Problemas de Valores en la Frontera en Otros Sistemas Coordenados

CAPÍTULO 14

Contenido

• 14.1 Coordenadas Polares• 14.2 Coordenadas Polares y Cilíndricas• 14.2 Coordenadas Esféricas

14.1 Problemas en Coordenadas Polares

• Laplaciano Coordenadas PolaresYa sabemos que

u

rr

u

y

u

y

r

r

u

y

u

u

rr

u

x

u

x

r

r

u

x

u

x

yyxrryrx

cossin

sincos

lado, otroPor

tan , ,sin ,cos 222

Por tanto

(1)

(2)

urr

ur

u

r

xu

rr

u

x

u

cossin2sinsin

cossin2cos

2

2

2

2

2

2

22

2

2

urr

ur

u

rxu

rr

u

x

u

cossin2sin

sincossin2cos

2

2

2

2

2

2

22

2

2

Al sumar (1) y (2) tenemos

(3) 011

en scentraremo nos sólo sección, estaEn

11

2

2

22

2

2

2

22

22

u

rr

u

rr

u

u

rr

u

rr

uu

Ejemplo 1

Resuelva la ecuación de Laplace (3) sujeta a u(c,) = f(), 0 < < 2.Solución Puesto que (r, + 2) equivale a (r, ), se debe tener u(r, ) = u(r, + 2). Si se busca una función poducto u = R(r)(), entonces (r, + 2) = (r, ).

Ejemplo 1 (2)

Introduciendo la constante de separación , se tiene

Buscamos una solución de forma

(6)

(5) 0"

(4) 0'"

"'"

2

2

RrRRr

RrRRr

)2()0( ,0

Ejemplo 1 (3)De las tres posibles soluciones generales de (5):

(7)(8)(9)

se puede descartar la (8) como inherentemente no periódica, a menos que c1 = c2 = 0. De modo similar (7) es no periódica a menos que c2 = 0. A la solución = c1 0 se le puede asignar cualquier período, por lo tanto = 0 es un valor propio.

0 hsinhcos 221 cc

0 )( 21 cc

0 sincos 221 cc

Ejemplo 1 (4)

Cuando escogemos = n, n = 1, 2, …, (9) es 2 periódica. Los valores propios de (6) son 0 = 0 y n = n2, n = 1, 2, …. Si hacemos correspondes 0 = 0 con n = 0, las funciones propias son

Donde n = n2, n = 0, 1, 2, … las soluciones de (4) son

,...2,1,sincos)(

;0,)(

21

1

nncnc

nc

(11) ,...2,1,)(

(10) 0,ln)(

43

43

nrcrcrR

nrccrRnn

Ejemplo 1 (5)

Note we should define c4 = 0 to guarantee that the solution is bounded at he center of the plate (r = 0). Finally we have

(12) )sincos(),(

gives principleion superposit The

,...2,1,)sincos(

0,

10

00

nnn

n

nnn

n

BnArAru

nnBnAru

nAu

Ejemplo 1 (6)Aplicando la condición límite en r = c,

obtenemos

(13) )( es, esto

,,2

completa,Fourier de serie unaen de desrrolloun como

)sincos()(

2

00

00

10

dfA

bBcaAca

A

f

BnAcAf

nnn

nnn

nnn

n

(15) sin)(1

(14) cos)(1

2

0

2

0

dnfc

B

dnfc

A

nn

nn

Ejemplo 2 Determine la temperatura de estado estable u(r, ) en la placa semicircular mostrada en Fig 14.3.

Ejemplo 2 (2)Solución El problema de valor en la frontera es

crruru

ucu

cru

rru

rr

u

0,0) ,( ,0)0 ,(

0 ,) ,(

0 ,0 ,011

0

2

2

22

2

Ejemplo 2 (3)

y (16)

(17)

Las condiciones en los límites se traducen en (0) = 0 y () = 0.

"'"

obtiene se , variableslasseparar y )()(definir Al2

R

rRRr

rRu

022 RRrRr

02

Ejemplo 2 (4)

Junto con (17) tenemos

(18)

Este problema (Ej. 2 de la Sec. 3.9) posee valores propios n = n2 y funciones propias () = c2 sin n, n = 1, 2, … De modo similar, R(r) = c3rn y

un = R(r)() = An rn sin n

0)( 0,)( 0,

Ejemplo 2 (5)Por tanto tenemos

1

0

0

0 0

10

1

sin)1(12

),(

)1(12 ,sin

2

sin ,sin),(

n

nn

n

nnn

n

n

nn

n

nn

ncr

nu

ru

nc

uAdnucA

cAunrAru

14.2 Problemas en Coordenadas Polares y Cilíndricas: Funciones de Bessel

• Simetría RadialLas ecuaciones de calor y onda bidimensionales expresadas en coordenadas polares son, a su vez:

(1)

donde u = u(r, , t). La solución producto se define como u = R(r)()T(t). Cosideramos problemas más simples, que poseen simetría radial, esto es, u es independiente de .

y 11

2

2

22

2

t

uu

rr

u

rr

uk

2

2

2

2

22

22 11

t

uu

rru

rr

ua

En este caso, (1) toman las formas, a su vez,

(2)

donde u = u(r, t).

and 1

2

2

tu

ru

rr

uk

2

2

2

22 1

t

uru

rr

ua

Ejemplo 1Determine el desplazamiento u(r, t) de una sembrana circular de radio c sujeta a lo largo de su circunferencia si su desplazamiento inicial es f(r) y su velocidad inicial es g(r). Fig 14.7.

Ejemplo 1 (2)

Solución El problema de valor en la frontera es

crrgtu

rfru

ttcu

tcrt

uru

rr

ua

t

0 ),( ),()0 ,(

0 ,0) ,(

0 ,0 ,1

0

2

2

2

22

Ejemplo 1 (3)sustituyendo u = R(r)T(t) en la EDP, entonces

(3)

Las dos ecuaciones obtenidas de (3) son(4)

(5)

Este problema indica que sólo se usa = 2 > 0, > 0.

22

1

Ta

TR

Rr

R

02 rRRRr

022 TaT

Ejemplo 1 (4)Ahora (4) es la ecuación diferencial paramétrica de Bessel de orden v = 0, esto es, rR” + R’ + 2rR = 0. La solución general es

(6)La solución general de (5) de

T = c3 cos at + c4 sin at Recuerde que Y0(r) − cuando r 0+ así que la suposición implícita de que el desplazamiento u(r, t) debe estar acotado en r = 0 obliga a definir c2 = 0 en (6).

)()( 0201 rYcrJcR

Ejemplo 1 (5)

Por tanto R = J0(r). Puesto que la condición de frontera u(c, t) = 0 es equivalente a R(c) = 0, se debe tener c1J0(c) = 0. Se desecha c1 = 0, por tanto:

J0(c) = 0 (7)Si xn = nc son las raíces positivas de (7), entonces n = xn/c y por tanto los valores propios son n = n

2 = xn

2/c2 y las funciones propias son c1J0(nr). Las soluciones producto son:

(8)),()sincos( 0 rJtaBtaARTu nnnnnn

Ejemplo 1 (6)Donde se ha realizado la redonominación usual de constantes. El principio de superposición da

(9)

Al establecer t = 0 en (9) y usar u(r, 0) = f(r) se obtiene

(10)El último resultado se reconoce como desarrollo de Fourier-Bessel de f en el intervalo (0, c).

10 )()sincos(),(

nnnnnn rJtaBtaAtru

10 )()(

nnn rJArf

Ejemplo 1 (7)Ahora tenemos

(11)A continuación se diferencia (9) con respecto a t, se fija t = 0, y se emplea ut(r, 0) = g(r):

c

nn

n drrfrrJcJc

A0 02

12 )()(

)(

2

(12) )()()(

2

,)()(

0 021

2

10

c

n

nn

n

nnnn

drrgrrJcJca

B

entoncesrJBarg

Ondas Estacionarias

• Las soluciones (8) se llaman ondas estacionarias. Para n = 1, 2, 3, …, son básicamente la gráfica de J0(nr) con la amplitud que varía con el tiempo

An cos nt + Bn sin nt Los ceros de cada onda estacionaria en el intervalo (0, c) son las raíces de J0(nr) = 0 y corresponden al conjunto de puntos en una onda estacionaria donde no hay movimiento. Este conjunto se llama línea nodal.

• Como en Ejemplo 1, los ceros de las ondas estacionarias se determinan a partir de

J0(nr) = J0(xnr/c) = 0Ahora de la Tabla 5.2 y para n = 1, la primera raíz positiva es

J0(x1r/c) = 0 es 2.4r/c = 2.4 ó r = c• Puesto que el intervalo deseado es (0, c), el

último resultado significa que la primera onda estacionaria no tiene línea nodal. Para n = 2, las raíces de J0(x2r/c) = 0 son 5.5r/c = 2.4 y 5.5r/c = 5.5Tenemos r = 2.4c/5.5 que tiene una línea nodal. Fig 14.8.

Fig 14.8

Laplaciano en Coordenadas Cilíndricas

• Observe Fig 14.10. Tenemosx = r cos , y = r sin , z = z

y2

2

2

2

22

22 11

z

uu

rru

rr

uu

Fig 14.10

Ejemplo 2• Determine una temperatura de estado estable u

en el cilindro circular recto mostrado en la Fig 14.11.

Ejemplo 2 (2)SoluciónLas condiciones de frontera indican que la temperatura u tiene simetría circular. Por tanto

20 ,)4 ,( ,0)0 ,(

40 ,0) ,2(

40 ,20 ,01

0

2

2

2

2

rururu

zzu

zrz

uru

rr

u

Ejemplo 2 (3)Si se emplea u = R(r)Z(z) y se separan variables,

(13)

(14)

(15)

Si se elige = 2 > 0, > 0, la solución de (14) es R(r) = c1 J0(r) + c2 Y0(r)

Puesto que la solución de (15) está definida en [0, 2], tenemos Z(z) = c3 cosh z + c4 sinh z

2

1

ZZ

R

Rr

R

02 rRRRr 02 ZZ

Ejemplo 2 (4)

Como en Ejemplo 1, la suposición de que u está acotada en r = 0 requiere que c2 = 0. La condición u(2, z) = 0 implica que R(2) = 0. Entonces

J0(2) = 0 (16)define los valores propios n = n

2. Por último, Z(0) = 0 implica que c3 = 0. Puesto que se tiene

R(r) = c1 J0(r), Z(z) = c4 sinh z,

10

0

)(sinh) ,(

y ),(sinh)()(

nnnn

nnnn

rzJAzru

rzJAzZrRu

Ejemplo 2 (5)

2

0 021

20

100

0

)()2(2

24sinh

entonces ,)(4sinh

por tanto ,,4 Cuando

drrrJJ

uA

rJAu

uuz

n

n

nn

nnnn

Ejemplo 2 (6)Para la última integral, se emplea t = nr y d[tJ1(t)]/dt = tJ0(t), entonces

10

10

1

0

1

02

0 121

20

)()2(4sinh

sinh),(

)2(4sinh

obtenemos

,)2(

)()2(2

4sinh

nn

nnn

n

nnnn

nnnn

nn

rJJ

zuzru

J

uA

J

udtttJ

dt

d

J

uA

n

14.3 Problemas en Coordenadas Esféricas: Polinomios de Legendre

• Laplaciano en Coordenadas EsféricasObserve Fig 14.15. Ya sabemos que

(1)y

(2)Sólo consideraremos algunos problemas que son independientes del ángulo azimutal .

cos ,sinsin ,cossin rzryrz

u

r

u

r

u

rru

rx

uu 22

2

22

2

222

22 cot1

sin

12

Fig 14.15

Ejemplo 1• Determine la temperatura de estado estable u(r, )

dentro de la esfera mostrada en Fig 14.16.

Ejemplo 1 (2)Solución El problema se define como

' cot"'2"

entonces ),()( Si

0 ),() ,(

0 ,0 ,0cot1

2

222

2

22

2

R

rRRr

rRu

fcu

cru

rr

u

r

u

rr

u

Ejemplo 1 (3)y por tanto

(2)

(3)Después de sustituir x = cos , 0 , (3) se transforma en

(4)

Es una forma de la ecuación de Legendre. Ahora las únicas soluciones de (4) que son continuas y tienen derivadas continuas en [-1, 1] son los polinomios de Legendre Pn(x) que corresponden a 2 = n(n+1), n = 0, 1, 2, ….

02 22 RRrR

0sincossin 2

11,02)1( 22

22 x

dxdx

dx

dx

Ejemplo 1 (4)Así se toman las soluciones de (3) como

= Pn(cos )Donde = n(n + 1), la solución de (2) es

R = c1 rn + c2 r –(n+1) Puesto que de nuevo se espera que u sea redondeada a r = 0, se define c2 = 0. Por consiguiente,

0

0

)(cos)( ,At

)(cos),( and ,)(cos

nn

nn

nn

nnn

nnn

PcAfcr

PrAruPrAu

Ejemplo 1 (5)Por lo tanto Ancn son los coeficientes de la serie deFourier-Legendre (23) de Sec 12.5:

00

0

)(cossin)(cos)(2

12

),(

así,

,sin)(cos)(2

12

nn

n

n

nnn

Pc

rdPf

n

ru

dPfc

nA