.- Obtencin de Datos (de la propiedad fisica en un medio).3.- Determinacion del parmetro.4.- Interpretacion del parmetro (Cualitativa y Cuantitativa). El Algoritmo de Levenberg Marquard permite determinar en forma eficiente los parmetros considerados en el problema de inversin.CONCLUSIONEsta metodologa no solamente se puede enfocar a problemas de estimacin y optimizacin, sino que tambin podra aplicarse en el anlisis de las deformaciones corticales a partir de las variaciones del campo gravitacionalEl mtodo inverso como aplicacin en una rama de la ciencia puede ser a su vez parte de un mtodo directo y viceversa.BIBLIOGRAFIAANLISIS Y RESOLUCIN NUMRICA DE UN PROBLEMA INVERSO EN GEOFSICA MEDIOAMBIENTAL. APLICACIN AL CASO DE LOS SONDEOS ELCTRICOS VERTICALEShttp://petrus.upc.es/wwwdib/tesis/mgasulla/Cap5.pdfhttp://www.inin.gob.mx/documentos/publicaciones/contridelinin/Cap%C3%ADtulo%2033.pdf