Profesor Norberto Oviedo Ugalde MA-230

Problemas de Funciones EconómicasMA - 230

1. Un supermercado compró 120 libras de cerezas a $0.42 la libra. Alrededor del 5% se puede dañar y tener que ser retirado. ¿A qué precio por libra se deben marcar las cerezas con el fin de obtener un utilidad del 30% sobre la compra total?

SOLUCIÓN Sea p el precio x libra que dará la utilidad deseada

El costo de cerezas = 120 ∙ 0,42 = 50,4

Cantidad de libras de cerezas vendidas ⇒ 5% de 120 = 6

⇒ q = 114 I = p ∙ q ⇒ I = 114p

Utilidad deseada = 30% de 50,4 = 15,12

U = I – C ⇒ 15,12 = 114p – 50,4 ⇒ p = 0,57 / Libra

2. Una panadería que vende su pan sin conservadores recogerá toda la mercadería que los comerciantes no vendan dentro de 4 días. El costo de producción es de $0.70 la pieza. La compañía distribuye 500 piezas a la semana y le devuelven alrededor de 8%. ¿Qué precio debe tener cada pieza si la utilidad bruta de la compañía es de 45% del costo?

SOLUCIÓN Sea p el precio x pieza

Costo de Producción = 500 ∙ 0,7 = $350

Cantidad de Pan devuelto = 8% de 500 = 40 ⇒ se vende 460 piezas

Utilidad deseada = 0,45 ∙ 350 = 157,5

U = I – C ⇔ 157,5 = 460p – 350 ⇔ p = 1,10

3. Un restaurante adquirió 400 litros de leche a $0.30 cada uno. Su utilidad es alrededor del 65% del costo total. Si el 7 1/2 % de la leche se echara a perder antes de poder venderla ¿Qué precio por litro dará la utilidad deseada?

SOLUCIÓN Sea p = precio x litro que dará la utilidad deseada

El costo de la leche = 400 ∙ 0,30 = $120

Cantidad de leche vendida = 400 – 0,075⏞7,5%

∙ 400 = 370 litros

Utilidad deseada = 0,65⏞65 %

∙ 120 = 78

U = I – C⇔78 = 370p - 120 ⇒ p ≈ 0,54

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4. Un comerciante ofrece un 25% de descuento al precio de un artículo y aun así obtiene una utilidad de un 5%. Si el artículo le cuesta al comerciante $1575, ¿cuál debe ser el precio marcado?

SOLUCIÓN Sea p el precio del artículo en el mercado

p – 0,25p es la cantidad que pagara el cliente

5% de la utilidad es 5% de 1575 = 78,75

⇒U = I - C

⇒ 78,75 = 0,75p - 1575 ⇔ p= 2205 Precio del Artículo

5. El propietario de un edificio de departamentos puede rentar las 50 habitaciones si la renta es de $150 al mes por habitación. Por cada incremento de $5 en la mensualidad de la renta, un departamento quedará vacante sin posibilidad de rentarlo. ¿Qué renta deberá fijar para obtener un ingreso mensual de la menos $8000?

SOLUCIÓN Sea x el número de incrementos de la renta que garantiza el ingreso pedido

50 - x es el número de las habitaciones rentadas

150 + 5x es la renta mensual por habitación

Como se pide que el ingreso sea al menos de $8000 entonces debe resolverse

(150 + 5x) (50 - x) ≥ 8000 ⇔ (x – 10)2 ≤ 0 ⇔x = 10 ⇒

La renta debe ser 150 + 5 ∙ 10 = $200

6. Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $15 por unidad. Los costos de materiales y mano de obra son de $8 por unidad, y además, existen costos fijos de $4000 por semana. ¿Cuántas unidades deberá producir y vender si desea obtener utilidades semanales de al menos $3000?

SOLUCIÓN

I = p ∙ x C = c + Gastos fijos U = I – C

P = 15

X = ? (Cantidad de unidades que se desea vender para lograr utilidades deseadas)

C = 8 Gastos fijos = 4000

⇒ C = 8x + 4000 ; I = 15x

⇒ 3000 = 15x – (8x + 4000) ⇔ q = 1000

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7. Cada semana una compañía vende q unidades de un producto a un precio de p dólares cada uno, en donde p = 600 – 5q. Si le cuesta a la compañía (8000 + 75q) dólares producir q unidades, determine:A) ¿Cuántas unidades debería vender la compañía a la semana si desea generar un ingreso de

$17500?B) ¿Qué precio por unidad debería fijar la compañía con el propósito de obtener ingresos

semanales por $18.000?C) ¿Cuántas unidades debería producir y vender cada semana para obtener utilidades semanales

de $5.500?D) ¿A qué precio por unidad generaría a la compañía una utilidad semana de $5.750?

SOLUCIÓNA) Sea “q” la cantidad de unidades que de deben vender para generar un ingreso de $17.500

P = 600 – 5q ; costo = 800+ 75q

I = p ∙ q ⇔ 17.500 = (600 – 5q) ∙ q

⇔ 5q2 – 600q + 17500 = 0

⇔ q =50 ^ q = 70

B) Sea “p” el precio a fijar para generar un ingreso semanal de $18.000

P = 600 – 5q costo = 800+ 75q

I = p ∙ q ⇔ 18000 = (600 – 5q) ∙ q⇔ 5q2 – 600q + 18000 = 0

⇔ q = 60 ⇒ p = 600 - 5.60 = 300

C) Sea “q” la cantidad de unidades que se deben vender para generar utilidades por $5.500

G = I – C ⇔ 5.500 = (600q – 5 ∙q2) – ( 75q + 8000)

⇔ 5q2 – 525 q + 13.500 = 0

⇔ q = 60 ^ q = 45

D) Sea “p” el precio a fijar para generar una utilidad semanal de $5750

P = 600 – 5q costo = 800+ 75q

I = p ∙ q ⇔ 5750 =(600q – 5 ∙q2) – ( 75q + 8000)

⇔ 5q2 – 525q + 13750 = 0

⇔ q = 55 ^ q = 50 ⇒ p = 600 - 5.55 = 325

p = 600 - 5.50 = 355

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8. Un fabricante puede vender toas as unidades de un producto a $25 cada uno. El costo C (en dólares) de producir q unidades cada semana está dado por C = 3000 + 20q – 0.1q2 ¿Cuántas unidades deberán producir y vender a la semana para obtener alguna utilidad?

SOLUCIÓN Sea “q” la cantidad de unidad a vender como mínimo

P = $25 ; C = 3000 + 20q – 0.1q2

I = p ∙ q ⇔ I = 25 ∙ q

U = I – C ⇔ U = 25q – (3000 + 20q – 0.1q2)

⇔ U = 0.1q2 + 5q – 3000 = 0

⇔ q = 150 ^ q = -200

R/ Debe vender 151 unidades

9. Una empresa tiene dos tipos de alternativas de equipo en la fabricación de un nuevo producto. Un equipo cuesta $200000 y produce artículos a un costo de $4 por unidad. Otro equipo semi-automatizado cuesta $125000 y produce artículos a un costo de $5.25 por unidad.A) ¿Qué volumen de producción hace que los costos sean iguales, usando cualesquiera de

los dos equipos?B) Si hay que producir 80000 unidades, ¿con cuál equipo sale más barato?

SOLUCIÓN

A) Ca = 4q + 200000

Csa = 5.25 + 125.000

Ca = Csa ⇔ 4q + 200000 = 5.25q + 125000

⇔ q = 60000

B) Ca = 4.8000 + 200000 = 232.000

Csa = 5.25 ∙ 8000 + 125000 = 167000

El equipo que sale más barato es Csa

10. Halle e punto de equilibrio de una empresa dados costos fijos totales de $1200 costos

variables por unidad de $2, ingresos totales por la venta de q unidades (100√q ) dólares. Además grafique ambas curvas en un mismo plano.

SOLUCIÓN

C(x) = 2 ∙ q + 1200

I(x) = 100√qPunto Equilibrio C = I

⇒ 2q + 1200 = 100√q⇔4q2 – 5200 q + 1440000 = 0

400 900

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⇔ q1 = 900 ^ q2 = 400