Problemas Resueltos de Modelos EstocsticosMarzo de 2005ContenidosI Cadenas de Markov Continuas 11 Cadenas de Markov Continuas 2iParte ICadenas de Markov Continuas1Captulo 1Cadenas de Markov Continuas1. Una empresa productiva cuenta con N mquinas del mismo tipo. El tiempo hasta que falla cada mquinaes exponencial a tasa .Cuando una mquina falla, entra a un taller de reparaciones que posee la empresa.En este taller existe un solo tcnico encargado de atender las mquinas, el que adems debe encargarse demanejar el inventario de repuestos del taller. La manera como el tcnico ha organizado su trabajo es lasiguiente: mientras haya menos de R mquinas esperando ser atendidas, l se dedica a las labores asociadas alinventario de repuestos. A partir del momento en que existen R mquinas, el tcnico se dedica a atenderlas,hasta que no quede ninguna esperando. En ese instante vuelve a ocuparse del inventario de repuestos, hastaque nuevamente se acumulan R mquinas, y as sucesivamente. El tiempo que le toma al tcnico reparar unamquina es exponencial a tasa . Una vez que una mquina es reparada vuelve a funcionar y el tiempo hastala prxima falla es nuevamente exponencial a tasa .Se desea conocer, en un horizonte de largo plazo, el nmero medio de mquinas en el taller en un instantecualquiera. Formule un modelo estocstico para este objetivo, deniendo la(s) variable(s) de estado re-querida(s) y las ecuaciones especcas que permiten responder la pregunta formulada.Indique cmo obtendra, en un horizonte de largo plazo, la fraccin del tiempo que el tcnico pasa dedicadoal manejo de inventario y la fraccin del tiempo que pasa reparando mquinas.Solucin:Se denen las siguientes variables de estado del sistema: X(t) es el nmero de mquinas en el taller en el instante t, con 0 X(t) N Y(t) =

0 si el t ecnico est a dedicado a otras labores1 si el t ecnico est a reparando m aquinasEl siguiente diagrama representa a la cadena del problema formulado.As, los posibles estados del sistema son:X(t)(X(t), Y (t))si X(t) = 0 o X(t) Rsi 0 < X(t) < R12CAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 3Para encontrar el nmero medio de mquinas en el taller en el largo plazo es necesario obtener las probabil-idades de que el sistema se encuentre en el estado j en el largo plazo, es decir, Pj. Estas probabilidades seobtienen al resolver el sistema de ecuaciones de equilibrio.El sistema de ecuaciones de equilibrio est dado por:vj Pj = k=jvk Pk Pk,jdonde vj es la tasa de permanencia en el estado j y Pk,j es la probabilidad de transicin del estado k al j.Luego, N P0= ( (N 1) +) P(1,1) (N 1) += P(1,1) (N 1) P(1,0)= N P0. . . (N i) P(i,0)= (N i + 1) P(i1,0)si 1 < i < R1. . .( (N 1) +) P(1,1)= P(2,1). . .( (N i) +) P(i,1)= (N i + 1) P(i1,1)si 1 < i < R1+ P(i+1,1). . .( (N R + 1) +) P(R1,1)= (N R+ 2) P(R2,1) + PR( (N R) +) PR= (N R+ 1) P(R1,0)+ (N R+ 1) P(R1,1) + PR+1. . .( (N n) +) Pn= (N n + 1) Pn1 + Pn+1si N > n > R. . . PN= PN1Resolviendo el sistema de ecuaciones en conjunto conNn=0Pn = 1, se obtienen las probabilidades Pj.Luego, el nmero promedio de mquinas en el taller es:L = R1n=1n P(n,0) + R1n=1n P(n,1) +Nn=Rn PnPor otra parte, la fraccin del tiempo que el tcnico est dedicado a reparar mquinas es:T = R1n=1P(n,1) +Nn=RPnCAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 42. Una empresa area debe denir su poltica de stock de motores de repuestos para los aviones de su ota. Cadavez que un avin entra a mantenimiento, sus motores son revisados. Si uno o ms de ellos estn fallados, stosson removidos del avin y enviados a la unidad de reparacin. Esta unidad tiene, al principio del horizonte deanlisis, S motores buenos en stock. Por lo tanto, si al llegar un motor fallado a la unidad, existe uno bueno enstock, ste es enviado inmediatamente al avin respectivo, el que queda de este modo listo para reiniciar susvuelos. Si no existe un motor bueno en stock, el avin debe esperar hasta que se repare alguno de los motoresfallados. En cualquier caso, todo motor fallado que llega es enviado inmediatamente a reparacin. El tiempoque toma reparar un motor es exponencial a tasa . Una vez que se repara un motor, ste se utiliza paraatender uno de los requerimientos pendientes, o bien para incorporarlo al stock de motores buenos. Asuma,adems, que no se puede reparar ms de un motor simultneamente.Asuma que los motores fallados llegan a la unidad de reparacin de acuerdo a un Proceso de Poisson atasa ( < ). Formule un modelo que permita obtener la probabilidad que un motor fallado pueda serreemplazado inmediatamente por un motor bueno (esta probabilidad mide el nivel de servicio global de launidad de reparacin).Solucin:Se denen las siguientes variables de estado: X(t) = stock de motores buenos en el instante t. Y(t) = stock de motores en reparacin en el instante t.El estado del sistema se dene como (X(t),Y(t)). Dado que el stock inicial de motores buenos en el taller esS, el estado inicial es (S,0). El siguiente diagrama muestra las transiciones de un estado a otro:Obsrvese por ejemplo que cuando estamos en el estado (0,S+1) y se termina de reparar un motor, se pasaal estado (0,S) ya que hay un avin esperando por un motor bueno y ste se lleva el motor que se acaba dereparar. Por lo tanto, X(t) sigue en 0.Es decir, el estado (0,S+i) indica que hay S+i motores en el taller de reparacin esperando su reparacin yque hay i requerimientos no satisfechos ala espera que llegue un motor reparado.Luego, la variable de estado Y(t) dene completamente el sistema (si Y (t) S, indica que hay Y(t) motoresen reparacin y S-Y(t) en el stock de motores buenos).Los valores posibles de Y(t) son: 0,1,2,...S,S+1,...Observado el diagrama del sistema se observa que corresponde a un proceso de nacimiento y muerte. Estosprocesos se caracterizan por tener una tasa de nacimiento denominada n y una tasa de muerte n, donde nes el estado del sistema. En este caso se tiene que:n= n= Una vez denidas las tasas, se obtiene la solucin general de las ecuaciones de equilibrio para este tipo deprocesos:Pn = n1...1n...1 P0 = ()n P0CAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 5Adems, n=0Pn = 1 P0 + n=1()n P0= 1P0 ( n=0()n) = 1P0= 1 /Luego,Pn = ()n (1 /)Finalmente, la probabilidad de que un motor fallado pueda ser reemplazado inmediatamente por un motorbueno, es:Pr {Y (t) < S} =S1n=0Pn=S1n=0()n (1 /)= (1 /) 1 (/)S1 (/)= 1 (/)S( < )CAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 63. A una sucursal de un banco que opera con C cajas en paralelo y una cola nica, llegan clientes de acuerdo aun Proceso de Poisson a tasa . Si al llegar una persona al banco hay j clientes esperando en la cola, sta sepone en la cola con probabilidad p(j); en caso contrario, se va sin incorporarse al sistema (asuma que p(0) =1). Una vez en la cola, un cliente espera hasta que es atendido o hasta que se le acaba la paciencia. Supongaque, para cada cliente, el tiempo hasta que se agota su paciencia es exponencial a tasa (estos tiempos sonindependientes entre s). Cada cajero atiende con un tiempo exponencial a tasa .Formule un modelo que permita obtener una expresin para las siguientes medidas de desempeo, en el largoplazo: Nmero promedio de personas en la cola en un instante cualquiera. Nmero promedio de cajas en operacin en un instante cualquiera. La fraccin del tiempo en que se encuentra al menos una caja desocupada.Solucin:Sea X(t) el nmero de personas en el sistema en el instante t. El sistema corresponde al banco completo,es decir, considerando las cajas y la cola.Este sistema se puede modelar como un proceso de nacimiento ymuerte con las siguientes tasas:n= , n Cn= P(n C) , n > Cn= n , n Cn= (n C) +C , n > CAs, las ecuaciones de equilibrio que permiten obtener las probabilidades en el largo plazo para este sistemason:Pn=n1 ... 0n ... 1 P0n=0Pn= 1El nmero promedio de personas en la cola en un instante cualquiera del largo plazo es:Lq = n=C(n C) PnEl nmero promedio de cajas en operacin en un instante cualquiera del largo plazo es:Cn=0n Pn +C n=CPnLa fraccin del tiempo en que hay al menos una caja desocupada es:C1n=0PnCAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 74. A la bodega de almacenamiento de una empresa llegan dos tipos de productos a ser procesados (productostipo A y tipo B). Los productos tipo A llegan de acuerdo a un Proceso de Poisson a tasa 1 y los productostipo B llegan de acuerdo a un Proceso de Poisson a tasa 2.Por caractersticas del proceso productivo, cada tipo de producto (luego de permanecer almacenado) debe serprocesado por una mquina distinta. La empresa posee una mquina apta para procesar cada tipo de producto.Los tiempos de servicio (atencin) de cada mquina son variables aleatorias con distribucin exponencial atasas 1 y 2 respectivamente.La bodega de almacenamiento de la empresa es comn para los dos tipos de productos y tiene una capacidadmxima de N productos. Los productos que al llegar, encuentran llena la bodega de almacenamiento, sepierden, an cuando la mquina respectiva est desocupada.Formule detalladamente un modelo (incluyendo las ecuaciones de equilibrio) que permita conocer la proporcinde productos que se pierden de cada tipo, respecto del total de productos que llegan al sistema, en el largoplazo, en funcin de la distribucin de largo plazo.Solucin:El diagrama muestra el funcionamiento de este sistema:Se denen dos variables de estado: X(t): nmero de productos tipo 1 en la bodega y en la mquina respectiva (si es que hay uno) Y(t): nmero de productos tipo 2 en la bodega y en la mquina respectiva (si es que hay uno)As, el estado del sistema queda denido por (X(t),Y(t)). Los estados posibles son:(X(t), Y (t)) : (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)(n, 0); n = 2, ...N + 1(0, m); m = 2, ...N + 1(n, m); n > 1, m > 1, (n 1) + (m1) NA partir de la denicin de estados, es posible escribir las ecuaciones de equilibrio, a partir del mtodoestndar o utilizando el diagrama de estados del sistema. Se deja como ejercicio al lector el desarrollo de estasecuaciones. recuerde que las ecuaciones de equilibrio estn dadas por:vj Pj = k=jvk Pk Pk,jdonde vj es la tasa de permanencia en el estado j, Pk,j es la probabilidad de transicin del estado k al j y Pjes la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado j en el largo plazo.Finalmente, la proporcin de productos tipo 1 que se pierden es equivalente a encontrar la proporcin deltiempo en que la bodega se encuentra con su capacidad completa, es decir:P(N + 1, 0) +P(0, N + 1) +n,m:n>1,m>1,n+m2=NP(n, m)donde P(n,m) corresponde a la distribucin de probabilidades en el largo plazo.CAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 85. En un taller de reparaciones electrnicas se reciben televisores para reparacin de acuerdo a un Proceso dePoisson con tasa .La poltica de atencin del taller consiste en acumular los televisores defectuosos hastaalcanzar K unidades, instante en el cual un tcnico especialista inicia la reparacin. La atencin de este nicotcnico concluye si logra dejar en cero el nmero de televisores en el taller; sin embargo, si se acumula untotal de 2K televisores en el taller (considerando tanto los que esperan reparacin como los que estn siendoatendidos), un segundo tcnico se incorpora para ayudar al primero; en este caso ambos demoran en repararun televisor un tiempo exponencial a tasa 1 + 2. Este segundo tcnico se mantiene trabajando mientrashayan ms de K televisores en el taller de reparacin, y en consecuencia deja de trabajar en el instante en queel nmero de televisores en el taller disminuye a K. Todos los tiempos de reparacin son v.a. independientes.Adicionalmente, el taller tiene una capacidad limitada de 3K televisores en su interior, por lo que aquellosrequerimientos que excedan a esta capacidad son enviados a un taller externo.(a) Considerando el taller como un sistema, dena los estados de este sistema que permitan modelar elproceso descrito como una cadena de Markov continua.(b) Suponiendo que se dispone de las probabilidades lmites del sistema (distribucin del proceso en el largoplazo), determine:i. Qu fraccin de los requerimientos se enviarn al taller externo?ii. Nmero medio de requerimientos en espera de atencin.Solucin:(a) Sea X(t) el nmero de televisores en el taller de reparacin en el instante t. Al igual que en el problemano1, hay una ambiguedad en la especicacin del estado del sistema en los casos en que en que la variableX(t) est entre 1 y 2K-1.En el caso en que X(t) est entre 1 y K-1, se debe especicar si el tcnico est reparando televisores o no.Para el caso en que X(t) est entre K+1 y 2K-1 se debe especicar si est trabajando 1 o los dos tcnicos.En el caso en que X(t) = K, ocurre que hay que distinguir si est trabajando el primer o el segundotcnico, ya que en el caso en que el sistema se encuentre en el estado X(t)=K+1 y ambos tcnicos estntrabajando, cualquiera de los dos puede terminar de reparar un televisor y es necesario distinguir estoscasos.Para solucionar estas amigedades se dene una variable Y(t) que indica si est trabajando el primertcnico o no cuando X(t) {0, 1, ...K 1} ; si est trabajando el segundo tcnico o no cuando X(t) {K + 1, K + 2, ...2K 1}; y si est trabajando el primer tcnico o el segundo.Si X(t) =1,2,...K-1, entonces:Y(t) =

0 si el primer t ecnico est a dedicado a otras labores1 si el primer t ecnico est a reparando m aquinasSi X(t) =K+1,K+2,...2K-1, entonces:Y(t) =

0 si el segundo t ecnico est a dedicado a otras labores1 si el segundo t ecnico est a reparando m aquinasSi X(t) =K, entonces:Y(t) =

0 si el primer t ecnico est a trabajando1 si el segundo t ecnico est a trabajandoAs, los estados posibles del sistema son:X(t) = 0(X(t), Y (t)) = (n, 0), n = 1, 2, ...2K 1(X(t), Y (t)) = (n, 1), n = 1, 2, ...2K 1X(t) = n, n = 2K, 2K + 1...3KCAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 9y el diagrama de estados es:Las tasas de permanencia de cada estado son las siguientes:v0= v(n,0)= n = 1...K 1v(n,1)= +1n = 1...K 1v(K,0)= +1v(K,1)= +2v(n,0)= +1n = K...2K 1v(n,1)= +1 +2n = K...2K 1v(n)= +1 +2n = 2K...3K 1v(3K)= 1 +2Las probabilidades de transicin pueden ser obtenidas utilizando el diagrama de estados.Una vez denido los estados, sus respectivas tasas de permanencia y sus probabilidades de transicin, esposible escribir las ecuaciones de equilibrio para encontrar la distribucin de probabilidades en el largoplazo, lo cual se deja como ejercicio para el lector.i. La fraccin de requerimientos que se enviarn a un taller externo es equivalente a la proporcin deltiempo en el largo plazo en que el sistema no est capacitado para seguir recibiendo televisores, esdecir, cuando el taller de reparacin tenga 3K televisores. Luego, la fraccin de requerimientos quese envan a un taller externo es P3K.ii. El nmero medio de televisores en espera para su reparacin es:K1n=1nPn,0+K1n=1(n1)Pn,1+(K1)(PK,0+PK,1)+ 2K1n=K+1(n1)Pn,0+ 2K1n=K+1(n2)Pn,1+3Kn=2K(n2)PnCAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 106. A una sucursal bancaria llegan personas de acuerdo a un Proceso de Poisson con tasa . Las personasconcurren a realizar slo uno de dos tipos de trmites: cobrar cheques, lo que debe realizarse en las cajas, obien tomar depsitos a plazo, para lo cual deben ser atendidos en un mdulo especial. Se ha podido determinarque con probabilidad 0.8 una persona concurre a cobrar un cheque. Esta probabilidad es constante, para todaslas personas que llegan, independientemente de cualquier otra consideracin. Si una persona desea cobrar uncheque, pasa a cualquier caja libre, si la hay, o bien se pone a la cola y espera hasta que le toca su turno,considerando una disciplina de atencin en estricto orden de llegada. La sucursal bancaria cuenta con cincocajas, que operan en paralelo, y no hay restriccin de espacio para la cola (de las cajas).Por otra parte, las personas que quieren tomar depsitos a plazo deben ser atendidas en el mdulo (nico)dispuesto a tal efecto, debiendo esperar cuando se encuentra ocupado en la atencin de otro cliente. Con eln de entregar cierta comodidad a los clientes, se ha dispuesto una pequea zona de espera, para los clientesque desean tomar depsitos, con cinco sillones. En consecuencia, siempre que haya al menos un silln libre,el cliente decidir esperar; sin embargo, si un cliente al llegar observa todos los sillones ocupados, se marchadel banco.Los tiempos de atencin en las cajas son v.a. i.i.d. con distribucin exponencial con tasa . Por su parte, laatencin de un cliente en el mdulo de depsitos toma un tiempo aleatorio con distribucin exponencial contasa . Estos tiempos de atencin tambin son i.i.d.(a) Explicite las tasas de nacimiento y muerte para el sistema de cajas de la sucursal bancaria.(b) Suponiendo que hay tres personas en la cola de las cajas y dos personas en la cola para tomar depsitosa plazo, cul es la probabilidad de que el prximo cliente que termine de ser atendido corresponda aalguien que vena a cobrar un cheque?Solucin:(a) Considerando el sistema de cajas de la sucursal bancaria, se sabe que el 80% de las personas que lleganal banco van a cobrar un cheque, es decir, entran al sistema de cajas. Por otra parte, la tasa de muertede este sistema depende de la cantidad de clientes que se est atendiendo en las cajas Luego,n= 0.8 n 0n= n si n 5n= 5 si n > 5(b) Esta probabilidad equivale a la probabilidad de que el mnimo de 5 variables aleatorias independientesde distribucin exponencial de tasa sea menor que una v.a. exponencial de tasa , es decir:5 5 +(Recuerde que la distribucin del mnimo entre n v.a. exponenciales corresponde a una v.a. exponencialcon tasa igual a la suma de las n tasas individuales)CAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 117. En la seccin de manufactura de una planta productiva existen N mquinas, las que estn sujetas a fallas. Eltiempo que pasa hasta que una mquina falla es exponencial a tasa (suponga que esta distribucin es lamisma para todas las mquinas y que stas fallan independientemente unas de otras). En la planta existe untaller de reparacin para atender las mquinas falladas, en que trabajan M operarios (M MLuego,Pn = n1 ... 0n ... 1 P0Si n M,Pn=(N n + 1) (N n + 1) ... Nn! n P0=N!(N n)! n! ()n P0= Nn

()n P0Si n > M,Pn=N!(N n)!n(M) (M) ...(M) (M 1) ... P0=N!(N n)!n(M)nM M! M P0=N!(N n)!1MnM M! ()n P0Adems, Nn=0Pn = 1 Mn=0

Nn

()n P0 +Nn=M+1N!(N n)!1MnM M! ()n P0 = 1con lo que se obtienen la distribucin de probabilidades en el largo plazo.Luego, el nmero promedio de mquinas trabajando correctamente en un instante cualquiera en el alrgo plazoes:E[N X(t)] = N E[X(t)]CAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 12donde E[X(t)] =Nn=0n PnNota: El problema tambin puede resolverse deniendo como variable de estado el nmero de mquinastrabajando correctamente en el instante t.CAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 138. En un centro asistencial 2 mdicos han instalado sus respectivas consultas. Existe una sala de espera comnpara ambas consultas, con una capacidad mxima de N personas. A la primera consulta llegan pacientes deacuerdo a un Proceso de Poisson a tasa 1 y el tiempo de atencin del mdico respectivo es exponencial atasa 1; en la segunda consulta las condiciones son anlogas con tasas 2 y 2 respectivamente. Los pacientesque al llegar encuentran la sala de espera ocupada se pierden, an cuando el mdico respectivo se encuentredesocupado. Formule detalladamente un modelo que permita conocer la proporcin de clientes de cada tipoque se pierden en el largo plazo.Solucin:Se denen dos variables de estado: X(t): nmero de pacientes tipo 1 en el centro asistencial (sala de espera ms consulta) Y(t): nmero de pacientes tipo 2 en el centro asistencial (sala de espera ms consulta)As, el estado del sistema queda denido por (X(t),Y(t)). Los estados posibles son:(X(t), Y (t)) : (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)(n, 0); n = 2, ...N + 1(0, m); m = 2, ...N + 1(n, m); n > 1, m > 1, (n 1) + (m1) NA partir de la denicin de estados, es posible escribir las ecuaciones de equilibrio, a partir del mtodoestndar o utilizando el diagrama de estados del sistema. Se deja como ejercicio al lector el desarrollo de estasecuaciones. recuerde que las ecuaciones de equilibrio estn dadas por:vj Pj = k=jvk Pk Pk,jdonde vj es la tasa de permanencia en el estado j, Pk,j es la probabilidad de transicin del estado k al j y Pjes la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado j en el largo plazo.Finalmente, la proporcin de pacientes que se pierden es la misma para pacientes de ambos tipos y vale:P(N + 1, 0) +P(0, N + 1) +n,m:n>1,m>1,n+m2=NP(n, m)donde P(n,m) corresponde a la distribucin de probabilidades en el largo plazo.CAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 149. Considere un supermercado con 2 cajeras. La cajera 1 atiende todo tipo de clientes, pero la cajera 2 atiendeslo a clientes que han comprado a lo sumo 10 unidades. La caja 1 est ms cerca de la salida del supermercado,por lo cual un cliente que puede ser atendido en la caja 2 (porque compr 10 unidades o menos) se dirije aesa caja slo si la caja 1 est ocupada.Suponga que el proceso de llegada a la caja 1 es Poisson a tasa 1y el de los compran a lo sumo 10 unidades Poisson a tasa 2. Los tiempos de atencin de las cajeras sonexponenciales a tasas 1 y 2 respectivamente. Asuma que cuando un cliente se pone a la cola, ya no se puedecambiar. Sea N(t) el nmero de clientes frente a la cajera 1 en el instante t, incluyendo el que est siendoatendido.(a) Describa el proceso {N(t), t > 0} como un proceso de nacimiento y muerte; encuentre la distribucin delproceso en el largo plazo(b) Obtenga la fraccin de clientes que son atendidos en la caja 2 en el largo plazo(c) El dueo del supermercado quiere aumentar la fraccin obtenida en la parte b); l ha considerado lassiguientes alternativas: aumentar 1, aumentar 2, o aumentar ambas. Cul le recomienda usted?Solucin:(a) Sea N(t) el nmero de clientes frente a la cajera no1 en el instante t, incluyendo el que est siendoatendido. Las tasas de nacimiento y muerte son:0= 1 +2n= 1, si n > 0n= 1, si n > 0Luego, las ecuaciones de equilibrio son:Pn=n1 ... 0n ... 1 P0=(1)n1 (1 +2)(1)n P0=1 +21

11

n1 P0Adems, Nn=0Pn = 1 P0+n=11 +21

11

n1 P0 = 1P0+ 1 +21

11 (1/1) P0 = 1P0=1 11 +2, (la condicin de equilibrio es 1 < 1)Luego,Pn =

1 +21

11

n1

111 +2

(b) La fraccin de clientes que son atendidos en la caja 2 es equivalente a la proporcin entre las tasa deingreso a la caja 2 y la tasa total de clientes, es decir:e1 +2CAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 15donde e es la tasa de entrada a la caja 2. Luego,e= 0 P0 +2 n=1Pn= 2 (1 P0)Con lo que la fraccin de clientes atendidos en la caja 2 es:2 (1 P0)1 +2reemplazando P0 en la ecuacin, se tiene que:2

1+21+1

1 +2=21 +2Se observa que ni 2 ni 1 inuyen en esta proporcin.(c) Esta parte se deja como ejercicio al lector.CAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 1610. Una mquina produce tems uno a la vez; los tiempos de proceso son v.a.i.i.d. con distribucin exponencial atasa . Una vez que los productos son producidos son almacenados en una bodega de capacidad K. Cuandola bodega est llena, la mquina se apaga y deja de producir, y se enciende de nuevo cuando la bodega vuelvea tener espacio para al menos un tem adicional. Las demandas por este tem llegan de acuerdo a un Procesode Poisson a tasa . Cualquier demanda que no puede ser satisfecha se pierde.(a) Formule un modelo para encontrar la distribucin del nmero de tems en la bodega en un instantecualquiera en el largo plazo. Encuentre la proporcin de la demanda que se pierde.(b) Suponga ahora que el tiempo medio de proceso de la mquina es de 1 hora, y que la tasa de demanda esde 20 tems diarios. La capacidad de la bodega es 10. Encuentre la fraccin del tiempo que la mquinapermanece apagada en el largo plazo.Solucin:(a)Sea X(t) el nmero de itemes en la bodega en el instante t. Los posibles valores de X(t) son: 0,1,2,...K.Este sistema se puede modelar como un proceso de nacimiento y muerte con las siguientes tasas:n= , si n < K; K = 0n= , si n > 0; 0 = 0Luego, las ecuaciones de equilibrio son:Pn=n1 ... 0n ... 1 P0=

n P0Adems, Nn=0Pn = 1 P0 +Kn=1

n P0= 1P0

Kn=1n

= 1en que = . Luego,P0 =1 1 K+1con lo que:Pn = n

1 1 K+1

Finalmente, la proporcin de la demanda que se pierde es la proporcin del tiempo en que la bodega notiene productos en su interior, es decir, P0.(b) Se deja como ejercicio al lector.CAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 1711. A un sistema computacional llegan trabajos para ser procesados de acuerdo a un Proceso de Poisson a tasa1 cuando el sistema est en operacin y a tasa 2 cuando est fallado.El tiempo de procesamiento de untrabajo es exponencial a tasa . El sistema solo puede procesar un trabajo a la vez, y puede entregar serviciosolo si est en operacin. Si un trabajo se interrumpe porque el sistema falla, el procesamiento de ese trabajocontina apenas el sistema comienza a operar nuevamente, y el proceso ya efectuado no se pierde. El sistemacomputacional permanece en operacin un tiempo con distribucin exponencial de parmetro y el tiempode reparacin es exponencial de parmetro . El computador puede fallar independientemente si est o noprocesando un trabajo. Desarrolle un modelo que permita calcular el nmero promedio de trabajos en elsistema en un instante cualquiera en el largo plazo.Solucin:Se denen las siguientes variables de estado: X(t) es el nmero de trabajos en el sistema (el que se est procesando ms los que estn esperando) Y(t) =

1 si el computador est a funcionando0 si est a falladoAs el estado queda denido por (X(t),Y(t)) donde X(t) puede tomar valores de 0 a .Las tasas de permanencia y probabilidades de transicin son:Estado Tasa Permanencia Transicin a Estado Prob. Transicin(0,0) 2 + (0,1)2+(1,0)22+(0,1) 1 + (0,0)1+(1,1)11+(n,0) 2 + (n,1)2+(n+1,0)22+(n,1) 1 + + (n,0)1++(n-1,1)1++(n+1,1)11++Luego, las ecuaciones de equilibrio son:P0,0 (2 +) = (1 +) P0,1 1 += P0,1 P0,1 (1 +) = P0,0 +P1,1 Pn,0= Pn,1 +Pn1,0 2, n > 0Pn,1= Pn1,1 1 +Pn,0 , n > 0Considerando que n=0(Pn,1 +Pn,0) = 1 , se puede resolver este sistema de ecuaciones.Finalmente, el nmero promedio de trabajos en el sistema en el largo plazo es:n=1n (Pn,1 +Pn,0)Es importante mencionar lo que ocurre cuando el computador falla mientras est procesando un trabajo.Cuando el computador vuelve a funcionar correctamente sigue con el procesando el trabajo que se estabaejecutando sin perder la parte del proceso ya realizado. El tiempo que resta por procesar, sin embargo, siguedistribuyendo de manera exponencial debido a la propiedad de falta de memoria de esta distribucin. Por lotanto no es necesario agregar alguna variable que indique este fenmeno.CAPTULO 1. CADENAS DE MARKOV CONTINUAS 1812. En una posta rural se reciben dos tipos de enfermos: graves y leves; stos llegan de acuerdo a Poisson a tasa i;i=1,2. Existe un solo mdico disponible para atender los pacientes; el tiempo que toma atender un paciente,de cualquier tipo, es exponencial a tasa . La posta tiene una capacidad para mantener simultneamente Kpacientes (esperando o atendindose). Se utiliza la siguiente poltica de atencin: si al llegar un paciente, hayM pacientes en la posta, el paciente es admitido; si hay ms de M, se acepta solo si es grave (M < K). Calculeen el largo plazo, la proporcin de pacientes de cada tipo que no logra ser admitido a la posta.Solucin:Sea X(t) el nmero de pacientes en la posta en el instante t. Este sistema se puede modelar como un procesode nacimiento y muerte con las siguientes tasas:n= 1 +2, si n Mn= 1, si M < n < KK= 0n= , si n > 0Las ecuaciones de equilibrio para este tipo de proceso son:Pn=n1 ... 0n ... 1 P0, n = 0, 1, ...KKn=0Pn= 1La proporcin de pacientes de cada tipo que no son admitidos es equivalente a la proporcin de tiempo en ellargo plazo en que stos no son admitidos. As:Pr oporci on Graves = PKPr oporci on Leves = PM+1 +PM+2 +... +PK