Problemas de Circuitos y Sistemas Digitales

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PROBLEMAS DE CIRCUITOS

Y SISTEMAS DIGITALES

C arm en B aena O liva M anuel Je s s Bellido D az

Alberto Je s s M olina C antero M ara del P ila r P a rra F ernndez

M anuel V alencia B arreroDepartamento de Tecnologa Electrnica Universidad de Sevilla

M c G r a w - H i l lMADRID BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MXICO

NUEVA YORK PANAM SAN JUAN SANTAF DE BOGOT SANTIAGO SO PAULOAUCKLAND HAMBURGO LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI PARS

SAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR ST. LOUIS TOKIO . TORONTO

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TABLA DE CONTENIDOS

P R L O G O ........................................................ vii1. R E P R E S E N T A C I N Y C O D IFIC A C I N B IN A R IA ............................................ 12. L G E B R A Y FU N C IO N E S D E C O N M U T A C I N ..................................................193. A N L ISIS D E C IR C U IT O S C O M B IN A C IO N A LES ............................................ 354. D ISE O D E C IR C U IT O S C O M B IN A C IO N A LES .............................................. 515. SU B SIST E M A S C O M B IN A C IO N A LES ..................................................................896 . C IR C U IT O S A R IT M T IC O S ......................................................................................... 1417. A N LISIS D E C IR C U IT O S S E C U E N C IA L E S ...................................................... 1698 . D ISE O D E C IR C U IT O S S E C U E N C IA L E S ........................................................ 1979. SU B SIST E M A S S E C U E N C IA L E S ............................................................................22910. M E M O R IA S SE M IC O N D U C T O R A S ................ 26311. IN T R O D U C C I N A LO S SIST E M A S D IG IT A L E S .........................................29112. D ISE O D E U N ID A D E S D E C O N T R O L .............................................................32513 M IS C E L N E A ...................................................................................................................359

B IB L IO G R A F A ............................................................................................................... 391

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PRLOGO

Este ejemplar es un libro de problemas resueltos en el campo del Diseo Lgico. Como tal libro de problemas ha sido concebido con la finalidad de ensear cmo se aplican los conceptos y herramientas a casos concretos. Esto significa que nuestra atencin no se centra en el desarrollo de la doctrina terica, sino en tratar de explicar cmo interpretar enunciados de problemas ms o menos bien especificados y, empleando los conocimientos tericos adquiridos por otras vas, resolver ese problema en particular y no otro. Como se ve, nuestros objetivos primarios son potenciar las capacidades de aplicacin de la teora y la de resolucin prctica de problemas.En cuanto a la disciplina, el trmino Diseo Lgico alude a materias tan bien conocidas como son los Circuitos y Sistemas Digitales o la Teora de Conmutacin. En ella se incluyen:1) los fundamentos matemticos usuales (lgebra de Boole, representaciones binarias de nmeros y su aritmtica, codificacin binaria); 2 ) la presentacin, anlisis y diseo de circuitos a nivel de conmutacin, tanto combinacionales como secuenciales; y 3) la descripcin y realizacin de sistemas digitales a nivel de transferencias entre registros (RT), organizando el sistema como una unidad de procesado de datos y otra de control. Aunque claramente fuera del contexto de este libro, las materias fronteras son, en el nivel inferior, el tratamiento elctrico de las puertas lgicas y, en el nivel superior, la arquitectura de computadores, as como los sistemas multiprocesadores. La proliferacin de aplicaciones y el considerable aumento de la complejidad experimentada por los circuitos digitales en los ltimos aos hacen inviable el cubrimiento completo de esta materia. Nuestro propsito ha sido desarrollar un conjunto de problemas que den soporte y fundamenten adecuadamente a todos los circuitos y tcnicas de Diseo Lgico.Nuestro libro est pensado para un primer curso de Diseo Lgico, con aplicacin en diversos estudios universitarios tales como Informtica (fundamentos del hardware) e Ingeniera Electrnica (realizacin de sistemas digitales). Tambin es til en algunos campos cientficos, en concreto, los relacionados con la Teora de Conmutacin, la Teora de Autmatas y la Aritmtica del Computador. Adems, al estar fuertemente enfocado a la resolucin de problemas, este texto tambin puede servir a profesionales que deseen realizar una puesta al da

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viii PROBLEM AS DE CIRCUITOS Y SISTEM AS DIGITALES

rpida y eficiente en las realizaciones de circuitos y de sistemas digitales. El uso de este libro no requiere conocimientos especficos previos ni en Electrnica, ni en Computadores, ni en Matemticas avanzadas. Sin embargo, al ser un libro de problemas, el lector debe conocer a nivel terico los conceptos, principios y tcnicas del diseo digital. En la actualidad hay disponibles suficientes libros que cubren satisfactoriamente los aspectos tericos de esta materia (vanse las referencias que citamos). A ellos deber acceder el lector para conocer los fundamentos tericos de este libro de problemas. No obstante, con el doble fin de resumir los conceptos ms importantes y de presentar la terminologa que utilizamos, en cada Captulo hay una pequea presentacin terica. Adems, en los problemas que introducen materias, durante su resolucin se detallan los nuevos aspectos tericos involucrados.En la realizacin del libro hemos huido de los ejercicios puramente repetitivos, de los excesivamente simples y de los de escasa entidad. Esto es debido a que, en nuestra experiencia, es claramente preferible primar el nivel de profundidad de los problemas sobre la cantidad de stos. Por otra parte y desde un punto de vista ms prctico, hemos establecido dos tipos de ejercicios. En primer lugar hemos seleccionado un amplio conjunto de problemas para resolverlos en detalle. Sobre ellos el lector aprender la metodologa de resolucin. Hemos intentado que cada aspecto importante de la materia est cubierto por problemas bien desarrollados. Posteriormente se presenta un segundo conjunto de problemas de los que slo se ofrece la solucin final. Con ello se pretende que el lector se aventure en la resolucin de stos y simplemente pueda comprobar la correccin de sus resultados.La organizacin elegida obedece a un cubrimiento de la materia que va de abajo a arriba (de forma similar a la metodologa bottom-up), avanzando desde lo ms simple a lo ms complejo. En gran parte el material es autocontenido por lo que no se necesita ningn prerrequisito.Bsicamente la materia contenida en este libro de problemas est dividida en tres grandes bloques ms un Captulo final. El primero de los bloques (Captulos 1 al 6 ) corresponde a circuitos combinacionales, el segundo (Captulos 7 al 10) a circuitos secuenciales y el ltimo (Captulos 11 y 12), donde se aumenta significativamente la complejidad, a los sistemas digitales. Dentro de cada bloque hemos ordenado los problemas procurando ordenarlos para que el lector pueda apoyarse en los ya realizados a la hora de abordar los que vengan a continuacin. As, cada bloque consta de varios Captulos, cada uno de los cuales contiene problemas de una materia concreta. Los problemas de estos Captulos han sido desarrollados procurando que el lector vaya aprendiendo a resolverlos dentro de esa materia. Por el contrario, el ltimo Captulo est ideado con la finalidad de que el lector evale su nivel de conocimientos. Para ello, por una parte, los problemas no se han ordenado segn la materia, de forma que el lector no los site a p rio ri en un contexto predeterminado; por otra, se incluyen algunos que afectan a ms de una unidad temtica; y, por ltimo, se presentan todos los enunciados juntos, cada problema separado de su solucin, con el fin de que el lector tenga que ir a buscar explcitamente cada solucin.

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PRLOGO ix

Concretando, la organizacin de este libro de problemas es como sigue:Captulo 1 Aplicacin de los conceptos bsicos como son los sistemas de numeracin y la codificacin binaria. Estos problemas estn orientados a practicar con las representaciones no decimales de magnitudes y las conversiones entre las distintas bases, as como la de nmeros con signo y fraccionarios incluyendo tanto el punto fijo como el punto flotante. Tambin se tratan los principales cdigos binarios y decimales.Captulo 2.- Desarrollo de los problemas relacionados con el lgebra de Boole y con el manejo de las funciones booleanas incluyendo demostraciones de teoremas e identidades, y las diversas representaciones de funciones de n variables (tablas de verdad, mapas binarios y de Kamaugh) y los teoremas para dichas funciones que dan lugar a las expresiones cannicas y estndares.Captulo 3.- Anlisis de circuitos combinacionales, tanto a nivel puramente lgico como temporal, incluyendo tcnicas especficas para el anlisis de circuitos con slo puertas NAND o OR.Captulo 4.- Diseo de funciones. En l se aplican tcnicas de reduccin para obtener las expresiones mnimas en suma de productos o producto de sumas (basadas en mapas de Kar- naugh y en los mtodos de Quine-McCluskey y de Petrick). Adems se presta una especial atencin a la obtencin de los O's y los l's de una funcin cuando sta se da a travs de una descripcin verbal de su comportamiento.Captulo 5.- Presentacin de los subsistemas combinacionales de propsito especfico, en particular los que convierten cdigos binarios (decodificadores, codificadores y convertidores de cdigos) y los comparadores. Tambin se incluyen los subsistemas de propsito general como son los multiplexores y los subsistemas programables (las memorias de slo lectura, los PLA's y los PAL's). Los subsistemas se estudian desde tres perspectivas: cmo se construyen a nivel de puertas, cmo se analizan circuitos que los contienen y cmo se disean funciones utilizndolos como componentes de la realizacin.Captulo 6 .- Desarrollo de los problemas relacionados con la aritmtica binaria. En ellos se muestran tanto las operaciones aritmticas (suma, resta, multiplicacin...) como los circuitos combinacionales que las realizan (sumadores, sumadores-restadores y unidades aritmtico-lgicas).Captulo 7.- Presentacin del biestable tanto a nivel lgico (RS, JK, D y T) como a nivel temporal (sin reloj, disparados por nivel, tipo Master-Slave y disparados por flanco). Tambin se aborda el anlisis de circuitos secuenciales. Se desarrollan tanto los circuitos sncronos o con una nica seal de reloj, como los asincronos, incluyendo en stos los que operan mediante entradas asincronas y los circuitos que poseen ms de una seal de reloj.

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PROBLEM AS DE CIRCUITOS Y SISTEM AS DIGITALES

Captulo 8 .- Diseo de circuitos secuenciales sncronos. Se muestran los distintos pasos del proceso habitual de diseo, sistemtico en su mayor parte, y que consigue como resultado un circuito de coste reducido u ptimo. Algunos de los problemas van encaminados a practicar con determinados pasos del proceso mientras que otros muestran el proceso globalmente.Captulo 9.- Desarrollo de los problemas de anlisis de circuitos secuenciales construidos con contadores y registros, el diseo interno de estos dispositivos para que posean operaciones especficas, su realizacin mediante la asociacin de subsistemas semejantes de menor tamao y el diseo en general de funciones secuenciales.Captulo 10.- Problemas de memorias semiconductoras. Bsicamente estn dirigidos al uso de estas memorias y a la formacin de memorias principales por la asociacin de varios de estos dispositivos (realizacin de mapas de memorias).Captulo 11.- Introduccin al nivel de transferencia entre registros (nivel RT) y al diseo de sistemas digitales. En particular, se tratan las formas de descripcin (notacin RT, cartas ASM y lenguaje HDL), conectndolas con los bloques de circuitos funcionales, bsicamente registros. Tambin se incluyen problemas sobre las tcnicas de interconexin entre registros mediante buses y la realizacin de unidades de datos simples cuando se conoce su operacin a nivel RT.Captulo 12.- Diseo de sistemas digitales completos, esto es, la unidad de datos y la de control. En los primeros problemas se parte de una unidad de procesado de datos conocida y hay que desarrollar una unidad de control adecuada. Finalmente se afrontan problemas de diseo completo de sistemas digitales.Captulo 13.- Presentacin de problemas de las materias ya tratadas.

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Captulo 1 REPRESENTACIN Y CODIFICACIN BINARIA

Los circuitos digitales operan con dos niveles de seal, la mayora de las veces una tensin baja y otra alta. Desde el punto de vista matemtico decimos que operan con seales binarias y los dos niveles se representan mediante 0 y 1. Toda la informacin que ha de procesar un sistema digital ha de expresarse mediante combinaciones de esos dos valores. En consecuencia, hay que describir cmo se representan los entes mediante 0 y 1 (codificacin binaria) y, ms especficamente, por ser esencial en el clculo, cmo se representan los nmeros.REPRESENTACIN PO SIC IO N A L DE M AGNITUDESUn sistema numrico se caracteriza por sus smbolos bsicos; estos son llamados dgitos, cada uno de los cuales representa una determinada cantidad de unidades. A su vez, cada cantidad puede expresarse mediante una secuencia de tales dgitos. En algunos sistemas la posicin ocupada por cada uno de los dgitos dentro de la secuencia est asociada a un valor determinado (peso). Decimos entonces que se trata de un sistema de representacin posicional.Un sistema numrico de base r es un sistema posicional de representacin donde los pesos de los dgitos son potencias de r. As, una magnitud M puede representarse en la base r de la siguiente forma:

M = d n-l d n-2 d l d 0 d -l d -2 d -m (rn 1siendo dj un dgito de dicha base y cumplindose que d e {0 , 1 ,..., r - 1 } y M = d r1.

j = -mPara realizar cambios entre distintas bases existen diversos mtodos. En este Captulo se usan fundamentalmente los siguientes: n - \- Para cambiar de base r a base 10, se aplica la frmula: M = L r1.j = -rn

- Para cambiar de base 10 a base r, se utiliza el mtodo de las divisiones sucesivas para obtener la parte entera y el mtodo de las multiplicaciones sucesivas para obtener la parte fraccionaria.

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2 PROBLEM AS DE CIRCUITOS Y SISTEM AS DIGITALES

- Para cambiar de una base arbitraria rj a otra r2, se pasa en primer lugar de rj a 10 y despus de 1 0 a r2.- Para cambiar entre las bases 2, 8 y 16 (potencias de 2) se utiliza un mtodo de agrupacin de bits.REPRESEN TA CI N DE NM EROS CON SIGNODe entre las notaciones existentes para expresar nmeros con signo nos hemos centrado en las notaciones signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2. En algunos aspectos que detallaremos a continuacin las tres notaciones son similares. Se designa un bit especial denominado bit de signo (bs) cuyo valor es 0 en nmeros positivos y 1 en nmeros negativos. En nmeros positivos los dems bits representan la magnitud:

La forma de representar los nmeros negativos es distinta para las tres notaciones:- En la notacin signo magnitud bs se hace igual a 1 y el resto de bits representan de nuevo la magnitud:

- En la notacin complemento a 1, el nmero negativo es el complemento a 1 del correspondiente nmero positivo:- En la notacin complemento a 2, el nmero negativo es el complemento a 2 del correspondiente nmero positivo:

REPR ESEN TA C I N DE NM EROS EN PUNTO FLOTANTELa representacin en punto (o coma) flotante se basa en la notacin exponencial o cientfica. En dicha notacin los nmeros se expresan en la forma M = m x b e (m mantisa, b base, e exponente). Esto permite expresar cantidades de muy distinto tamao de forma compacta, por ejemplo, la masa del sol: 1.989 x 103 0 Kg o la carga del electrn: -1 .602 x 10- 1 9 C. Si se supone conocida la base, basta representar los valores de mantisa y exponente. Esto es lo que se hace cuando se representan nmeros en punto flotante.Una cantidad se puede expresar de muchas formas distintas en notacin exponencial, por ejemplo la velocidad de la luz, c, es 3 x 108 m/s 0.003 x 101 1 m/s 3000 x 10 m/s, etc. Para trabajar con nmeros en punto flotante se suele adoptar un convenio acerca de cul de lascon mantisas cuyo dgito ms significativo es no nulo (notacin normalizada). Por ejemplo,

bit de signo magnitud

~ ^ 3 n " 2 3 1 a 3 - 1 3 - 2 a'vybit de signo magnitud

- A = Cal (A) = 1 an_j an _ 2 ... a, ao . a_j a 2 ... a.m

- A = Ca2(A) = C al (A) + 2 'm

mltiples expresiones de la forma m x be es la que se escoge. En este Captulo trabajaremos

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REPRESENTACIN Y COD IFICA CI N BINARIA

supongamos que disponemos de 5 dgitos para la mantisa, representaciones normalizadas de cseran: 3.0000 x 108 3000.0 x 105 30000 x 104, pero no lo sera 0.0030 x 101 1 1 ^0.00003 x 10 . Sin embargo, an es necesario adoptar un segundo convenio para elegir una entre las diversas representaciones normalizadas. Ese convenio se refiere a concretar cul es la posicin del punto decimal de la mantisa. En este texto se trabaja con dos convenios:- Notacin fraccionaria: el punto decimal est a la izquierda del primer dgito representado de la mantisa, en nuestro ejemplo: 0.30000 x 109.- Notacin entera: el punto decimal est a la derecha del ltimo bit representado de la mantisa, en nuestro ejemplo: 30000 x 104.

CODIFICACIN BINARIAPor codificacin binaria se entiende la representacin de un conjunto de entes, numricos o no numricos, mediante palabras de n bits. Ahora presentaremos algunos cdigos binarios de cada tipo. La conversin entre la base 2 y la base 8 16 se realiza por agrupacin de bits. Por extensin cualquier cdigo binario puede representarse mediante los dgitos de dichas bases. As podemos hablar de cdigo octal y cdigo hexadecimal.

cdigooctal cdigohexadecimal cdigohexadecimal0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 01 0 0 1 1 0 0 0 1 9 0 0 0 12 0 1 0 2 0 0 1 0 A 0 0 1 03 0 1 1 3 0 0 1 1 B 0 0 1 14 1 0 0 4 0 1 0 0 C 0 1 0 05 1 0 1 5 0 1 0 1 D 0 1 0 16 1 1 0 6 0 1 1 0 E 0 1 1 07 1 1 1 7 0 1 1 1 F 0 1 1 1

Entre los cdigos ms utilizados se encuentran los llamados cdigos decimales. Estos asignan a cada uno de los dgitos de la base 10 una palabra binaria. Con su utilizacin se evita el proceso de conversin entre base 2 y base 1 0 , aunque el nmero de bits precisado para expresar una cantidad es, en general, mayor. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos:dgito decimal BCD natural BCD exceso 3 2 de 5 7 segmentos

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 01 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 02 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 13 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 14 0 J0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 15 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 16 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 17 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 08 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 19 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1

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Otro cdigo de gran inters es el cdigo Gray (o cdigo reflejado) de n bits. En las siguientes tablas se muestran los casos n = 3 y n = 4. Puede observarse en ellas la particularidad de que las palabras asignadas a dos nmeros consecutivos se diferencian nicamente en 1 bit. Se trata por tanto de un cdigo con distancia unidad.cdigo Gray (n=3)

0 0 0 01 0 0 1

2 0 1 13 0 1 04 1 1 05 1 1 16 1 0 17 1 0 0

cdigo Gray (n=4) cdig Gray (i0 0 0 0 0 8 1 1 0 01 0 0 0 1 9 1 1 0 12 0 0 1 1 1 0 1 1 1 13 0 0 1 0 1 1 1 1 1 04 0 1 1 0 1 2 1 0 1 05 0 1 1 1 13 1 0 1 16 0 1 0 1 14 1 0 0 17 0 1 0 0 15 1 0 0 0

Como ejemplo de cdigo alfanumrico, en este texto se usa el cdigo ASCII. Mediante este cdigo de 7 bits es posible codificar las 26 letras del alfabeto, tanto maysculas como minsculas, los 10 dgitos decimales, caracteres como

REPRESENTACIN Y COD IFICA CI N BINARIA

dedos. En un cuaderno que encontraron en la nave haba escrito:5X2 - 5 0 X + 125= 0 > X, = 8, X2 = 5

Suponiendo que tanto el sistema de numeracin como las matemticas extraterrestres tengan una historia similar a los desarrollados en la Tierra, cuntos dedos (B) posean?

Solucin P l.-D ebem os encontrar un sistema de numeracin B en el cul se verifique que 8 y 5 son soluciones a la ecuacin encontrada.En un sistema posicional de base B una secuencia de dgitos, dn.j dn _ 2 ... d d0, repre-n 1senta a una magnitud M si se cumple que M = 'Z d- - B1.

= ~mAplicando dicha frmula a los coeficientes de la ecuacin: 5, 50 y 125, obtenemos la siguiente:5 X2 - ( 5 B + 0) - X + (1 B2 + 2 B + 5 ) = 0 Sustituyendo los valores = 8 y X2 = 5 en la variable X:5 82 - (5 B + 0) 8 + (1 B2 + 2 B + 5 ) = 0

5 52 - (5 B + 0) - 5 + ( 1 - B 2 + 2 - B + 5) = 0 Basta resolver el sistema formado por estas dos ecuaciones para encontrar que el nico valor de B que satisface ambas es B = 13. Por tanto, los extraterrestres de Ophiocus posean 13 dedos en su nico brazo.Problema 2.- Representeposicionalmente la cantidad "diecisis unidades"en las bases 3, 7, 8 y 16.

Solucin P2.- La cantidad diecisis unidades en base 3 deber cumplir (utilizando la notacin decimal en las operaciones):16 = ... + d3 33 + d 2 32 + dj 3 1 + 1 3o + d.j 3 ' 1 + ... con d = 0, 1 2.Para obtener los valores de los dgitos d hay dos mtodos:1) Comprobar valores de d hasta que la suma sea igual a la magnitud. En nuestro caso:16 = 1 32 + 2 3 1 + 1 -3 = 121(32) Mediante divisiones sucesivas para la parte entera y multiplicaciones sucesivas para la parte fraccionaria. En nuestro caso sera:

3I | 3

o t td2 d3Con lo que 16 = ...0 1 2 1 ( 3 = 121(3.Ntese que sin ms que sustituir el dividendo por la suma del divisor por el cociente y del resto, se obtiene la expresin general.

16 31 52wAdo di

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Operando de la misma forma para los dems casos obtenemos:16 = 2 - 7 1 + 2 - 7 = 22 ( 7 16 = 2 - 8 1 + 0 - 8 = 2 0 ( 8 16= 1 161 + 0 - 16= 1 0 ( 1 6 En general, r unidades en base r se representa 10(r.Problema 3.- Represente el nmero decimal 23.75 en las bases 2, 5,6, 8 y 16.

Solucin P3.- Obtendremos en primer lugar la representacin de la parte entera por el mtodo de las divisiones sucesivas. Para pasar a base 2:23 I 2

A

d0 d,Por tanto: 23(10 = 10111( 2 Igualmente para las otras bases obtenemos:

23(10 = 43(5 = 35(6 = 27(8 = 17(16 En cuanto a la parte fraccionaria, ha de obtenerse mediante el mtodo de las multiplicaciones sucesivas. En el caso del paso a base 2:0.75 2 = 1.5La parte entera de esta cantidad es d .j; la parte fraccionaria es la que se multiplica por la base en el paso siguiente: 0.5 -2 = 1.0La parte entera, en esta ocasin, nos da el bit d_2. Como la parte fraccionaria es 0, todas las siguientes multiplicaciones daran como resultado 0 y, por tanto, el resto de los bits (d_3 , d_4, ...) son iguales a 0 .Por tanto: 0.75 ( ] 0 = 0 .11( 2 y 23.75(10 = 10111.11( 2Para base 5: 0.75 5 = 3.75 > d_ = 3

0.75 5 = 3.75 - d _ 2 = 3 = d 3 = ... por tanto, 23.75(10 = 43.333 . . . ( 5Para base 6 : 0.75 6 = 4.5 > d.j = 4

0.5 6 = 3.0 d 3 = 3, d_4 = 0 = d_ 5 = ... por tanto, 23.75(j0 = 35.43(6Para base 8 : 0.75 8 = 6.0 > d.j = 6 , d _2 = 0 = d_ 3 = ...por tanto, 23.75(10 = 27.6(g

2T

1wA 0t t

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REPRESENTACIN Y CO D IFICA CI N BINARIA 7

Para basel: 0.75 16= 12.0 d_i = 12, d_ 2 = 0 = d . 3 = ...por tanto, 23.75(jq = 17.C( 1 5

Problema 4.- Convierta los siguientes nmeros a base 10:a) 100.111010(2; b) 50 (8; c) 101.1(2; d ) 198F(16.

Solucin P4.- Para convertir a base 10 basta sustituir el valor de la base y de los dgitos en la n 1expresin M - d- r1 y realizar las operaciones.

j = -m

a) 1 0 0 . 1 1 1 0 1 0 ( 2 = 1 ' 2 2 + 1 2 ' 1 + 1 2 ' 2 + 1 2 " 3 + 1 2 ' 5 = 4.90625(10b) 50(8 = 5 8 + 0 = 40(ioc) 1 0 1 . 1 (2 = 1 - 2 2 + 1 - 2 + 1 2 ' 1 = 5.5( 1 0d) 198F(16 = 1 163 + 9 162 + 8 161 + 15 16 = 6543(10

Problema 5 .-S e cuenta que un rey, encantado con el juego, ofreci al inventor del ajedrez el premio que desease. El inventor slo pidi 1 grano de arroz por la primera casilla del tablero, 2 granos por la segunda, 4 por la tercera y as, el doble cada vez, hasta llegar a la ltima casilla (la nmero 64). Los matemticos del reino concluyeron que no haba arroz suficiente para pagar al inventor. Sabra decir cuntos granos de arroz se necesitaban?

Solucin P5.-La cantidad pedida M es, en base 2, el nmero compuesto por 64 unos:M = 1 1 . . . 1 1 1 1 ya que en ese caso M = 1 2o + 1 2 1 + 1 22 + . . . + 1 26 3Esta cantidad es una unidad menos que la representada por un 1 seguido de 64 ceros.Entonces: M = 26 4 - 1 = 1.844674407 x 1019.Problema 6.- Cuntos bits son necesarios como mnimo para representar cada uno de los siguientes nmeros decimales?

50, 1000, 5000, 100000 y 1000000.

Solucin P 6 .- Para calcular el nmero mnimo n de bits que representa la magnitud M , tengamos en cuenta que n ha de cumplir la siguiente desigualdad:2n ~ 1 - 1 < M < 2n - 1

El valor de n puede deducirse de dos formas:1) A partir de la expresin n = |~lg 2 (M + 1) ] donde Tx ] es el entero por exceso de x.2) Por bsqueda en la tabla de potencias de 2.

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Para los nmeros decimales propuestos tendremos:M n50 61000 105000 13100000 171000000 20

Problema 7 .-Convierta el nmero binario 10110110011.10110 a las bases 4, 8 y 16; el nmero 372.105 en base 8 a base 2, 4 y 16 y el nmero FO.A en base 16 a base 2, 4 y 8.

Solucin P7.- Para convertir un nmero de base 2 a base 4, basta agrupar a partir del punto fraccionario de 2 en 2 bits y convertir cada grupo a base 4 . De la misma forma, para convertir a base 8 16 se agrupan de tres en tres o de cuatro en cuatro bits respectivamente. Entonces:1 01 10 11 00 11.10 11 0 10 110 110011.101 10 1011011 0011.1011 0

1 1 2 3 0 3. 2 3 0 ( 4 2 6 6 3. 5 4 ( 8 5 B 3. B 0 ( 1 6Para pasar de bases 4, 8 16 a base 2, se hace la descomposicin inversa. Por otra parte, la conversin entre las bases 4 y 16 tambin se realiza de la misma forma. Sin embargo, para pasar de base 8 a base 4 16, o viceversa, conviene pasar antes a base 2.Por tanto: 372.105 ( 8 = 011 111 010. 001 000 101( 2 = 3322.02022(4 = FA.228(16 F0.A ( 1 6 = 1111 0000.1010(2 = 3300.22(4 = 360.50(8

Problema 8.- En la colonia humana de Ganimedes la energa se obtiene con pilas atmicas de exactamente 1 Kg de peso. Las pilas son enviadas desde Tritn en 6 cajas de 50 pilas cada una.

a) Tras un envo se avisa a Ganimedes que, por error, una de las cajas contiene pilas malas con 1 g de menos. Deben detectarla y reenviarla a Tritn. Los operadores de Ganimedes deciden detectarla mediante una sola pesada. Cmo?

b) Tiempo despus y tras otro envo, el aviso es que una o ms cajas contienen pilas malas con 1 g de menos. Cmo podrn ahora detectar las cajas errneas con slo una pesada?

Solucin P 8 .a) Identifiquemos cada una de las seis cajas con una letra: caja A, caja B, caja C, caja D, caja E y caja F. Si pesamos 1 pila de la caja A, 2 de B, 3 de C, 4 de D, 5 de E y 6 de F, la cantidad de gramos que falten para un nmero entero de Kg indica la caja errnea.b) En este caso ser necesario tomar 1 pila de A, 2 de B, 4 de C, 8 de D, 16 de E y 32 de F. Con esto, el nmero de gramos que faltan para un nmero entero de Kg representados

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REPRESENTACIN Y CO D IFICA C I N BINARIA 9

en base 2 indica las cajas errneas. Por ejemplo, supongamos que las cajas errneas son A, B, D y F: entonces, faltarn 1 + 2 + 8 + 32 = 43 g. El nmero 43 expresado en binario es: 101011 lo que sealara a las cajas F - D - B A.Problema 9.- La figura representa 6 cartas con las que se pretende hacer un juego de magia. Alguien debe pensar un nmero y, sin decir cul es, debe indicar las cartas donde el numero est presente. Conociendo slo esto, se podr adivinar el nmero pensado. Por ejemplo, si est en las tarjetas A, D, F y G, se trata del nmero 75. Sabiendo que el juego se basa en la representacin binaria de magnitudes:

a) Explquelo.b) Cmo lo cambiara si quiere incluir hasta el nmero 123? Y si incluye hasta el 200?

64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 -

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 96 97 98 99'

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3148 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47 56 57 58 59 60 61 62 63 72 73 74 75 76 77 78 79 88 89 V 90 91 92 93 94 95\ $ > '

f 4 5 6 7 1213 ^ 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 68 69 70 71 76 77 78 79 84 85 86 87 92 93 94 95

2 3 6 7 10 11 ^ 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 34 35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63 66 67 70 71 74 75 78 79 82 83 86 87 90 91 94 95 98 99

f 1 3 5 7 9 11 ^ 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95X>97 99

Solucin P9.a) El mayor nmero, el 99, se representa en binario con 7 bits, concretamente como 99(2= 1100011.De aqu que haya 7 tarjetas (A, B, C , ..., G) cada una encabezada por una potencia de 2 (26 = 64 para A, 25 = 32 para B ,2 4 = 1 6 para C, etc). El resto de nmeros en cada tarjeta son aquellos cuya representacin en base 2 contiene un 1 en la posicin de la potencia correspondiente a la tarjeta. As el 99 estar en las tarjetas A, B, F y G pero no en las otras. El nmero 75 (= 64 + 8 + 2 + 1) estar slo en las tarjetas A, D, F y G; etc.b) El 123 precisa tambin 7 bits por lo que no hay que aumentar el nmero de tarjetas. A cada una de stas habra que incorporar los nuevos nmeros (del 100 al 123) de la forma explicada antes; por ejemplo: el 11 l( j 0 = 1101111( 2 se incorporara a A, B, D, E, F y G.

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7Para aadir hasta el 200 se necesitara una nueva tarjeta encabezada por 128 = 2 , ya que para representar nmeros mayores de 128 se precisan 8 bits.Problema 10.- Represente el 6 en los siguientes casos:

a) Cdigo Gray asumiendo que se representan del 0 al 7.b) Cdigo Gray asumiendo que se representan del O al 9.c) Cdigo Gray asumiendo que se representan del 0 al 15.d) En cdigo ASCII.e) En cdigo A SC II con paridad par.f) En cdigo A SC II con paridad impar.g) En cdigo "2-out-of-5".

Solucin PIO.- El cdigo Gray es un cdigo reflejado de distancia unidad que utiliza el mnimo nmero de bits necesarios. La distancia unidad implica que dos nmeros consecutivos tienen cdigos adyacentes (slo se diferencian en un bit). Por otra parte, el ser un cdigo reflejado, implica simetra respecto a la mitad de los nmeros representados, con lo que, dos nmeros simtricos tienen cdigos adyacentes.a) Para representar los nmeros del 0 al 7 necesitaremos 3 bits. Por tanto, el cdigo Grayser:000 001 011 010 ; 110111 101 100

0 1 2 3 i 4 5 6 7

(eje de simetra)b) y c) Para representar tanto los diez nmeros del 0 al 9, como los 16 nmeros del 0 al 15 se necesitan 4 bits, con lo que el cdigo Gray a utilizar es el de 4 bits. Al ser un cdigo reflejado, para asignar valores del cdigo a los diez nmeros (0-9) lo haremos con los 10 cdigos centrales, tal como se muestra. En la codificacin de los 16 nmeros (0-15) ocupamos los 16 cdigos existentes.

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 |0 1 0 1 | 0 1 0 0b) - - - 0 1 2 3 4c) 0 1 2 3 4 5 | jT ] 7

110058

11016

1 1 1 1 1 1 1 0 10 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 07 8 9 - - -10 11 12 13 14 15

(eje de simetra)d) El cdigo ASCII consta de 7 bits y representa 26 letras minsculas, 26 letras maysculas, 10 dgitos decimales, 32 caracteres especiales y 34 comandos. La codificacin procede de un convenio y, en concreto, el cdigo del 6 es 0 1 1 0 1 1 0 que, expresado en cdigo hexadecimal, es $36.e) Para un cdigo de n bits, incluir la paridad supone aadir 1 bit adicional a los n anteriores que se llama bit de paridad. Su fin es hacer que el nmero total de unos en el cdigo

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REPRESENTACIN Y CO D IFICA CI N BINARIA 11

(ahora de n + 1 bits) sea par en el caso de paridad par o impar en el caso de paridad impar.La posicin del bit de paridad es convenida previamente; por ejemplo, ponemos el bit de paridad en primer lugar.El cdigo ASCII de paridad par para el 6 ser 00110110 (aadimos un 0 para tener un total de cuatro unos). En hexadecimal ser $36.f) El cdigo ASCII de paridad impar para el 6 ser 10110110 (aadimos un 1 para tener un total de cinco unos). En hexadecimal, $B 6 .g) El cdigo 2-out-of-5 representa los 10 dgitos decimales mediante 5 bits de los que tres son 0 y dos son 1. La codificacin es la mostrada a continuacin:nmero cdigo

0 0 0 0 1 11 0 0 1 0 12 0 0 1 1 03 0 1 0 0 14 0 1 0 1 05 0 1 1 0 06 1 0 0 0 17 1 0 0 1 08 1 0 1 0 09 1 1 0 0 0

Problema 11.- Determine el bit de paridad im parpara cada uno de los 10 dgitos decimales en el cdigo 8, 4, -2, -1.

Solucin P H .-E n la siguiente tabla, se muestra la codificacin para cada dgito decimal en el cdigo pesado 8 , 4, -2, -1, junto con el bit de paridad que hay que generar para que en cada dgito haya un nmero impar de 1 .dgito 8 4-2-1 p

0 0 0 0 0 11 0 1 1 1 02 0 1 1 0 13 0 1 0 1 14 0 1 0 0 05 1 0 1 1 06 1 0 1 0 17 1 0 0 1 18 1 0 0 0 09 1 1 1 1 1

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Problema 12.- Obtenga el complemento a 1 y a 2 de los siguientes nmeros binarios: 1010101, 0111000, 0000001, 10000, 00000.

Solucin P12.- Dado B = bn_]bn_2 ...bjbo se obtienen su complementos a 1 y a 2.El complemento a 1 se obtiene como C al(B ) = bn_jbn.2 ...bjboEl complemento a 2 puede obtenerse de dos formas: sumando 1 al complemento a 1 (ya que Ca2(B) = Cal(B) + 1) dejando iguales todos los bits menos significativos hasta llegar al primer bit igual a 1 (que tambin se deja igual) y complementando los bits restantes.Para las palabras propuestas:

palabra compl. a 1 compl. a 21 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1

0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

Problema 13.- Obtenga el complemento a 9 y a 10 de los siguientes nmeros decimales:13579, 09900, 90090, 10000, 00000.

Solucin P13.- Se define Ca9(N) = (10n - 1) - N. De esta definicin podemos inferir que si N = Nn.jNn.2 -.NjNo, entonces Ca9(N) = (9 - Nn_j)(9 - Nn_2) - ( 9 - N ,)(9 - N0).Por otra parte CalO(N) = 10" - 1 = Ca9(N) + 1 Para las cantidades propuestas en el enunciado:

nmero compl. a 9 compl. a 1 013579 86420 8642109900 90099 9010090090 09909 099101 0 0 0 0 89999 900000 0 0 0 0 99999 0 0 0 0 0

Problema 14.- Represente con el mnimo nmero de bits posibles los siguientes nmeros decimales en notacin binaria, signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2:a) 122; b) 64; c) 15; d) 37.Solucin P14.- La representacin binaria con n bits permite representar los nmeros comprendidos entre 0 y 2n_1, siendo una representacin sin signo. Esto es, no podemos representar+N ni -N sino slo N. En particular, operando como en el problema 2:a) 1 2 2 = 1 1 1 1 0 1 0 ( 2b) 64 = 1000000(2c) 15= 1 1 1 1 ( 2d) 37 = 100101(2

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REPRESENTACIN Y CODIFICACIN BINARIA 13

La representacin signo-magnitud aade un bit de signo (0 para + y 1 para - ) a la representacin binaria de la magnitud, situando ese bit de signo en la posicin ms significativa. Entonces, con n bits pueden representarse todos los nmeros enteros comprendidos entre- (2n _ 1 - 1) y + (2n - 1- l ) . En particular,a) + 1 2 2 = 0 1 1 1 1 0 1 0 - 1 2 2 = 1 1 1 1 1 0 1 0b) + 64 = 01000000 - 64 = 11000000c) + 15 = 01111 - 1 5 = 11111d) + 37 = 0100101 - 3 7 = 1100101La representacin complemento a 1 sigue el siguiente convenio:- Un nmero positivo se representa igual que en signo-magnitud.- Un nmero negativo se representa complementando a 1 el correspondiente nmero positivo. Con n bits pueden representarse todos los nmeros enteros comprendidos entre- (2n~* - 1) y + (2n _ 1 - 1). En particular,a) + 1 2 2 = 0 1 1 1 1 0 1 0 - 1 2 2 = 1 0 0 0 0 1 0 1b) + 64 = 01000000 - 64 = 10111111c) + 15 = 01111 - 15 = 10000d) + 37 = 0100101 - 3 7 = 1011010La representacin en complemento a 2 sigue el siguiente convenio:- Un nmero positivo se representa como en los casos anteriores.- Un nmero negativo se representa mediante el complemento a 2 del correspondiente nmero positivo. Con n bits pueden representarse los 2n nmeros comprendidos entre - 2n _ 1 y + (2 -1 ). En nuestro caso,a) + 1 2 2 = 0 1 1 1 1 0 1 0 - 1 2 2 = 1 0 0 0 0 1 1 0b) + 64 = 01000000 - 64 = 1000000c) + 15 = 01111 - 15 = 10001d) + 37 = 0100101 - 3 7 = 1011011Problema 15.- Se dispone de palabras de 10 bits. Sobre ellas se escriben nmeros fraccionarios en punto fijo dedicando 3 bits a la parte fraccionaria. Represente los siguientes nmeros en las notaciones signo-magnitud, complemento a 1 y complemento a 2, en los dos casos siguientes: a) Redondeando el valor; b) Truncando el valor.Nota: Para los nmeros negativos, obtenga primero el valor de la magnitud y, despus, aplique la notacin.1) + 2 7 .6 2 5 3 )+ 3 3 .3 5 ) + 4 5 . 6 7 7 ) + 45.72) -2 7 .6 2 5 4 ) - 3 3 . 3 6 ) - 4 5 . 6 7 8) - 45.7

Solucin P15.1) + 27.625 = 0011011.1 0 1 (2 , en este primer caso, no es necesario redondear ni truncar la parte fraccionaria pues slo hay tres dgitos en la parte fraccionaria del nmero exacto. Por tanto, la representacin con 10 bits (7 para la parte entera y 3 para la fraccionaria) sera:0 0 1 1 0 1 1 0 1

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14 PROBLEM AS DE CIRCUITOS Y SISTEMAS DIGITALES

2 ) - 27.625 = 1011011.101s.m = 1100100.010c a , = 1100100.01 l c a 2.3) + 33.3 = 0100001.0100... truncando en 3 bits para la parte fraccionaria: 0100001.010, redondeando se obtiene el mismo valor ya que el valor exacto en el bit b_4 es 0 .4 ) - 3 3 .3 = 1100001.010s.m = 1011110.101c a j = 1011110.110c a 2.5) + 45.67 = 0101101.10101... truncando en 3 bits para la parte fraccionaria: 0 1 0 1 1 0 1 . 1 0 1 , redondeando: 0 1 0 1 1 0 1 . 1 1 0 .6 ) - 4 5 .6 7 = 1101101.101s.m = 1010010.010c. a ! = 1010010.01 l c a 2 (truncando). - 4 5 .6 7 = 1101101.110s_m = 1010010.001c a j = 1010010.010C a 2 (redondeando).7) + 45.7 = 0101101.1011 truncando en 3 bits para la parte fraccionaria: 0101101.101 y redondeando: 0 1 0 1 1 0 1 . 1 1 0 .

8 ) - 4 5 .7 = 1101101.110s_m = 1010010.001c a l = 1010010.010C a 2 (truncando). - 4 5 .7 = 1101101.110s.m = 1010010.001c a l = 1010010.010C a 2 (redondeando).Problema 16.- Se dispone de 30 bits para escribir nmeros en notacin exponencial. De ellos se destinan 21 a ia mantisa y 9 a l exponente. Mantisa y exponente se escriben en notacin signo-magnitud.

a) Determine los rangos de valores decimales que se pueden escribir.b) Represente en BCD los siguientes nmeros:

1. Velocidad de la luz en m/s (3x1o8).2. Carga del electrn en culombios ( - 1,602x10 ~ 19).3. M asa del electrn en kilogramos (9 ,109x10~31).4. Aceleracin de la gravedad en m/s2 (9,807).5. Cero.6. Infinito.

Solucin P16.- En notacin exponencial los nmeros se expresan en la forma: M = m x b e (m mantisa, b base, e exponente). En nuestro caso, hay que representar las cantidades pedidas en BCD. Por tanto la base es decimal. Cada dgito BCD es codificado por 4 bits. Disponemos de 2 1 bits para la mantisa de los cuales uno es para el signo, los otros 2 0 bits nos permiten almacenar 5 dgitos BCD. En cuanto a la parte fraccionaria, tenemos 9 bits, uno para el signo y 8 para dos dgitos BCD. Por tanto, el espacio disponible se distribuye de la siguiente forma:

exponenteSe

Utilizaremos normalizacin fraccionaria, es decir, el punto decimal se encuentra a la izquierda del primer dgito representado y ese primer dgito ha de ser no nulo.a) El rango de valores positivos que se puede representar viene dado por el menor nmero representable: mantisa + 10000 y exponente - 99 que corresponde al 0.1 x 10-99, y el mayor representable: mantisa + 99999 y exponente + 99 que corresponde al 0.99999 x 1099. Por tanto el rango cubierto es [0.1 x 10~", 0.99999 x 10 ].En cuanto al rango de valores negativos, ser [ - 0.99999 x 1099, - 0.1 x 10-99] .

mantisaSm

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REPRESENTACIN Y CO D IFICA C I N BINARIA 15

b) Las cantidades propuestas quedan:1) 3 x 108, normalizado 0.3 x 109, los 30 bits sern:0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

mantisa exponente2) - 1.602 x 10-19, normalizado - 0.1602 x 10-18, los 30 bits sern:

1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0001 1000

3) 9.109 x 10 31, normalizado > 0.9109 x 10 JU, los 30 bits sern:300 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0011 0 0 0 0

4) 9.807, normalizado > 0.9807 x 10 , los 30 bits sern:0 1001 o o o o o o 0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1

5) Por convenio, cero, es el nico nmero con el primer dgito de la mantisa a 0. (Normalmente se ponen todos los dgitos de la mantisa y el exponente a 0 , pero bastara slo con fijar a cero el primer dgito de la mantisa).X 0000 xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx

6 ) Infinito. Con signo positivo, por convenio viene dado por el mayor nmero representable. Con signo negativo, ser el menor representable:+ infinito - infinito

0 1001 1001 1001 1001 10011 1001 1001 1001 1001 1001

0 1001 1001

0 1001 1001

mantisa exponente

Problema 17.- Represente el nmero (+ 31 .5 )10 con un coeficiente entero normalizado de 13 bits y un exponente de 7 bits como:

a) Un nmero binario (asuma base 2).b) Un nmero octal binario codificado (asuma base 8).c) Un nmero hexadecimal binario codificado (asuma base 16).

Solucin P17.a) 31,5(]0 = 1 1 1 1 1 . 1 ( 2 pero hemos de escribirlo en forma exponencial de manera que la mantisa tenga 13 bits (incluido el bit de signo) y el exponente 7 bits (incluido bit de signo):31,5(]0 = 0111111000000 x 2_ 7 ( 2Entonces la mantisa, de 13 bits, es: 0 1111110000000 y el exponente, de 7 bits, es:

1 000111.

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b) 31.5(io = 37.4(8, tambin hemos de escribirlo en forma exponencial de manera que la mantisa tenga 13 bits (incluido el bit de signo) y el exponente 7 bits (incluido bit de signo). Sin embargo, en este caso se trata de dgitos ocales, y cada dgito octal se codifica mediante tres bits. Por tanto, hemos de escribirlo en forma exponencial de modo que la mantisa tenga 4 dgitos octales (+ el bit de signo son un total de 13 bits) y el exponente 2 dgitos ocales (+ el bit de signo hacen un total de 7 bits). Entonces:31 -5(io = 3740 x 8 ~2(8, con lo que la mantisa quedara: 0 011 111 100 000 y el exponente, de 7 bits, es 1 000 010.c) 31 -5(io = lF-8 (i6, en este caso la normalizacin ha de realizarse teniendo en cuenta que un dgito hexadecimal se codifica con 4 bits. La mantisa, por tanto, ha de tener 4 dgitos hexadecimales ( 1 2 bits).31.5(jo = 1 F 8 x 16~, por tanto, la mantisa ser: 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 , y el exponente quedar: 1 0 0 0 0 0 1 .

PR O B LEM A S CON SO LU CI N RESUM IDA

Problema 18.- Represente los siguientes nmeros decimales en base 2 y compruebe el resultado: a) 17; b) 94.

Solucin P18.a) 17(]o = 1 0 0 0 1 ( 2 .b) 94 ( 1 0 = 1011110(2 Problema 19.- Pase los siguientes cdigos hexadecimales a cdigo binario, octal y BCD: a) $F2.B5; b) $B02.A; c) $25. FA; d) $71.02.

Solucin P19.- El cdigo BCD corresponde a la representacin binaria de un nmero decimal. Esta se obtiene asociando a cada dgito decimal su representacin binaria de 4 bits. Para pasar un nmero desde una determinada base a BCD, deber obtenerse en primer lugar el nmero en base 1 0 , y despus hacer la conversin antes indicada.a) $F2.B5 = 1111 0010.1011 0101 ( 2 = 011 110 010.101 101 010 ( 2 = 362.552(g . Para representarlo en BCD pasamos a base 10:$F2.B5 = F X 16 + 2 x 16 + 11 x 16 '1 + 5 x 162 = 242.70(10 -> 0010 0100 0010.0111 (BCD).

Procedemos de igual forma con el resto de los casos:b) $B02.A = 1011 0000 0010.1010 ( 2 = 5402.5(8 = 2818.625(10 == 0010 1000 0001 1000.0110 0010 0101 (BCD).

c) $25.FA =0010 0101.1111 1010( 2 = 45.764(8 = 37.977 ( 1 0 == 0 0 1 1 0 1 1 1 . 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 (BCD).

d) $71.02 =0111 0001.00000010(2 = 161.004(8 = 113.007(10 == 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 (BCD).

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REPRESENTACIN Y CODIFICA CI N BINARIA 17

Problema 20.- Represente el nmero decimal 8620 (a) en BCD, (b) en cdigo exceso 3, (c) en cdigo 2, 4 , 2 , 1 y (d) como nmero binario.

Solucin P20.a) 8620(lo -> 1000 0110 0010 0000(BCD).b) 8620(10 -* 1011 1001 0101 001 l (exceso-3)-c) El cdigo 2,4,2,1 es un cdigo pesado de 4 bits cuyos pesos son precisamente 2,4,2,1.dgito Pesos:decimal 2 4 2 1

0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 1 0 1 16 1 1 0 07 1 1 0 18 1 1 1 09 1 1 1 1

Entonces, 8620(]q ~ * 1110 1100 0010 0000d) Lo ms fcil es pasar primero a base 16 por el mtodo de las divisiones sucesivas y despus pasar a base 2 , desde base 16.8620(10 -> 21 AC ( 1 6 -> 0010 0001 1010 1100( 2 -> 10000110101100( 2 .Problema 21.- Un cdigo binario usa 10 bits para representar cada uno de los diez dgitos decimales. A cada dgito le asigna un cdigo de nueve ceros y un uno. El cdigo binario para el nmero 6, por ejemplo, es 0001000000. Determine el cdigo binario para los nmeros decimales restantes.

Solucin P21.- Se trata del cdigo 1 -hot, tambin llamado 1 -out-of-n . En este caso n = 10.dgito b9 bgb7 b6 b5 b4 b3 b2b t b0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 1 02 0 0 0 0 0 0 0 1 0 03 0 0 0 0 0 0 1 0 0 04 0 0 0 0 0 1 0 0 0 05 0 0 0 0 1 0 0 0 0 06 0 0 0 1 0 0 0 0 0 07 0 0 1 0 0 0 0 0 0 08 0 1 0 0 0 0 0 0 0 09 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

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18 PROBLEM AS DE CIRCU ITO S Y SISTEMAS DIGITALES

Problema 22.- Obtenga un cdigo binario pesado para los dgitos de la base 12 usando los pesos 5421.

Solucin P22.dgito 5 4 2 1

0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 1 0 0 0

dgito 5 4 2 16 1 0 0 17 1 0 1 08 1 0 1 19 1 1 0 0A 1 1 0 1B 1 1 1 0

Problema 23.- Determine el rango de valores numricos que pueden escribirse en palabras de 8, 16 y 32 bits, en las diferentes notaciones de nmeros enteros con signo.

Solucin P23.- Con n bits se representan los siguientes rangos:- Signo-magnitud: [ - (2n _ 1 - 1), + (2n _ 1 - 1)]- Complemento a 1: [ - (2n _ 1 - 1), + (2n _ 1 - 1)]- Complemento a 2: [ - 2n_1, + (2n _ 1 - 1)]Entonces para los valores de n propuestos:n2 de bits signo-magnitud y complemento a 2complemento a 1

8 [ - 127,+ 127] [- 128,+ 127]16 [- 32767, + 32767] [- 32768, + 32767]32 ] - ( 2 3 1 l), + (2 3 1 1 )] [ 2 31, + (2 31- 1 )]

Problema 24.- Un registro de 30 bits almacena un nmero decimal en punto flotante representado en BCD. Los coeficientes ocupan 21 bits del registro y se asume como un entero normalizado. Los nmeros en el coeficiente y el exponente se asumen representados en forma de signo-magnitud. Cules son las cantidades mayores y menores que pueden ser acomodadas excluyendo el cero?. Repita para representacin binaria, con base 2, si se representa con fraccin normalizada.

Solucin P24.BCD normalizado entero,- Cantidad mayor positiva: 99999 x 1099.- Cantidad menor positiva: 10000 x 10" = 10_95.Base 2 fraccin normalizada,- Cantidad mayor positiva: 0.111... 111 x 2 1 1 1 1 1 1 1 1= (1 - 221) x 2255.- Cantidad menor positiva: 0.100...000 x 2_ 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2_ 1 x 2- 2 5 5 = 2256.

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Captulo 2 LGEBRA Y FUNCIONES DE CONMUTACIN

El modo ms riguroso e inequvoco de describir la funcionalidad de los circuitos digitales es de forma matemtica, mediante expresiones y funciones de conmutacin. Con ello, adems, se facilita el desarrollo de mtodos ms o menos sistemticos a la hora de abordar las tareas de anlisis o diseo de circuitos. Es objetivo de este Captulo familiarizar al lector con los conceptos relacionados con el lgebra de conmutacin, el manejo de expresiones lgicas y las formas de representacin de funciones que se utilizarn en este y otros Captulos.LGEBRA DE CONM UTACINEl lgebra de conmutacin es un sistema matemtico compuesto por un conjunto de dos elementos: B = {0,1}, y dos operaciones OR (+) y AND () definidas en B de la siguiente forma:

+ 0 1 0 10 0 1 0 0 01 1 1 1 0 1

OR ANDEl lgebra de conmutacin cumple los postulados del lgebra de Boole. De ah que podamos decir que la primera es un caso particular de la segunda. Los postulados del lgebra de Boole son los siguientes:P l. Ley de identidad: Existen elementos identidad (0 para la operacin + y 1 para la operacin ) de forma que para cualquier elemento x, se cumple: x + 0 = x x - 1 = JtP2. Ley conmutativa: Para cualesquiera dos elementos x e y, se cumple: x + y = y + x x y = y xP3. Ley distributiva: Dados tres elementos x, y, z se cumple:x + (y z) = (x + y) (x + z) x (y + z) = x y + x z

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P4. Ley del complemento: Para todo elemento x existe un elemento x tal que: x + x = 1 x x = 0A partir de estos postulados es posible probar una serie de propiedades de inters. Estas propiedades, que aqu simplemente se enumeran, son demostradas en el problema 1 para el caso general del lgebra de Boole y probadas en el problema 2 para el lgebra de conmutacin. T I . Ley de idempotencia: x + x = x x x = xT2. Ley de unicidad del complemento: el elemento x del postulado cuarto es nico.T3. Ley de los elementos dominantes: x + 1 = 1 x 0 = 0T4. Ley involutiva: (x ) = xT5. Ley de absorcin: x + x y = x x (x + y) = xT 6 . Ley del consenso: x + x- y = x + y x (x + y) = x yT7. Ley asociativa: x (y z) = (x y) z x + (y + z) = (x + y) + zT 8 . Ley de De Morgan: x y = x + y x + y = x yT9. Ley de De Morgan generalizada: x y z . . . = x + y + z + ...x + y + z ... = x y z ...TIO. Ley del consenso generalizado: x y + x z + y z = x y + x z(x + y) (x + z) (y + z) = (x + y) (x + z)

FUNCIONES DE CONM UTACINSon funciones que se definen sobre el conjunto B = {0, 1} del lgebra de conmutacin. Estrictamente se definen como: f: Bx ... xBxB = Bn B.As una funcin de n variables asigna un valor o imagen de B (0 1) a cada punto del espacio Bn: (x,X2 , ...,xn). Por ejemplo, una funcin de tres variables: f(x, y, z) se puede definir de la siguiente forma: f(0 ,0 ,0 ) = 0 , f(0 ,0 , l) = 1 , f(0 , 1 ,0 ) = 0 , f(0 , 1 , 1 ) = 1 , f( 1 ,0 ,0 ) = 0 , f( 1,0,1) = 0, f( 1,1,0) = 1, f (1,1,1) = 1. A veces no todas las combinaciones de las variables tienen imagen, decimos entonces que la funcin es incompleta o que est incompletamente especificada. Cuando esto sucede, por ejemplo, en la combinacin (xQ,y0 ,zo) lo simbolizamos de la siguiente forma: f(xQ,yo,zo) = d f(x0 ,yo>zo) = -, donde los smbolos y d (don't care) son llamadas inespecificaciones o indeterminaciones.R EPR ESEN TA CI N D E FUNCIONESExisten diversos modos de representar las funciones de conmutacin. Algunas formas utilizan tablas o mapas (modos grficos). Otras, consisten en expresiones algebraicas. A continuacin daremos algunos detalles sobre las formas de representacin utilizadas en este texto.- Tablas de verdad.En una tabla se representan dos columnas. En la primera de ellas se escriben todas las combinaciones de las variables de entrada en orden binario. En la otra columna se anota el valor que toma la funcin para cada combinacin de las variables de entrada. A continuacin se muestra un ejemplo para una funcin de tres variables. Ntese que para n variables se necesitara una tabla de 2n filas. As, este tipo de representacin es ms interesante para funciones de un nmero reducido de variables.

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LG EBRA Y FUNCIONES DE CONM UTACIN 21

x y z f0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 11 1 1 1

- M apa de K arnaugh .Es tambin una forma grfica. Las variables de la funcin se dividen en dos grupos. Uno de ellos se sita en el eje horizontal de una tabla y el otro en el eje vertical. Las combinaciones de cada grupo de variables se escriben en el orden del cdigo Gray. As, disponemos de una cuadrcula en cuyas celdas se anota el valor de la funcin para la combinacin de las variables asignada. La propiedad principal es que dos celdas geomtricamente adyacentes tambin corresponden a cdigos lgicos adyacentes. En el ejemplo se muestra un mapa para una funcin de 4 variables. En los problemas aparecen ejemplos para 5 variables. Al igual que en el caso de las tablas de verdad, este tipo de representacin aumenta su tamao de forma potencial con el nmero de variables. Si el orden en que se escriben los valores de las variables es el binario natural, el mapa es denominado binario.a b

r 00 01 11 1000 0 0 0 001 1 1 0 011 0 0 1 110 0 1 1 1

f- Expresiones o frm ulas.En este caso se utiliza una expresin algebraica para representar las funciones. Se combinan las variables con los operadores NOT1, AND 2 y OR. Aquellas combinaciones de las variables que hagan 1 ( 0 ) la expresin sern las combinaciones en que la funcin es 1 ( 0 ).Algunos tipos de frmulas son de un inters particular. Entre las ms destacables estn las formas cannicas y estndares. Tanto unas como otras tienen en comn que son frmulas compuestas nicamente por suma de productos, o bien, nicamente por producto de sumas. En las formas cannicas, adems, se cumple que los productos son siempre mintrminos y las su

1 NOT(x) = x.2 El smbolo del operador AND () puede omitirse: a b = a b.

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mas son maxtrminos. Tenemos as que las formas cannicas son sumas de mintrminos o producto de maxtrminos. A continuacin se muestra para la funcin de cuatro variables del ejemplo anterior expresiones en forma cannica y estndar tanto de sumas como de productos.- Suma de mintrminos:f(a, b, c, d) = a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d + a b c d == mj + m5 + mg + ni]Q + ni] + m j4 + mjg = S ( l , 5 , 6 , 10, 11, 14, 15).- Producto de maxtrminos:f(a, b, c, d) = (a + b + c + d) (a + b + c + d) (a + b + c + d) (a + b + c + d)(a + b + c + d )(a + b + c + d )(a + b + c + d )(a + b + c + d )(a + b + c + d)= = M0 M2 M3 M4 M7 M8 M9 M 12 M j3 = n (0, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 12, 13).- Suma de productos:f(a, b, c, d) = a c d + a c + b c d.- Producto de sumas:f(a, b, c, d) = (c + d) (a + c) (a + c + d) (a + b + c).Mientras que las dos primeras formas son nicas para cada funcin (cannicas), las dos siguientes (estndares) no lo son, pero presentan una mayor simplicidad.nd ice del C aptuloEste Captulo desarrolla problemas de las siguientes materias:- Demostracin de teoremas e identidades.- Manejo de expresiones lgicas.- Representacin mediante tablas, mapas y formas cannicas y estndares. PR O B LEM A S RESUELTOSProblem a 1.- Demuestre los teoremas booleanos en base a la definicin del lgebra.

Solucin P l.-N os basaremos en los postulados del lgebra de Boole:P l. Identidad: x + 0 = x x 1 = 1P2. Conmutativa: x + y = y + x x y = y xP3. Distributiva: x + (y z) = (x + y) (x + z) x (y + z) = x y + x zP4. Complemento: x + x = l x x = 0Los teoremas y sus demostraciones se relacionan a continuacin.T I. Idempotencia: x + x = x x x = xx + x = (x + x) 1 = (x + x )(x + x) = x + x x = x + 0 = xx - x = x x + 0 = x x + x x = x ( x + x) = x l = x Hemos aplicado los postulados P l, P4, P3, P4 y P l, en ese orden.T2. Unicidad del complemento: \fa e B , 3' a' e B | a' = aSi existieran dos complementos, a y a2 se cumpliran las siguientes igualdades (por P4): a + aj = l a + a2 = l a aj = 0 a a2 = 0Entonces: aj = aj 1 = a (a + a2) = aj a + a a2 = 0 + a] a2 = a a2 + a a2 == (a + aj) a2 1 a2 a2

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LGEBRA Y FUNCIONES DE CONM UTACIN 23

Se han aplicado los postulados P l, P4, P3, P2, P4, P3 y P l, en ese orden.T3. Elementos dominantes: x + 1 = 1 x 0 = 0x + l = ( x + l ) - l = ( x + l ) - ( x + x) = x + l- x = x + x = l x 0 = x 0 + 0 = x 0 + x x = x ( 0 + x) = x x = 0Los postulados utilizados son P l, P4, P3, P2, P l y P4.T4. Lev involutiva: (x) = x

(x) = (x) + 0 = (x) + x x = [(x) + x] [(x) + x] = [(x) + x] 1 == [(x) + x] (x + x) = x + [x (x)] = x + 0 = x

donde se han aplicado P l, P4, P3, P4, P2, P4, P2, P3, P4 y P l.T5. Lev de absorcin: x + x y = x x (x + y) = xx + x - y = x- l + x- y = x - ( l + y ) = x l = x x - ( x + y) = (x + 0 ) - ( x + y) = x + 0 - y = x + 0 = xEn esta demostracin hemos usado P l, P3, T3 y P l en ese orden.T6 . Lev del consenso: x + x y = x + y x (x + y) = x yx + x - y = (x + x ) - ( x + y) = l (x + y) = x + y x - ( x + y) = x- x + x- y = 0 + x- y = x- yLos postulados en que nos hemos apoyado son P3, P4, P2 y P l .T7. Lev asociativa: x (y z) = (x y) z x + (y + z) = (x + y) + zPara demostrarla es necesario demostrar previamente tres lemas:L l. a = a + a (b c) a = a [a + (b + c)] (am bospor T5)L2. a = a + b (a c) a = a [b + (a + c)] cuya demostracin es:a + b (a c) = (a + b) (a + a c) = (a + b) a = a a - [ b + (a + c)] = a- b + a - ( a + c) = a- b + a = a donde hemos utilizado P3 y T5.L3. a = a + b (c a) a = a [b + (c + a)] por P2 y L2.Ahora demostremos la ley asociativa:x (y z) = [x + Z (x y)] ( [ y+ z (x y)] [z + z (x y)]) = (p o rL 2 ,L 3 y L l) = [x + z (x y)] (y z + z (x y ) ) = (por P3)= x (y z) + z (x y) = (aqu tambin hemos aplicado P3)= z (x y) + x (y z) = (esto, por P2)= [z + x (y z)] [x y + x (y z)] = (donde hemos aplicado P3)= z [x y + x (y z)] = (por L3)= z [x + x (y z)] [y + x (y z)] = (por P3)= z (x y) = (x y) z (por L l, L2 y finalmente P2).Luego, hemos probado x (y z) = (x y) zPor otra parte,x + (y + z) = x [ z + (x + y)] + (y [z + (x + y)] + z [z + (x + y)]) = (porL 2,L 3y L l) = x [z + (x + y)] + (y + z) [z + (x + y)] = (por P3)= [x + (y + z)] [z + (x + y)] = (aqu tambin hemos aplicado P3)= [z + (x + y)] [x + (y + z)] = (esto, por P2)

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= z [x + (y + z)] + (x + y) [x + (y + z)] = (donde hemos aplicado P3)= z + (x + y) [x + (y + z)] = (por L3)= z + x [x + (y + z)] + y [x + (y + z)] = (por P3)= z + (x + y) = (x + y) + z (por L1, L2 y finalmente P2).Con lo que queda probado que x + (y + z) = (x + y) + z.T 8 . Lev de De M organ: x y = x + y x + y = x yLa base de la demostracin es que como el complemento es nico y cumple el postulado P4, entonces, s iA + B = l y A B = O e s porque A = B, esto es:A = B o A + B = l y A B = 0.Sean A = x + y, B = x y; demostremos que A = B. A + B = x + y + x y = x + y + x = x + x + y = l + y = l (T6 , P2, P4 y T I). A B = (x + y ) x - y = x x y + y x y = 0 y + 0 x = 0 + 0 = 0 (P3, P2, P4, T3, TI).Sean A = x y, B = x + y; demostremos que A = B. A + B = x - y + x + y = y + x + y = x + y + y = x + l = 1 (T5, P2, P4 y T3). A B = x y ( x + y) = x y x + x y y = 0 y + x 0 = 0 + 0 = 0 (P3, P2, P4, T3, T I).T9. Lev de De Morgan generalizada:x y z ... = x + y + z + ... x + y + z ... = x y z ...x y z ... = x (y z ...) = x + yz ... = x + y (z ...) = x + y + z ... == x + y + z (...) = ... = x + y + z + ...x + y + z ... = x + (y + z + ...) = x y + z ... = x y + (z ...) = x y z + ... == x y z + (...) = ... = x y z ...En las dos demostraciones se utilizan los teoremas T7 y T 8 alternativamente.TIO. Lev del consenso generalizado:x y + x z + y z = x y + x z (x + y) (x + z) (y + z) = (x + y) (x + z) x - y + x - z + y - z = x - y + x - z + y - z - l = (P l)= x - y + x - z + y - z - ( x + x )= (P4)= x y + x z + y z x + y z x = (P3)= x y + x y - z + x z + x z y = (P2)= x y + x z (T5)(x + y) (x + z) (y + z) = (x + y) (x + z) (y + z + 0) = (P l)= (x + y) (x + z) (y + z + x x) = (P4)= (x + y) (x + z) (y + z + x) (y + z + x) = (P3)= (x + y) (x + y + z) (x + z) (x + z + y)= (P2)= (x + y) (x + z) (T5)Problema 2.- Demuestre los teoremas booleanos en el lgebra de conmutacin comprobando su validez mediante tablas de verdad.

Solucin P2.-A partir de la definicin de las operaciones AND () y OR (+) en el lgebra de conmutacin, comprobaremos:- Idempotencia: x = x + x, x = x x;- Elementos dominantes: x + 1 = 1, x 0 = 0;

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LG EB RA Y FUNCIONES DE CONM UTACIN 25

- Involutiva:- Absorcin:- Consenso:- Asociativa:- Ley De DeMorgan:

x = x ;x + x y = x, x (x + y) = x;x + x y = x + y, x (x + y) = xy ;(x + y)_+ z = x + (y + z), (x y) z = x (y z);x y = x + y , x + y = x y .En las dos tablas siguientes podemos ver la comprobacin de todos los teoremas excepto el de la ley asociativa que se prueba a continuacin.x y X X + X X X x + 1 xO X p (donde p = x) x + x y x (x + y)0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 00 i 0 0 0 1 0 1 0 0 01 0 1 1 1 1 0 0 1 1 11 i 1 1 1 1 0 0 1 1 1

X y x + x y x + y X (x + y) xy xy x + y x + y xy0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 i 1 1 0 0 1 1 0 01 0 1 1 0 0 1 1 0 01 i 1 1 1 1 0 0 0 0

La comprobacin de la ley asociativa:x y z x + y (x + y) + z y + z x + (y + z) xy (xy)z y z x (y z)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 1 1 1 0 0 0 00 1 1 1 1 1 1 0 0 1 01 0 0 1 1 0 1 0 0 0 01 0 1 1 1 1 1 0 0 0 01 1 0 1 1 1 1 1 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Problema 3 .-Para elementos del lgebra de conmutacin, pruebe la validez de:a) a b = a c b = c; b )a + b = a + c - * b = c ;c ) a b = a c y a + b = a + c - ^ b = c.

Solucin P3.a) No se cumple, por ejemplo, para a = 0, b = 1, c = 0.b) No se cumple, por ejemplo, para a = l , b = l , c = 0.c) S se cumple. Se puede comprobar que para cualquier combinacin de valores se cumple. Tambin se puede demostrar algebraicamente:

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b = b + a b = b + a c = (b + a) (b + c) = (a + b) (b + c) = (a + c) (b + c) == a b + c = a - c + c = c.Se han aplicado la ley del consenso, las propiedades distributiva y conmutativa, y las igualdades a - b = a - c y a + b = a + c.Problem a 4 .- Compruebe las siguientes igualdades:

a) x y + x z + y z = x y + x z (ley del consenso generalizado)b ) x ( x + y ) + z + z y = y + zc ) x y + x y z = x y + z

d) w +w x + y z = w (y + z)e ) w [ x + y ( z + w ) ] = w + x y + x zf) (w + x + y) (w + x + y) (y + z) (w + z) = (w + y) (y + z)

Solucin P4.a ) x y + x z + y z = x y + x z + (x + x ) y z = x y + x z + x y z + x y z == x y + x y z + x z + x z y = x y ( l +z ) + x z ( l + y) = x y + x z donde hemos aplicado P4, P3, P2, P3, T3 y P1b ) x ( x + y) + z + z y = x y + z + y = y + y x + z = y + z por T 6 , P2 y T5c ) x y + x y z = x y + z (por la ley del consenso: u + u z = u + z donde u = x y)d )w + w x + y z = w + y z = w y z = w (y + z) por T5 y T 8e) w [x + y ( z + w)] = w + x + y (z + w) = w + x y ( z + w) = w + x ( y + z + w) =

= w + x y + x z w = w + x y + x z por T 8 y T 6f) (w + x + y) (w + x + y ) (y + z) (w + z) = [(w + y) + x x] (y + z) (w+z) == (w + y) (y + z ) (w + z) = (w + y) (y + z) por P2, P3, P4, P1 y TIO.

Problem a 5.- Reduzca las siguientes expresiones del lgebra de Boole al nmero de literales solicitado al lado de cada una de ellas.

a) a b c + a b c + a b c + a b c + a b c (a cinco literales)b ) b c + a c + a b + b c d (a cuatro literales)

c) [c d + a] + a + c d + a b (a tres literales)

d) [(a + c + d) (a + c + d) (a + c + d) (a + b)] (a cuatro literales)

Solucin P5.a ) a b c + a b c + a b c + a b c + a b c == a b c + a b c + a b c + a b c + a b c + a b c = (ya que x + x = x)= a b c + a b c + a b c + a b c + a b c + a b c = (por la propiedad conmutativa)= a b (c + c) + a b (c + c) + (a + a) b c =

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LG EBRA Y FUNCIONES DE CONM UTACIN 27

= a b 1 + a b 1 + 1 b c = (yaque x + x = 1 )= a b + a b + b c = b (a + c) + a b (yaque x 1 = 1 x = x).b ) b c + a c + a b + b c d = b c + b c d + a c + a b =(por la propiedad conmutativa)= b c + a c + a b = b c + a c + a b ( c + c ) = (yaque x + x y = x)= b c + a c + a b c + a b c = (por la propiedad distributiva)= b c ( l +a ) + a c ( l + b) == b c + a c (yaque 1 + x = 1 ).c) aplicando la ley de De Morgan a la expresin, obtenemos:c d a + a + c d + a b = c d a + a + a b + c d = (por la propiedad conmutativa)= c d + a + c d = (ya que x + x y = x).= a + c d (ya que x + x = x)d) (a + c + d) (a + c + d) (a + c + d) (a + b) == (a + c + d) (a + c + d) (a + c + d) (a + c + d) (a + b) = (ya que x = x x)= (a + c) (a + d) (a + b) = a + b c d (por la propiedad distributiva).

Problema 6.- Verifique si se cumplen o no las siguientes igualdades:a) M (a, b, c) + M (d, e, f) = M (a + d, b + e, c + f).b) M (a, b , c ) - M (d, e, f) = M (a d, b e, c f).c) M (a, b, M (c, d, e)) = M [M(a, b, c), d, M(a, b, e)].donde M (x, y, z) es la funcin mayora de x, y, z: M (x, y, z) = x y + x z + y z.

Solucin P6.a) No se cumple pues para a = 0, b = 0, c = l , d = 0, e = l y f = 0 s e tiene que M(a, b, c) + M(d, e, f) = M(0, 0, 1) + M (0, 1, 0) = 0 + 0 = 0 y, sin embargo:M(a + d, b + e, c + f) = M(0, 1, 1) = 1.b) No se cumple, pues para a = 0, b = 1, c = 1, d = 1, e = 0 y f = 1 se tiene que M(a, b, c) M (d, e, f) = M(0, 1, 1)- M (l, 0, 1) = 1 1 = 1 mientras queM (a d, b e, c f) = M(0, 0, 1) = 0c) S se cumple pues M[a, b, M(c, d, e)] = M[a, b, c d + c e + d e ] == ab + a ( c d + c e + de) + b ( c d + c e + d e ) = a b + a c d + a c e + a d e + b c d + b c e + b d e y, por la otra parte:M[M(a, b, c), d, M(a, b, e)] = M [ab + a c + b c , d, a b + a e + b e ] == (ab + ac + b c ) d + ( a b + a c + b c ) ( a b + a e + be ) + d ( a b + a e + be ) = = a b d + a c d + b c d + a b + a b e + a b c + a c e + a b c e + a b c e + b c e + a b d + a d e + b d e = = ab + a c d + b c d + a c e + b c e + a d e + b d e , luego ambas expresiones son iguales.Problema 7.- Obtenga la tabla de verdad de las siguientes expresiones:

a) f = w y z + x y + wy.b) f = (w + x + y) (x + z) (w + x).

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28 PRO BLEM A S DE CIRCUITOS Y SISTEM AS DIGITALES

Solucin P7.a ) S i f = w y z + x y + wy , entonces es fcil deducir cundo f = 1 :A v y z = 1 = > w = 1 , y = 1 , z = 1

f= 1 x y = 1 => x = 1 , y = 1\ \v y = 1 => w = 1 , y = 1

con ello, la tabla de verdad es:w x y z f w x y z f0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 1 0 10 0 1 1 0 1 0 1 1 10 1 0 0 0 1 1 0 0 00 1 0 1 0 1 1 0 1 00 1 1 0 1 1 1 1 0 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1

b) Si f = (w + x + y) (x + z) (w + x), es fcil encontrar los ceros de f:A v + x + y = 0 = > w = 0, x = 0, y = 0

x = 0 , z = 0 w = 0, = 0

f = 04=> x + z = 0 =+ X = 0 :

con ello, la tabla de verdad es:w x y z f w x y z f0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 1 10 0 1 0 0 1 0 1 0 00 0 1 1 0 1 0 1 1 10 1 0 0 1 1 1 0 0 10 1 0 1 1 1 1 0 1 10 1 1 0 1 1 1 1 0 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Problema 8.- Obtenga los mapas de las siguientes funciones:a) f = I (5, 6, 7, 12) + d(1, 3, 8, 10).b ) f = n (10, 13, 14, 15) d(0, 1, 2, 8, 9).c ) f = 7L (1, 2, 3, 8, 12, 23) + d(17).

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Solucin P8.a) f (a, b ,c , d) = Z (5, 6 , 7, 12) + d ( l ,3 , 8 , 10)

c \ 0 0 0 1 1 1 1 00 0 0 0 i d0 1 i d 0 01 1 d 1 0 01 0 0 1 0

fb) f (a, b ,c , d) = n (1 0 , 13, 14, 15) + d(0, 1,2, 8 , 9)

c K i o o i n j o0 0 d 1 1 d0 1 d 1 0 d1 1 1 1 0 1

1 0 d 1 0 0f

c) f (a, b, c, d, e) = Z (1, 2, 3, 8 , 12, 23) + d(17)ab

, - i V o oo 001 011 0 10 110 111 101 100

00 0 0 1 1 0 0 0 0

01 1 0 0 0 0 0 0 d11 1 0 0 0 0 0 1 0

10 1 0 0 0 0 0 0 0

f

Problema 9.- Obtenga las formas normales en suma de productos y producto de sumas de las siguientes expresiones:

a) f = (a b + a c) (a b).b) f = x y (v + w) [(x + y) v],c) f = x + y z .d) f = (a + b + c) (d + a) + b c + a c.

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Solucin P9.a) (a b + a c) (a b) = a b (por la ley del consenso)Con esto tenemos una forma en suma de productos, donde el producto p = a b es el nico. Tambin tenemos un producto de sumas, donde los trminos suma son dos: sj = a y S2 = b.b) x y (v + w) [(x + y) v] = x y (v + w) (x + y) v = v x y (x + y) = v x y (ley de absorcin). Con esto tenemos una forma en suma de productos, donde el producto p = v x y es nico.Tambin tenemos un producto de sumas, donde los trminos suma son tres: S] = v, S2 = x, s3 = y.c) x + yz, es suma de dos productos, pj = x, P2 = y z. Por otra parte, aplicando la propiedad distributiva: x + yz = (x + y) (x + z). Con ello tenemos una expresin en producto de sumas: Sj = x + y, s2 = x + z.d) f = (a + b + c) (d + a) + b c + a cPara reducirlo a una forma en producto de sumas operaremos sobre la expresin de f aplicando repetidas veces la propiedad distributiva:(a + b + c) (a + d) + b c + a c = (a + b + c) (a + d) + (a + b) c == [(a + b + c) (a + d) + (a + b)] [(a + b + c) (a + d) + c] == [(a + b + c + a + b) + (a + d + a + b)] [(a + b + c + c) (a + d + c)] == (a + b + c) (a + b + d) (a + c + d).Obtenemos por tanto un producto de tres trminos suma: sj = a + b + c, S2 = a + b + d y S3 = a + c + d.De forma similar se puede obtener una expresin en suma de productos:(a + b + c )(a + d) + b c + a c = [a + (b + c)d)] + a c + b c = a + a c + b c + (b + c )d == a + b c + b d + c d .Son, por tanto, cuatro trminos producto: pj = a, P2 = b c, P3 = b d, P4 = c d.Problem a 10.- Determine y exprese en forma de mintrminos y maxtrminos las funciones fi + f2 y fi f2, siendo:

f1 = n (1, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 14, 15); f2 = I. (0, 4, 8, 9, 10, 14, 15)Repetir para f2 y la equivalencia: f1 0 f2.

Solucin PIO.- Para expresar la funcin fj -t- f2 como suma de mintrminos hay que tener en consideracin que todos los mintrminos de fj y todos los mintrminos de 2 son mintrminos de f + 2 ya que 1 + x = 1. Entonces:

fj + f 2 = Z ( 0 ,4, 8 ,9 , 10, 11, 12, 14, 15), y por exclusin: fj + f2 = II (1, 2, 3 ,5 , 6 ,7 , 13). Para expresar la funcin f] f2, es mejor comenzar por la expresin en forma de producto de maxtrminos ya que debido a que 0 x = 0 podemos decir que todos los maxtrminos defj y todos los de f2 son maxtrminos de fj Entonces:fj - f 2 = n ( l , 2 , 3, 5, 6 , 7, 11, 12, 13, 14, 15) = 1 (0 , 4, 8 , 9, 10).En cuanto a la funcin fj f2, para que sea 1 es preciso que f y f2 sean distintas. Por tanto, los mintrminos de f f2 son los mintrminos de f] que no lo son de f2 y los de 2 que no lo son de fj:fj f 2 = 1 (1 1 , 12, 14, 15) = n ( 0 , 1,2, 3 ,4 , 5, 6 , 7, 8 ,9 , 10, 13).

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Finalmente, como fj f2 es la funcin negada de f] f2, tendremos: fj f2 = n (11, 12, 14, 15) = I (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9, 10, 13).Problema 11.- Sea el circuito combinacional con cuatro entradas A, B, C y D, tres salidas intermedias P, Q y f y dos salidas T1 y T2, como se muestra en la figura. Slo Q y R pueden tener inespecificaciones.

T, = 1 ( 0 , 1 ,3 , 4, 5, 7, 11,15)T 2 = I ( 2 ,3 , 6 , 7, 11,15)a) Suponiendo que tanto G 1 como G2 son puertas AND, obtenga el mapa de la funcin

Pmjn (es decir, la funcin P que tiene e l menor nmero de mintrminos) que permite obtener Ti y T2.

b) Obtener los mapas para Q y R correspondientes al Pmjn anterior. Indique, explcitamente, las posiciones de las inespecificaciones.

c) Suponiendo que G 1 y G2 son puertas OR obtenga el mayor Pmax (la funcin P con mayor nmero de mintrminos) y sus mapas correspondientes para Q y R .

d) Pueden obtenerse Q, P y R s i G 1 es una puerta AND y G2 una puerta OR? Y si G 1 es una puerta OR y G2 una puerta AND?

Solucin P l l .a) Gj y G 2 son puertas AND.En este caso Tj = Q P y T 2 = R P , por tanto, Q y P tienen que tener todos los mintrminos de T j (o sea: 0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 15), y R y P tienen que tener todos los mintrminos de T2 ( o sea: 2, 3, 6 , 7, 11, 15). Entonces P como mnimo tiene que contener todos esos mintrminos, luego: Pmin = 1 .(0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 11, 15).b) La funcin Q tiene al menos los mintrminos de T ]; R tiene los de T2. Ahora bien, Q tiene ceros en las celdas en que Pmn vale 1 pero Tj no es 1; por ejemplo, 2 es mintrmino de Pmin Pero no lo es de T j, por lo que 2 es un 0 de Q. Lo mismo ocurre para R con respecto a T2 Y Pmin- Pr ltimo, en las celdas donde vale 0 y Pmjn tambin es 0 , Q est inespecificada; algo similar ocurre para R respecto a T 2 y Pmin. Por tanto:Q = 1 (0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 15) + d (8 , 9, 10, 12, 13, 14).R = I ( 2 , 3, 6 , 7, 11, 15) + d (8 , 9, 10, 12, 13, 14).c) Gj y G 2 son puertas OR.En este caso Tj = Q + P y T 2 = R + P, por tanto donde T] sea cero tambin deben de serlo forzosamente Q y P (o sea en 2, 6 , 8 , 9, 10, 12, 13, 14) y donde T2 lo sea debern serlo

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tambin R y P (o sea en 0, 1, 4, 5, 8 , 9, 10, 12, 13, 14). As, P tendr como mximo los mintrminos que sean comunes a Tj y T2: Pmax = 2 1 (3, V, 1 1 , 15).Q y R contendrn los mintrminos que le faltan a P para completar los de Tj y T 2 :Q = 2 (0 , 1,4, 5) + d (3, 7, 11, 15).R = I ( 2 , 6 ) + d(3, 7, 11, 15).Las celdas en que Q est inespecificada son aquellas en las que Tj vale 1 y Pmax tambin es 1. Algo similar ocurre para R respecto a T 2 y Pmax.d) No es posible, ya que si Gj es una AND y G 2 una OR: T] = Q P , T 2 = R + P. Entonces, en aquellos valores en los que Tj es 1 y T 2 es 0 (como por ejemplo en 4) sera imposible encontrar un valor adecuado para la funcin P. Si P valiese 1 forzara T2 = 1 y si valiese 0 forzara T ] = 0).Si Gj es una OR y G 2 es una AND, tampoco es posible ya que Tj = R + P y T 2 = Q P . As, en aquellos puntos en que T = 0 y T 2 = 1 (como por ejemplo en 6 ) no se puede encontrar un valor adecuado para P.

PROBLEMAS CON SOLUCIN RESUMIDA

Problema 12.- Encuentre los complementos de las siguientes funciones:a) f = (b c +_a d)_(a b + c dy_b) f = b d_+ a b c_+_a c d + a b c.c ) f = [(a_b)a]J(ab)b ].d) f = a b + c d.

Solucin P12. a) f = (b + c) (a + d) + (a + b) (c + d).b ) f = b d + a b c + a c d + a b c = a b + a c d + b d , entonces: f = (a + b) (a + c + d) (b + d).c) Operando obtenemos f = 0 luego f = 1.d) f = (a + b) (c + d).

Problema 13.- Demuestre que x x x 2 ... x n = (x, ... x) 0 (x + , . . . xn) ; donde a 0 b = a b .Solucin P13.-La operacin XOR cumple la propiedad asociativa. Entonces:

( X j . . . X j ) 0 ( X j + 1 . . . x n ) = ( X ] . . . X j ) ( X j + 1 . . . x n ) =

= X j . . . X X j + 1 . . . x n

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LGEBRA Y FUNCIONES DE CONM UTACIN 33

Problema 14.- Escriba las siguientes funciones como suma de mintrminos:a) f (a, b, c) = a + b + c.

b) f (a, b, c) = (a + b) (b + c).

c) f (a, b, c, d) = ( a b + b c~d) + a c d.

Solucin P14. a ) f (a, b, c) = Z (0, 1,3, 4 ,5 ,6 , 7).b) f (a, b, c) = Z (0, 2, 3, 4, 5, 6 , 7).c) f (a, b, c, d) = Z (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8 , 9 10, 11).Problema 15.- Exprese las siguientes funciones como producto de maxtrminos:

a) f (a, b, c, d) = (a + c) d + b d.b) f (x, y, z) = (x y + z) (y + x z).

c) f (a, b, c) = (a b c + a b c).d) f (a, b, c) = ( a b + c (a + b)) (b + c).

Solucin P15. a) f(a, b, c, d) = n (0, 2, 4, 6 , 8 , 10, 12, 13, 14).b) f(x, y, z) = n (0, 1, 3, 4, 5, 6 , 7).c) f(a, b, c, d) = n (5, 6 ).d) f(a, b, c) = n (0, 2, 4, 6 ).Problema 16.- A partir de las tablas de verdad de las siguientes funciones, obtenga sus expresiones algebraicas.

xy fl x y h x y h0 0 1 0 0 0 0 0 10 1 0 0 1 1 0 1 11 0 1 1 0 1 1 0 11 1 0 1 1 0 1 1 0

Solucin P16.-Directamente de las tablas: f ! = x y + x y = y. f2 - x y + x y = x y .3 = x y + x y + x y = x + y = xy.

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Problema 17.- Obtenga las expresiones algebraicas de las siguientes funciones:

x y z f. h f3 u f5 f60 0 0 0 1 0 1 1 10 0 1 1 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 1 1 10 1 1 0 1 0 0 01 0 0 0 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 1 1 01 1 0 0 0 0 1 1 11 1 1 0 0 0 1 1 0

Solucin P17. f j = x y z + x y z = yz .f2 = x y z + x y z + x y z + x y z = x y + y z + x y z .3 = x y z + x y z = xy.4 = x + y + z. f5 = x+|.f6 = x y z + x y z + x y z + x y z = z.Problema 18.- Interprete las siguientes expresiones lgicas considerando que el dato tiene n bits. (Para ayudarse puede considerar un caso particular de n, por ejemplo: n = 4).

a) Z = X q X 1 ... Xn_y.b) z = xn_ 1 = x 0 x 1 ... xn _ 2-c ) z k = xk+ 1 x k, k = n - 2, . . . . 1, 0, conz n _ 1 = x n _ vd ) z k = zk+ 1 x k, k = n - 2, ..., 1, 0, conzn _ 1= x n _e ) z k = xk y k, k = n - 1, n - 2 , ..., 1 , 0donde yk = yk_ 1 + xk_ 1t con k > 1,2, ..., n - 1 e y 0 = 0.

Solucin P1S.a) La operacin XOR de n variables se hace 1 si y slo si hay un nmero impar de unosen las n variables. Por tanto, en este caso z es un detector de paridad.b) La funcin z forma parte de la palabra de n bits dada por: xq X] x 2 ... xn _ 2 xn_j. Entonces, z es el bit de paridad par para xg X] x2 ... xn_2.c) Si se particulariza para n = 4 y se obtiene la tabla de verdad de las 4 funciones se puede concluir fcilmente que se trata de una conversin binario-Gray.d) Procediendo como en el apartado anterior se puede concluir que se trata de una conversin de cdigo Gray a binario.e) Si se considera el caso particular de n = 4 y se obtiene la tabla puede observarse que z3 - 0 = Ca2(x3_0)

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Captulo 3 ANLISIS DE CIRCUITOS COMBINACIONALES

Un circuito digital combinacional es aquel que implementa funciones de conmutacin cuyas salidas en un instante, t, dependen slo del valor de las entradas en ese mismo instante. El circuito consta de puertas lgicas interconectadas entre s sin que haya lazos de realimentacin. Hay dos enfoques principales: si es conocido el circuito y se desea establecer cul es la operacin que realiza, se trata del anlisis, que es el aspecto que se trata en este Captulo; si se plantea el problema contrario, conocida la funcin hay que obtener el circuito, se trata del diseo o sntesis, lo que se aborda en el Captulo siguiente. 1 circuitocombinacional

z(t) = f(x(t))ANLISIS DE CIRCUITOSEl objetivo principal del anlisis de un circuito combinacional es, por tanto, obtener una representacin de la funcin de conmutacin que implementa. A este objetivo se le llama anlisis lgico del circuito. En algunos casos es posible, adems, obtener una descripcin verbal de la operacin del circuito (del tipo hace la suma, compara nmeros, etc). Adems, incluso cuando es posible esta operacin a partir de las tablas o expresiones lgicas es difcil salvo que se est sobre aviso. En este texto no se har el paso a la descripcin verbal salvo que se indique explcitamente en el enunciado (vase, p. ej., el problema 4).Aunque el anlisis lgico es el objetivo principal no es el nico aspecto que debe contemplar un buen anlisis de un circuito. Otros aspectos que se deben considerar son:- El coste del circuito. Una manera de medir el coste es a travs del nmero de puertas lgicas y conexiones entre puertas del circuito.- Un anlisis de parmetros elctricos. Se debe establecer la tecnologa en la que se im-

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plementa el circuito y evaluar, en funcin de las caractersticas elctricas de la misma, el rendimiento del circuito en cuanto a mrgenes de ruido, fan-in y fan-out, potencia disipada, etc.- Un anlisis temporal. Este tipo de anlisis consiste en, dado un patrn de entradas, determinar la forma de onda de las seales de salida considerando los retrasos de propagacin de las puertas lgicas. El anlisis temporal sirve para verificar si el circuito realiza correctamente la funcin de conmutacin o si, por el contrario, existen fenmenos transitorios como por ejemplo azares, as como para calcular los valores mximos y mnimos de los tiempos de propagacin que determinan la velocidad de operacin del circuito.Este Captulo est centrado en el anlisis de circuitos a nivel de puertas lgicas. Los aspectos que se tratan son los de anlisis lgico, mostrando mtodos generales vlidos para cualquier circuito e independientes del tipo de puerta, y mtodos especficos para circuitos con slo NAND o slo OR. Estos procedimientos son explicados en los problemas 1 y 3 respectivamente. Adems, en este Captulo tambin se incluyen algunos casos de anlisis del coste del circuito, medido en funcin del nmero de puertas y conexiones del circuito y de anlisis temporal, analizando circuitos que presentan azares.ndice del CaptuloEste Captulo desarrolla problemas de las siguientes materias:- Anlisis lgico segn el procedimiento general.- Anlisis lgico de circuitos slo NAND (y slo OR).- Anlisis temporal.PROBLEMAS RESUELTOSProblema 1.- Analice a nivel lgico el siguiente circuito combinacional. Ponga tambin la funcin en forma de suma de productos o producto de sumas y realice e l nuevo circuito a partir de estas expresiones.

Solucin P l.- El proceso de anlisis de un circuito combinacional consiste en, a partir de un circuito, obtener una expresin algebraica, o bien su tabla de verdad o mapa de Kamaugh. Para ello se puede proceder bien desde las entradas hasta las salidas o bien desde las salidas hasta las entradas.Deben encontrarse expresiones para la salida de cada puerta en funcin de sus entradas:

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AN LISIS DE CIRCUITOS COM BINACIONALES 37

A partir de esta expresin puede obtenerse otra simplificada o la tabla de verdad o el mapa de Kamaugh, y un nuevo circuito:f = ( x + y + z ) ( z + y ) z = z ( y + z) = y z

0 1 1 00 0 0 0

---Z----- 1 yD--------

& ---- f

Problema 2.- Realice un anlisis lgico del circuito representado en la figura. Obtenga las expresiones en forma de suma de productos y producto de sumas. Liste los mintrminos y maxtrminos correspondientes. Determine el coste.

Solucin P2.- Comencemos determinando el coste del circuito. Este se calcula: 1.- dando el nmero de puertas del circuito; 2 .- dando el nmero de entradas a puertas (conexiones) del circuito y el nmero de salidas. Adems, a veces se evala el coste temporal estableciendo los retrasos mximos y mnimos que experimentan las seales de entrada al propagarse hasta las salidas. Para ello, lo ms habitual es considerar una unidad de retraso por puerta. En este circuito el coste es el siguiente:

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costen puertas 7

n conexiones 16 entradas + 1 salidaretraso mxim o 3 niveles de puertasretraso m nim o 2 niveles de puertas

Anlisis lgico. Teniendo en cuenta la funcin lgica que realiza cada puerta, se obtiene la siguiente expresin para f:f = x i ( x lx 2) + JC3 (JC] jc2) (x3x2) + xx2 = x 3 (x2 + x ) + x 2 {x2 + x x) (x 2 + x3) + x , x 2

f x tx 3 + x 3x2 + xx2x 3 + jc,x 2 = xx3 + x 3x 2 + x , x2 = x 3 ( x 2 + x ,) + x xx 2A partir de esta expresin se obtienen otras en forma sp y ps, el mapa de Kamaugh y un nuevo circuito que implementa la funcin:

f = x 3 ( x lx 2) + x x 2 = x3 + x , x 2 f = (x 3 +x, ) {x3 + x 2)C l X 2

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 1 01 1 1 1 1

X , .x2 .& x3- >1

Problema 3.-Analice la funcin que realiza el circuito, encontrando una expresin reducida en dos niveles.

Solucin P3.- Todas son puertas NAND, salvo la de salida f ] ; llamando M a la entrada desconocida de esa puerta, f = e M.

Ahora, M y f2 pueden obtenerse por el mtodo especfico de circuitos con slo puertas NAND. Este mtodo consta de los siguientes pasos:1.- Hay que construir un rbol del circuito en el que los nodos representan a las puertas

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ANLISIS DE CIRCUITOS COM BINACIONALES 39

y las ramas las conexiones. Las puertas se estratifican en niveles distintos comenzando por la puerta de salida que da lugar al primer nivel del rbol. A partir de este nivel y en funcin de las conexiones del circuito se van situando el resto de puertas en niveles sucesivos hasta alcanzar las seales de entrada.2.- Por la equivalencia de dos niveles de puertas NAND con dos niveles AND-OR, se va a asociar a cada nivel de puertas del rbol la funcin AND o la OR alternando ambos tipos de funcin y comenzando por la funcin OR.3.- Se obtendr la funcin que realiza el circuito considerando slo operaciones AND u OR. Hay que tener en cuenta que aquellas variables de entrada que estn conectadas a puertas que correspondan a un nivel OR deben complementarse.A continuacin se aplica este mtodo al circuito.Se numeran las puertas de la forma que se muestra en la figura:

Se construye el rbol para cada salida:

7 T ~ M M = d + c (a + b)

De aqu se tiene:/, = de + ace + bce

f 2 = dc + be +f g

f2 = c (a + b) + f g

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Problema 4.- Analice el circuito de la figura indicando verbalmente qu operacin realiza.


Solucin P4.- Anlisis de coste:coste

n puertas 7n conexiones 16 entradas + 2 salidas

retraso m xim o 4 niveles de puertasretraso m nim o 2 niveles de puertas

Anlisis lgico:z*p = a 2b 2 + a xb xa 2b2 + a xb xa 2b2

zps = (a , + a 2) ( 6 , + b2) ( a 2 + b2) ( a 2 + b x) (a , + b2) ysp = a 2h 2 + a xb xa 2b2 + a xb xa 2b2

yps = ( b i + b2) ( a ] + a 2) ( b2 + a 2) ( b 2 + a t) (b, + a 2)

z ( a 2a b 2b) = 1 (4 ,8 ,9 ,1 2 ,1 3 ,1 4 ) = n (0,1,2,3,5,6,7,10,11,15) y ( a 2a b2bj ) = 1 (1 ,2 ,3 ,6 ,7 ,1 1 ) = n (0,4,5,8,9,10,12,13,14,15)

Si se representan ambas funciones (z e y) en un mapa binario ordenado en funcin de a 2 a i y b2 b j , se obtiene:

\a 2a i

2 \ n 0 0 0 1 1 0 1 10 0 0 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 0 1 0 1 01 0 0 1 0 1 0 0 1 01 1 0 1 0 1 0 1 0 0

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AN LISIS DE CIRCUITOS COM BINACIONALES 41

Interpretando a2 a como un nmero binario A y b2 bj como B, las funciones pueden representarse por la tabla:A B z y

> 1 0= 0 0< 0 1Por tanto, el circuito es un comparador de dos nmeros binarios de dos bits cada uno, que distingue entre mayor, menor o igual.

Problema 5.- Analice la funcin que realiza el circuito, encontrando una expresin reducida en dos niveles.

Solucin P5.- El circuito est compuesto exclusivamente por puertas OR, por lo que vamos a aplicar el mtodo especfico de anlisis de slo puertas OR. Este mtodo es el mismo que el utilizado en el problema anterior, slo cambian dos aspectos:1.- El primer nivel de puertas es de tipo AND, por lo que la expresin que se obtendr para/es del tipo producto de sumas de producto de sumas.2.- Ahora son las variables de entrada que estn conectadas a los niveles AND las que deben complementarse.Numerando a las puertas de la forma que se ve en la figura:

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Se construye el rbol para la salida:

De aqu se tiene:/= { c + ee + a (d + e) (b + d (e + e ) ) } { a + b ( d + e e ) }

f = a c + bcd + ae + abd + be

Problema 6.- En el circuito de la figura todas las puertas poseen el mismo retraso, A.

a) Obtenga el mapa de F(A,B,C,D).b) Considerando el retraso, determine la forma de onda de F si A=B=D=1 y C cambia

peridicamente.c) Igual que b, si A=C=D=1 y B cambia peridicamente.d) Igual que b, si B=D=1 y A y C son como las representadas:

A , ,C | _________ __

~*A A Ae) Discuta los resultados obtenidos en los apartados anteriores.

Solucin P6.a) Vamos a obtener una expresin de F mediante anlisis lgico. Nombraremos los nudos internos del circuito como se muestra en la siguiente figura:

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Problemas de Circuitos y Sistemas Digitales

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