Problemas Clásicos y Paradojas en la Teoría de Probabilidades

Problemas Clásicos y Problemas Clásicos y Paradojas en laParadojas en la

Teoría de Teoría de ProbabilidadesProbabilidades

El Rig Veda, entre 1400 y 1100 años A.C. menciona el juego de El Rig Veda, entre 1400 y 1100 años A.C. menciona el juego de dados.dados.

La mitología griega atribuye su invención a Palamedes, para La mitología griega atribuye su invención a Palamedes, para entretenimiento de los soldados durante el sitio de Troya, en el siglo X entretenimiento de los soldados durante el sitio de Troya, en el siglo X u XI A.C.u XI A.C.

OBJETOOBJETO

La teoría de probabilidad estudia los fenómenos La teoría de probabilidad estudia los fenómenos llamados aleatorios (similares al juego de dados) en llamados aleatorios (similares al juego de dados) en los que el conocimiento de las condiciones iniciales los que el conocimiento de las condiciones iniciales no permite predecir con exactitud la evolución y el no permite predecir con exactitud la evolución y el resultado final del fenómeno. resultado final del fenómeno.

Sólo estudia aquellos fenómenos que pueden Sólo estudia aquellos fenómenos que pueden repetirse ilimitadamente en las mismas condiciones repetirse ilimitadamente en las mismas condiciones iniciales.iniciales.

LOS PIONEROSLOS PIONEROS Galileo, Galileo, Considerazione sopra il giuoco dei dadi, 1612Considerazione sopra il giuoco dei dadi, 1612

Pierre Fermat, Pierre Fermat, correspondencia con Pascal, 1654 correspondencia con Pascal, 1654

Blas Pascal, Blas Pascal, Traité du triangle arithmétique, 1654Traité du triangle arithmétique, 1654

Huygens, Huygens, Libellus de ratiocinii in ludo aleae, 1656Libellus de ratiocinii in ludo aleae, 1656

Jakob Bernouilli, Jakob Bernouilli, Ars conjectandi, 1705 y 1718Ars conjectandi, 1705 y 1718

Nikolau Bernouilli, Nikolau Bernouilli, De usu artis conjectandi in jure, 1709De usu artis conjectandi in jure, 1709

Pierre Rémond de Montmort, Pierre Rémond de Montmort, Essay d’analyse sur les jeux de hazard, Essay d’analyse sur les jeux de hazard, 1708 y 17131708 y 1713

Abraham De Moivre, Abraham De Moivre, Doctrine of chances, 1718Doctrine of chances, 1718

P.S. Laplace,P.S. Laplace, Théorie analytique des probabilités, 1812 Théorie analytique des probabilités, 1812

Galileo (1564-1642)Galileo (1564-1642)

Fermat (1601-1665) Pascal (1623-1662) Huygens (1629-1695)Fermat (1601-1665) Pascal (1623-1662) Huygens (1629-1695)

Newton_________________________________Newton_________________________________16421642 1727 1727

Leibniz______________________Leibniz______________________ 1646 17161646 1716

Jakob Bernouilli_________Jakob Bernouilli_________ 1654 1654 1705 1705

Johan Bernouilli__________________________ Johan Bernouilli__________________________ 1667 17481667 1748

Nikolaus I Bernouilli___________________Nikolaus I Bernouilli___________________ 1687 17591687 1759

Montmort________________Montmort________________ 16781678 1719 1719

De MoivreDe Moivre________________________________________________________________ 1667 17541667 1754

Laplace (1749-1827)Laplace (1749-1827)

ESPACIO MUESTRAL DE 2 DADOSESPACIO MUESTRAL DE 2 DADOS

1-11-1 1-21-2 1-31-3 1-41-4 1-51-5 1-61-6

2-12-1 2-22-2 2-32-3 2-42-4 2-52-5 2-62-6

3-13-1 3-23-2 3-33-3 3-43-4 3-53-5 3-63-6

4-14-1 4-24-2 4-34-3 4-44-4 4-54-5 4-64-6

5-15-1 5-25-2 5-35-3 5-45-4 5-55-5 5-65-6

6-16-1 6-26-2 6-36-3 6-46-4 6-56-5 6-66-6

A = {S = 5} = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }A = {S = 5} = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }A = {S = 5} = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }A = {S = 5} = { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }

DEFINICIÓN CLÁSICADEFINICIÓN CLÁSICA

“Probabilidad de un suceso es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que alguno de estos casos debe ocurrir con preferencia a los demás, lo que hace que todos sean, para nosotros, igualmente posibles.”

Pierre-Simon Laplace,

Essai philosophique sur les probabilités

“Probabilidad de un suceso es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que alguno de estos casos debe ocurrir con preferencia a los demás, lo que hace que todos sean, para nosotros, igualmente posibles.”

Pierre-Simon Laplace,

Essai philosophique sur les probabilités

PROBLEMA DE GALILEOPROBLEMA DE GALILEOJuego del “pasadiez”Juego del “pasadiez”

CASOS FAVORABLESCASOS FAVORABLESSuma 9

Combinac. #Casos

Suma 10Combinac. #Casos



1-2-6 6

1-3-5 6

1-4-4 3

2-2-5 3

2-3-4 6

3-3-3 1

Total 25

1-3-6 6

1-4-5 6

2-2-6 3

2-3-5 6

2-4-4 3

3-3-4 3

Total 27

1-4-6 6

1-5-5 3

2-3-6 6

2-4-5 6

3-3-5 3

3-4-4 3

Total 27

1-5-6 6

2-4-6 6

2-5-5 3

3-3-6 3

3-4-5 6

4-4-4 1

Total 25

LAS PROBABILIDADES EN EL LAS PROBABILIDADES EN EL PROBLEMA DE GALILEOPROBLEMA DE GALILEO

1157.0216

25}12{ SP

0.125216

2711}P{S

CHEVALIER DE MÈRÈCHEVALIER DE MÈRÈ1607-16841607-1684

Antoine Gombaud −Caballero de Mèrè− Antoine Gombaud −Caballero de Mèrè− fue un escritor y matemático aficionado fue un escritor y matemático aficionado francés. Famoso por haber planteado a francés. Famoso por haber planteado a Blas Pascal dos problemas que dieron Blas Pascal dos problemas que dieron origen a la teoría de probabilidades.origen a la teoría de probabilidades.

PROBLEMA IPROBLEMA I

Probabilidad de obtener (al menos) un Probabilidad de obtener (al menos) un doble 6 en 24 lanzamientos de 2 dadosdoble 6 en 24 lanzamientos de 2 dados

Cálculo de de Mèrè: p = 24(1/36) = 2/3Cálculo de de Mèrè: p = 24(1/36) = 2/3

Cálculo de Pascal:Cálculo de Pascal:

4914.0)36/35(1 24 p

Problema II (de los puntos)Problema II (de los puntos)

AAAAAAAA AABBAABB BBBABBBA AAABAAAB ABABABAB BBABBBAB AABAAABA BAABBAAB BABBBABB ABAAABAA BABABABA ABBBABBB BAAABAAA BBAABBAA BBBBBBBB

ABBAABBA

16

11

16

5 BA pp

GENERALIZACIÓN: PROBABILIDADES DISTINTASGENERALIZACIÓN: PROBABILIDADES DISTINTAS(DE MONTMORT, 1708)(DE MONTMORT, 1708)

.1,4

entonces,1)(y)(Si

34ABA ppqppp

pqBPpAP

Problema de las coincidenciasProblema de las coincidencias

JEU DU TREIZEJEU DU TREIZE

...63212.01!13

1

!4

1

!3

1

!2

11 1 ep

kjin

nkji

i jijiin

AAAPAAAP

AAPAPAAAP

)()1()(

)()()(

211

21

Fórmula de inclusiones y exclusionesFórmula de inclusiones y exclusiones

Pierre Rémond de Montmort Pierre Rémond de Montmort (1678-1719)(1678-1719)

En correspondencia y amistad con Nicolás Bernouilli y En correspondencia y amistad con Nicolás Bernouilli y otras personalidades científicas de su época. otras personalidades científicas de su época.

Miembro de la Royal Society y de la Académie Royal Miembro de la Royal Society y de la Académie Royal des Sciences. des Sciences.

Hizo reeditar la obra póstuma de Jacobo Bernouilli: Hizo reeditar la obra póstuma de Jacobo Bernouilli: Ars Conjectandi Ars Conjectandi (1713)(1713)..

Obra propia:Obra propia: Essay d’analyse sur les jeux de hazard Essay d’analyse sur les jeux de hazard (1708)(1708)

Dueño del ChDueño del Châteauâteau de Montmort. de Montmort.

Regularidad EstadísticaRegularidad EstadísticaEssai philosophique sur les probabilités Essai philosophique sur les probabilités (Laplace, 1814)(Laplace, 1814)

1.1. Londres, S.Petersburgo, Berlin, toda Londres, S.Petersburgo, Berlin, toda

Francia:Francia:51160

43

22.p

5102049

25.p

2. Paris (1745-1784): 2. Paris (1745-1784):

Ensayos de Bernouilli; Ley binomial,Ensayos de Bernouilli; Ley binomial,Jakob Bernouilli, sus investigaciones Jakob Bernouilli, sus investigaciones

entre 1684 y 1689entre 1684 y 1689

Probabilidad de Probabilidad de kk éxitos en éxitos en nn ensayos independientes ensayos independientes

nk

ppk

npnkbkνP knk

n

,...,2,1,0

)1(),;(}{

Experimento de W. F. R. Weldon Experimento de W. F. R. Weldon 26306 lanzamiento de 12 dados26306 lanzamiento de 12 dados

contando 5 o 6 como éxitocontando 5 o 6 como éxito(carta a Galton, 1894)(carta a Galton, 1894)

Distribución teórica (ley binomial)Distribución teórica (ley binomial)

12,...,2,1,0

3

2

3

112)3/1,12;(

12

k

kkb

kk

Weldon’s dice experiment (26306 lanzamientos de doce dados)Weldon’s dice experiment (26306 lanzamientos de doce dados)

Número de Frecuencia Frecuencia DesvíoNúmero de Frecuencia Frecuencia Desvío

éxitos observada teóricaéxitos observada teórica

______________________________________________________________________________________________________________________________

0 185 203 -180 185 203 -18

1 1149 1216 -671 1149 1216 -67

2 3265 3345 -802 3265 3345 -80

3 5475 5576 -1013 5475 5576 -101

4 6114 6273 -1594 6114 6273 -159

5 5194 5018 1765 5194 5018 176

6 3067 2927 1406 3067 2927 140

7 1331 1255 767 1331 1255 76

8 403 392 118 403 392 11

9 105 87 189 105 87 18

10 14 13 110 14 13 1

11 4 1 3 11 4 1 3

12 0 0 012 0 0 0

ESPACIO MUESTRALESPACIO MUESTRAL

Cada evento Cada evento AA está representado por un conjunto de resultados está representado por un conjunto de resultados posibles (el conjunto de los casos favorables al eventoposibles (el conjunto de los casos favorables al evento)). .

El evento El evento AA ocurre si y sólo si el resultado ocurre si y sólo si el resultado e e pertenece al conjunto pertenece al conjunto A. A. No ocurre en caso contrario.No ocurre en caso contrario.

Evento imposible: Evento imposible: ØØ Evento seguro: Evento seguro: ΩΩ

},...,,,{ Neeee 321

PROBABILIDADPROBABILIDAD

,}{ 0eP

e

NePePePeP 121 }{}{}{}{

Ae

ePAP }{)(

}...,...,,,{ keee 21

REGLAS BÁSICASREGLAS BÁSICAS

)()()(caso,cuyoen

),()|(sintesindependiesony

)(

)()|(

)()(

)(,)(

)()()()(

BPAPBAP

BPABPBA

AP

BAPABP

APAP

PP

BAPBPAPBAP

c

5.

4.

3.

2.

1.

1

10

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROSLEY DE LOS GRANDES NÚMEROSJakob Bernouilli (1654-1705)Jakob Bernouilli (1654-1705)

Obra póstuma: Obra póstuma: Ars Conjectandi, Ars Conjectandi, 17131713

24

1

0

np

nP nA,

:cadaPara

El teorema de De Moivre-LaplaceEl teorema de De Moivre-Laplace

.cuandoyennteuniformeme

nba

dxebnpq

npaP

b

a

xn

2

2

1

2

1

PROBABILIDAD GEOMÉTRICAPROBABILIDAD GEOMÉTRICA

Ω

F)área(

)área()(

FFP

Paradoja de Bertrand (1)Paradoja de Bertrand (1)

A

3

1p

Una cuerda se determina por su punto medioUna cuerda se determina por su punto medio


4

1p


2

1p

Elección de un punto al azar (con Elección de un punto al azar (con densidad uniforme) en el disco unitario |densidad uniforme) en el disco unitario |

z| ≤ 1z| ≤ 1

azaraldígitosdesucesión...,,, 321 ddd

....0 321 dddu

sencos

....02,....0 642531

rirerz

ddddddr

i

Joseph Louis BertrandJoseph Louis Bertrand1822-19001822-1900

Ingeniero en Minas, matemático y economista francés profesor Ingeniero en Minas, matemático y economista francés profesor en la en la École Polytechnique École Polytechnique y ely el Coll Collèège de Francege de France

ObrasObras

Traité élémentaire d’algebre,1851Traité élémentaire d’algebre,1851Traité de calcul differentiel et de calcul integral,1864-70Traité de calcul differentiel et de calcul integral,1864-70Théorie des Richesses … ,Journal des Savants, 1883Théorie des Richesses … ,Journal des Savants, 1883 Thermodinamique, 1887Thermodinamique, 1887LeLeççons sur la théorie mathématique de l’électricité, 1890ons sur la théorie mathématique de l’électricité, 1890

Paradoja de Monty HallParadoja de Monty Hall

Uno de los gabinetes contieneUn automóvil

Diagrama de árbolDiagrama de árbol

1/3

1/3

1/3

A2

A3

B2p

B3q

B3

B2

1

1

A1

3

1

3

132313 qBAPBAPBP )()()(

Probabilidad de A2 dado B3Probabilidad de A2 dado B3

2

1

1

1

3

1

3

13

1

3

3232

qqBP

BAPBAP

)(

)()|(

323221 /)|(,/Si BAPqp

Persistencia de la mala suertePersistencia de la mala suerte

...,,...,,...,,, Nn TTTTT 210

1

1

n

nNP }{

Cálculo del valor medio Cálculo del valor medio EE((NN))

}{}{}{ nNnNnN 1

)(}{}{}{

1

1

1

111

nnnnnNPnNPnNP

4

1

3

1

2

1

1

1

1 1n n nnNPnNE }{)(

OBJECIONESOBJECIONES

Si buscara el primer usuario que tardó menos que yo en Si buscara el primer usuario que tardó menos que yo en recibir el servicio, hallaría el mismo resultado. recibir el servicio, hallaría el mismo resultado.

Réplica: en nuestra memoria registramos más Réplica: en nuestra memoria registramos más vivamente cuando nos va mal que cuando nos va bien.vivamente cuando nos va mal que cuando nos va bien.

Cualquier otro cliente podría hacer el mismo razona-Cualquier otro cliente podría hacer el mismo razona-miento. miento.

Réplica: no es frecuente ponerse en el lugar del otroRéplica: no es frecuente ponerse en el lugar del otro

Guarda bien esta máxima en tu mente,Guarda bien esta máxima en tu mente,

consuelo del mortal atribulado:consuelo del mortal atribulado:

no hay mal como el propio y el presente;no hay mal como el propio y el presente;

no hay bien como el ajeno y el pasado.no hay bien como el ajeno y el pasado.

Joaquín María Bartrina

SUCESIONES DE DÍGITOS SUCESIONES DE DÍGITOS ALEATORIOSALEATORIOS

TESTS DE ALEATORIEDADTESTS DE ALEATORIEDADPROBLEMA DEL PROBLEMA DEL COLECCIONISTACOLECCIONISTA

PROBLEMA DEL COLECCIONISTAPROBLEMA DEL COLECCIONISTA

Una colección Una colección CC de de nn figuritas: figuritas:

Se realizan compras sucesivas hasta Se realizan compras sucesivas hasta lograr la colección completalograr la colección completa

},...,3,2,1{ nC

Niiii ,...,,, 321

Probabilidad de que sea NProbabilidad de que sea N = r = rValor medio de NValor medio de N

11

01

)1(1

)1(1

}{

r

n

k

krr kn

k

n

nrNPp

)/13/12/11()( nnprNEnr

r

Caso especial: Caso especial: nn = 10 = 10

CC = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

EE((NN) = 10(1+1/2+1/3+ ) = 10(1+1/2+1/3+ ··· +1/10)··· +1/10)

= 29.29 (aprox.)= 29.29 (aprox.)

UN EXPERIMENTO CON DÍGITOS UN EXPERIMENTO CON DÍGITOS AL AZARAL AZAR

04433 80674 24520 18222 10610 05794 3751504433 80674 24520 18222 10610 05794 37515

60298 47829 72648 37414 75755 04717 2989960298 47829 72648 37414 75755 04717 29899

67884 59651 67533 68123 17730 95862 0803467884 59651 67533 68123 17730 95862 08034

89512 32155 51906 61662 64130 16688 3727589512 32155 51906 61662 64130 16688 37275

……………………………………………………………………………………………………..

NN = 29, 22, 25, 32 = 29, 22, 25, 32

29, 22, 25, 32, 32, 20, 35, 22, 30, 27, 29, 22, 25, 32, 32, 20, 35, 22, 30, 27,

36, 27, 21, 47, 31, 39, 39, 14, 25, 21, 36, 27, 21, 47, 31, 39, 39, 14, 25, 21,

40, 57, 39, 41, 30, 24, 17, 15, 29, 23, 40, 57, 39, 41, 30, 24, 17, 15, 29, 23,

24, 42, 27, 14, 17, 36, 36, 30, 21, 30,24, 42, 27, 14, 17, 36, 36, 30, 21, 30,

47, 16, 17, 48, 23, 19, 17, 28, 20, 2847, 16, 17, 48, 23, 19, 17, 28, 20, 28

58.2850

1429

505021

NNN

Evolución del promedio

nA n 10 20 30 40 50 60

An 27.6 28.8 29.7 29.2 28.62

28.75

Problema de los diez cazadores Problema de los diez cazadores y las diez palomasy las diez palomas

Cazadores: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Cazadores: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Palomas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Palomas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

94620 2796394620 27963

Salvadas: 1, 5, 8Salvadas: 1, 5, 8

Primer dígito significativo de un número N elegido al azar Primer dígito significativo de un número N elegido al azar en un anuario demográfico o de producción agraria, en un anuario demográfico o de producción agraria,

industrial o mineraindustrial o minera

7.05log}5{

)/11log(log)1log()(

)1log(logmantlog

)1log(loglog

10)1(10

)91(

dígitos)1(...

0

0

210

aP

ddddP

dd

dkdk

dd

dda

kaaaa

kk

k

N

N

N

N

0458.09log10log

0512.08log9log

0580.07log8log

0669.06log7log

0792.05log6log

0969.04log5log

4771.03log4log

1761.02log3log

3010.01log2log

9

8

7

6

5

4

3

2

1

p

p

p

p

p

p

p

p

p

Anomalous numbersAnomalous numbersBenford’s first-digit lawBenford’s first-digit law

RADIOS ORBITALES EN EL SISTEMA SOLARRADIOS ORBITALES EN EL SISTEMA SOLAR

1312

1312

1212

1212

1211

1111

1111

1111

1110

98

1094.11091.5

1048.11050.4

1042.91087.2

1069.41043.1

1055.21078.7

1048.71028.2

1092.41050.1

1054.31008.1

1090.11079.5

1026.11084.3

Plutón

Neptuno

Urano

Saturno

Júpiter

Marte

Tierra

Venus

Mercurio

Luna

piemetro

UN CASO REALUN CASO REAL

En los años 70 la fiebre hemorrágica, también En los años 70 la fiebre hemorrágica, también conocida como “mal de los rastrojos” o “mal de conocida como “mal de los rastrojos” o “mal de Junín” afectaba al 1% de los peones rurales en Junín” afectaba al 1% de los peones rurales en la provincia de Buenos Aires.la provincia de Buenos Aires.

Un equipo de investigadores ensayó una Un equipo de investigadores ensayó una vacuna en 200 peones escogidos al azar, vacuna en 200 peones escogidos al azar, ninguno de los cuales contrajo la enfermedad.ninguno de los cuales contrajo la enfermedad.

¿Es evidencia en favor de la vacuna?¿Es evidencia en favor de la vacuna?

Aplicación de la ley binomialAplicación de la ley binomial

13409909900100

2000102000 2002000 .).().().().,;(

b

03980

99001050099001050010105000 499500

.

).(.).().,;().,;(

bb

Aproximación de PoissonAproximación de Poisson

ek

pnkbnppnk

!),;(moderado,,, 11

135300102000010200 2 .).,;(,.,Para ebpn

5

!

5)01.0,500;(,5,01.0,500Para e

kkbnpλpn

k

0404.05)01.0,500;1()01.0,500;0( 55 eebb

Muchas gracias a todosMuchas gracias a todospor haber venido por haber venido

y en especial al Ing. Fazzini, a quien corresponde el mérito de la presentación

Problemas Clásicos y Paradojas en la Teoría de Probabilidades

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