Problemas de Valores Propios y Ecuaciones No Lineales
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8/18/2019 Problemas de Valores Propios y Ecuaciones No Lineales
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Universidad Nacional de Ingeniería P.A. 2013-1DCBAHCC - FIM
Problemas de Valores Propios y Ecuaciones No Lineales
Problema 1
Dado el sigien!e sis!e"a din#"ico $ ss ecaciones de "ovi"ien!o%
=−=′′=
+− −++
″
″
2
1
2
1
322
221
2
1
2
1
00
00
x x X AX X
x x
k k k k k k
x x
mm
&ikg m 21 =
'kg m 12 =
'm N k (101 =
'm N k ()02 =
$
m N k ()03 =
a* De!er"ine A $ localice ss valores +ro+ios "edian!e ,ersegorin. * De!er"ine el +olino"io carac!erís!ico' el es+ec!ro el radio es+ec!ral de la "a!ri/ de A.c* Calcle el valor +ro+io de "enor valor asol!o $ s vec!or +ro+io corres+ondien!e' sando el
"!odo de la +o!encia inversa' realice 03 i!eraciones a +ar!ir del vec!or 1' 0 $ es!i"e el error +ara dico valor +ro+io.
Solución
a* 4ee"+la/ando valores%
−
−=
−
−−=
″
″
−
−
−=
″
″
−
−−=
″
″
−
50)0
2026
50)0
2026
50)0
)060
10
02
50)0
)060
10
02
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
A
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Por ,ersegorin%
)050
2026
≤−
≤−
z
z
* Polino"io carac!erís!ico%
( ) 1200106*de!7 2 +−=−= λ λ λ λ I A P
( ) { }8)83.81'0609.13= Aξ
( ) 8)83.81= A ρ
c* M!odo de la +o!encia inversa%
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( )
=
== −
0
1
)5(130(1
:0(116(101 x A B
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )
=====
== 6.0
1
16
1
0::9.00333.0
0::9.0
1
11
1
1101
u
y
xuu Bx y λ
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )
=====
==
6533.0
13333.13
10960.0
0)39.0
0960.02
22
2
2212
u
y x
uu Bx y λ
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )
=====
==
6866.0
10808.13
109:).0
0)66.0
09:).03
33
3
3323
u
y x
uu Bx y λ
0)02.00808.130609.13 =−=error
Problema 2
Para D;60 ""'ε
;0.1 ""' 4e;2e1 $ considerando la sigien!e ecaci7a* signo >7=* error asol!o
0123)6:9
58
0.1 0.66 1 0.2260 0.1000 0.3260 0.6600 0.1126 0.3260 0.)396 0.6600 0.06:3 0.)396 0.)835 0.6600 0.0251 0.)396 0.):6: 0.)835 0.01)1 0.)396 0.)61: 0.):6: 0.0090 0.)61: 0.)65: 0.):6: 0.0036 0.)65: 0.):21 0.):6: 0.0015
0.):21 0.):38 0.):6: 0.0008 0.):21 0.):30 0.):38
Por los valores o!enidos' el valor de f ;0.):
Problema 3
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?l des+la/a"ien!o x
7"e!ros* de na "asa @e e=+eri"en!a na oscilaci
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( )
( )n
nnn
f
f
β
β β β
′−=+1
=0;-).39600000000000=1;-).3399:6188025)) err 1;0.03923)5008916:=2;-).335062:5):3155 err 2; 2.59)56:03))029)0e-)=3;-).3350629018)859 err 3; 1.93198589058)2:1e-5
Problema 4
a ecaciras deci"ales signi>ica!ivas @e +ede garan!i/ar
+ara
2 x
.d* A +ar!ir de @e i!eraciras deci"ales signi>ica!ivasna a+ro=i"aci
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Por lo !an!o α es +n!o >io de la >nciicar @e la >nciace en el in!ervalo0.2' 1 las condiciones del !eore"a del +n!o >ioi* ϕ es con!ina en 0.2' 1 +es 0.2' 1 ⊂ 〈-1'∝〉
ii*
[ ]
[ ] [ ]1'2.0):.0'36.0*7
*2.07*7*17
1'2.0enedescenden!n!ees!ric!a"ees*7
1'2.0'0*17)
1*7H
..)6:)3.036366.0
2(3
⊆∈⇒
≤≤⇒⇒
∈∀<+
−=
x
x
x
x x
x
ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
iii*
2(32(32(3 *12.07)
1
*17)
1
*17)
1*7H
+≤
+=
+−
= x x
xϕ
0.2;J1Co"o sa!is>ace i* ' ii* $ iii* la scesiica!iva
d* &e +re!ende de!er"inar el "enor n"ero de i!eraciones @e sa!is>ace la condici
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59.:)6:)36.02.0
5.0D10D6.0*2.07
10D6.0)6:)36.02.0D5.0
*2.07
10D6.01
6
6
6
10
≥⇒−≤⇔
≤−
⇔≤−−
≤−
−
−
−
n
x xk
k x
n
n
n
nα
Con 9 i!eraciones se garan!i/a +or lo "enos 6 c.d.s
Problema 5
Hace aKos' n e"+resario lla"< a n ingeniero +ara saer co"o +odría encon!rar can!o acei!e
@eda en n !an@e de al"acena"ien!o. ?l !an@e era es>rico $ de : +ies de di#"e!ro. e sgiri<
consigiera n regla de acero de ) +ies co"o regla de nivel.
&aiendo la al!ra a la cal la varilla de nivel llega a ser "oada con acei!e' no saría el L de la
al!ra del acei!e en el !an@e. Por lo !an!o' el LE del vol"en de acei!e re"anen!e en el !an@e es%
( )
3
32 hr hV
−= π
donde' r es el radio del !an@e. Pero' l no +ar< allí. l @ería @e diseKara na regla de acero de"odo @e l consigiera direc!a"en!e la lec!ra del vol"en a +ar!ir de la varilla de nivel. Crico
Earilla de nivel
Figura: an!ue de almacenamien"o es#$rico de acei"e
&gerencias%
U!ilice n "!odo no lineal +ara resolver el +role"a.
4ealice las consideraciones +er!inen!es +ara la escala del diseKo de la regla de nivel.
Problema %
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os resor!es so+or!an n eslaerior' do"inan!e e in!er"edio sando ss +ro+ias r!inas
en MAAB +ara los "!odos%1. Po!encia direc!a2. Po!encia inversa3. +o!encia inversa i!erada 7con des+la/a"ien!o*
d* in!er+re!e >ísica"en!e los resl!ados o!enidos.a Pro>esora
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