PROBLEMAS DE CALCULO

A) Calcular el dominio de las siguientes funciones:

1) f(x) =x+ 2

x− 52) f(x) =

x2 + 3x− 10x− 1

3) f(x) =√x2 − 16 4) f(x) =

√x+ 5

x2 − 2x

5) f(x) = ln

(x− 1x+ 7

)6) f(x) = ln

(x2 − 3x− 18

)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B) Calcular las ecuaciones y las gráficas de:

1) La recta que pasa por (2, 2) y (3,−4), y la que pasa por (0, 0) y (2, 0)

3) La rectas que pasan por (2, 3) con pendientes: 5, 0, infinito.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C) Realizar un dibujo rápido de las siguientes curvas:1) y = x2 + 3x− 10 2) y = −x2 + 3x+ 18

4) x = y2 + 2y − 8 5) x = y2 + 1

6) y =√x+ 4 7) y = x3 − 6x2 + 9x

8) y = x3 + 4x2 + x− 6 9) y = 3x−1

10) y = 22−x 11) ln(x− 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .D) Calcular los siguientes límites:

1) limx→2

3−√2x+5√

x+2−2 2) limx→∞

(√2x4 + 5x−

√2x4 + 8x2

)

3) limx→∞

(x3+2x−2

x3+x2−5x+2

)2x−34) lim

x→∞

(x+3x+2

)(2x+4)

5) limx→∞

(x√x+3x−5

x√x+2x+1

)3√x6) lim

x→24

5+21

x−2

7) limx→4

x−4

6+31

4−x

8) limx→2

x3 − 5x2 + 8x− 4x3 − 4x2 + 4x

9) limx→∞

√x+ 3−

√x− 1√

x+ 2−√x+ 4

10) limx→∞(x2+5x+6x2−2x−1

)x2+5

x+2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .E) Estudiar la continuidad, derivabilidad y gráfica de:

1) f(x) =

−x si x ≤ 5x2 − 20 si 5 < x < 105 si x = 10−8x si x > 10

5

2) g(x) =

(x+ 5)(x+ 8) si x ≤ −5(x+ 5)(x− 7) si −5 < x < 7

2 si x = 7x− 7 si x > 7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .F) Hallar a y b para que sean continuas y derivables las funciones:

1) f(x) =

{2ax+ bx2 si x < 3ax+ b+ 5 si x ≥ 3

2) g(x) =

{ax3 + bx si x < 22ax+ b+ 3 si x ≥ 2

3) f(x) =

bx2 + a si x ≤ −2x2−1x+1 si −2 < x < −1

2x2 + x− 3 si x ≥ −1

4) f(x) =

{ax3 + 2bx2 + 1 si x < 12aex−1 + bx3 si x ≥ 1

5) Dada la función:

f(x) =

(x+ 5)(x+ 8) si x ≤ −5(x+ 5)(x− 7) si −5 < x < 7

a si x = 7x− 7 si x > 7

a) Estudiar, según a, la continuidad y derivabilidad.b) Representar la función para a = 2.c) Aproximar, usando la diferencial en el punto a = 6, el valor de f(6.1).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .G) Dadas las funciones f(x) = x

x−1 , y g(x) =1x:

1) Hallar dos puntos donde la tangente a f(x) tenga pendiente -1, y escribirlas ecuaciones de las tangentes.

2) Hallar dos puntos donde la tangente a g(x) tenga pendiente -4, y escribirlas ecuaciones de las tangentes.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .H) Usando la diferencial calcular un valor aproximado de:

1) (3.1)3 − 33 2)√5.2−

√5 3) (4.1)2

4) El incremento de f(x) = x3− 12x

2− 132 x− 3 en x = 2 si x aumenta en 0.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I) Dada la función f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d

1) Hallar a, b, c y d para que f(x) tenga en (0, 0) un máximo y en (1,−2) unmínimo.

2) Hallar a, b, c y d para que f(x) tenga en (0, 0) un máximo y en (1, 2) latangente sea paralela a la recta y = 8x+ 3.

6

3) Hallar a, b, c y d para que f(x) tenga en (0, 0) un punto de inflexión y en(1, 1) un mínimo.

4) Hallar a, b, c y d para que f(x) tenga un punto de inflexión en (3, 2); lapendiente de la tangente en x = 7 sea 3, y tenga en x = 4 un mínimo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J) Calcular las asíntotas; intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos

relativos; intervalos de concavidad, convexidad y puntos de inflexión, y dibujarlas siguientes curvas:

1) f(x) =2 + x− x2

(x− 1)22) f(x) =

−8x2 − 4

3) f(x) =2x2 − 37x+ 4

4) f(x) =x2 − 32x− 4

5) f(x) =x2 − 5x+ 4x− 5

6) f(x) =x2

2− x

7) f(x) =x2

4 + x8) f(x) =

x3

(x− 1)2

9) f(x) = e1

x−2 10)f(x) = x3

x2−9

11) f(x) = e−4x

7