LA LA

CIRCUNFERENCIACIRCUNFERENCIACIRCUNFERENCIACIRCUNFERENCIA

PROBLEMAS RESUELTOS

Q

Por ángulo semi-inscrito PQS

Problema Nº 01

RESOLUCIÓN

PSQ = xSe traza la cuerda SQ 2

mQRSPQSm =∠

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RSmide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule lamedida del ángulo PSQ .

50°70º+x

XR

S

Q

140°

2X

X + (X+70) + 50°= 180°

X = 30°X = 30°

P

xº702

x2º140PQSm +=+=∠

Reemplazando:

En el triángulo PQS:

Resolviendo la ecuación:

2

En el triángulo rectángulo RHS

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

m ∠∠∠∠ S = 70ºPSQ = x

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arcoQR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendiculara la cuerda QS, si m ∠∠∠∠HRS=20º; calcule la m ∠∠∠∠QPR.

20°

70°X

X = 40°X = 40°R

Q

140° Es propiedad, que:

140°+ X = 180°

Por ángulo inscrito

P

S

m ∠∠∠∠ S = 70º

Resolviendo:

PSQ = x

2mQR

º70 = mQR = 140°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

APD = xMedida del ángulo interior

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia setrazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas ACy BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medidadel ángulo APD, si el arco AD mide 130º.

x130°

A

C

B

DX = 40°X = 40°

250 130

X°°°°−−−−°°°°====50°

PResolviendo:

APD = x

Medida del ángulo exterior

°=+°90

2mBC130

mBC = 50°

N

Problema Nº 04

RESOLUCIÓNAPN = x

Se traza el radio OM:

Dato: OM(radio) = PM

En una circunferencia, el diámetro AB se prolongahasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayosecante PMN tal que la longitud de PM sea igual alradio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m ∠∠∠∠APN.

x

X = 18°X = 18°

2X 54

X−−−−°°°°====

M

N

54°

xx

PABo

Dato: OM(radio) = PM

Luego triángulo PMO es isósceles

Ángulo central igual al arco

Medida del ángulo exterior

Resolviendo:

B

Problema Nº 05

RESOLUCIÓN

PRQ = x

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

En un triángulo ABC se inscribe una circunferenciatangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide70º. Calcule la m ∠∠∠∠PRQ.

x

70°

Medida del ángulo inscrito:

X = 55°X = 55°

2110

X°°°°====

A

B

C

PQ

R

110°

PRQ = xformado por dos tangentes:

Resolviendo:

70°+ mPQ = 180° mPQ = 110°

Calcule la medida del ángulo “X”.

Problema Nº 06

A

70°

B

X P

Resolución

RESOLUCIÓN

70°

A

X PC

140º

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

Medida del ángulo inscrito:

B

140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º

2mAB

º70 = mAB=140º

Calcular la medida del ángulo “x”

Problema Nº 07

A

B

X P130º

Resolución

RESOLUCIÓNA

X P130º C260º

B

Medida del ángulo inscrito:

En la circunferencia:

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

X = 80º

2mAB

º130 = mAB = 260º

mACB = 100º

mACB + x = 100º

260º + mACB = 360º

Calcule el perímetro del triángulo ABC.

Problema Nº 08

B

2

5 5A C

Resolución

RESOLUCIÓN

2

A

B

C

a b

Teorema de Poncelet : a + b = 10 + 2(2)

Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10

(2p) = 24

5 5A C

a + b = 14 (1)(2)

Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10

PLANTEAMIENTO

Q

Problema Nº 09

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular m ∠∠∠∠QPR .

X

Q

R

S

80º Pa

aResolución

En la circunferencia:

RESOLUCIÓN

X

Q

R

S

80º Pa

2a + 80º = 360ºa = 140º

Medida del ángulo exterior:

Xa

=−

=−80

2

140 80

2

º º ºX = 30º

S

a

Q

PLANTEAMIENTO

Problema Nº 10En un cuadrilátero ABCD m∠∠∠∠Q = m∠∠∠∠S = 90º se trazala diagonal PR . Los inradios de los triángulos PQR yPRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si elperímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm . Calcule lalongitud de PR

PR

S

2

3

Resolución

a b

c

Dato:

a + b + c + d = 22cm

RESOLUCIÓN

P

Q

R

2

3

Teorema de Poncelet:

cd

�PQR � a + b = PR+2(3) +

a +b + c + d = 2PR + 10

PR = 6cm

�PSR � c + d = PR+2(2)

22 = 2PR + 10

S