Problemas de Mecánica de Fluidos para Ingeniería Aeronáutica

Problemas de Mecánica de Fluidos

para Ingeniería Aeronáutica

R. Castilla López y

P.J. Gámez Montero

Dpt. de Mecánica de Fluidos

E.T.S.E.I.A.T.

Universitat Politècnica de Catalunya

Febrero 2010

Índice general

1. Propiedades físicas de los �uidos 5

2. Hidroestática 11

3. Cinemática. Masa y de cant. de movimiento 17

4. momento cinético y energía 23

5. Análisis Dimensional y Flujo Viscoso 31

6. Capa límite y Flujo Externo 39

7. Flujo compresible 47

3

4 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Propiedades físicas de los �uidos

1.1.

En un viscosímetro de cilindros rotatorios, el �uido problema es arrastradopor un cilindro en rotación contra otro concèntrico �jo, con un espacio ∆r �R. Consideremos un per�l de velocidad lineal entre los dos cilindros, y quepodemos medir el momento M que resiste el cilindro interior para mantenersu velocidad angular ω constante.

Encontrad una expresión para la viscosidad dinámica del �uido problemaµ en los casos:

a) Negligiendo el efecto de la base del cilindrob) Incluyendo este efecto

2R

H

ω

1.2.

En un viscosímetro de conos rotatorios, el �uido objecto es arrastrado porun cono en rotación contra otro concèntrico �jo, con un espacio ∆r � R.

5

6 CAPÍTULO 1. PROPIEDADES FÍSICAS DE LOS FLUIDOS

Consideremos un per�l de velocidad lineal entre los dos conos, y que podemosmedir el momento M que resiste el cono interior para mantener su velocidadangular ω constant.

Encontrad una expresión para µ.

γ

R

ω

e

1.3.

En el embrague de un automóvil los dos volantes están separados unadistancia de 5 mm, y tienen un diámetro de 30 cm. Entre ambos hay aceitecon una viscosidad dinámica de 0,38 Pa s. El volante motor gira a 1450 rpm,y el transmisor a 1390 rpm. ¾Cuál es el par que se transmite?

1450 rpm1390 rpm

µ = 0,38 Pa s

30 cm5 mm

1.4.

Por un plano inclinado, con angulo β resbala un cuerpo hexahedrico (una�caja�) de base S i peso W encima de una película, de espesor e �

√S, de

aceite con viscosidad µ. Considerando que el cuerpo inicia su movimientode bajada desde el reposo, calculad, haciendo las hipótesis oportunas, laecuación diferencial de su movimiento y la velocidad límite.

1.5. 7

1.5.

Ahora se trata de resolver el mismo problema anterior, de la caja sobreuna pelicula de aceite, pero el aceite se halla sobre otra película de agua(como se sabe, el aceite y el agua son inmiscibles, y el primero siempre estásobre el segundo). Cada uno de los líquidos ocupa la mitad del espesor total.

1.6.

Per un tubo vertical de diámetre Re, longitud L y lleno de un líquidocon viscosidad µ baja un cilindro, de radio Ri < Re y longitud H � L, ymasa m. Demostrad que, si la longitud del tubo es su�cientmente grande, elcilindro no se acelera de forma inde�nida, sino que su velocidad alcanza unacierta velocidad límite, y calculad el valor de esta velocidad.

1.7.

Un líquido de viscosidad µ resbala por una pared completamente vertical.En principio, el �ujo es transitorio, y el grosor d de la capa puede no seruniforme, pero al cabo de un espacio, se llega a un �ujo estacionario, con duniforme, como se muestra en la �gura.

a) Dibujad, de forma esquemática, la forma del per�l de velocidades del�ujo, explicando brevemente porqué es así.

b) Si medimos, con la ayuda de un anemómetro láser Doppler, el gradiente

de la velocidad en la pared, ∂v∂x

∣∣∣x=0

, encontrad una expresión que permita

calcular el valor de la viscosidad del líquido.

��

��

d


1.8.

Si un �uido newtoniano circula por un conducto circular, de radio R,con una velocidad su�cientemente baja, el �ujo es laminar, y el per�l develocidades es una paràbola,

v(r) = vmax

(1− r2

R2

)

a) Calculad la fuerza por unidad de longitud que se está haciendo, porfricción viscosa, sobre un tubo de corriente de radio r � R, y, en concreto,la correpondiente a r = R.

b) Dado que el �ujo es estacionario, tiene que haber otra fuerza quecompense la fricción. Esta se produce por la diferencia de presión a lo largodel conducto. Relacionad esta diferencia de presión con la viscosidad, paraencontrar la ecuación de Poiseuille.

r

x r

R

1.9.

Una pompa de jabón de radio R1 se funde con otra de radio R2, cre-ando otra de radio R3 (éste fenómeno recibe el nombre de coalescencia).Considerando que todo el proceso es isotérmico, calculad R3.

1.10.

Dos placas muy delgadas estan medio sumergidas en un líquido, de den-sidad ρ, y inclinadas un ángulo α una contra la otra, como muestra la �gura.Por efecto de capilaridad, el líquido sube por las paredes de las placas. Si anivel de la super�cie libre del líquido, las placas están separadas una distánciaL, calculad la altura h que sube el líquido en función del ángulo α.

1.11. 9

θ

α

h

L

1.11.

Si las placas del problema anterior forman un ángulo α pero abriéndoseen lugar de cerrándose, ¾cuánto valdrá la altura h?

1.12.

Al contrario de lo puede pensarse, una bola de acero maciza puede nohundirse en el agua. ¾Cuál tendría que ser su diámetro máximo? ¾Y si labola es de aluminio ?

Datos: ρacero = 7800Kg/m3, ρAl = 2700Kg/m3

Capítulo 2

Hidroestática

2.1.

Un cubo cilíndrico, de altura h y diámetro D, vacio (bueno, en realidad,lleno de aire a presión atmosférica y temperatura normal), se introduce bocaabajo en agua hasta una cierta profundidad E. Calculad la fuerza que hayque hacer sobre el cubo para mantenerlo en esta posición si todo el procesose ha realizado de forma isotérmica.

eh

E

D

En la película �Piratas del Caribe: la Maldición de la Perla Negra� dospersonajes caminan por el fondo del mar respirando el aire acumulado enuna barca boca abajo. Discutid, en base al cálculo anterior, la credibilidadde esta maniobra.

2.2.

¾El agua es incompresible? Depende de las condiciones. El agua en reposotiene también una cierta compresibilidad, aunque normalmente es menospre-

11

12 CAPÍTULO 2. HIDROESTÁTICA

ciable. El coe�ciente de compresibilidad, de�nido como

β = ρdp

dρ

toma un valor aproximado de 2,2 109 Pa para el agua. Suponiendo que estevalor es constante, calculad la distribución de densidad y de presión del aguaen reposo en función de la profundidad h. ¾A que profundidad tendremos unaumento de la densidad de un 10%?

Sabemos que la fuerza ejercida por el agua, considerada como incompre-sible, sobre una super�cie vertical sumergida es 1/2ρgBh2. ¾Cuál es el errorcometido por no considerar la compresibilidad? Aplicad este resultado a lasuper�cie lateral de un pilar de una plataforma petrolífera que tenga 100metros de profundidad.

2.3.

Un émbolo libre, que pesa 16 kp y puede desplazarse sin rozamientoapreciable a lo largo de un cilindro, determina dos cámaras en el mismo,una ocupada por un líquido cuyo módulo de elasticidad isotérmico es β =20500 kp/cm2, prácticamente independiente de la presión, y la otra ocupadapor nitrógeno. Las condiciones iniciales son: presión absoluta inicial del ni-trógeno de 105 Pa, temperatura inicial de 15 ◦C y geométricamente las repre-sentadas en la �gura. Sabiendo que el cilindro es prácticamente indeformabley que la evolución del gas es isotérmica, se pide:

a) ¾Cuál deberá ser la presión del gas para que el volumen ocupado porel líquido experimente una reducción del 0.5%?

b) En tales condiciones, ¾cuál es la masa del gas que se ha debido añadiral cilindro?

2.4.

Un tronco de madera (ρ = 800 kg/m3), de 1,20m de diámetro tiene 2,40mde largo, y se usa como presa de agua, como se muestra en la �gura. Calculadla reacción en el punto A.

A

2.5. 13

2.5.

Como todos los grandes emperadores, los Faraones Egipcios eran conoci-dos por su gran excentricidad. Imaginemos uno excepcionalmente excéntricoque, aconsejado por su astrólogo real, decide construir su Gran Pirámidebajo el mar. Supongamos que esta Gran Pirámide tendrá las dimensionesexactas de la Gran Pirámide de Khufu en Giza (2600 A.C.): altura 153 m;base 241 × 241 m; ángulo de inclinación de las caras triangulares 51, 5◦ yconstruida con 2300000 bloques de piedra de 2,5 Tm cada uno. La pirámidetendrá su punta superior a 5 metros por debajo del nivel del mar, y su baseestará asentada sobre el fondo del Mar Mediterráneo. Como consejo de in-genieros reales y expertos en estática de �uidos, debeis aconsejar al Faraónacerca del diseño de la pirámide. Comparada con la pirámide al aire libre,¾qué fuerzas adicionales deberá soportar esta pirámide? Se descarta dar alFaraón el consejo, posiblemente muy juicioso, de abandonar el proyecto porcompleto.

1

2.6.

Cuando sube el nivel del agua en el lado izquierdo de la compuerta de la�gura, ésta se abre automáticamente. Calcular el nivel mínimo del agua porencima del punto A para que se abra,

a) menospreciando el peso de la compuertab) considerando una compuerta de un material de densidad ρc de espesor

e

l

A

2.7.

Si la salida de aceite del carter de un automóvil se encuentra en una ladodel mismo, como indica la �gura, podemos encontrarnos con el problema deque en una curva el motor se quede sin aceite, debido a la inclinación del nivel.

1Adaptado de una contribución de Mohamed Gad-el-Hak, de la Virginia Commonwealth

University, a la página web de e-Fluids.


Calculad, para un nivel de aceite h y una amplitud del carter b, la relaciónentre velocidad máxima del automóvil y radio de la curva de forma que esteproblema no surja. Si el radio es de 500 metros, el carter tiene una amplitudde 30 cm y el nivel de aceite es de 15 cm, ¾cuál podrá ser la velocidad máximadel vehículo?

h

b

aceite

2.8.

Los globos llenos de helio son usados comunmente en meteorologia paramedir temperatura, presión, humedad, etc. . . a diferentes alturas en la at-mósfera. Supongamos que un globo se llena hasta un volument V a nivel delmar con He, de forma que se obtiene en el interior del globo un presión p,mayor que la atmosférica a nivel del mar, p0.

a) Calculad la masa máxima mmax que puede tener el globo y la instru-mentación de forma que el globo pueda empezar a elevarse.

b) Suponiendo que el volumen del globo se mantiene constante (globorígido), y que la masa del globo y la instrumentación es m < mmax, calculadla altura hasta la que se elevará el globo en una atmósfera adiabática.

Aplicad numéricamente los resultados a un volumen V = 0,5m3, presióninicial p = 1,1 p0, y m = 0,75mmax

2.9.

La densidad del agua del mar no es uniforme, sino que varia con la pro-fundidad, debido a la variación de salinidad, de temperatura y de presión. Suvalor se encuentra, de forma aproximada, entre 1020Kg/m3 en la super�cie,y 1050Kg/m3 como valor máximo. Su puede tomar, como valor medio, unos1030Kg/m3. Se puede construir un aparato sencillo para medir este per�lcon una esfera de diámetro interior Di y espesor e, llena de aire a presión pi.

2.9. 15

La esfera está conectada con un conducto a un compresor/bomba de vacio,de forma que podemos, fácilmente desde el barco, controlar la presión pi y laprofundidad a la que se encuentra la esfera.

a) Si el material con el que se contruye la esfera es acero, estimad el valorde Di en función del espesor e.

b) Calculad la relación entre la densidad del agua ρ y la presión del aireen el interior de la esfera.

c) Calculad el rango de presiones necesario poder realizar nuestro exper-imento.

Nota: Puede ser conveniente considerar que el espesor del material esmucho menor que el diámetro de la esfera

Capítulo 3

Cinemática. Conservación demasa y conservación de cantidadde movimiento

3.1.

Un �ujo bidimensional esta de�nido por ~v = − Kyx2+y2

~ı + Kxx2+y2

~, donde Kes una constante positiva.

a) ¾Es incompresible este �ujo?b) ¾Es irrotacional?c) Encontrad la ecuación general de la función de corriente, y dibujad, de

forma esquemàtica, las líneas de corriente.d) ¾Cual es la velocidad angular intrínseca de las partículas �uidas?e) Encontrad el campo de aceleracionesf) Demostrad que la circulación del campo de velocidades sobre una línea

cerrada, de forma rectangular, contenida en el plano xy es proporcional a lasuperfície que encierra esta línea.

3.2.

Un vehículo, con super�cie de techo St y super�cie frontal Sf se desplazacon una velocidad v bajo la lluvia, que forma un ángulo α respecto la vertical,y en dirección contraria a v. La precipitación de lluvia, considerada como uncontinuo, es de m mm por metro cuadrado y por segundo. Calcular en quémedida se moja el vehículo y demostrar que, si la lluvia es completamentevertical, el volumen de agua recibido en la parte frontal al desplazarse unacierta distancia es independiente de la velocidad.

17

18CAPÍTULO 3. CINEMÁTICA. MASA Y DE CANT. DEMOVIMIENTO

v

m

α

U.S. AIR FORCE602

AMC

40602

3.3.

En la �gura se presenta un esquema similar a un gasómetro de campanaen condiciones de equilibrio y cuando la válvula está cerrada.

Ø6500

Ø6000

1000

5000

200

1500 agua

válvula

gas

placa

m.

En un cierto instante, la válvula se abre y comienza la entrada de uncaudal másico de gas al interior de la campana, de valor m = 0,10 kg/minque la hace subir hasta que llega a tocar la placa, siendo este su máximo.

Considerando que todo el proceso es isotérmico, a una temperatura de10◦C, se pide:

a) calcular cómo varía la altura de la campana en función del tiempo yb) calcular cómo varía la presión del gas en el interior de la campana

antes y después de tocar la placa

3.4.

Un tanque esférico de diámetro interiorD se encuentra inicialmente abier-to a la atmósfera con condiciones iniciales de presión P0 = Patm y densidad

3.5. 19

ρ0. En el instante t = 0, el tanque se cierra a la atmósfera y se abre la válvu-la de entrada VA dejando pasar un �ujo de gas constante m,manteniendo laválvula de salida VB cerrada. En el instante t = t1, la presión en el interiordel tanque es p1 (relativo) y, a partir de este instante, la válvula de sali-da VB deja pasar un caudal constante QB. Tomando todo el proceso comoisotérmico, se pide:

a) Determinar el tiempo t1.b) Evaluar cómo varía la densidad del �uido en el interior del tanque a

partir del tiempo t1.c) Determinar el tiempo t2 para el cual la densidad del �uido en el interior

del tanque alcanza un valor de un 5% más que la densidad �nal (condiciónde equilibrio).

Figura 2.4.1 Evolución aperturas válvulas

Q

VV

mA

A B

B

3.5.

El modelo del coche de la �gura pesa 17N y es acelerado desde el reposopor un chorro de agua con una velocidad de 75m/s y un diámetro de 1 cm.Despreciando la resistencia del aire y el rozamiento de las ruedas, se pidecalcular la ecuación de la velocidad del coche en función del tiempo y delespacio.


3.6.

Una turbina de reacción es colocada en un túnel de viento donde recibeaire con una velocidad U , a una presión p y una densidad ρ. La distribuciónde velocidad en el chorro en la super�cie de entrada, de valor Se, puedeconsiderarse uniforme. En la salida, con una super�cie circular de radio rs,la velocidad no es uniforme, sino que tiene una distribución parabólica,

u(r) = 2U0

[1−

(r

rs

)2].

La presión en la salida del chorro es ps, y la densidad del gas es ρs. La cantidadde combustrible introducido lateralmente corresponde al 2% de la masa totalde aire que circula. Calculad el empuje horizontal R sobre el motor. ¾Cuálsería l valor de este empuje si la distribución de velocidad en la salida fueseuniforme?

Se Ss

R

combustible

3.7.

Un cohete se encuentra en el espacio exterior. No hay, por tanto, ni efectosde la gravedad ni del rozamiento con la atmósfera. La masa del cohete, sincombustible, es mc. En un instante determinado la masa de combustrible esm0. El cohete empieza a eliminar combustible por la tobera con una velocidadve y una tasa de consumo β. Calculad la ecuación del movimiento del cohete.

3.8.

Un chorro de agua de sección circular S y velocidad v0 incide sobre unálabe, de incilinación θ, que se mueve en la misma dirección que el chorro conuna velocidad U . Calculad la fuerza que ejerce el chorro sobre el álabe y lavelocidad que debe tener éste para que la potencia transmitida sea máxima.

3.9. 21

v0

U

θ

3.9.

Sobre una caja con ruedas, agujereada en un lado, incide un chorro deagua, tal y como muestra la �gura. La caja tiene una masaM0 y el chorro, dediámetro D incide con una velocidad va. Calculad la ecuación del movimientode la caja.

v(t)

va

D

3.10.

Se quiere probar un sistema de frenado para un vehículo, consistente enun depósito con aire comprimido que impulsa aire en el sentido contrario ala marcha, como indica la �gura.

El depósito, de volumen V , está inicialmente lleno de aire a presión p0 ytemperatura T y, la descarga de aire, a partir de t = 0, se realiza con unavelocidad vc constante e igual a la inicial (hipótesis de trabajo). Si la masainicial total (contando también el aire) del vehículo es M0, y éste se mueve auna velocidad v0, se pide:

a) La velocidad de descarga del aire.b) La expresión de la presión en el interior del depósito en función del

tiempo.c)La expresión de la masa total del vehículo en función del tiempo.d)La ecuación diferencial que describe la variación de la velocidad del

vehículo en el tiempo.e) La expresión de la velocidad del vehículo en función del tiempo suponien-

do que la masa inicial de aire es muchísimo menor que la del vehículo.f) La variación de la velocidad del vehículo cuando se ha descargado todo

el aire del depósito.


v0

vc

Capítulo 4

Conservación de momentocinético y conservación de energía

4.1.

Un cohete está ligado a una barra horizontal rígida articulada en un puntoO. La masa del cohete sin combustible es mc. En un instante determinado lamasa de combustible es m0, y el cohete empieza a expulsarlo por la toberacon una velocidad ve y una tasa de consumo β. Calculad la ecuación delmovimiento del cohete.

ve

4.2.

La bomba centrífuga de la �gura tiene un caudal Q que sale con un ánguloθ2, medido respecto a los álabes. El �uido de entra con �ujo completamenteradial en la sección 1. Suponiendo �ujo incompresible y menospreciando pér-didas por rozamiento, halla una expresión para la potencia P necesaria paraaccionar la bomba cuando gira a una velocidad ω.

23

24 CAPÍTULO 4. MOMENTO CINÉTICO Y ENERGÍA

4.3.

La turbina Pelton de la �gura, de 1,5 m de radio, es accionada por unchorro de 50 m/s, y gira a una velocidad de 200 rpm. Suponiendo que no haypérdidas por rozamiento, ¾ cuál es la potencia desarrollada por la rueda? ¾Aqué velocidad será esta potencia máxima?

Nota: se supone que hay muchas cucharas en la rueda, de forma que elchorro siempre está incidiendo en una.

4.4. 25

4.4.

Un canal abierto de profundidad H y ancho D tiene un obstáculo en elfondo, de altura h0. Calcular la altura h que sube el nivel del aigua sobre elobstáculo.

12

H

h

h 0

4.5.

Un tubo, de longitud 2L y sección A está sumergido en un tanque lleno deun líquido de densidad ρ, a una presión pa. El tubo, en posición horizontal,está abierto por los dos extremos, de forma que está completament lleno dellíquido. Ahora bién, el tubo está hecho de un material piezoeléctrico tal quesu área A (que se mantiene uniforme en toda la longitud del tubo) puedevariar en el tiempo de forma arbritaria, mediante la aplicación de un ciertovoltage al tubo.

Supongamos que, mediante la aplicación de un voltage conveniente, elárea A(t) varia en el tiempo de forma monótonamente decreciente. Asum-iendo que el �ujo en el interior del tubo es entodo momento incomresible einviscido, encontrad una expresión para

a) la velocidad del �ujo u en una cierta posición x del tubo yb) la presión en el contro del tubo (x = 0).c) ¾Són los resultados de (a) y (b) válidos también si A(t) aumenta en el

tiempo en lugar de disminuir?

x

A(t)

2L

4.6.

En un diafragma, que se utiliza para medir el caudal que circula perun conducto, se produce una fuerte caida de presión p2 − p1. Calculad, enfunción de esta caida de presión y de la geometría del diafragme, el caudal Q.¾Cuál es la fuerza que hace el �uido sobre ell diafragma? ¾Cuál es la poténciaconsumida?


p1 p2

Dd

4.7.

Un ventilador es instalado en el interior de un embudo, como se indicaen al �gura. El ventilador impulsa el aire con una velocidad V , y tiene unasección circular S. Calculad la fuerza que se está ejerciendo sobre el soportey el gasto de potencia.

V

S1

S2

S

L

4.8.

El submarino ruso �Plashchof� se encuentra tranquilamente navegandopor aguas muy profundas cuando tiene una avería muy grave e irreparable yse apagan todos los sistemas. Por suerte la tripulación consigue salvarse, peroel submarino, debido a una cierta cantidad de agua que se ha introducidoen el accidente, cae hacia el fondo sin salvación posible. La profundidad a laque se encuentra el submarino cuando ocurre la avería es H0. La profundidaddel fondo del mar en esa posición es HT . La masa del submarino, más la delagua introducida es M , y la densidad del agua ρ.

a) Encontrad una expresión para la velocidad con la que el submarinocolisiona contra el fondo.

b) Si consideramos la compresibilidad del agua, ¾esta velocidad será igual,menor o mayor? ¾Por qué?

Cuando el submarino llega al fondo, la colisión es tan grande que se abreuna grieta en la parte inferior del mismo, por donde entra más agua. Con-

4.9. 27

siderando que en todo momento el aire del interior del submarino se encuentraa la misma temperatura y que, inicialmente, su presión es la atmosférica,

c) Encontrad la ecuación diferencial que da el nivel de llenado del sub-marino en función del tiempo.

d) ¾Hasta qué nivel se va a llenar el submarino?

HT

H0

HT

h

Pistas: Puede ser muy conveniente idealizar la forma del submarino a unacaja rectangular. Por otro lado, en todo momento la profundidad a la que seencuentra el submarino es muy superior a la altura del mismo.

4.9.

¾Cuánto tiempo tarda en vaciarse un embudo lleno de un líquido?

4.10.

En la salida de algunas presas se produce el denominado resalto hidráulico

para disipar la energía que lleva el agua. En un canal de amplitud b, el agualleva una profundidad h1 y una velocidad v1, para salir después del resaltocon una profundidad h2 y una velocidad v2.

Si el agua sale a un canal de 2 metros de amplitud con una profundidad de0,5 metros y una velocidad de 15 m/s, calcular la profundidad y la velocidaddespues del resalto y la potencia disipada.

Nota: Menospreciar la fricción con el suelo y paredes y suponer que lapresión del agua es hidrostática en la entrada y en la salida del resalto.


v1h1

v2h2

4.11.

En el conducto de la �gura circula CO2 a una temperatura de 20◦C. Lapresión estática en 1 es p1 = 170 kPa, y la densidad del líquido del manómetroes ρm = 827Kg/m3. Los diámetros de la tubería sonD1 = 10 cm yD2 = 6 cm,y la altura que marca el manómetro es h = 8 cm.

Calcular el caudal de gas por la tubería.

h

p1p2

D1 D2

Datos:Constante universal de los gases: R = 8,314 J

molK

Masa moleculares (gr/mol) : C : 12; O : 16

4.12.

Un fabricante de juguetes quiere diseñar un disco que se deslice sin roza-miento por el suelo, tipo hovercraft. El disco tendrá un ventilador en el in-terior que dará un caudal, con una cierta presión. El disco tiene una masaM , con pilas incluidas, un diámetro D y se quiere que se mantenga a unadistancia e del suelo. Suponiendo que no hay pérdidas por rozamiento y ha-ciendo otras hipótesis oportunas, calcular, usando las leyes de conservaciónde masa, cantidad de movimiento y energía,

4.12. 29

a) la presión, pc, que el ventilador debe crear en la cámara de aireb) el caudal Q que debe dar el ventiladorc) la potencia P consumida por el motor

Capítulo 5

Análisis Dimensional y Flujo conViscosidad Dominante

5.1.

Un barco se debe situar en un dique seco tal como se muestra en la Figura1 (prototipo). La abertura de la compuerta produce el descenso del nivel deagua a una velocidad de 25 cm/min. Se desea saber la fuerza qué han desoportar los cables de amarre.

Para ello, se construye un modelo a escala 1:25 en el cual se mide la fuerzade resistencia máxima que ejercen los cables de amarre en el modelo de valor

31

32 CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DIMENSIONAL Y FLUJO VISCOSO

0.725 kp. Determinar la fuerza de los cables de amarre en el prototipo.

5.2.

Un modelo de avión a escala 1:80 es ensayado en una corriente de aire a20º C y a una velocidad de 45 m/seg.

1. ¾A que velocidad habrá de arrastrarse el modelo si está totalmentesumergido en un agua a 27ºC?

2. ¾Qué arrastre sobre el prototipo en el aire corresponderá a una resisten-cia sobre el modelo en el agua de 0.55 kg?

5.3.

En la �gura se presenta un reómetro de extrusión.

Se pide dimensionar el reómetro de forma que permita determinar laviscosidad dinámica de un barro de densidad 1125 kg/m3 y cuya viscosidadcinemática puede variar entre 1500 y 3000CSt.

5.4. 33

5.4.

Se diseña una plataforma petrolífera marina que mide 30 metros de lado.En su emplazamiento, esta plataforma tendrá que soportar corrientes de 15m/s y olas de 3 metros de altura y un periodo de 12 segundos. Para probarla,se construye un modelo a escala 1:60 y se instala en un canal de agua con ungenerador de olas arti�ciales.

Escribir la relación de la fuerza que ha de resistir la plataforma en formaadimensional.

¾A qué velocidad deberemos poner el agua en el canal y cual deberá serla altura y periodo de las olas?

Nota: Esta fuerza también dependerá de la densidad y la viscosidad delagua.

5.5.

Un posible viscosímetro sería simplemente un cilindro, de diámetro D,en posición vertical (ver �gura). En la cara superior del cilindro se vierte uncaudal Q de un líquido de densidad ρ (conocida y constante) y viscosidaddinámica µ, que queremos determinar. El �uido cae por la super�cie lateralformando una película de espesor e una vez se ha estabilizado el �ujo. Sepide:

1. Razonar que el espesor y, por lo tanto, el per�l de velocidad del �ujoen la pared lateral, se estabiliza llegando a un valor límite constante.

2. Encontrar el per�l de velocidades en función del espesor e y de laspropiedades del �uido.

3. Derivar, conocido el caudal Q, una relación entre el espesor e y laviscosidad µ.


Sugerencia: Si se supone e � D, se puede hacer una aproximación bidi-mensional del problema que simpli�ca mucho los cálculos.

5.6.

Se quiere explotar una bolsa de petróleo que se encuentra a una profun-didad L. La bolsa tiene forma cilí ndrica, con un radio R y una altura H, yse encuentra rodeada por una bolsa de gas, con una presión manométrica pg,supuesta constante en todo momento.

Para extraer el petróleo se hace un ori�cio de radio r0 que llega hasta elcentro de la bolsa. Se quiere encontrar el caudal que obtendremos de petróleo.

5.7. 35

L

H

2R

r

z

2r0

5.7.

Es bien sabido que hay que ejercer una cierta fuerza para separar dossuper�cies unidas por una �na lámina de �uido viscoso, actuando como unadhesivo. Se cree que algunos insectos usan esto para poder andar en super-�cies horizontales boca abajo.

Consideremos el problema modelo de un disco separado de una placahorizontal una distacia H0, como muestra la �gura, en el que se ejerce unafuerza constante F .

��

��

��

F

D

σH

1. La super�cie cilíndrica lateral es una super�cie libre, con una tensiónsuper�cial σ. Utilizad el análisis dimensional para establecer en quécondiciones los fenómenos de capilaridad serán negligibles.


2. Considerando que para t = 0 la separación entre super�cies es H0,escribid las ecuaciones de Navier-Stokes simpli�cadas en coordenadascilíndricas.

3. Encontrad la expresión para vr en función de la (hasta ahora descono-cida) distribución radial de presión.

4. Usando la conservación de la masa, escribid una relación entre el �ujo através de una super�cie anular de radio r < D/2, y la separación entreplacas H(t). Con este resultado ya se puede encontrar la distribuciónde presión.

5. Integrar el resultado anterior para demostrar que la fuerza viscosa entrelas placas es

Fvisc = −3π

2µR4 H

H3(5.1)

6. Menospreciando la masa y la inercia de la placa, y asumiendo un com-portamiento quasiestático, encontrad H(t).

5.8.

Un depósito contiene un cierto �uido de viscosidad µ y densidad ρ. Paraextraer el �uido usamos dos cintas transportadoras verticales de ancho Dy longitud L y separadas una distancia h, mucho menor que el ancho y lalongitud de las cintas.

Si las cintas se mueven con una velocidad vertical hacia arriba V , ysuponiendo que la viscosidad del �uido es lo su�cientemente grande comopara que el �ujo pueda ser considerado laminar, calcular

1. el caudal del �uido extraido, y

2. la fuerza que deben hacer las cintas debida a la fricción del �uido.

h

L

D

5.9. 37

5.9.

Un pistón empuja un �uido en el interior de un cilindro, como se muestraen la �gura. El cilindro tiene un diámetro D. El pistón tiene una longitud ly el juego, mucho más pequeño que el diámetro, que hay entre el pistón y elcilindro es e. El pistón se mueve a una velocidad Vp, y el �uido en el interiordel cilindro tiene una viscosidad µ y se mantiene a una presión p. Se pide:

1. Suponiedo que no hay fugas por el espacio entre el pistón y el ciliendor,el caudal que impulsamos por la tubería de la camara.

2. Una expresión para el caudal que se fuga por el juego entre el pistóny el cilindro, en función de la velocidad del pistón, la presión de lacámara, la viscosidad del �uido y la geometría del cilindro y el pistón.

3. Una expresión para el valor del juego entre el pistón y el cilindro paraque las fugas sean nulas.

Nota: Dado que el juego es mucho más pequeño que el diámetre, se puedesuponer que la superfície del pistón y la del cilindro son planas y paralelasentre sí.

5.10.

Una válvula de forma troncocónica es usada para regular el caudal de un�uido, de viscosidad µ y densidad ρ, en un circuito.

La válvula tiene las dimensiones de la �gura, donde e << D1, D2 y α esmuy pequeño, y el �ujo se puede considerar en todo momento dominado por


la viscosidad (Re muy pequeño). El per�l de velocidades entre la válvula yel conducto puede considerarse parabólico.

Conociendo D1, D2, e, α,Q, µ y ρ, calcula:a) La velocidad media del �uido entre la válvula y el conducto, en función

de x.b) El esfuerzo super�cial sobre la válvula en función de x.c) La presión p1 en la parte delantera de la válvula.d) La fuerza total que hace el �uido sobre la válvula, considerando que la

presión detrás de válvula (donde está el muelle) es p2 = 0.

Capítulo 6

Capa límite y Flujo Externo

6.1.

En una placa plana delgada lisa y cuadrada de lado l = 1 m se hasoldado el extremo de un vástago, punto A. Al otro extremo del vástago,punto B, se ha soldado una taza semiesférica con su lado cóncavo expuesto aun �ujo uniforme. El vástago puede rotar libremente sin fricción sobre un ejede rotación situado en el punto O. El punto O está situado a igual distanciade la placa plana que del centro de la taza semiesférica. Todo este mecanismoestá completamente sumergido en una corriente uniforme de agua a 5◦ C develocidad uniforme v∞. Se pide:

a) Estimar el diámetro d de la taza semiesférica si se desea que el vástagono gire si la velocidad de la corriente de aire es v∞ = 0,1 m/s.

b) Estimar el diámetro d de la taza semiesférica si se desea que el vástagono gire si la velocidad de la corriente de aire es v∞ = 5 m/s.

c) Estimar el diámetro d de la taza semiesférica si se desea que el vástagono gire si la velocidad de la corriente de aire es v∞ = 40 m/s.

39

40 CAPÍTULO 6. CAPA LÍMITE Y FLUJO EXTERNO

6.2.

Aproximemos el rotor de un helicóptero como dos placas rectangularesplanas de longitud 2R, ancho L y espesor menospreciable, cruzadas en elcentro formando un ángulo recto.

a) Asumiendo que el número de Reynolds crítico de la capa límite sobre lasuper�cie de las placas es 106, calculad la velocidad angular a la que deberágirar al rotor para que toda la capa límite en las palas sea laminar.

b) En el caso del apartado a), calculad el espesor máximo de esta capalímite en el externo de cada pala y

c) el momento que debemos hacer sobre el eje del rotor para mantenereste movimiento, así como la potencia necesaria.

d) Calculad la velocidad máxima de rotación para que no sea necesarioconsiderar la compresibilidad del aire (Ma < 0.3)

e) En el caso del apartado d), asumiendo que toda la capa límite sobre laspalas es turbulenta, y con la aproximación de per�l de velocidad con potencia1/7, calculad la potencia necesaria para mantener esta velocidad.

6.3.

En el túnel aerodinámico del Laboratorio de Mecánica de Fluidos quer-emos instalar un �panel de abeja� (honeycomb), que es un tablero formadopor pequeños conductos paralelos al �ujo medio. Su �nalidad es eliminar larotación del �ujo y los �ujos secundarios, y dirigir el �ujo medio en la di-rección axial. Normalmente, los conductos tienen forma hexagonal, y de ahísu nombre. Dado que el panel de abeja se instala antes de la contracción deltúnel, la velocidad en el mismo suele ser baja. Considerando un diámetro deltúnel D, y un panel de abeja de lado a y longitud l, estimad:

a) La longitud máxima (lmax) que puede tener el panel de forma que lacapa límite formada en los conductos pueda ser considerada laminar para

6.4. 41

una velocidad no perturbada U .

b) La fuerza que ejerce el aire sobre el panel de abeja.

c) La pérdida de presión sufrida por el aire al atravesar el panel de abeja,y el coe�ciente de pérdida de presión,K = ∆p

12ρU2

d) Aplicar los resultados de los apartados anteriores al caso particulardel túnel del laboratorio, donde D = 120 cm, U = 15m/s, a = 0,95 cm yl = 7 cm.

Nota: El área de un hexágono de lado a és 3√

3a2

2.

6.4.

En la última Copa América, los yates tienen una vela principal que puedeconsiderarse de forma rectangular. Queremos estimar el arrastre que produceesta vela cuando el yate está en reposo. Para simpli�car, supondremos quela vela está perfectamente alineada con el viento (ángulo de incidencia cero),y que, debido a las interferencias del yate, el mástil, etc..., la capa límitesobre la misma es en todo momento turbulenta. El problema principal resideen el hecho de que, como la vela es muy alta, la distribución de velocidadno es uniforme, sino controlada por la capa límite atmosférica, que debeconsiderarse también turbulenta. Con las dimensiones de la �gura, estimad:

a) el valor de la fuerza de arrastre producido por la vela y el coe�cientede arrastre, y

b) el error que se cometería si se considerase la velocidad del viento inci-dente como uniforme

c) Aplica los resultados anteriores al caso particular de los datos: H =30m, h0 = 2m, U∞ = 10m/s, L = 7m y δ = 100m

Nota 1: Considerad el per�l de velocidades de una capa límite turbulentacomo la aproximación en potencia

U(y) = U∞

(y

δ

) 17

Nota 2: La vela tiene dos caras


6.5.

El efecto Magnus se produce cuando un �ujo uniforme incide sobre uncilindro en rotación de forma normal al eje del cilindro, y se crea una fuerzade sustentación normal al �ujo no perturbado y al eje de rotación.

La función de corriente del �ujo potencial alrededor de un cilindro enrotación se puede expresar como la combinación de un �ujo uniforme

ψu = U∞r sin θ,

un dipolo, con a� r,

ψd = −ma sin θ

r,

y un vórtice

ψv = −K ln r = − Γ

2πln r.

A esta combinación se le puede sumar qualquier constanta arbitrária. Deforma que

ψ = U∞r sin θ − ma sin θ

r− Γ

2πln r + cte

Dado que [m] = L2T−1, ma se puede escribir como el producto de unavelocidad y una distáncia al cuadrado. Si hacemos ma = U∞R

2, entoncestenemos

ψ = U∞ sin θ

(r − R2

r

)− Γ

2πln r + cte

Por otro lado, si la constante és Γ2π

lnR, la expresión �nal queda

ψ = U∞ sin θ

(r − R2

r

)− Γ

2πlnr

R,

6.6. 43

de forma que, para r = R, la linia de corriente ψ = 0 corresponde al cilindro.a) Relacionad el valor de Γ con la velocidad de rotación del cilindro ω y

su radio R.b) Calculad la velocidad del �ujo en la super�cie del cilindro.c) Calculad la distribución de presiones p(θ) alrededor del cilindro.d) Integrad la distribución p(θ) para encontrar la fuerza de sustentación

y comprobad que se cumple la ley de Kutta-Joukowski FL = LΓρU∞, dondeL es la longitud del cilindro.

6.6.

Aire a 20◦C y 1 atm entra en un conducto cuadrado de 40 cm de lado a unavelocidad uniforme de 2 m/s. Usad el concepto de espesor de desplazamientopara estimar, a un distáncia de 3 m de l'entrada y en el centre del conducte,

a) la velocidadb) la presiónc) y el gradiente de presión

6.7.

El túnel de viento de un laboratorio de aerodinámica tiene una secciónde prueba cerrada de sección transversal cuadrada, de lado L = 450mm,constante. La velocidad de �ujo libre (no perturbado) en la entrada de lasección es U1 = 25m/s, y las mediciones muestran en este punto una capalímite de espesor δ1 = 9mm, con un per�l turbulento, en forma de �potencia1/7�. El gradiente de presiones en toda la sección de prueba se ha medidocomo dp

dx= −0,0015mm.c.a./mm.

a) Calcular, usando la forma aproximada de potencia, el esfuerzo de paredy los espesores de desplazamiento y cantidad de movimiento en el punto 1.

b) Calcular la velocidad de fricción u∗, y la y+ hasta la que se extiendela capa límite en el punto1.

c) Calcular el gradiente del espesor de cantidad de movimiento, ddxθ, en

el punto 1.


d) Evaluar el espesor de la capa límite en la parte �nal de la sección deprueba, punto 2, situado una distancia D = 300mm aguas abajo del punto1.

e) Si se quiere mantener la capa límite en el interior de la sección de pruebacon espesor uniforme, estimar el valor del gradiente de presión necesario, queserá creado mediante una conveniente divergencia de la sección transversaldel conducto.

6.8.

Un avión tiene una masa de 5000 Kg y una máxima fuerza de empujede 7000 N con alas con una relación 1:6. Las alas tienen un per�l simétricoNACA 0009 con un �ap que se puede desplegar hasta 60◦, con las carac-terísticas de la �gura. Suponiendo que todo el arrastre y la sustentación sondebidos a las alas, calculad el tamaño que deben tener las alas del avión sidebe despegar en una pista de 1 km de largo a nivel del mar.

6.9.

Se propone un velocímetro: un cilindro con dos ori�cios, uno en el puntode estancamiento del �ujo y otro a una distancia angular de 30◦. Tiene elinconveniente de que el ori�cio frontal debe estar perfectamente alineado conel �ujo. Supongamos que existe un cierto desalineamiento δ. Encontrad unarelación entre el error cometido en la medida de la velocidad y el angulo δ ydiscutid el resultado.

6.10. 45

6.10.

Encontrad, mediante el método de Thwaites, el valor aproximado de θpara el que se separa la capa límite laminar alrededor de un cilindro.

6.11.

Un tornado puede ser modelado como una combinación de vórtice libremás vórtice forzado, como se indica en la �gura. Determinar la distribuciónde presión en la dirección radial, y el valor y localización de la presión mínima.

Rr

6.12.

Otra forma de modelar un tornado es una combinación de vórtice y sum-idero, como se muestra en la �gura. Si se conoce la circulación Γ del tornado,y la presión p0 en una cierta posición de referencia r0, calculad

a) la fuerza adecuada del sumiderob) la distribución de presión en la dirección radialc) el ángulo β con que inciden las líneas de corriente en r0

r0

r

β


6.13.

Para simular el �ujo sobre un �bache� bidimensional, se puede usar al�ujo alrededor de un cilindro. El bache tendrá una altura R/2, donde R esel radio del cilindro.

a) ¾Cuál deberá ser la �altura� h de la linea de corriente asociada a lasuper�cie sólida?

b) ¾Cuál es el valor de la velocidad máxima Umax?

R

R/2

h

U

6.14.

Dos fuentes de �ujo de fuerzam = Ua, donde U es una cierta velocidad dereferencia, están situadas en (0, a) y (0,−a). En el plano y = 0 la velocidadse anula, de forma que puede ser considerado como una �pared�. Calcula ladistribución de coe�ciente de presión cp = p−p0

12ρU2 a lo largo de la pared, siendo

p0 la presión en (0, 0).

Capítulo 7

Flujo compresible

7.1.

Dadas las mediciones de temperatura y presión de remanso del tubo dePitot y de la presión estática de la �gura, calcular la velocidad del aire vsuponiendo:

a) Flujo incompresible

b) Flujo compresible

7.2.

Aire en condiciones de estancamiento de 500 K y 200 kPa �uye a travésde una tobera. En la sección 1, donde el áera es de 12 cm2, la densidad es de0,32Kg/m3. Suponiendo que el �ujo es isentrópico, calculad a) m. b) ¾Estáel �ujo bloqueado? Si es así, ¾cómo los sabes?

Estimad b) A∗, c) p1 i d) Ma1.

47

48 CAPÍTULO 7. FLUJO COMPRESIBLE

7.3.

En un tubo de Venturi, con D = 5 cm y d = 3 cm, la temperatura totaldel �ujo es de 300 K y la velocidad aguas arriba es v1 = 72m/s. Si la presiónmedida en la parte más estrecha es de 124 kPa, estimad, suponiendo el �ujoisentrópico, a) p1, b) Ma2 i c) m.

7.4.

En una sonda de Prandtl, con un �ujo supersónico, se forma una onda dechoque normal delante. La sonda mide una presión de estancamiento de 190kPa y una presión estática de 150 kPa. Una sonda de temperatura mide unatemperatura total de 400 K. Estimad el número de Mach y la velocidad del�ujo antes y después de la onda de choque.

7.5.

Un conducto convergente-divergente comunica con el exterior el contenidode un tanque muy grande (en comparación con el conducto). El tanque estálleno de aire a una temperatura de 400 K y una presión de 3 × 105 Pa. Elárea de la garganta del conducto es de 0,05m2. Considerando que el �ujo enel conducto es isentrópico y estacionario, calculad el caudal másico máximoque puede salir del tanque.

7.6.

A un depósito de grandes dimensiones se le ha hecho el vacio y se en-cuentra a una presión absoluta de 60 kPa. Se le practica un ori�cio de 3 cmde diámetro, por donde entra aire del exterior, que se encuentra a 101 kPay 20◦C. Calculad el �ujo másico y el número de Mach en el ori�cio. ¾Cuáldebería ser el diámetro del ori�cio para tener �ujo crítico?

7.7.

Un depósito de 1,5m3 de volumen se encuentra lleno de aire a una presiónde 800 kPa y a una temperatura de 20 ◦ C. En un momento dado empiezaa salir aire al exterior por un ori�cio de 1 cm de diámetro. Si el aire en elexterior se encuentra a 101 kPa y 20 ◦ C, calculad:

7.7. 49

a) Flujo másico inicialb) Tiempo que se necesitará para que la presión en el interior del depósito

baje a 500 kPac) Tiempo que se requerirá para que el �ujo en el ori�cio deje de estar

colapsado

Problemas de Mecánica de Fluidos para Ingeniería Aeronáutica

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