Problema2
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2. Problema 2 Realizar de manera clara y detallada cada uno de los puntos que a continuaci´on se enuncian. Considere el circuito que se muestra en la figura 2.1. Figura 2.1: Circuito RC para el problema 2. a) Obtenga las ecuaciones que describen la din´ amica del circuito el´ ectrico as´ ı como la ecuaci´on de salida, todo esto en funci´ on del tiempo. e i (t)= R 1 i(t)+ 1 C 1 Z i(t)dt + R 2 i(t)+ 1 C 2 Z i(t)dt (1) e 0 (t)= R 2 i(t)+ 1 C 2 Z i(t)dt (2) b) A partir de las ecuaciones del inciso anterior, determine la funci´ on de transferencia del sistema, tomando en cuenta que la entrada es e i (t) y la salida del sistema es e 0 (t) Obteniendo la transformada de Laplace de Ec. 1 y 2. E i (s)= R 1 I (s)+ 1 C 1 s I (s)+ R 2 I (s)+ 1 C 2 s I (s) (3) E 0 (s)= R 2 I (s)+ 1 C 2 s I (s) (4) Reduciendo se obtiene: E i (s)= C 2 R 1 s + C 2 C 1 + C 2 R 2 s +1 I (s) (5) E 0 (s)=(C 2 sR 2 + 1) I (s) (6) 1
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ing. de control
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2. Problema 2
Realizar de manera clara y detallada cada uno de los puntos que a continuacion se enuncian.Considere el circuito que se muestra en la figura 2.1.
Figura 2.1: Circuito RC para el problema 2.
a) Obtenga las ecuaciones que describen la dinamica del circuito electrico as como la ecuacionde salida, todo esto en funcion del tiempo.
ei (t) = R1i(t) +1
C1
i(t)dt + R2i(t) +
1
C2
i(t)dt (1)
e0(t) = R2i(t) +1
C2
i(t)dt (2)
b) A partir de las ecuaciones del inciso anterior, determine la funcion de transferencia delsistema, tomando en cuenta que la entrada es ei(t) y la salida del sistema es e0(t)
Obteniendo la transformada de Laplace de Ec. 1 y 2.
Ei(s) = R1I(s) +1
C1sI(s) + R2I(s) +
1
C2sI(s) (3)
E0(s) = R2I(s) +1
C2sI(s) (4)
Reduciendo se obtiene:
Ei(s) =
(C2R1s +
C2C1
+ C2R2s + 1
)I(s) (5)
E0(s) = (C2sR2 + 1) I(s) (6)
1
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HaciendoE0(s)
Ei(s)para obtener la funcion de transferencia queda:
E0(s)
Ei(s)=
(C2sR2 + 1) I(s)(C2R1s +
C2C1
+ C2R2s + 1
)I(s)
la funcion de transferencia queda:
E0(s)
Ei(s)=
(C2sR2 + 1) I(s)
(R1 + R2)C2s +C2C1
+ 1
c) Realice un analisis de impedancias complejas y calcule la funcion de transferencia,se reco-mienda dibujar el diagrama del circuito RC en forma de impedancias complejas.
De la Figura 2.1 obtenemos el circuito mostrado en la Figura 2.2 y Definimos:
Z1(s) = R1 +1
C1s, Z2(s) = R2, Z3(s) =
1
C2s
Figura 2.2: Circuito de la Figura 2.1 en terminos de impedancias
Aplicando LVK:
Ei(s) = (Z1(s) + Z2(s) + Z3(s)) I(s)
E0(s) = (Z2(s) + Z3(s)) I(s)
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HaciendoE0(s)
Ei(s)para obtener la funcion de transferencia queda:
E0(s)
Ei(s)=
(Z2(s) + Z3(s)) I(s)
(Z1(s) + Z2(s) + Z3(s)) I(s)
Sustituyendo los valores de Z(s) obtenemos:
E0(s)
Ei(s)=
(R2 +
1
C2s
)I(s)(
R1 +1
C1s+ R2 +
1
C2s
)I(s)
Reduciendo la funcion de transferencia obtenida es:
E0(s)
Ei(s)=
(C2sR2 + 1) I(s)
(R1 + R2)C2s +C2C1
+ 1
d) Dibuje un representacion en diagrama a bloques del circuito de la figura a traves de lasecuaciones de la dinamica del sistema en el dominio de la variable compleja.
A partir de las ecuaciones 5 y 6 se obtiene:
Ei =
(R1 +
1
C1s
)I(s) + E0(s)
Ei E0(s) =(R1 +
1
C1s
)I(s) = E(s)
De las ecuaciones anteriores obtenemos el siguiente diagrama de bloques:
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e) A partir del diagrama a bloques del dibujo en el apartado anterior, realizar la reduccion debloques y obtener la funcion de transferencia del sistema.
Del diagrama de bloques anterior hacemos:
G1(s) =1
R1 +1
C1s
, G2(s) = R2 +1
C2s
Reduciendo el diagrama de bloques queda:
Sustituyendo G1(s), G2(s)
E0(s)
Ei(s)=
1R1 +
1
C1s
(R2 + 1C2s
)
1 +
1R1 +
1
C1s
(R2 + 1C2s
)
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Reduciendo queda:
E0(s)
Ei(s)=
R2 +1
C2s
R1 +1
C1s+ R2 +
1
C2s
la funcion de transferencia obtenida es:
E0(s)
Ei(s)=
(C2sR2 + 1) I(s)
(R1 + R2)C2s +C2C1
+ 1
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