Problemas de Unidad 1Omar Alvarez7 de marzo de 2014

PROBLEMAS (IMPARES)

1.1* El estudio de la respuesta de un cuerpo humano sujeto a vibracin y/o choque es importante en muchas aplicaciones. Estando de pie, las masas de la cabeza, el torso, las caderas, las piernas, la elasticidad y/o amortiguamiento del cuello, la columna vertebral, el abdomen y las piernas, influyen en las caractersticas de la respuesta. Desarrolle una secuencia de tres aproximaciones mejoradas para modelar el cuerpo humano.

1.3 Un motor reciprocante est montado sobre una cimentacin como se muestra en la figura 1.63. Las fuerzas y momentos desbalanceados desarrollados en el motor se transmiten al marco y la cimentacin.

Para reducir la transmisin de la vibracin se coloca una almohadilla elstica entre el motor y el bloque de cimentacin. Desarrolle dos modelos matemticos del sistema siguiendo un refinamiento gradual del proceso de modelado

1.5 Las consecuencias del choque de frente de dos automviles se pueden estudiar considerando el impacto del automvil contra la barrera, como se muestra en la figura 1.65. Construya un modelo matemtico considerando las masas de la carrocera del automvil, el motor, la transmisin y la suspensin, as como la elasticidad de los amortiguadores, el radiador, la carrocera de metal, el tren motriz y los soportes de montaje del motor.

Explicacin:

Durante el impacto del automvil con la barrera la elasticidad del radiador, parachoques, carrocera de metal, los soportes de montaje del motor y el tren motriz se consideran del vehculo estn en contacto con la barrera. Durante el impacto el parachoques, radiador y la carrocera de metal del vehculo hacen contacto con la barrera. Como estos componentes hacen contacto directo con la barrera se consideran amortiguadores. Tambin el motor y la transmisin del vehculo se conectan con el tren motriz y por su naturaleza este acta como un resorte.

1.7 Determine la constante de resorte equivalente del sistema de la figura 1.67.

1/2K1+ 1/K2 + 1/2K = (K2K+2K1K3+K1K2/2K1K2K3) +K4

=K2K3+2K1K3+K1K2+( K2K3 2K1 K3+ K1K2) +K4 / 2K1 K 2K3

= 2K1K2K3 / ( K1K3 + 2K1K3 + K1K2) + (K2 K3 +2K1K3+K1K2) +K4 + 1 / K5

= 2K1K2K3K5+K2K3+2K1K3+K1K2+(K2K3+2K1K3+K1K2)(K4) / (K2K3 + 2K1K3+K1K2)(K5) +(K2K3+2K1K3+K1K2)(K4)(K5)

1.9 En la figura 1.69 encuentre la constante de resorte equivalente del sistema en la direccin de .

Determinamos la energa potencial total del sistema:

Determinamos la constante de resorte equivalente usando:

Igualando estas dos ecuaciones, tenemos:

1.11 Una mquina de masa m =500 kg est montada en una viga de acero slo apoyada de longitud l =2 m que tiene una seccin transversal (de profundidad = 0.1 y ancho = 1.2 m) y mdulo de Young E=2.06

X1011 N/m2. Para reducir la deflexin vertical de la viga, se fija un resorte de rigidez k a la mitad de su claro, como se muestra en la figura 1.71. Determine el valor de k necesario para reducir la deflexin de la viga en

a. 25 por ciento de su valor original.

b. 50 por ciento de su valor original.

c. 75 por ciento de su valor original.

Suponga que la masa de la viga es insignificante.

1.236x10 100% b) 1.236x10 - 100% c) 1.236x10 - 100%

3.09 - 25% 6.18 - 50% 9.27 - 75%

1.13 Una viga en voladizo de longitud L y mdulo de Young E se somete a una fuerza de flexin en su extremo libre. Compare las constantes de resorte de vigas con secciones transversales en la forma de un circulo (de dimetro d ), un cuadrado (de lado d ) y un crculo hueco (de dimetro medio d y espesor de pared t = 0.1d). Determine cul de estas secciones transversales conduce a un diseo econmico para un valor especificado de rigidez de la flexin de la viga.

Teniendo que la constante de resorte de un voladizo es:

= = En cuestin de flexin, la K (Constante de resorte) de un Crculo hueco, no soportara mucha carga a comparacin de lo que es la K de un rea cuadrada y otra circular. La constante k de la viga cuadrada en cuestin de esfuerzos, me resistir ms que las otras dos, as que en diseo me sera ms econmico. 1.15 La relacin fuerza-deflexin de un resorte helicoidal de acero utilizado en un motor se encuentra experimentalmente como F(x)= 200x+ 50x2+ 10x3, donde la fuerza (F) y la deflexin (x) se miden en libras y pulgadas, respectivamente. Si el resorte experimenta una deflexin permanente de 0.5 pulg durante la operacin del motor, determine la constante de resorte lineal equivalente del resorte a su deflexin permanente.

Solucin:

= 113.75lb

= Evaluamos el resultado en x=0.5

= 275.51.17 El trpode mostrado en la figura 1.73 se utiliza para montar un instrumento electrnico que encuentra la distancia entre dos puntos en el espacio. Las patas del trpode se ubican simtricamente con respecto al eje vertical medio, y cada pata forma un ngulo con la vertical. Si cada pata tiene de longitud l y rigidez axial k, encuentre la rigidez de resorte equivalente del trpode en la direccin vertical.

Podemos representarlo como:

De la energa potencial, tenemos:

Geometricamente:

Despejando x de la ecuacion (1):

Usando la relacion en la ecuacion (2),

Asumiendo que el valor de x ser pequeo, y que es pequeo en comparacin con , tenemos que:

Sustituyendo (4) en la primera frmula, tenemos que la rigidez de resorte equivalente del trpode en la direccin vertical seria entonces:

1.19 La figura 1.75 muestra un sistema en el cual la masa m est directamente conectada a los resortes con rigideces k1 y k2 en tanto que el resorte con rigidez k3 o k4 entra en contacto con la masa basada en el valor de su desplazamiento. Determine la variacin de la fuerza ejercida por el resorte sobre la masa a medida que el desplazamiento (x) de sta vara.

Equivalente de la energia cinetica entregada

Jeq()^2 = J1()^2 + J2()^2+1/2 m (x)^2+1/2m(x)^2

Diferencia Jeq = J1+ J2 ( p1/p2)^2 + m1r1^2+m2r2^2(p1/p2)^2

Equivalente de energia potencial entregada

keq ^2 = k12y^2+ 1/2k34y^2+1/2kt1 ^2+1/2kt2 ^2

Con k12=k1+k2,

k34=k3k4/(k3+k4)

Keq=(k1+k2)(l1+l2)^2+(k3k4/k3+k4) p1^2 l2^2/p^2 + kt1 + kt2 p1^2/p2^21.21 La figura 1.77 muestra un manmetro de tubo en forma de U abierto por ambos extremos que contiene una columna de mercurio lquido de longitud l y peso especfico . Considerando un pequeo desplazamiento x del menisco del manmetro a partir de su posicin de equilibrio (o nivel de referencia), determine la constante de resorte equivalente asociada con la fuerza de restauracin.

Constante de resorte:

F=k(x)

k(x)=P(A)

A=2

k(x)=k=Dnde: k=constante de resorte, A=rea del embolo, X=desplazamiento de resorte, h=cambio de profundidad, =densidad y g=gravedad.

Para la energa potencial de la columna de lquido expandido+energa potencial de la columna de lquido contrado. Esto es igual al peso del mercurio expandido X desplazamiento de CG del segmento, ms el peso del mercurio contrado X desplazamiento de CG del segmento

T= x2.

Donde T es la energa cintica

1.23 Encuentre la constante de resorte equivalente y la masa equivalente del sistema que se muestra en la figura 1.79 con referencias a . Suponga que las barras AOB y CD son rgidas con masa insignificante.

De la energa cintica:

De la energa potencial:

1.25 La figura 1.81 muestra una barra de tres escalones empotrada por uno de sus extremos y sometida a una fuerza axial F aplicada en el otro extremo. La longitud del escaln i es li y su rea de seccin transversal es Ai, i = 1, 2, 3. Todos los escalones son del mismo material con mdulo de Young Ei = E, i = 1, 2, 3.

a. Encuentre la constante de resorte (o rigidez) ki del escaln i en la direccin axial (i 5 1, 2, 3).

b. Encuentre la constante de resorte equivalente (o rigidez) de la barra escalonada, keq, en la direccin axial de modo que F = keqx.

c. Indique si los escalones se comportan como resortes en serie o en paralelo.

Para calcular tenemos que tomar encuenta que Donde F es la fuerza, Li la longitud, Ai el rea de la seccin y E es el modulo de Young

Si es dada por la formula sustitullendo en la tendremos que :

Para calcular la constante de resorte equivalente Tenemos que ..(ec. 1) Xeq es el total de la extensin de las barras

esta dada por la formula y sustituyendo esto en la formula de Keq

Si tomamos que tendramos que de la formula Tendremos que donde k1 ser la constante del resorte del resorte 1 y as mismo k2 para el 2 y k3 para el 3.

Tomando en cuenta que la constante para resorte en paralelo es

Eso quiere decir que la ecuacin sacada en el inciso b es equivalente a la constante de resorte paralelo por lo cual decimos que es Un Resorte en paralelo.

1.27 La figura 1.83 muestra una flecha de tres escalones empotrada por un extremo y sometida a un momento de torsin T en el otro extremo. La longitud del escaln es li y su dimetro es Di, i = 1, 2, 3. Todos los escalones son del mismo material con mdulo de cortante Gi = G, i = 1, 2, 3.

a. Encuentre la constante de resorte torsional (o rigidez) kti del escaln i (i 5 1, 2, 3).b. Encuentre la constante de resorte torsional equivalente (o rigidez) de la flecha escalonada, kteq, de modo que T = kteq .

c. Indique si los escalones se comportan como resortes torsionales en serie o en paralelo.

==Resortes torsionales en serie

1.29 La figura 1.84 muestra un resorte neumtico. Este tipo de resorte se suele utilizar para obtener frecuencias naturales muy bajas al mismo tiempo que mantiene una deflexin cero sometida a cargas estticas.

Encuentre la constante de resorte de este resorte neumtico, suponiendo que la presin p y el volumen v cambian adiabticamente cuando se desplaza la masa m.

Sugerencia: pv =constante en un proceso adiabtico, donde es la relacin de calores especficos.

Para aire, =1.4.

1.31 Derive la expresin para la constante de resorte equivalente que relaciona la fuerza aplicada F con el desplazamiento resultante x del sistema que se muestra en la figura 1.86. Suponga que el desplazamiento del eslabn es pequeo.

SOLUCION:

Desplazamiento horizontal

= Reacciones de los resortes

Por tanto:

Sustituyendo el desplazamiento horizontal

Simplificamos

Sustituyendo los valores de la figura

1.33 Dos resortes helicoidales, uno de acero y el otro de aluminio, tienen valores idnticos de d y D. (a)

Si la cantidad de vueltas en el resorte de acero es de 10, determine la cantidad de vueltas requerida en el resorte de aluminio cuyo peso ser igual al del resorte de acero, (b). Encuentre las constantes de los dos resortes.

Resorte helicoidal sometido a una carga axial

d = dimetro del alambre

D = dimetro de espira medio n = cantidad de vueltas activas

G= modulo cortante

Solucin:Modulo cortante (G) del resorte de acero: Modulo cortante del resorte de aluminio: La rigidez del resorte de acero ser:

Como los valores de d y D son idnticos podemos simplificar:

La rigidez del resorte de aluminio ser:

Como los valores de d y D son idnticos podemos simplificar:

Como los dos resortes estn sometidos al mismo peso podemos deducir:

Deducimos:

Por consiguiente:

Despejamos para encontrar n en el aluminio:

Las constantes de los dos resortes

1.35* Disee un resorte neumtico con un recipiente cilndrico y un pistn para lograr una constante de resorte de 75 lb/pulg. Suponga que la presin del aire disponible es de 200 lb/pulg2.

Shirley

1.37 Dos resortes no lineales, S1 y S2 estn conectados en dos formas diferentes como se indica en la figura 1.88. La fuerza, Fi, en el resorte Si est relacionada con su deflexin (xi) como

Fi = ai xi + bi xi + bi xi 3, i = 1, 2

Donde ai y bi son constantes. Si W = keqx, donde x es la deflexin total del sistema, define una constante de resorte lineal equivalente keq, encuentre una expresin para keq en cada caso.

1.39 Encuentre la constante de resorte de la barra bimetlica que se muestra en la figura 1.89 en movimiento axial.

Donde:

A: rea

E: modulo de Young

L: longitud

1.41 Un extremo del resorte helicoidal est fijo y el otro est sometido a cinco fuerzas de tensin diferentes.

Las longitudes del resorte medidas con varios valores de las fuerzas de tensin se dan a continuacin.

Determine la relacin fuerza-deflexin del resorte helicoidal.

Deflexin del resorte helicoidal.

Si x es igual a la nueva longitud menos l entonces

Si k es la relacin fuerza deflexin que est dada por

Entonces para los valores anteriores tendramos que la relacin fuerza deflexin seria

1.43 En la figura 1.92 se muestra una flecha de hlice compuesta, hecha de acero y aluminio.

a. Determine la constante de resorte torsional de la flecha.

b. Determine la constante de resorte torsional de la flecha compuesta cuando el dimetro interno del tubo de aluminio es de 5 cm en lugar de 10 cm.

Solucin a)

GACERO = 80x109 Pa

lacero=5 m

Dacero = .25m

dacero=.15m

Kt1 = (80x109 )[ (.25m)4-(.15m)4] / (32)(5m) = 5.34072 x106 N.m/rad

GALUMINIO=26x109

lacero=5 m

Dacero = .15m

dacero=.10m

Kt2 =(26x109) )[ (.15m)4-(.1m)4] / (32)(5m) =.207395 x106 N.m/rad

Como los resortes estn en paralelo kteq es igual a la suma de los 2

kteq= Kt1+ Kt2= = 5.34072 x106 N.m/rad + .207395 x106 N.m/rad = 5.54811 x106 N.m/rad

solucin b)

GALUMINIO=26x109 Pa

lacero=5 m

Dacero = .15m

dacero=.05m

Kt2 =(26x109) )[ (.15m)4-(.05m)4] / (32)(5m)=.255255 x106 N.m/rad

kteq= Kt1+ Kt2= = 5.34072 x106 N.m/rad + .255255 x106 N.m/rad =5.595975 x106 N.m/rad

1.45 Resuelva el problema 1.44 suponiendo que los dimetros de los resortes 1 y 2 son de 1.0 pulg y 0.5 pulg, en vez de 2.0 pulg y 1.0 pulg, respectivamente.

Resorte 1: material, acero; cantidad de vueltas, 10; dimetro medio, 12 pulg; dimetro del alambre,

2 pulg; longitud libre, 15 pulg; mdulo de cortante, 12 3 106 lb/pulg2.

Resorte 2: material, aluminio; cantidad de vueltas, 10; dimetro medio de la espira, 10 pulg; dimetro del alambre, 1 pulg; longitud libre, 15 pulg; mdulo de cortante, 4x106 lb/pulg2.

Determine la constante de resorte equivalente cuando (a) el resorte 2 se coloca dentro del resorte 1, y

(b) si el resorte 2 se coloca sobre el resorte 1.

Z1 = (3-4i), Z2 = (1 + 2i)

Z = Z1 - Z2 = (3 - 4I) - (1+2i) = 2-6i = ADonde A = = 6.3246

y = = (-3) = -1.2490 rad1.51 Dos masas, con momentos de inercia de masa J1 y J2 se colocan en flechas rotatorias rgidas conectadas por medio de engranes, como se muestra en la figura 1.98. Si la cantidad de dientes en los engranes

1 y 2 son n1 y n2, respectivamente, encuentre el momento de inercia de masa equivalente correspondiente a 1.

x(t) = A1 cos wt + A2 sen wt

= - A1 w sen wt + A2 w cos wt , = -x(t) donde por lo tanto x(t) es un simple movimiento armnico

1.53 Encuentre la masa equivalente del sistema que se muestra en la figura 1.100.

Cuando la masa m se desplaza por x, la palanca de leva acodada gira por el ngulo 0b= x/l1. Esto hace que la esfera central desplazamiento x3= 0b l2 . Desde la esfera gira con deslizamiento hacia fuera. Que gira en un ngulo.

la energa cintica del sistema se puede expresar como:

+ 0+ +(ya que para una esfera, 1.55 Encuentre una constante de amortiguamiento equivalente nica para los siguientes casos:

a. Cuando tres amortiguadores estn en paralelo.

b. Cuando tres amortiguadores estn en serie.

c. Cuando tres amortiguadores estn conectados a una barra rgida (figura 1.102) y el amortiguador equivalente se encuentra en el sitio c1.

d. Cuando se montan tres amortiguadores torsionales en flechas engranadas (figura 1.103) y el amortiguador equivalente se encuentra en ct1

Sugerencia: La energa disipada por un amortiguador viscoso en un ciclo durante movimiento armnico est dada por cX2, donde c es la constante de amortiguamiento, es la frecuencia, y X es la amplitud de la oscilacin.

Solucin a)

F1 amortigua Ci= Ci (X2-x1); i = 1, 2, 3

Feq=Ceq(X2-X1)

=F1+F2+F3Por lo tanto Ceq = C1+C2+C3

Solucin b)

F1 = C1(X2-X1)

F2=C2(X3-X2)

F3=C3(X4-X3)

X4-X1=X4-X3+X3-X2+X2-X1Feq/Ceq = F3/C3+F2/C2+F1/C1Feq=F1=F2=F3 ; 1/Ceq=1/C1+1/C2+1/C3Solucion c)

C eq w X21 = C1 W X21 + C2 W X22 + C3 W X23

Donde X1= l1 , X2 = l2 y X3=l3Por lo tanto : Ceq = C1 + C2(l2/l1)2 +C3(l2/l1)2

Solucin d)

Cteq W 21 = Ct1 W 21 + Ct2 W 22 + Ct3 W 23

Donde W 2 = 1 (n1/n2) y 3 = 1 (n1/n3)

Por lo tanto Cteq = Ct1 +Ct2(n1/n2)2 +Ct3(n1/n3)21.57* Disee un amortiguador viscoso de tipo pistn-cilindro para obtener una constante de amortiguamiento de l lb-s/pulg, con un fluido con viscosidad de 4 reyn (1 reyn = l lb-s/pulg2).

Si la constante de amortiguamiento c est dada por

Y si

y si suponemos que

y Entonces la formula de constante de amortiguamiento quedara

Utilizando un mtodo de prueba y error se obtuvo que

y si a D le otorgamos el valor de 10 pulg entonces

.

1.59 Desarrolle una expresin para la constante de amortiguamiento del amortiguador rotacional que se muestra en la figura 1.105 en funcin de D, d, l, h, y m, donde indica la velocidad angular constante del cilindro interno, y d y h representan las holguras radial y axial entre los cilindros interno y externo.

Solucin

Sabiendo que la velocidad tangencial del cilindro interior es

Para la holgura de entre el pistn y la pared del cilindro , la medida del cambio de velocidad del fluido es

El esfuerzo cortante esta dado por

Y la fuerza de corte es

Donde

Fuerza de corte

Esfuerzo cortante

Area

Donde

Esfuerzo de torsin desarrollado

Para se define como

El esfuerzo cortante es

La fuerza en el rea es

El esfuerzo de torsin entre las superficies de los cilindros es

Donde

El esfuerzo de torsin total es

Expresando y

1.61 Si los amortiguadores linealizados del problema 1.60 se conectan en paralelo, determine la constante de amortiguamiento equivalente resultante.

Amortiguadores no lineales con la misma relacin fuerza-velocidad dada por F = 1000+ 400v2 + 20v3 con F en newtons y v en metros/segundo.

1.65 Una placa plana de 0.25 m2 de rea se mueve sobre una superficie plana paralela con una pelcula de lubricante de 1.5 mm de espesor entre las dos superficies paralelas. Si la viscosidad del lubricante es de 0.5 Pa-s, determine lo siguiente:

a. Constante de amortiguamiento.

b. Fuerza de amortiguamiento desarrollada cuando la placa se mueve a una velocidad de 2 m/s.

1.67 Si cada uno de los parmetros (, R, l, d y N) de la chumacera descrita en el problema 1.66 se somete a un 5% de variacin con respecto al valor correspondiente dado, determine la fluctuacin de porcentaje en los valores de la constante de amortiguamiento torsional y el par de torsin de amortiguamiento desarrollado.

Nota: Las variaciones de los parmetros pueden tener varias causas, como un error de medicin, tolerancias en las dimensiones de fabricacin, y fluctuaciones en la temperatura de operacin del cojinete.

1.69 La relacin fuerza (F)-velocidad () de un amortiguador no lineal est dada por

F = a + b2

Donde a y b son constantes. Encuentre la constante de resorte linealizada equivalente cuando la velocidad relativa es de 5 m/s con a 5 = N-s/m y b = 0.2 N-s2/m2.

Solucion:

De:

Por lo tanto:

Por lo tanto la constante de amortiguacin linealizado se da por:

1.71 La constante de amortiguamiento (c) del amortiguador hidrulico que se muestra en la figura 1.108 est dada por [1.27]:

La constante de amortiguamiento (c) del amortiguador hidrulico que se muestra en la figura 1.108 est dada por 1.27:

Determine la constante de amortiguamiento del amortiguador hidrulico por los siguientes datos:

U: 0.3445 Pa-s, l=10 cm, h=0.1 cm, a=2 cm, r=0.5 cm

Donde: C=

1.73 Una barra sin masa de 1 m de longitud y pivoteada en un extremo se somete a una fuerza F aplicada en el otro extremo. Dos amortiguadores traslacionales, con constantes de amortiguamiento c1 = 10 Ns/m y c2 = 15 Ns/m estn conectados a la barra como se muestra en la figura 1.109. Determine la constante de amortiguamiento equivalente, ceq, del sistema de modo que la fuerza F aplicada en el punto A pueda expresarse como F 5 ceqv, donde v es la velocidad lineal del punto A

Amortiguadores en paralelo:

Fuerza:

X=0.5

1.75 Exprese el nmero complejo 5 + 2i en la forma exponencial AA==

1.77 Reste el nmero complejo (1 + 2i) de (3 - 4i) y exprese el resultado en la forma A(1+2i) (3-4i) = (1-3 + [2+4] i) = (-2 + 6i)

A= ([-22]+ [62])1/2 = 6.32

= tan-1 (6/-2) = -71.56

En la forma Aei

A= 6.32

=-71.56

6.32 e-i71.56

1.79 Encuentre el cociente, z1/z2, de los nmeros complejos z1 =(1 +2i) y z2 = (3 - 4i) y exprese el resultado en la forma A

1.81 La cimentacin de un compresor neumtico se somete a movimientos armnicos (con la misma frecuencia) en dos direcciones perpendiculares. El movimiento resultante, desplegado en un osciloscopio, aparece como se muestra en la figura 1.112. Encuentre las amplitudes de vibracin en las dos direcciones y la diferencia de fase entre ellas.

Cuando son objeto los compresores de aire armnicos el movimiento resultante se representa como una parbola cuya ecuacin es la siguiente:

.(1)

Para la anterior ecuacin cuando la distancia entonces se convierte en entonces la ecuacin se reduce a .(2)

Para la ecuacin uno cuando la distancia entonces se convierte en entonces la ecuacin se reduce a .(3)

Con las dimensiones de la distancias en la figura OR tenemos que

= 7.6 .(4)

Dividimos las ecuaciones 2 y 3 para obtener =

= 39.20Tomar las ecuaciones 2 y 4 para encontrar el valor de la amplitud de la vibracin en X

= = 9.8082 mm

Ahora utilizaremos la ecuacin numero 3 para calcular la amplitud en Y

= = 9.4918 mm1.83 Demuestre que cualquier combinacin lineal de sen t y cos t de modo que x(t) = A1 cos t + A1 sen t (A1, A2 = constantes) representa un movimiento armnico simple.Combinacin lineal

Unvectorse dice que escombinacin linealde un conjunto de vectores

si se puede expresar como suma de los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficienteescalar, es decir:

.

As,escombinacin linealde vectores desi podemos expresarcomo una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de.

Un movimiento armnico simple se da cuando la aceleracin es proporcional al desplazamiento del elemento (Pgina 52 del libro).

Entonces;

X(t)= A1 cos wt+ A2 sen xt

X(t)= -A1 w sen wt + A2 w cos wt

X(t)= -A1 w2 cos wt A2 w2 sen wt

Con esto se observa que la aceleracin es proporcional al desplazamiento del elemento. Y se podra comprobar utilizando valores como constantes. Y porque aunque sea cero el tiempo, siempre habr una componente ya sea seno o coseno.

1.85 Si uno de los componentes del movimiento armnico x(t) = 10 sen (t + 60) es x1(t) = 5 sen(t + 30), encuentre el otro componente.

Dnde: y 10( 1010A=

1.87 Considere dos movimientos armnicos de diferentes frecuencias: x1(t) = 2 cos 2t y x2(t) = cos 3t. Es la suma x1(t) + x2(t) un movimiento armnico? De ser as, cul es su periodo?

si el primer movimiento X(t) es armnico, tambin X(t)= -w x(t), teniendo la suma de ambas nos da como resultado lo siguiente:

x(t)= 2 cos 2t + cos3t

Por lo tanto

x(t) = -8 cos 2t 9 cos 3t

Esto es diferente a las constantes de tiempo de x(t) , y a su ves x(t) no es una seal harmnica por lo que no cuenta con movimiento periodico

1.89 Encuentre las amplitudes mxima y mnima del movimiento combinado x(t) =x1(t) + x2(t) cuando x1(t) = 3 sen 30t y x2(t)= 3 sen 29t. Encuentre tambin la frecuencia de pulsacion correspondiente a x(t).

Convertir a forma polar

Convertir a forma cartesiana

Sumar la forma polar y queda:

As que las amplitudes mximas y minas quedan de 1.91 Un movimiento armnico tiene una amplitud de 0.05 m y una frecuencia de 10 Hz. Encuentre su periodo, velocidad mxima y aceleracin mxima.

A= 0.05 m , W= 10 Hz = 62.832 rad/sec

Period = T = 2 /w = 2 /62.832 = 0.1 sec

Mxima velocidad = A w = 0.05 x 62.832 =3.1416m/s

Mxima aceleracin = Aw^2 = 0.05 (62.832 )^2 = 197.393 m/s^2

1.93 Se encontr que la amplitud mxima y la aceleracin mxima de la cimentacin de una bomba centrfuga son xmx = 0.25 mm y = 0.4g. Encuentre la velocidad de operacin de la bomba.

,

,

Cuando el desplazamiento x de una mquina est dado por x(t) = 18 cos 8t, donde x est en milmetros y t en segundos, encuentre (a) el periodo de la mquina en segundos, y (b) la frecuencia de oscilacin de la mquina en rad/s as como tambin en Hz.

X(t)= 18 cos 8t

X(t)= A cos wt

W=2 () f

X(t)= A cos 2 () f

A)

F=1.27 rad/s

F= 0.635 Hz

B)

T=1/f= 1/ 0.635

T=1.571.97 Exprese la vibracin de una mquina dada por x(t)= - 3.0 sen 5t - 2.0 cos 5t en la forma x(t) 5=cos(5t+ ).

Solucin

(1)..

Donde A es nuestra amplitud, la frecuencia natural y el ngulo de fase.

(2).La ecuacin de la vibracin de la mquina es:

(3).Comparando la ecuacin 1 y 3 llegamos a la conclusin que:

(4).

(5).

Sustituimos el ngulo en la ecuacin 4

Sustituimos el valor de A y de en nuestra primera ecuacin y obtenemos la ecuacin de la vibracin.

1.101 El desplazamiento de una mquina se expresa como x(t) = A sen(6t + ), donde x est en metros y t en segundos. Si se sabe que el desplazamiento y la velocidad de la mquina en el instante t = 0 son de 0.05 m y 0.005 m/s, determine el valor de A y.

1.111 Encuentre la expansin de la serie de Fourier de la funcin peridica de la figura 1.117. Tambin trace el espectro de frecuencia correspondiente.

La funcin de la grfica est definida como:

Donde t es el periodo de tiempo, y est definido en la funcin desde 0 hasta

Sustituyendo x(t) en la ecuacin tenemos:

Como A es constante se sustrae de los corchetes

Y se resuelve la integral:

=A

Al calcular encontramos la siguiente integral:

Al resolver dicha integral obtenemos:

= 0

Enseguida se busca el coeficiente constante de

Que al resolverse obtenemos:

Por ltimo, la expansin de la serie de Fourier es la siguiente:

Substituyendo los valores correspondientes a los coeficientes constantes , y

1.113 Realice un anlisis armnico, incluidos los primeros tres armnicos, de la funcin dada a continuacin.

1.115 Resuelva el problema 1.114 con los valores de n y N como 200 rpm en lugar de 100 rpm y 4, respectivamente.

La frecuencia de estos impulsos est determinada por la velocidad de rotacin del propulsor n y la cantidad de aspas, N, en el propulsor. Para n = 100 rpm y N = 4,

En un minuto, un punto ser sometido a la presin mxima, donde la

Por lo tanto el periodo es =

Evaluando de y :

m=1m=2m=3

1.117 Realice un anlisis armnico de la funcin que se muestra en la figura 1.119 incluidos los primeros tres armnicos.

Para t >0.35s -35