PROBLEMAS DE FLUJO DE COSTO MÍNIMO

7/14/2019 PROBLEMAS DE FLUJO DE COSTO MNIMO

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMTICA

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMTICA

MTODO SIMPLEX ENPROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEAL DEL

TIPO DE FLUJO DE COSTO MNIMO

HCTOR AQUILES LLANOS VALENCIA

JULIO 2013

CALLAO PER


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NDICE

Resumen....2

Introduccin....3

1. Captulo I4 Marco Terico

1.1. Red Dirigida....4 1.1.1. Tipos de Red Dirigida.4

Trayectoria...4 Cadena..5 Circuito..5 Ciclo...6 rbol..6 1.2. Espacio Vectorial Euclidiano n-dimensional...6 1.3. Combinacin Lineal.....7 1.4 Independencia Lineal...7 1.5 Matriz No Singular....7 1.6 rango de una Matriz..7

2. Captulo II.8Flujo con Costo Mnimo

2.1. Introduccin..82.2. Definiciones..82.2.1. Flujo82.2.2. Matriz de Incidencia Nodo-Arco82.2.3. Modelo General de un Problema de Flujo con Costo Mnimo..92.2.4. rbol Generador..112.2.5. Rango de una Matriz de Incidencia Nodo-Arco..122.2.6. Variable Artificial..13

2.2.7. Mtodo de los Ciclos..142.3. Solucin Inicial Bsica Factible162.4. Clculo de los ..21 2.5. Determinacin de la Columna de Salida....23

Conclusiones..28

Bibliografa..29


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RESUMEN

A partir de la necesidad de transportarse cierto recursos disponibles a travs de un red, parasatisfacer la demanda a un costo mnimo, nace el Problema de Flujo con Costo Mnimo(PFCM), en el presente trabajo se dar a entender que este tipo de problema es un tipo msde los Problemas de Programacin Lineal y por tanto podrn ser resueltos mediante unalgoritmo Simplex para Redes el cual podremos entenderlo como una especializacin delMtodo Simplex Primal. Pues se requerirn de nuevas definiciones como Red Dirigida,Matriz de Incidencia, rbol Generador Enraizado, etc.

Pudiendo concluir as, que el Mtodo Simplex para Redes es bastante poderoso en laresolucin de Problemas de Flujo con Costo mnimo.

ABSTRACT

From the need for certain resources transported through a network to meet the demand atminimum cost, the problem arises with Minimum Cost Flow (PFCM), in the present workgiven to understand that this type of problem is one more type of linear programmingproblems and therefore can be solved by simplex algorithm for network swhich we canunderstand as a specialization of the Primal Simplex method. As new definitions are requiredas Red Directed, Incidence matrix, Generator Rooted Tree, etc..

We can conclude thus that the Simplex Method for Networks is quite powerful in solving flowproblems with minimum cost.


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INTRODUCCIN

Los problemas de programacin lineal son modelos lineales que tiene por caractersticasurgir con frecuencia de diferentes aspectos de la vida real y tener una representacin

natural mediante un modelo de red.

Los problemas en redes dirigidas que estudiaremos aqu, estn relacionados con laexistencia de un flujo a lo largo de los arcos de la red que generalmente se refiere al envo ocirculacin de unidades homogneas de algn producto desde un nodo de origen hasta unnodo de destino, a travs de nodos intermedios. Por lo tanto veremos aqu que losproblemas de flujos en redes poseen una importante estructura especial que permite lasimplificacin del procedimiento simplex (primal) hasta un punto en el que se puede aplicar

directamente a la red sin necesidad de un tableu simplex.


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CAPTULO I

MARCO TERICO

1.1.-RED DIRIGIDA

Diremos que una red dirigida es el par , donde: ; es un conjunto finito de nodos, es decir: ; es una relacin binaria sobre que unen parejas de nodos en . es un conjunto

de arcos dirigidos (flechas), es decir:

Como podemos ver los elementos del conjunto , son arcos.Sea el arco , diremos que es incidente con los nodos y , y que est dirigido del nodo al nodo .Por lo tanto una red dirigida, est compuesta por 2 entes:

Nodos, y Arcos Dirigidos.

1.1.1.-TIPOS DE RED DIRIGIDA

a) Trayectoria:

Es una sucesin de arcos con los que el nodo inicial de cada arco es el mismo que el nodoterminal del arco que le precede en la sucesin, es decir: ( )es una trayectoria.Grficamente:


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b) Cadena:

Es una estructura similar a una trayectoria con la particularidad que no todos los arcos estnnecesariamente dirigidos hacia el nodo . Es decir, donde el nodo inicial no necesariamentees el mismo que el nodo terminal del arco que le precede en la sucesin.

Grficamente:

c) Circuito:

Es una trayectoria con la caracterstica que el nodo inicial sea igual al nodo terminal dela sucesin, es decir: Tambin se puede definir como una trayectoria cerrada.

Grficamente:


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d) Ciclo:

Es una cadena cerrada. Claramente se puede notar que todo circuito es un ciclo.

Grficamente:

e) rbol:

Es una estructura donde existe una cadena que une a todos los nodos de a red sin formarciclos.

Grficamente:

1.2.- ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEANO n-DIMENSIONAL

Es un conjunto que se simboliza por , cuyos elementos llamados vectores sonsecuencias finitas de nmeros reales Aqu estn definidas dos operaciones:

La adicin, que a cada par de vectores le hace corresponder un nuevovector: llamado suma de y , y


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La multiplicacin por un nmero real ya a cada vector le hacecorresponder un vector: llamado producto de por.

1.3.- COMBINACIN LINEALDiremos que el vector es una combinacin lineal de los vectores , s: Donde ,

1.4.-INDEPENDENCIA LINEAL

Sean los vectores

. Diremos que estos vectores son linealmente

independientes

s:

Implica que para Si los vectores no son se dicen que son linealmentedependientes.

1.5.-MATRIZ NO SINGULAR

Diremos que una matriz , es no singular si tiene inversa, es decir, si existe unamatriz tal que: y Denotaremos a Una condicin para que la matriz tenga inversa es que sus columnas vistas como vectoresde sean 1.6.- RANGO DE UNA MATRIZ

Sea la matriz , definiremos al rango de como el nmero mximo de columnas que tiene la matriz.


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CAPTULO II

FLUJO CON COSTO MNIMO

2.1.-INTRODUCCIN

El algoritmo Simplex para redes puede ser entendido como una especializacin del MtodoSimplex para la aplicacin en problemas de programacin lineal del tipo de Flujo de CostoMnimo. El Simplex para redes, explora, por tanto, las caractersticas especficas de la redque ilustra el problema y se muestra extremadamente ms eficiente que el mtodo simplex.

Esta mayor eficiencia del Simplex para Redes se dar por el menor nmero de iteracionesnecesarias para encontrar el ptimo, por tanto, se trata de un mtodo bastante poderoso enla resolucin de PFCM (Problemas de Flujo de Costo Mnimo).

2.2.-DEFINICIONES

2.2.1.- FLUJO

Es el nmero de unidades homogneas transportadas a lo largo del arco es decir,transportadas del origen hacia el destino 2.2.2.-MATRIZ DE INCIDENCIA NODO ARCO

Sea la matriz , que est asociada a los (columnas) de la red dirigida que la definen los de la misma.Se define de la siguiente manera:

{ Por tanto, la estructura de una red dirigida puede ser descrita en una matriz de incidencia.


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Por ejemplo, sea la red dirigida G.

Entonces, la matriz de incidencia nodo arco de esta red, ser:

[

]

Tabla 2.1

2.2.3.-MODELO GENERAL DE UN PROBLEMA DE FLUJO CON COSTO MNIMO

El PFCM nace a partir del siguiente enunciado:

Debe transportarse los recursos disponibles a travs de una red, para satisfacer lademanda a un costo mnimo.

Matemticamente, este problema se puede plantear de la siguiente manera:

Sujeto a Donde: () : Vector que representa el costo unitario de transporte a los largo del arco . () : Matriz de Incidencia Nodo-Arco. : Vector que representa la oferta o la demanda de cada nodo de la red. : Vector que representa la cantidad de flujo sobre el arco

: Vector que representa la capacidad mxima de flujo que puede ser transportado

por el arco


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Consideremos la red de la figura 2.1 y asignemos valores

Tenemos que nuestra funcin a minimizar es la siguiente: Sujeto a

[

] []

* + Tabla 2.2Donde los valores de color verde pertenecen al vector y los valores de color rojopertenecen al vector . De la figura 2.2 y de la definicin del vector , se concluye que acada nodo de a red se le asocia el nmero ; donde:

Si , entonces en el nodo se tiene una oferta disponible de un artculo. Se leconoce como nodo de origen. Si , entonces en el nodo se tiene una demanda requerida del artculo. Se le

conoce como nodo de destino

Si , entonces en el nodo no se dispone ni se requiere de ningn artculo. Se leconoce como nodo de transbordo.


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Adems para este problema debemos suponer que la oferta total en la red es igual a lademanda total, es decir:

Pues as, el PFCM siempre tendr una solucin factible.

De no ser el caso, es decir s , entonces se aade un nodo ficticio condemanda y arcos con costo cero desde cada nodo de oferta al nuevo nodo.

2.2.4.-RBOL GENERADOR

Dada la red dirigida y sea una subgrfica de la red. Diremos que es un rbolgenerador, s conecta a todos los nodos de la red sin formar ciclos.

Es decir, un rbol generador corresponde a un conjunto de vectores Por ejemplo, tomemos dos subgrficas de la red de la figura 2.1


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Como vemos la fig. 2.2 es un rbol generador de la red G definida en la figura 2.1, adems

los vectores que representan a esos arcos son pues de su combinacin lineal nula Donde: Obtenemos un sistema de ecuaciones, donde los valores de Sin embargo vemos que el conjunto de arcos definido en la fig. 2.3 corresponde a la primeray las tres ltimas columnas de la red de la fig. 2.1 y es posible obtener la siguiente igualdad Y de acuerdo con la definicin escrita anteriormente tenemos que estos vectores sonlinealmente dependientes.

2.2.5.- RANGO DE UN MATRIZ DE INCIDENCIA NODO-ARCO

Consideremos la tabla 2.1que representa la matriz de incidencia de la red de la figura 2.1,como podemos ver esta matriz no tiene rango total.

*

+

Tabla 2.3

Pues efectuando las siguientes operaciones filas Obtenemos que se convierte en el vector nulo.


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Proposicin 2.2.5.-

La matriz de Incidencia de una red de tiene rango igual a .Prueba:

Consideremos un rbol generador de la red y a su submatriz , obtenidade la matriz de incidencia .Como , entonces el rbol tiene al menos un nodo que tiene exactamente un arcoque incide a l.

Con este hecho se observa que en la fila de la matriz solo haya un elementodiferente de cero.

Realizando operaciones elementales de permutacin entre filas y columnas de de modoque este elemento diferente de cero quede en la 1 fila y 1 columna. Entonces la matrizequivalente a

, que denotaremos de la misma manera tendr la siguiente forma:

Tabla 2.4Analicemos ahora la matriz que representa a otro rbol, por lo tantotambin debe contener al menos un nodo donde un arco incida en l, supongamos que esosucede en la fila de , entonces realizando operaciones elementales depermutacin entre filas y columnas de de modo que este elemento diferente de ceroquede en la 1 fila y 1 columna. Entonces la matriz equivalente a, que denotaremos de lamisma manera tendr la siguiente forma:

Tabla 2.5

Donde .Reemplazando la tabla 2.4 en la tabla 2.3, vemos que se puede escribir como

Tabla 2.6Como tiene columnas entonces podemos repetir este procedimiento esa cantidadde veces. Luego eliminando la ltima fila de obtenemos una matriz triangular inferior conelementos en su diagonal diferentes de cero y, por lo tanto, hemos conseguido una matriz

no singular con rango igual a .2.2.6.-VARIABLE ARTIFICIAL

Debido a que el Mtodo simplex siempre se inicia con una matriz de restricciones con rangototal y adems sabemos que el rango de es , requerimos de una variable artificialde manera que el rango de la nueva matriz sea, es decir que el vector que representaesta variable sea con los vectores columna de Al introducir una variable artificial correspondiente al nodo

(se puede escoger cualquier

otro nodo), es decir, cuando se aumenta la matriz con el vector cannico , se obtiene lamatriz de restricciones


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Esta nueva columna se le puede ver en la red como un arco que empieza en el nodo(llamado nodo raz) y termina en el espacio, a este arco con un solo extremo se le llamarar co raz. Y como cualquier solucin bsica debe contener columnas , la variableartificial debe aparecer en cada solucin bsica.

2.2.7.- MTODO DE LOS CICLOS

Consideremos una subgrfica bsica de una red, correspondiente a un rbol generadoenraizado, seleccionemos un arco no bsico cualquiera . Debido a que es un rbol,entonces existe una cadena nica entre los nodos y . Esta cadena, junto al arco nobsico forma un ciclo.Grficamente podemos ver este hecho en la figura 2.6


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Asignando al ciclo una orientacin consistente se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) Entonces: Este hecho nos lleva al siguiente procedimiento el cual nos servir para representarcualquier columna no bsica en trminos de las columnas bsicas. Los pasos a seguir son:

1. Determinar el ciclo nico formado al adjuntar el arco no bsico a la subgrfica bsica.2. Darle al ciclo una orientacin consistente con la variable no bsica.3. Las columnas bsicas en el ciclo a lo largo de su orientacin reciben un coeficiente

de , y las columnas bsicas en el ciclo opuesto a su orientacin reciben uncoeficiente de

en la representacin.

4. Otras columnas bsicas reciben coeficientes cero.

Por ejemplo, tomemos la subgrfica bsica de la figura 2.2

De la figura 2.7, se tiene:


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2.3.- SOLUCIN INICIAL BSICA FACTIBLE

Como ya vimos, para poder aplicar el mtodo Simplex en nuestro PFCM necesitamos deuna matriz de rango total, es decir, de un rbol generador enraizado.

La solucin a un PFCM ser dado siempre por un rbol generador enraizado, el cualconsiste en partir de un rbol generador inicial (solucin bsica inicial) ejecutar una serie depivoteamientos, los cuales mantiene la estructura de rbol generador (pues toda solucinbsica corresponder a un rbol generador enraizado) hasta encontrar la solucin ptimaque corresponder al rbol generador enraizado ptimo.

El primer paso que debemos realizar para aplicar el Mtodo simplex en el PFCM esdeterminar un rbol generador enraizado inicial cualquiera. Para esto consideremos lamatriz de incidencia de la tabla 2.1 sin el arco raz. Entonces ningn rbol que se puedaobtener de la red

de la figura 2.1 formar una base para el PFCM.

Luego supongamos que se aade una columna artificial por cada nodo de la red con lasiguiente condicin

Si , se aade la columna , ySi , se aade la columna -Asimismo aadamos un rengln debajo de la matriz formada por las variables artificialesdado por el negativo de la suma de los renglones de esta matriz, resultando as una nuevamatriz que tendr la siguiente forma:

[ ]

Tabla 2.7

Como esta nueva matriz tiene exactamente un y un , puede verse como un matriz deincidencia nodo-arco de una nueva red, esta nueva red tendr todos los nodos y arcosiguales que la red original y adems tendr un nuevo nodo y m-nuevos arcos(un arcoentre cada nodo original y el nuevo nodo).

Estosm- nuevos arcos ms un raz formarn un rbol generador enraizado(es decir unabase factible para este nuevo problema), como se puede apreciar de la figura 2.8 a la figura2.9.

Empezando con esta base artificial y aplicando la fase 1 del Mtodo de las 2 Fases, lasvariables artificiales tendrn coeficientes de costo iguales a 1 mientras que todas las otrasvariables tendrn coeficientes de costo cero.


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Entonces la funcin objetivo original Se transforma a

Es decir la funcin objetivo artificial es Se tiene as, el problema artificial siguiente

Sujeto a Donde y Obviamente, el ptimo de este problema artificial se obtendr cuando Lo cual implica que

Tomando la forma de la tabla 2.7 se obtiene el siguiente cuadroTabla 2.8 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 4 0 -1 0 1 1 -1 0 0 0 1 0 0 0 2

0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 -1

0 0 0 0 -1 0 -1 -1 0 0 0 -1 0 -5

0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 1 1 0 Antes de continuar, primero eliminemos de la funcin objetivo artificial las variablesartificiales.

Para esto realicemos las siguientes operaciones elementales filas

Bsicas


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Obtendremos as, la Tabla 2.9

1 0 2 2 2 -2 0 -2 0 0 0 0 1 12

0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 4

0 -1 0 1 1 -1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0 -1 -1 0 0 0 -1 0 -5 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 1 1 0La solucin no es ptima pues existen coeficientes positivos en . Usando El algoritmodel Mtodo Simplex para el caso de minimizacin, obtenemos que:

Pvot est en la

La variable que entra es La variable que sale esPor lo tantopuede despreciarse la columna correspondiente a la variable

Obtendremos as, la Tabla 2.10 1 2 2 0 0 0 0 -2 0 0 0 1 8 0 1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 4 0 -1 0 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 2 0 -1 -1 0 1 0 1 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 -1 1 0 0 -1 0 -5

0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 1 0La solucin no es ptima pues existen coeficientes positivos en . Entonces:

Pvot est en la La variable que entra es La variable que sale es

Por lo tantopuede despreciarse la columna correspondiente a la variable

Bsicas

Bsicas


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Obtendremos as, la Tabla 2.11 1 2 2 0 0 0 0 -2 0 0 1 8

0 1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 4

0 0 1 1 0 -1 -1 0 0 0 0 1 0 -1 -1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 -1 0 0 0 0 1 0 -1 0 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 0La solucin no es ptima pues existen coeficientes positivos en . Entonces:

Pvot est en la La variable que entra es La variable que sale es

Por lo tantopuede despreciarse la columna correspondiente a la variableObtendremos as, la Tabla 2.12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 0 0 4 0 0 1 1 0 -1 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 -1 0 0 5

0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0Este cuadro (Tabla 2.12) es ptimo. Las variables artificiales son y de la misma Tabla 2.12 se tiene que En consecuencia Aqu se tiene el final de la primera fase pues hemos encontrado una solucin factible,entonces se pueden eliminar todos los arcos (variables) artificiales y el nodo 5.

Obteniendo as un rbol generador de la red

de la figura 2.2 con los valores siguientes.

Bsicas

B

sicas


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El cual an no forma una solucin factible para el problema original, para esto enraicemos elrbol generador de la figura 2.10, tomemos al nodo 1 como nodo-raz.

Entonces la solucin bsica factible inicial para el problema original es:

2.4.-CLCULO DE LOS Teniendo una subgrfica bsica de la red, como la figura 2.9, calcularemos los paracada variable no bsica

y, o el proceso finaliza, o si no se introduce una variable no

bsica con un , igual que en el algoritmo del Mtodo Simplex est variableno bsica corresponder al


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Para determinar que variable no bsica entra, usaremos el Mtodo de los Ciclos, ademsdebemos recordar que igual que en el Mtodo Simplex, se tiene que

Donde: ; y Entonces para calcular los , debemos primero adjuntar el arco a la subgrfica bsicay despus de darle una orientacin consistente con el arco .Por lo tanto, se obtiene que los , es la suma de los costos de los arcos bsicos en el cicloopuesto a la orientacin menos la suma de los costos de los arcos bsicos en el ciclo a lolargo de la orientacin.

En nuestro ejercicio, la figura 2.11 es una subgrfica bsica de la figura 2.2, entonces Como el rbol generador enraizado es:

[

]

Tabla 2.13

Entonces la matriz inversa de B es:

*

+Tabla 2.14

Y ; , lo obtenemos de la Tabla 2.1Entonces para el arco

, tenemos:


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2.5.- DETERMINACIN DE LA COLUMNA DE SALIDA

De nuestro ejercicio, tenemos que , entonces la variable puede entrar a labase y para saber que arco bsico debe salir de la base, se sigue lo siguientes pasos.1. Incrementar2. Ajustar las variables bsicas para seguir manteniendo la factibilidad.3. Determinar cul es la primera variable bsica que alcanza el valor cero.4. La cual se convierte en la variable que sale de la base.

Este proceso, se puede ver como el envo de una cantidad adicional (

de flujo a travs del

ciclo nico creado cuando el arco no bsico se aade al rbol generador enraizado.

Adems, el envo de flujo contra la direccin de un arco corresponde a disminuir el flujosobre el arco.

En nuestro ejercicio, suponiendo que el arco entra a la base, entonces de la figura 2.12

Tenemos que, al incrementar por, las variables bsicas que disminuyen son y .Ahora para mantener la factibilidad se debe cumplir que: Entonces Por lo tanto sale la variable bsica .


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Sabiendo ya, como determinar que arco no bsico entra a la base y que arco bsico sale dela base. Resolvamos nuestro ejercicio, de la figura 2.2 para el cual obtuvimos la solucinbsica inicial factible siguiente

Para la cual los valores de los de lo arcos no bsicos son: Entonces entra

.Ahora

Por lo tanto sale .Ahora el nuevo rbol generador enraizado lo da la figura 2.13


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Para la cual los valores de los de lo arcos no bsicos son:

Entonces entra Ahora

Por lo tanto sale .Ahora el nuevo rbol generador enraizado lo da la figura 2.15


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Para la cual los valores de los de lo arcos no bsicos son: Entonces entra , Ahora

Por lo tanto sale

Ahora el nuevo rbol generador enraizado lo da la figura 2.17


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Para la cual los valores de los de lo arcos no bsicos son: Como todos los , entonces hemos encontrado el rbol ptimo, el cual est dadopor el rbol generador enraizado de la figura 2.17.Entonces la solucin ptima es:

Todas las dems variables , entonces el valor ptimo es:


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CONCLUSIONES

1. El PFCM es un programa lineal y para su resolucin se puede aplicar el algoritmoSimplex primal, encontrando as una simplificacin del Mtodo Simplex que se puedeaplicar directamente a l red sin la necesidad de un tableau simplex.

2. Para resolver estos PFCM, se debe suponer que la oferta total en la red es igual a lademanda total, as obtendremos un Problema de Programacin Lineal Acotado elcual siempre tendr solucin factible.

3. Una base para el PFCM est caracterizado por un rbol generador enraizado.

4. Antes de aplicar el algoritmo Simplex Primal al PFCM, primero se debe encontraruna solucin factible bsica inicial, para esto se debe crear un nuevo nodo (artificial)en la red, el cual llevar a la red original con un arco raz a una red con estructura derbol generador enraizado.

5. Para encontrar la solucin factible bsica inicial no solo se puede usar el Mtodo deDos Fases, sino tambin el Mtodo de Penalizacin (Big M).

6. Los PFCM ocurren en el anlisis y diseo de sistemas de comunicacin, sistemas deoleoductos, logstica militar, etc.


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BIBLIOGRAFA

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3.-Introduccin a la Optimizacin e Investigacin de Operaciones. Tomo 1Autor: Pedro canales GarcaEditorial:HOZLO S.R.L.Pginas:150

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Editorial: HOZLO S.R.L.Pginas. 407


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