PROBLEMAS – ESTADÍSTICA Rufino Moya

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS – ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA (Rufino Moya C.)

PROBLEMAS 4 – 1

PROBLEMAS 4 – 2

PROBLEMAS 4 – 4

1. Una compañía importadora tiene 9 empleados cuyos ingresos (xi) mensuales en dólares son: 100, 100, 100, 100, 200, 200, 400, 800 y 1600. Se pide

a. Dibujar la curva de Lorenz o curva de concentración.b. Calcular índice de Gini.

Solución:

Ingresos (xi) $

Nº de trab. ni

Fi *100% xini[x in i /∑ xini

]*100%

pi=∑ f i*100%

qi=

∑ (x in i /∑ xini)*100%

100 4 44,5 400 11,1 44,5 11,1200 2 22,2 400 11,1 66,7 22,2400 1 11,1 400 11,1 77,8 33,3800 1 11,1 800 22 88,9 55,5

1600 1 11,1 1600 45 100 100

9 100 3600 100

La curva de Lorenz.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

102030405060708090

100

Fig. 4.1 Curva de Lorenz: ingresos mensuales

% acumulado de trabajadores (pi)

% a

cum

ulad

o de

ingr

esos

(qi)

El índice de Gini.

ESTADÍSTICA GENERAL Página 2

G=∑ (p i−q i)

∑ pi = 155,9277,9

= 0,5609

2. Una empresa aduanera emplea 8 trabajadores cuyos ingresos (xi) en dólares son: 100, 100, 100, 100, 400, 800, 1600 y 3200 mensuales. Determinara. La curva de Lorenz.b. El índice de Gini.

Solución:

Ingresos (xi) $

Nº de trab. ni

Fi *100% xini [x in i /∑ xini]*100%

pi=∑ f i*100%

qi=

∑ (x in i /∑ xini)*100%

100 4 50 400 6,25 50 6,25400 1 12,5 400 6,25 62,5 12,5800 1 12,5 800 12,5 75 25

1600 1 12,5 1600 25 87,5 503200 1 12,5 3200 50 100 100

n=8 100 6400 100

La curva de Lorenz.


pi - qi pi

44,5 – 11,1 = 33,4 44,566,7 – 22,2 = 44,5 66,777,8 – 33,2 = 44,6 77,888,9 – 55,5 = 33,4 88,9

∑ ¿155,9 ∑ ¿277,9

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Fig. 4.2 Curva de Lorenz: ingresos


% a

cum

ulad

o de

ingr

esos

(qi)

El índice de Gini.

G=∑ (p i−q i)

∑ pi = 181,25275 = 0,659

3. Para el cuadro estadístico que se da a continuación se pide:

a. Dibujar en una misma figura la curva de Lorenz para el total ENNIV, área urbana y área rural.

b. Calcular el índice de Gini en cada caso.

PERÚ: DISTRIBUCIÓN DEL INGRESO POR ÁREA URBANA Y RURAL SEGÚN DECILES DE HOGARES (PERIODO JUL.85 – JUL.86)

HOGARES INGRESO TOTAL DEL HOGAR (% )TOTAL ÁREA URBANA ÁREA RURAL


pi - qi pi

50 – 6,25 = 43,75 50,062,5 – 12,5 = 50 62,575 – 25 = 50 75,087,5 – 50 = 37,5 87,5

∑ ¿181,25 ∑ ¿275

ENNIV% % Acum. % % Acum. % % Acum. % % Acum.10 10 0.45 0.45 0.62 0.62 1.32 1.3210 20 2.63 3.09 3.21 3.82 3.05 4.35

10 30 3.68 6.77 4.22 8.04 4.05 8.4010 40 4.90 11.67 5.22 13.26 5.58 13.98

10 50 5.96 17.62 6.40 19.66 6.34 20.3210 60 7.31 24.93 7.90 27.56 7.72 28.04

10 70 9.15 34.08 9.76 37.32 10.02 38.0610 80 11.88 45.96 12.45 49.78 12.05 50.11

10 90 16.78 62.73 16.14 65.92 13.81 63.9210 100 37.27 100.00 34.08 100.00 36.08 100.00

5 95 12.99 75.72 14.09 80.01 12.51 76.435 100 24.28 100.00 19.99 100.00 23.57 100.00

FUENTE: INTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICA - Encuesta Nacional sobre Medición de Niveles de Vida (ENNIV).

Solución:a. Curva de Lorenz para el total ENNIV, área urbana y área rural.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Fig. 4.3 Curva de Lorenz para el total ENNIV, área urbana y área rural.

TOTAL ENNIV

ÁREA URBANA

ÁREA RURAL

% acumulado de hogaress (pi)

% ac

umul

ado

de in

gres

os (q

i)

b. El índice de Gini Para total ENNIV


pi qi pi -qi10 0,45 9,5520 3,09 16,9130 6,77 23,2340 11,67 28,33 50 17,62 32,3860 24,93 35,0770 34,08 35,9280 45,96 34,0490 62,73 27,2795 75,72 19,28

=545 =261,98

Pata área urbana

pi qi pi -qi10 0,62 9,3820 3,82 16,1830 8,04 21,9640 13,26 26,74 50 19,66 30,3460 27,56 32,4470 37,32 32,6880 49,78 30,2290 65,92 24,0895 80,01 14,99

=545 =239,01

Para área rural

pi qi pi -qi10 0,45 9,5520 3,09 16,9130 6,77 23,2340 11,67 28,33 50 17,62 32,3860 24,93 35,0770 34,08 35,9280 45,96 34,0490 62,73 27,2795 75,72 19,28

=545 =240.074. Para los datos del ejemplo 4.28, determinar el índice de Gini y su curva de

Lorenz.


G=∑ (p i−q i)

∑ pi = 261,98

545 = 0,4807

G=∑ (p i−q i)

∑ pi = 240,07

545 = 0,4405

G=∑ (p i−q i)

∑ pi = 239,01

545 = 0,4385

Solución:

Salarios (xi) $

Nº de trab. ni


pi=∑ f i*100%

qi=

∑ (x in i /∑ xini)*100%

100 3 12 300 4,1 12 4,1200 7 28 1400 19,2 40 23,3300 8 32 2400 32,9 72 56,2400 4 16 1600 21,9 88 78,1500 2 8 1000 13,7 96 91,8600 1 4 600 8,2 100 100

n=25 100 7300 100

El índice de Gini

Curva de Lorenz

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Fig. 4.4 Curva de Lorenz: salarios


% ac

umul

ado

de sa

lario

s (qi

)

5. Los salarios mensuales (en soles) de los obreros de una compañía se distribuye como sigue:

Salario mensual 140 - 160 160 - 180 180 - 200 200 - 220 220 - 240 240 - 260


G=∑ (p i−q i)

∑ pi = 54,5308

= 0,177

pi qi pi - qi

12 4,1 7,940 23,3 16,772 56,2 15,888 78,1 9,996 91,8 4,2

=308 =54,5

Nº de trabajadores

7 20 33 25 11 4

Hallar el índice de Gini

Solución:

Salarios (xi) S/.

Nº de obr. ni


pi=∑ f i*100%

qi=

∑ (x in i /∑ xini)*100%

150 7 7 1050 5,38 7 5,38170 20 20 3400 17,44 27 22,82190 33 33 6270 32,15 60 54,97210 25 25 5250 26,93 85 81,90230 11 11 2530 12,97 96 94,87250 4 4 1000 5,13 100 100

n=100 100 19500 100

El índice de Gini

PROBLEMAS 5 – 1

1. Se han obtenido los siguientes puntajes en matemáticas y lenguaje de 80 alumnos en un colegio.


G=∑ (p i−q i)

∑ pi = 15,06

275 = 0,0548

pi qi pi - qi

7 5,38 1,6227 22,82 4,1860 54,97 5,0385 81,90 3,196 94,87 1,13

=275 =15,06

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14P.

matemática43 50 83 90 53 59 71 59 31 50 72 65 75 79

P. lenguaje 36 42 63 86 44 61 72 63 35 51 54 52 67 62

Alumno 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28P.

matemática58 83 72 67 35 61 52 76 93 49 72 60 82 57

P. lenguaje 56 72 76 42 33 53 55 65 96 55 55 56 66 45

Alumno 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42P.

matemática62 41 39 32 55 61 58 72 66 81 73 50 45 72

P. lenguaje 58 35 50 32 56 54 56 71 69 84 60 52 43 69

Alumno 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56P.

matemática62 59 41 93 65 71 78 64 45 56 55 52 66 82

P. lenguaje 71 78 34 91 63 64 67 72 42 45 43 60 65 86

Alumno 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70P.

matemática46 52 62 68 42 51 66 72 36 56 52 66 68 61

P. lenguaje 42 54 66 75 44 56 59 69 40 45 39 65 71 67

Alumno 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80P.

matemática65 67 51 36 63 35 39 71 81 36

P. lenguaje 64 70 55 41 61 34 35 73 76 42

a) Construya la tabla bidimensional de frecuencias absolutas y relativas, eligiendo clases de amplitud constante c=10.

Tabla 5.1 tabla bidimensional de frecuencias absolutas

Leng. [32-42> [42-52> [52-62> [62-72> [72-82> [82-92> [92-102> Total = ni.


Mat.

[31-41> 7 2 0 0 0 0 0 9

[41-51> 3 6 2 0 0 0 0 11

[51-61> 1 6 10 1 0 0 0 18

[61-71> 0 1 6 10 2 0 0 19

[71-81> 0 0 3 8 3 0 0 14

[81-91> 0 0 0 2 2 3 0 7

[91-101> 0 0 0 0 0 1 1 2

Total= n.j 11 15 21 21 7 4 1 80

Tabla 5.2 tabla bidimensional de frecuencias relativas

Leng.

Mat.

[32-42> [42-52> [52-62> [62-72> [72-82> [82-92> [92-102> Total = ni.

[31-41> 0,0875 0,025 0 0 0 0 0 0,1125

[41-51> 0,0375 0,075 0,025 0 0 0 0 0,1375

[51-61> 0,0125 0,075 0,125 0,0125 0 0 0 0,225

[61-71> 0 0,0125 0,075 0,125 0,025 0 0 0,2375

[71-81> 0 0 0,0375 0,1 0,0375 0 0 0,175

[81-91> 0 0 0 0,025 0,025 0,0375 0 0,0875

[91-101> 0 0 0 0 0 0,0125 0,0125 0,025

Total= n.j 0,1375 0,1875 0,2625 0,2625 0,0875 0,05 0,0125 1

b) Confeccione una lista de las:i. Marcas de clases (Xi) y (Yi)

X 1=31+412

=36 Y 1=32+422

=37

X 2= 41+512

=46 Y 2=42+522

=47


X 3=51+612

=56 Y 3=52+622

=57

X 4=61+712

=66 Y 4=62+722

=67

X 5=71+812

=76 Y 5=72+822

=77

X 6=81+912

=86 Y 6=82+922

=87

X 7=91+1012

=96 Y 7=92+1022

=97

ii. Frecuencias absolutas acumuladas.(Nij)

Leng.

Mat.

[32-42> [42-52> [52-62> [62-72> [72-82> [82-92> [92-102>

[31-41> 7 9 9 9 9 9 9

[41-51> 10 18 20 20 20 20 20

[51-61> 11 25 37 38 38 38 38

[61-71> 11 26 44 55 57 57 57

[71-81> 11 26 47 66 71 71 71

[81-91> 11 26 47 68 75 78 78

[91-101> 11 26 47 68 75 79 80

Calcule:

c) Las frecuencias absolutas marginales.

Frecuencias absolutas marginales de X Frecuencias absolutas marginales de Y

Xi ni. Ni.

6 9 9

46 11 20


56 18 38

66 19 57

76 14 71

86 7 78

96 2 80

80

d) Las frecuencias condicionales.

Leng.

Mat.

nx/y=[32-42>=nij Fx/y=[32-42>=nijn. j

[31-41> 7 7/11

[41-51> 3 3/11

[51-61> 1 1/11

[61-71> 0 0/11

[71-81> 0 0/11

[81-91> 0 0/11

[91-101> 0 0/11

Total 11 1

e) x , y , S x2 , S y

2 .

x=∑i=7

7

xi∋ .

n= 495080

=61,88

y=∑i=7

7

yi n . j

n=470080

=58,75


Xi ni. Ni.

36 11 11

46 15 26

56 21 47

66 21 68

76 7 75

86 4 79

96 1 80

80

Sx2=

∑i=7

7

(xi−x )2∋.

n−1=18938,76

79=239,73

Sy2=

∑i=7

7

( yi− y )2n . j

n−1=15757

79=199,45

f) Cov(x, y); V(x + y); V(x - y).

Cov ( x , y )=1n∑i=1

7

∑j=1

7

xi yi nij−x y

¿ 180

(304458 )−3635,45=170,28

V ( x+ y )=Sx2+S y

2+2(Cov ( x , y ))

¿239,73+199,45+2 (170,28)

¿779,74

V ( x− y )=Sx2+S y

2−2(Cov ( x , y ))

¿239,73+199,45−2(170,28)

¿98,62

2. En un estudio para conocer la relación entre el sexo y delincuencia, se toma una muestra de 522 personas, los resultados se presenta en la tabla siguiente:

Hombre Mujer TotalDelincuente 122 112 234

No delincuente 210 78 288Total 332 190 522


a. Represente gráficamente la distribución de frecuencias absolutas y relativas.

b.

b. Represente la gráfica del sexo respecto de la delincuencia.

Delincuente No delincuente0

50

100

150

200

250

300

350

tab.5.4 Sexo respecto a la delincuencia

HombreMujer


Delincuente No delincuente

Mujer 112 78

Hom-bre

122 210

25

75

125

175

225

Mujer

Hombre

tab. 5.2 Distribución de frecuencias absolutas

Delincuente No delincuente

Mujer 0.21455938697318 0.149425287356322

Hombre 0.233716475095785 0.402298850574713

0.030.080.130.180.230.280.330.380.43

Mujer

Hombre

tab. 5.3 Distribución de frecuencias relativas

3. La tabla de frecuencias que se presenta a continuación es el resultado de una muestra aleatoria de parejas de padre e hijo.

Padre Hijo

Menos de 1.60 m De 1.60 a 1.80 m Más de 1.80 m

Menos de 1.60 m 50 400 10De 1.60 a 1.80 m 150 2000 200Más de 1.80 m 5 300 60

Hallar:a. La distribución marginal

Distribución marginal para el hijo Distribución marginal para el padre

b. La tabla de distribución absoluta acumulada.

Padre Hijo

150 m 170 m 190 m

150 m 50 450 460170 m 200 2600 3115190 m 205 2905 3175

c. x , y , S x , S yy Cov(x, y) si es posible.

x=∑i=7

7

xi∋ .

n=5378503175

=169,4


Padre ni. fi.

150 205 0,065

170 2700 0,850

180 270 0,085

total 3175 1,00

Hijo ni. fi.

150 460 0,145

170 2350 0,740

180 365 0,115

total 3175 1,00

y=∑i=7

7

yi n . j

n=5410503175

=170,41

Sx2=

∑i=7

7

(xi−x )2∋.

n−1=3288633174

=103,61

Sx❑=√Sx2 = √103,61 =10,18

Sy2=

∑i=7

7

( yi− y )2n . j

n−1=157573174

=199,45

Sy❑=√S y2 = √59,77 =7,73

4. Se conocen las varianzas de la suma y la diferencia de dos variables:V(x + y) = 8.3 y V(x - y) = 10.1

Hallar la covarianza de ambas variables.

Sabemos que :

V ( x+ y )=Sx2+S y

2+2(Cov ( x , y ))….(1)

V ( x− y )=Sx2+S y

2−2(Cov ( x , y ))….(2)

Resolviendo el sistema tenemos :

Sx2+S y

2=(V ( x+ y )+V ( x− y ))

2

Reemplazando datos del problema:


Sx2+S y

2=(8,3+10,1)

2

Sx2+S y

2=9,2….(3)

Reemplazando (3) en (1)

8,3=9,2+2(Cov (x , y ))

Cov ( x , y )=−0,45


PROBLEMAS – ESTADÍSTICA Rufino Moya

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