Problemas de Condensadores
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28/10/13 Problemas de condensadores www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_//problemas/electromagnetismo/condensador/problemas/condensador_problemas.html 1/7 Condensador plano- paralelo Condensador cilíndrico Condensador esférico Efecto del dieléctrico en un condensador Carga de un condensador Condensador esférico Inicio Problemas Electromagnetismo Campo eléctrico Problemas de condensadores Problema 1 Deducir de forma razonada la fórmula de la capacidad de un condensador formado por dos superficies esféricas concéntricas de radio interior a y radio exterior b, cargadas con +Q y –Q respectivamente. Calcular la capacidad de un condensador esférico de a=5 cm, b=8 cm. Supongamos ahora, que este condensador cargado con 6μC se une a otro inicialmente descargado de radios a=4 cm y b=10 cm. Determinar la carga de cada condensador después de la unión, el potencial común y la variación de energía en el proceso Solución Distribución de carga con simetría esférica. El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss Para r<a cm q=0, E=0 Para a<r<b Para r>b
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Condensador plano-paralelo
Condensadorcilíndrico
Condensador esférico
Efecto del dieléctricoen un condensador
Carga de uncondensador
Condensador esférico
Inicio Problemas Electromagnetismo Campo eléctrico
Problemas de condensadores
Problema 1
Deducir de forma razonada la fórmula de la capacidad de un condensador
formado por dos superficies esféricas concéntricas de radio interior a y radio
exterior b, cargadas con +Q y –Q respectivamente.
Calcular la capacidad de un condensador esférico de a=5 cm, b=8 cm.
Supongamos ahora, que este condensador cargado con 6μC se une a otro
inicialmente descargado de radios a=4 cm y b=10 cm.
Determinar la carga de cada condensador después de la unión, el potencial común
y la variación de energía en el proceso
Solución
Distribución de carga con simetría esférica.
El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constante en
todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r.
El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y
aplicamos la ley de Gauss
Para r<a cm
q=0, E=0
Para a<r<b
Para r>b
∮ E ⋅ dS = ∮ E ⋅ dS ⋅ cos 0 = E ∮ dS = E ⋅ 4πr2
∮ E ⋅ dS = E = q
ε0
q
4πε0r2
q = Q E =Q
4πε0r2
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Para r>b
q=+Q+(-Q)=0, E=0
Gráfica del campo
Diferencia de potencial entre las placas del condensador esférico y capacidad del condensador
a=0.05, b=0.08, C1=14.81·10-12 F
a=0.04, b=0.1, C2=7.41·10-12 F
Se unen los dos condensadores. La carga de 6·10-6 C se reparte entre los dos condensadores hasta que se igualanlos potenciales.
Energía inicial, energía final y variación de energía
Problema 2
Deducir de forma razonada la fórmula de la capacidad de un condensador cilíndricoformado por dos armaduras consistentes en láminas conductoras coaxiales delongitud d, y radios a (interior) y b (exterior). Las armaduras están cargadas con +Q
y –Q respectivamente
Calcular de la capacidad de un condensador cilíndrico de radio interior a= 3 cm,
exterior b=5 cm. y longitud d=30 cm.
Supongamos ahora, dos condensadores idénticos que se conectan en paralelo,
cargándose a una diferencia de potencial de 100 V, después de lo cual se aíslan de labatería. A continuación, se introduce en uno de los condensadores un dieléctrico
(k=3) que llena completamente el espacio entre las placas. Calcular:
La carga de cada condensador antes y después de introducir el dieléctrico.
− = E ⋅ dr = ⋅ dr = ( − )Va Vb ∫a
b
∫a
b
Q
4πε0r2
Q
4πε0
1a
1b
C = = 4πQ
−Va Vb
ε0ab
b − a
= 2 ⋅ C = 4 ⋅ C V = 2.7 ⋅ V+ = 6 ⋅q1 q2 10−6
V = =q1
C1
q2
C2
⎫⎭⎬q2 10−6 q1 10−6 105
ΔU = − = −0.405 J= = 1.215 JUi
12
(6 ⋅ )10−6
C1
= + = 0.810 JUf
12
q 21
C1
12
q 22
C2
⎫
⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
Uf Ui
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La diferencia de potencial después de introducir el dieléctrico
La energía de cada condensador antes y después de introducir el dieléctrico
Solución
El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro,
su módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica deradio r y longitud L.
El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss
Para r<a cm
q=0, E=0
Para a<r<b
∮ E ⋅ dS =
⎧
⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
superficie lateral ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS ⋅ cos 0 = E ∫ dS = E ⋅ 2πrL
base inferior ∫ E ⋅ dS = 0 E ⊥ S2
base superior ∫ E ⋅ dS = 0 E ⊥ S1
∮ E ⋅ dS = E ⋅ 2πrL
∮ E ⋅ dS = E = q
ε0
q
2π rLε0
q = Q E =Q
2π rLε0
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Para r>b
q=+Q+(-Q)=0, E=0
Gráfica del campo
Diferencia de potencial entre las armaduras del condensador y capacidad del condensador
Situación inicial de cada condensador
q=C·100=3.263·10-9 C
Situación final
C1=C , C2=3·C
Se unen los dos condensadores. La carga total de 2·3.263·10-9 C se reparte entre los dos condensadores hasta quese igualan los potenciales.
Energía inicial, energía final y variación de energía
− = E ⋅ dr = ⋅ dr = ln( )Va Vb ∫a
b
∫a
b
Q
2π rLε0
Q
2π Lε0
b
a
C = = 2πQ
−Va Vb
ε0L
ln(b/a)
C = = 32.63 ⋅ F1
18 ⋅ 109
0.3ln(0.05/0.03)
10−12
= C = C V = 50 V+ = 2 ⋅ qq1 q2
V = =q1
C1
q2
C2
⎫⎭⎬q2
3q
2q1
q
2
ΔU = − = − = −1.63 ⋅ J= + = = 3.26 ⋅ JUi
12
q 2
C
12
q 2
C
q 2
C10−7
= + = = 1.63 ⋅ JUf
12
q 21
C1
12
q 22
C2
q 2
2C10−7
⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪ Uf Ui
q 2
2C10−7
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Problema 3
En la figura se representan cuatro condensadores C1, C2, C3, C4, de idéntica forma y dimensiones. El primero tiene por
dieléctrico el aire (k=1), el segundo parafina (k=2.3), el tercero azufre (k=3) y el cuarto mica (k=5), respectivamente.Calcular:
La diferencia de potencial entre las armaduras de cada uno de los condensadores
La carga de cada condensador
La capacidad equivalente
La energía del conjunto
Dato C2=10-9 F.
Solución
Capacidad de los condensadores
C2=2.3·C=10-9 F,
C1=C=10-9/2.3
C3=3·C=3·10-9/2.3
C4=5·C=5·10-9/2.3
Los condensadores C2 y C3 están en paralelo
C23=C2+C3=5.3·10-9/2.3 F
Los condensadores C1, C23 y C4 están en serie
= + + = 3.13 ⋅ F1
Ceq
1C1
1C23
1C4
Ceq 10−10
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Carga del condensador equivalente, y energía almacenada en el mismo
Carga de cada condensador y diferencia de potencial entre sus armaduras
q1=q, V1=q/C1=72.0 V
q4=q, V4=q/C4=14.4 V
V23=q/C23=13.6 V
V2=V23=13.6 V
V3=V23=13.6 V
q2=C2·V2=1.36·10-8 C
q3=C3·V3=1.77·10-8 C
Problema 4
Calcular la capacidad equivalente del sistema de la figura
Solución
Las figuras nos muestran los pasos a seguir para resolver el problema
q = 100 ⋅ = 3.13 ⋅ CCeq 10−8
U = = 1.565 ⋅ J12
q 2
Ceq
10−6
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Problema 5
Conectamos un condensador de capacidad C, una resistencia R, y una batería de
f.e. m. V0 en serie. La carga se incrementa con el tiempo de acuerdo a la
siguiente ecuación
Sea un condensador de C=1.6 μF, una resistencia de R=58 KΩ y una batería de
V0=14V. Se empieza a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor
Cuál es la carga máxima del condensador y la energía acumulada
¿Cuánto vale la intensidad de la corriente en el instante t=60 ms?
¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia y cuánta energía ha aportado la batería durante el proceso de carga?
Solución
En el instante t=60 ms, la carga del condensador y la energía almacenada en el mismo es
Intensidad de la corriente
En el instante t=60 ms la intensidad de la corriente es i=1.264·10-4 A
Energía disipada en la resistencia
En el instante t=60 ms la energía disipada en la resistencia es UR=1.138·10-4 J
Energía suministrada por la batería
En el instante t=60 ms la energía suministrada por la batería es UB=1.493·10-4 J
Comprobamos que UB=UR+UC
Una parte UC de la energía suministrada por la batería UB se acumula en forma de energía asociada al campo
eléctrico en el condensador, la otra parte UR se disipa en la resistencia
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q = C (1 − exp( ))V0−t
RC
q = 1.6 ⋅ ⋅ 14(1 − exp( )) = 1.067 ⋅ C10−6 −60 ⋅ 10−3
58 ⋅ ⋅ 1.6 ⋅103 10−610−5
= = 0.355 ⋅ JUC
12
q 2
C10−4
i = = exp(− )dq
dt
V0
R
t
RC
= R ⋅ dt = exp(− ) ⋅ dt = C (1 − exp(− ))UR ∫0
t
i2 ∫0
t
V 20
R
2t
RC
12
V 20
2t
RC
= i ⋅ dt = exp(− ) ⋅ dt = C (1 − exp(− ))UB ∫0
t
V0 ∫0
t
V 20
R
t
RCV 2
0t
RC
