PROBLEMAS Geodsicos PRINCIPALES

PROBLEMAS GEODESICOS PRINCIPALES

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

CATEDRA : GEODESIA SATELITALCATEDRATICO: ING. AUGUSTO GARCIA POMA SEMESTRE: QUINTO

HUANCAYO - PERU 2013INTRODUCCIONEl problema de la determinacin de una red geodsica a lo largo de la superficie terrestre, arranca siempre de unos datos de una partida conocida. Con ellos, se resuelven determinados problemas sobre el elipsoide, que permiten establecer coordenadas de nuevos puntos o vrtices sobre l.Para empezar el presente tema, y antes de plantear los problemas que se van a estudiar, se presentaran algunas definiciones, teoremas y desarrollos que intervienen directamente en su resolucin.

2EXCESO ESFERICO3TEOREMA DE LEGENDREUn tringulo esfrico, cuyos lados sean muy pequeos comparados con el radio de la esfera que lo contiene, puede reemplazar para su clculo, por uno plano cuyos lados tengan la misma longitud que los del esfrico, y sus ngulos sean los de este, disminuidos en un tercio del exceso esfrico.4

esfrico5TEOREMA DE GAUSS:6ESFERA DE JACOBI:7

8910DESARROLLO DE WEINGARTEN-PUISEUX

DESARROLLO DE WEINGARTEN-PUISEUXPROBLEMAS GEODSICOS PRINCIPALES

Despus de realizar observaciones angulares y de distancia sobre el terreno, y tras su compensacin, se han de resolver el traslado de posiciones geogrficas sobre el elipsoide, para establecer una red geodsica en una determinada zona. Estos problemas se denominan problemas geodsicos principales, y son el problema directo, y el problema inverso. Existen diversos procedimientos para su resolucin, de los cuales, se estudiaran aqu el mtodo algebraico y el de las esferas auxiliares.Problema Directo

Problema Inverso

METODO ALGEBRAICO

PROBLEMA INVERSO:los datos del problema son las coordenadas de dos puntos A y BLas incgnitas son los dos azimut reciproco ZAB y ZBA entre A y B y la distancia s que los separaDe acuerdo al grafico en la que se representa el sistema local de la direcciones principales 2 con el origen en A

Mediante los parmetros a y f del elipsoide de trabajo se calcula la primera excentricidad e del elipsoide , y el gran valor de la norma Nb, para la latitud de B de De acuerdo a que elipsoide de regencia se trabaja

se calcula el Radio de curvatura NA del vertical primario mediante la expresin y tambin el Radio de curvatura pA de la elipse meridiana

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PROBLEMA INVERSO:los datos del problema son las coordenadas de dos puntos A y BLas incgnitas son los dos azimut reciproco ZAB y ZBA entre A y B y la distancia s que los separaDe acuerdo al grafico en la que se representa el sistema local de la direcciones principales 2 con el origen en A

Mediante los parmetros a y f del elipsoide de trabajo se calcula la primera excentricidad e del elipsoide , y el gran valor de la norma Nb, para la latitud de B de De acuerdo a que elipsoide de regencia se trabaja

se calcula el Radio de curvatura NA del vertical primario mediante la expresin y tambin el Radio de curvatura pA de la elipse meridiana

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Se calculan las componentes delos vectores OA Y OB respecto al sistema general cartesiano, o lo que es lo mismo , las coordenadas cartesianas de A (A, A Y B (B, B

se aplica el tensor de giro R correspondiente para que dicho vector de diferencia quede referido al sistema de las direcciones principales de A una vez calculadas (xb,yb,zb) del punto B segn el sistema de las direcciones principales del punto A. Se pueden hallar las ZAB Y S de acuerdo a las expresiones a8 y a9segn el mtodo iterativo

Pero para eso tenemos que tomas una valor de inicio lo cual es

ZAB=arctan(yb/xb) estonces hallamos Rz(AB) y s

Entonces con este nuevo valor encontramos un nuevo azimut

El valor de Zab dado por a9 puedes ser positivo o negativo y en ambos caso se puede obtener dos valores en tener en cuenta la cantidad de k.Para elegir el valor verdadero para un clculo programado basara tener en cuenta los signo de xb y yba10: ZBA=ZB+-180 a11: Z=ZB-ZAB6:Se calcula el azimut Z BA la formula a10 y se desea obtener tambien la convergencia de meridianas se utiliza la siguiente formula a11

S

ejemploDadas las coordenada del vrtice geodsico cabeza (A) y las del vertice cortijo (B) en el sistema wgs84 se desean calcula los azimut es directo e inverso as como las distancia que hay entre ellos .Los parmetros del elipsoide WGS84 a=6378.137m Y f=1/2982572235

Mediante los parmetros ay f del elipsoide de trabajo se calcula el valor de la primera excentricidad e , NA y NB

Mediante las formula a6 y a7 se calculan las coordenadas geocntricas de A Y B

3: SE calculan las coordenadas del vector AB en el sistema de las direcciones principales del punto A mediante la formula a8

4 : Se calcula el ZAB y S de acuerdo alas formulas a8 y a9 segNu el iterativo Para ello se ha de considerar primero el azimut ZAB y se calcula mediante:ZAB=arctan(yb/xb)=artan(9375908/8331107)=48376817069Y con este azimut se calcula el primer valor para RZ(AB) CON LA FORMULA

Y CON RZ(AB) se puede calcular un primer valor para para la distancia s con la formula a8

y con este valor se obtiene un nuevo valor ZAB SE e continua este proceso de calculo iterativo de RZAB Y ZAB hasta conseguir la convergencia deseada tanto en azimut como en distancia

el cuadrante corresponde al azimut ZAB vendr determinado por los signos xb y yb segunda siguiente expresin

Se basa en el establecimiento de las relaciones entre los puntos del elipsoide y determinadas esferas, de forma que sea posible trasladar a ellas distintos problemas planteados sobre el elipsoide, y resolverlos mediante la trigonometra esfrica clsica.( mximo 60km) 9.-METODO DE LAS ESFERAS AUXILIARES9.1.-PROBLEMA DIRECTO

Se tiene:-Las coordenadas de un punto A (A,A)-El acimut ZAB de la geodsica a otro punto B-La distancia s que los separaSe busca:-Las coordenadas (B, B) del punto B-El acimut inverso ZBATrazar el arco de lnea geodsica BQ, perpendicular al meridiano de A. Llamemos a los arcos BQ=x y AQ=y coordenadas geodsicas ortogonales de B respecto de A

Aplicando el teorema del seno al triangulo plano:DespejandoDesarrollando por el coseno y seno de la diferencia, respectivamente:2.- Una vez determinado el valor del arco y, se calcula la diferencia de latitudes que lo definen. Para ello, se utiliza la expresin que da la longitud del arco de meridiano:

Sustituyendo:3.- Calculo del arco (Fig.5 6). Para ello, se traza una esfera tangente al elipsoide en el paralelo correspondiente a la latitud de Q; y de radio la normal NQ para esa latitud. El Polo de esta esfera es PQ. La prolongacin del punto B a travs de su normal hacia esta esfera, determina el punto B. En esta esfera, se resuelve el tringulo PQQB para calcular la diferencia entre los arcos PQB y PQQ que da el valor del arco BT BT=QQ= .

Para tener una idea del orden de magnitud de este valor , suponiendo que BQ sea igual a 50km, y =45, se obtiene =190m, y tal como se ha mencionado, se puede suponer situado, tanto en el elipsoide, como en la esfera tangente

Resolucion del tringulo PQQB

Calculo de la longitudSe resolver el tringulo esfrico PAB en la Esfera de Jacobi, Para ello, se emplearan las analogas de Neper. Veamos con que elementos de la esfera se corresponden estos angulos y arcos:

La esfera de JacobiSustituyendo estos valores en la analoga de Neper, se obtendr:9.2 PROBLEMA INVERSO1.- Calculo de los acimuts y convergencia de meridianosSe utiliza la Esfera de Jacobi , tangente al elipsoide en el Ecuador. Se emplear la relacin existente entre los puntos A y B de la esfera con los A y B del elipsoide:Luego se ve que se conservarn los acimuts, del elipsoide a la esfera.

2.- Calculo de la distancia S entre los dos vrtices A y B.EJEMPLO: Dadas las coordenadas del vrtice geodsico A y del vrtice obtenido B, en el sistema WGS84, se desea calcular los acimuts directo e inverso, as como la distancia que hay entre ellos.Los parmetros del elipsoide WGS84 son: a = 6 378.137m y f = 1/298, 257223563