PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL AULA MÁS Y MÁS PROBLEMAS · PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL AULA MÁS Y...

PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL AULAMÁS Y MÁS PROBLEMAS

Lourdes Muñoz – Pilar Lassalle

Como profesoras de Educación Infantil y Primaria estamos realmente preocupadas por laeducación matemática de nuestros alumnos (en este momento niños de 5, 6 y 7 años).

Vemos que el enorme interés que en los pequeños despierta la matemática se desvanece conel tiempo, que la curiosidad y el interés que muestran al inicio de la escolaridad se convierteen gran número de casos en monotonía que incluso a veces lleva a un fracaso en matemá-ticas, que la innata capacidad para razonar se transforma en la aplicación de reglas y algo-ritmos aprendidos memorísticamente.

Sabemos que resolviendo problemas aprenden matemáticas y pueden llegar a ser usuarioseficientes de este lenguaje internacional.

En este artículo reflejamos lo que sucede en nuestras aulas, cómo se involucran los niños enla resolución de problemas. Pretendemos mostrar pistas, abrir caminos, dar ideas a otrosdocentes que, como nosotras, piensen que realmente hay que dar un cambio en la ense-ñanza de la matemática.

INTRODUCCIÓN

La resolución de problemas ha sido siempre el eje de la evolución de las matemáticas; todoslos conocimientos matemáticos han surgido de la necesidad de resolver cuestiones sociales,comerciales, arquitectónicas ..., siempre para resolver problemas reales.

Como menciona Georges Ifrah en su maravilloso libro “Las cifras; historia de una gran inven-ción”: “La historia de las matemáticas es la historia de las necesidades y preocupaciones deunos grupos sociales que intentan enumerar sus miembros, sus bienes, sus cautivos, fechar lafundación de sus ciudades, victorias... utilizando todo tipo de medios” .

Está claro que en realidad hacer matemáticas es resolver problemas. En la escuela no deberíaser muy diferente: todos los contenidos matemáticos deberían servir únicamente para resolverproblemas.

Ésta ha sido la dirección de la enseñanza tradicional de las matemáticas:

ManipulaciónRepresentación gráficaRepresentación simbólicaResolución de problemas

Queriendo dar un cambio, hemos gastado mucha energía intentando que las matemáticas fue-ran divertidas, asequibles a todos, que tuvieran un carácter lúdico.

Desde luego así hemos dado un paso adelante; se han introducido nuevas actividades, nue-vos materiales, nuevos juegos matemáticos en las aulas. Pero posiblemente el mayor atractivode las matemáticas subyace en que tengan sentido, en que sean un instrumento válido pararesolver muchas situaciones.

SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA6

Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle

Octubre 2002 • 2002 Urria 7

Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle

PROBLEMA MATEMATIKOAK GELANPROBLEMAK ETA PROBLEMAK

Lourdes Muñoz – Pilar Lassalle

Haur eta Lehen hezkuntzako irakasleak gara eta gure ikasleen matematika hezkuntzaz era-bat kezkaturik gaude (une honetan 5, 6, eta 7 urteko haurrak dira).

Matematikak txikiengan sortzen duen jakinmina haundia da, baina denboraren poderiozdesagertuz dihoala ikusten dugu, haurrek lehenengo eskola urteetan duten gogoa eta zaleta-suna monotonia bilakatzen da, askorentzat behintzat, eta sarritan matematikaren ikasketanporrot egitera eramaten ditu.

Kezkatu egiten gaitu haurrek arrazoiak emateko berezkoa duten gaitasuna buruz ikasitakoalgoritmoen aplikazio hutsean geratzen dela ikusteak.

Badakigu ikasleek, problemak ebaztean, matematika ikasten dutela eta, horrela, unibertsaladen hizkuntza honen erabiltzaile trebeak izan daitezkeela noizbait.

Artikulu honetan, gure geletan gertatzen dena somatu daiteke, alegia, nola inplikatzen direnhaurrak problemak ebaztean. Aztarnak eman nahi ditugu, bideak ireki, eta ideiak eman, gukbezala, matematikaren irakaskuntza aldatu beharra dagoela pentsatzen duten irakasleei.

SARRERA

Problemen ebazpena izan da beti matematikaren garapenaren ardatza: ezagupen matematikoguztiak gizartearen beharrei erantzuna emateko sortu dira: giza-arazoak, merkataritzakoak,arkitekturarenak... benetako problemak ebazteko beti.

George Ifrah-k horrela dio bere liburu eder honetan, “Las cifras; historia de una gran inven-ción”: “ Matematikaren historia gizatalde batzuen kezka eta beharren historia da, biztanleak,ondasunak, gatibuak zenbatzen saiatzen den talde baten historia, bere hirien sorrerei eta garai-penei data jarri nahi, eta, horretarako, era guztietako baliabideak erabiltzen dituena.”

Garbi dago matematika egitea problemak ebaztea dela.

Eskolan ez luke desberdina izan behar: matematikako eduki guztiek problemak ebaztearenzerbitzuan egon beharko lukete.

Matematikaren irakaskuntza honela planteatua izan da orain arte :

ManipulazioaAdierazpen grafikoaAdierazpen sinbolikoaProblemen ebazpena

Azken urte hauetan, irakasleok askotan saiatu gara matematikaren irakaskuntza aldatzen,matematika ikasle guztientzat dibertigarria, eskuragarria, gustagarria izatea lortu nahian.

Aurrerapauso bat egin dugu, jarduera berriak egiten dira, material eta matematikako jokuberriak erabiltzen dira geletan. Baina beharbada matematika berez da erakargarria, zentzuaduelako eta tresna baliagarria delako egoera asko ebazteko.

Si creemos que las matemáticas han de ser un conocimiento útil y que su aprendizaje se debebasar en la respuesta a situaciones problemáticas interesantes, significativas y necesarias,debemos dar un cambio radical: considerar la resolución de problemas como punto de arran-que y el elemento que caracterice a todo el proceso de enseñanza de la matemática.

Sabemos que el aprendizaje es un proceso activo y que un alumno entra en actividad cuandose enfrenta a un problema; sabemos también que para poder construir el conocimiento nece-sita la interacción con las personas y los objetos. Partiendo de situaciones significativas, deproblemas reales, el alumno podrá comprender o intuir el procedimiento a seguir, sepa o noque se debe de hacer operaciones matemáticas para resolverlos sepa o no operar con preci-sión. Deberá aprender a resolver operaciones, pero siempre partiendo de un contexto mate-mático real.

Se trata de ofrecer situaciones, herramientas, estrategias adecuadas para pensar, relacionar losdatos, buscar soluciones, verbalizar lo que se piensa, analizar lo que se hizo...

Se trata de que los alumnos desde pequeños aborden los conocimientos tal y como son, consu complejidad y dificultad, y se “sumerjan” en ellos para que puedan, con la ayuda de lamaestra y de los demás alumnos, analizar, relacionar, argumentar y así ir construyendo cono-cimientos y procedimientos matemáticos y conocer el uso que se hace de los mismos.

Se trata de que llegue a ser un usuario autónomo de la matemática.

Pero ¿qué es un problema?

• Diccionario de la lengua FOCUS.

Cuestión que se trata de aclarar, proposición dudosa.

Problema matemático: proposición dirigida a averiguar el modo de obtener unresultado cuando ciertos datos son conocidos.



Resolver problemas matemáticos desde pequeños, a su manera, entre todos

Para aprender es necesario pensar

Manipulación

Representación gráfica

Representación simbólica

(Y no en este orden sino según la necesidad)

Son formas, instrumentos, no fases previas a laresolución de problemas. Medios de los que se vale el

niño y el adulto para resolver un problema

Resolución

de problemas

Matematikak ezagupen baliagarria eta beharrezkoa izan behar duela uste badugu, eta mate-matikaren ikasketak interesgarriak eta esanguratsuak diren egoeretan oinarritua egon beharduela pentsatzen badugu, erabateko aldaketa egin beharrean gaude: matematika irakastekoabiapuntutzat eta ikaste prozesu osoaren ezaugarritzat hartu behar dugu problemen ebazpena.

Badakigu ikasketa prozesu aktibo bat dela eta ikaslea problema baten aurrean aurkitzendenean pentsatzen hasten dela. Badakigu, baita ere, ezagupenak eraikitzeko, ikasleak behar-beharrezkoa duela objektuekin eta beste pertsona batzuekin interakzioan egotea. Egoera esan-guratsuetatik, benetako problemetatik abiatuz, ikasleak piskanaka somatu eta ulertuko du zeinden erabili behar duen prozedura, nahiz eta haurrak ez jakin matematikako eragiketak eginbehar direla problemak ebazteko, nahiz eta haurrak eragiketak ondo egiten ez jakin.

Eragiketak egiten ikasi beharko du, baina benetako egoera matematiko batetik abiatuta beti.Pentsaraziko dioten egoerak, tresnak, eta estrategia egokiak eskeini behar dizkiegu haurrei;pentsatu, datuak alderatu, irtenbideak bilatu, pentsatzen dutena ahoz adierazi, eta egin dutenaaztertu ahal izango dute horrela.

Ikaslea matematikaren erabiltzaile autonomoa izatea da iritsi nahi den helburua. Alegia, lortunahi dugu haurrek eduki matematikoak diren bezala txikitatik lantzea (eduki horiek duten kon-plexutasunekin eta zailtasunekin), eta, eduki horietan murgilduz, irakaslearen eta kideenlaguntzarekin, aztertu, argudioak eman eta erlazioak egin ahal izatea; ezagupen eta prozeduramatematikoak eraikitzen eta aldi berean ezagupen horien erabilerak ikasten joan daitezenhorrela.

Baina zer da problema matematiko bat?

• LUR hiztegi entziklopedikoa.

Argitu edo ebatzi behar den arazoa, zenbait argibidetatik abiatuz emaitza eze-zaguna aurkitzean edo horretarako metodoa zehaztean datzana.



Txikitatik, denen artean, haiek dakiten moduan problemak ebatzi

Pentsatzea beharrezkoa da ikasteko

Manipulazioa

Adierazpen grafikoa

Adierazpen sinbolikoa

(Eta ez ordena honetan, premien arabera baizik)

Ez dira problemak egiten ikasteko laneakEgiteko moduak dira.

Haurrak eta helduok erabiltzen ditugun konponbideak

Problemen

ebazpena

• Diccionario escolar de la lengua española, Santillana.

Cosa que hay que resolver o solucionar y de la que sólo sabemos unos datos.

Cosa mala o difícil que nos preocupa o no nos deja hacer algo.

Está claro que un problema matemático es algo cuyo resultado o solución desconocemos, queconlleva una dificultad que no puede resolverse automáticamente; supone una necesidad deresolverlo y la posibilidad de resolverlo de modo matemático.

Es pues, una actividad mental compleja que incluye deseo de resolución, herramientas mate-máticas y lógicas, paciencia, perseverancia...

EN LA ESCUELA ENSEÑAR MATEMÁTICAS DEBE SER EQUIVALENTEA RESOLVER PROBLEMAS: ASPECTOS METODOLÓGICOS

Sólo con un tratamiento adecuado en la resolución de problemas se puede contribuir al ver-dadero aprendizaje de las matemáticas, su mera inclusión en las actividades de aula no garan-tiza nada.

Es necesario tomar decisiones acerca de qué información necesitamos, cómo obtenerla y orga-nizarla; es necesario analizar las estrategias y técnicas utilizadas, es necesario verbalizar el pensamientoy contrastarlo con el de los demás. Hay que discutir, hay que vivir el problema. De ahí se vannutriendo y aprenden a utilizar como propias estrategias válidas para otros. La solución eficazno sólo depende del conocimiento de conceptos y herramientas, hay que saber utilizarlas yestablecer relaciones entre ellas.

Ejemplo: 5 años

En un paquete hay 15 galletas. Son para tu padre, para tu madre y para ti. ¿Cuántas galletashay para cada uno?

El diálogo es fundamental en la resolución de problemas.

Para nosotras tiene una gran importancia el lenguaje en la construcción del conocimientomatemático. Los niños y niñas cuando se plantean problemas de este modo entienden per-fectamente el problema y cada uno aporta desde su punto de vista una posible solución. Losproblemas se resuelven en grupo (toda la clase o grupos más pequeños), así los niños al ver-balizar sus ideas ordenan su pensamiento, al discutir sus ideas las argumentan, las van modi-ficando al contrastarlas con sus compañeros, las complementan, las rechazan, las reafirman...

El hablar de las actividades matemáticas que realizan les ayuda a profundizar en la represen-tación de las acciones mentales que están llevando a cabo.



Gorka decide que cada uno tendrá tres galletas.Después dibuja las 15 galletas y con rayas realiza elreparto para ver las que sobran. Posteriormenteapunta las galletas que corresponden a cada uno(cada 3 vale por una galleta).

Garbi dago problema matematiko bat emaitza ezezaguna duen zerbait dela, automatikokiebatzi ezin den zailtasuna duena; ebazteko beharra dakar horrek eta matematikoki argitzekoaukera ematen du.

Problemak ebaztea buruko jarduera konplexu bat da; argibideak aurkitzeko gogoa eduki beharda horretarako, eta, baita ere, tresna matematiko eta logikoak, pazientzia, jarraikitasuna...

ESKOLAN MATEMATIKA IRAKASTEAK ETA PROBLEMAK EBAZTEAKGAUZA BERA IZAN BEHARKO LUKE: ALDERDI METODOLOGIKOAK

Matematikaren ikasketan aurreratzeko ez da nahikoa gelan problemak ebazteko jarduerak egi-tea, funtsezkoa da horretarako problemen ebazpenaren trataera egokia izatea.

Problemak ebazteko, erabakiak hartu behar dira: zer informazio behar dugun, informazio horinola lortu eta antolatu; erabili diren estrategia eta teknikak aztertu, eta baita ere pentsakeraahoz adierazi eta besteenekin kontrastatu. Eztabaidatu egin behar da, problema bizi eginbehar da. Egoera horietan elikatzen dira haurrak, eta horrela ikasten dute besteentzat baliaga-rriak diren estrategiak erabiltzen.

Kontzeptuen eta tresnen ezagupena ez da nahikoa soluzio eraginkorra lortzeko, beraien arteanerlazioak egiten eta erabiltzen jakin beharra dago.

Adibidea: 5 urte

Pakete batean 15 gaileta daude. Zuretzat eta zure aita eta amarentzat dira. Zenbat gailetadaude bakoitzarentzat?

Problemak ebazten ikasteko, behar-beharrezkoa da elkarrizketa.

Gure ustean, hizkuntzak garrantzi haundia du matematikaren ezagupena eraikitzeko. Haurrekondo ulertzen dituzte problemak modu honetan planteatzen dituztenean, eta bakoitzak kon-ponbide posible bat proposatzen du orduan. Problemak taldean ebazten dira (gela osoarenartean edo talde txikiagotan), ideiak ahoz adierazterakoan ikasleek beren pentsakera ordena-tzen dute, ideiak eztabaidatzean argudioak ematen dituzte, kideen ideiekin alderatzeanbereak aldatu, osatu, baztertu edo baieztatzen dituzte.

Egiten dituzten jarduera matematikoez hitz egiteak lagundu egiten die egin dutena buruz sako-nago irudikatzen.



Gorkak bakoitzak hiru gaileta edukiko duela erabakidu. Ondoren hamabost gaileta marraztu ditu etamarrekin banaketa egin du sobratzen direnak ikus-teko. Ondoren bakoitzaren gailetak apuntatu ditu (3bakoitzak gaileta bat da).

Al expresar en voz alta lo que piensan sobre las matemáticas avanzan en los conocimientos anivel personal y a nivel grupal, lo cual es también fundamental: tener conciencia de queaprenden y avanzan juntos.

Para ello es imprescindible que los docentes demos oportunidades a los niños para poderexpresar su forma de pensar, les dejemos resolver los problemas de la forma que ellos pue-dan... perdamos el miedo al pensamiento infantil y a sus múltiples estrategias.

Para que el alumno resuelva realmente el problema, deberá determinar cuales son los datosde que dispone, donde/cómo puede encontrar algún dato que le falte, pensar qué procedi-miento usar para resolverlo...

Ejemplo: Educación Infantil, 5 años.

¿Cuántos asientos ocuparemos en el autobús para ir al cine mañana, todos los de las dosaulas?

Trabajo en grupos, en diferentes sesiones.

1ª sesión

Grupo A: La actividad se centró en la búsqueda del dato exacto y en el conteo para lle-gar al resultado. Unos con lápiz y papel y otros con calculadora.

2ª sesión

En gran grupo explicaron a sus compañeros lo que habían hecho.

3ª sesión

Grupo B: Tenían muy claro lo que había que hacer y usaron la calculadora desde el prin-cipio.

4ª sesión

Grupo C: Esta sesión fue posterior al viaje en autobús.

Registro: Leire K. y Klaus / Gorka A. y Ximon / Beñat- Gorka O.

PROFESORA: Ahora ya sabemos que en el autobús cabíamos todos verdad?

KLAUS: Y sobraron asientos.

PROFESORA: Cuántos asientos ocupamos?

BEÑAT: ¡Es muy difícil!

PROFESORA: Si lo necesitáis coged papel y lápiz.

KLAUS: (Coge la calculadora).

GORKA : 20

PROFESORA: ¿Fuimos 20?

KLAUS: Ya sé, miraré fuera.

(Se han ido todos a mirar en las listas de cada aula, que están en el pasillo, al lado de laspuertas. Al rato vuelven.)

TODOS: 30 niños

PROFESORA: ¿Qué habéis hecho?

GORKA: Contar pero sin empezar otra vez: 1, 2, 3...17 y luego 18, 19, 20...30

LEIRE: 17 y luego 18, 19, 20, 21...29, 30. He contado con los dedos hasta completar 30.

PROFESORA: ¿Cómo has sabido que te tenías que parar en 30?



Matematikaz pentsatzen dutena ahoz adieraztean, haur bakoitzak aurrera egiten du bere eza-gupenetan, eta talde osoak ere bai aldi berean, eta hau oso gauza garrantzitsua da: haurrekjakin beharra daukate elkarrekin ikasiz aurrera egiten dutela.

Horretarako ezinbestekoa da irakasleok haurrei aukerak ematea, bai bakoitzak bere pentsa-era adierazteko, eta bai norberak ahal duen moduan problemak ebazteko... eta ez diegu bel-durrik izan behar ez haurren pentsaerari eta ez erabiltzen dituzten estrategia ugariei.

Problema bat ondo ebazteko, haurrak erabaki beharko du zer datu dituen, non eta nola bilatufalta zaion datua, zein prozedura erabiliko duen ebazteko...

Adibidea: Haur Hezkuntza, 5 urte

Zenbat eserleku beharko ditugu 5 urteko bi gelakoek bihar autobusean zinemara joateko?

1. Saioa .

A Taldea: haurrak datu zehatzak bilatzen aritu ziren eta zenbatzen, emaitza lortzeko.

2. Saioa.

Talde haundian A taldeak kontatu du zer eta nola egin duen.

3. Saioa.

B Taldea: Garbi zuten zer egin, eta hasieratik kalkuladora erabili dute.

4. Saioa.

C taldea

Errejistroa: Taldea: Leire K. Eta Klaus / Gorka A. Eta Ximon / Beñat- Gorka O.

IRAKASLEA: Orain badakigu autobusean denok sartzen ginela, ezta?KLAUS; Eta aulkiak sobratu ziren.IRAKASLEA: Zenbat aulki erabili genituen?BEÑAT: Oso zaila da.IRAKASLEA: Behar baduzue papera eta arkatza hartu.KLAUS: (Kalkulagailua hartu du).GORKA A: 20IRAKASLEA? 20 joan ginen?KLAUS: Badakit, kanpoan begiratuko dut.(Denak joan dira gela bakoitzaren ate ondoan dauden zerrendetan begiratzera.)DENAK: 30 ume.IRAKASLEA: Zer egin duzue?GORKA A: Kontatu, baina berriro hasi gabe: 1, 2, 3....17 eta gero 18, 19, 20...30.LEIRE: 17, gero 18, 19, 20, 21...29, 30. zenbatu dut behatzez 30 osatu arte.IRAKASLEA: Nola jakin duzu 30ean gelditu behar zenuela?LEIRE: Lehenengo zenbatu (zerrendan) eta gero behatzez. Badakit 17 gehi 12GORKA O: (kalkulagiluarekin ari da) Gu gara 18, gehi 12 Zenbat da? 18 gehi 12 da...(Kalkulagailua eurokonbertsore funtzioan dago.) Ah! Tomi ez zen etorri eta Lourdesekesan du zenbat joan ginen.

LEIRE: (17+12 jarri du paperean). Eske, ez dakit nola jartzen den hogeita hamar.



LEIRE: Primero contar (en la lista del aula contigua), y luego con los dedos. Yo ya sé 18más 12.Después por parejas resolvieron el problema con la calculadora o en el papelPROFESORA: Le pregunté al chófer y me dijo que el autobús tenía 55 asientos.¿Cuántos asientos sobraron? ¿Cómo podemos saberlo?XIMON: Contando.KLAUS: Hacer el dibujo del autobús , dibujar los niños y así. (Las tres parejas se hanpuesto a dibujar ; cada pareja tiene una hoja)GORKA : 45 (Empieza a dibujar asientos).XIMON: ¡45 es mucho!GORKA: Pero ya sabemos.Los demás están dibujando el autobús sin asientos. Al ver lo que hace Gorka, han empe-zado a dibujar asientos dentro del autobús.)GORKA : Ya Lourdes, 45. (Me enseña lo que ha dibujado.)PROFESORA: Pero son 55, 10 más.GORKA : (Sigue dibujando asientos. Al rato, y para saber cuántos faltan les he ayudadoa contar, )PROFESORA: Y ahora ya sabemos cuántos sobraron? ¿Qué podéis hacer para saberlo?XIMON: Borrar.GORKA: ¡Borrar no!PROFESORA: ¿Hay alguna otra manera?XIMON: Sí, dibujar los niños.

(Las tres parejas han hecho lo mismo, después han contado los asientos libres y para ter-minar han anotado el resultado en el papel).

La sesión ha sido larga y han terminado cansados, pero no he cortado la actividad por-que les he visto muy a gusto y muy implicados en lo que hacían.

Estas son las estrategias empleadas por los niños para resolver el problema:

• Contar todos los nombres en las listas: 1,2, 3, 4...........29

• Contar a partir de 17: 18, 19, 20.............29

• Contar los nombres de la lista B. Luego contar 13 con los dedos a partir de 17:18,19,20 ..........30

• Decir los nombres de los componentes del otro grupo, de memoria, mientras llevan lacuenta con los dedos. Después anotan los datos en la calculadora.

El grupo C resolvió dos problemas. Para resolver el 2º de ellos recurrieron al dibujo.

Un niño propone la estrategia de dibujar y los demás la aceptan ; pero es otro niño el quehace un uso más elaborado de la propuesta gráfica y los demás le imitan.

Se hace patente la riqueza del trabajo en grupo.

Además de la interacción con los compañeros, la intervención del docente es fundamentalpara que cada uno construya sus conocimientos. Lo que el maestro hace y sus intervencionesorales preguntando, dando pistas, determina lo que los niños aprenden. El maestro es quienguía al alumno para que desde sus posibilidades y el uso de estrategias personales pueda lle-gar a aprender el lenguaje matemático convencional.



IRAKASLEA: Hemen begiratu dezakezue (aldamenean daukagun 0-100 zenbakiak dituenhorma-irudia)LEIRE: (30 aurkitzeko zerotik hasita kontatu du eta zuzenketa egin du bere paperean.Horrela utzi du: 17+ 12 30)Beste guztiak kalkulagailuarekin batuketa egiten ari dira. Oso konzentraturik daude.Gero denon artean batuketa kalkulagailuan egin dugu: 17 + 12 (Bitartean ikasi beharizan dute = ikurra sakatuz, emaitza ikusi ahal izateko.IRAKASLEA: Gidariari galdetu nion eta esan zidan 55 eserleku dituela autobusak. Zenbataulki sobratu ziren? Nola jakin dezakegu?XIMON: Kontatzen. Aulkiak zembat sobratu ziren.KLAUS: Marrazkia egin autobusarena eta marraztu niniak eta horrela. (3 bikoteakmarrazten hasi dira.)GORKA A: 45 (Autobuseko aulkiak marrazten ari da).XIMON: 45 asko da!GORKA A: Baina badakigu.(Besteek autobus bat marraztu dute, aulkirik gabe. Gorka egiten ari dena ikustean, auto-busaren barruan aulkiak marrazten hasi dira).GORKA A: Ya Lourdes, 45, (bere marrazkia erakusten dit.)IRAKASLEA: Baina 55 dira, 10 gehiago.GORKA A: (Aulkiak marrazten jarraitzen du. Zenbat falta zaizkion jakiteko egin dituenaulkiak zenbatzen lagundu diot).IRAKASLEA: 55. Orain zer egingo dugu? Zer jakin nahi genuen?XIMON: Nolakoa den autobusa.KLAUS: (Autobusaren barruan aulkiak marrazten ari da.) Binaka daude, baina bat ikus-ten da: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14....IRAKASLEA: (Gorka A eta Ximoni) Zer egin dezakezue jakiteko?XIMON: Borratu.GORKA A: Borratu ez!IRAKASLEA: Ba dago beste modurik?XIMON: Bai, umeak marraztu.

Hiru bikoteek gauza bera egin dute eta, bukatzeko, emaitza paperean apuntatu dute.Saioa luzea izan da eta nekatuta bukatu dute, baina ez dut moztu oso gustora aritu dire-lako, inplikazio haundia egon da.

Problema hau ebazteko haurrek erabili dituzten estrategiak hauek dira:

• Bi zerrendetako izen guztiak zenbatu. 1,2,3,4...29• 17tik hasita 2. zerrendako izenak kontatu: 17, 18, 19...29• Bigarren zerrendako izenak zenbatu. Gero, 17tik hasita 13 zenbatu, kontua behatzez

eginez.• Beste taldeko kideen izenak buruz esan, behatzekin kontua eginez. Ondoren datuak

kalkulagailuan apuntatu.

C taldeak bi problema ebatzi ditu. Bigarrena ebazteko, marrazkiez baliatu dira.Haur batek estrategia bezala marraztea proposatu du, eta kideek onartu egin dute; baina propo-samen grafikoari etekin gehiena atera diona beste haur bat izan da, eta besteek imitatu egin dute.

Talde lanaren aberastasuna agerian dago.



Es importante que los alumnos se den cuenta de la relación que existe entre la situación pro-blema, los datos y los algoritmos. Es fundamental que comprendan desde el principio que jun-tar, coger, ganar, recibir, añadir etc son acciones de suma; que dar, perder, pagar, consumir etcson acciones que suponen restar.

Es necesario mucho más tiempo para resolver un problema de esta manera. Pero el trabajorealizado al ser significativo y abordarlo desde la comprensión genera mayor avance. Cuandose trabaja en profundidad, los alumnos cada vez que se enfrentan a un tipo de problema queya han resuelto antes, normalmente no repiten las mismas estrategias iniciales sino que inten-tan utilizar otras más evolucionadas, utilizan los conocimientos construidos.

Ejemplo: 1º de Primaria

Problema: Si tienes una vaca en casa y esa vaca tiene 8 terneros ¿Cuántas patas tienen entretodos?

Es un problema inventado por una pareja de la clase y ahora lo resolvemos entre todosPrimera vez que se enfrentan a un problema multiplicativo con números tan altos.

Utilizan diferentes estrategias para poder contar el número de patas. Mostramos algunas:



Dibujar los terneros y la vaca madre ydespués contar las patas.

Numerar las vacas, por cada vaca hacer 4rayas (las patas) y después contarlas.

Dibujar un círculo por vaca y después rayaspor patas e ir tachando al contarlas.

Bakoitzak bere ezagupenak eraiki ahal izateko, ikaskideen arteko elkarreraginak bezaingarrantzi handia du irakaslearen eskuhartzeak. Irakasleak egiten eta esaten duenak eragina duhaurren ikasketan. Irakaslea da ikaslea gidatzen duena, bere ahalmenetatik abiatuz eta bereestrategia pertsonaletaz baliatuz, ohiko hizkuntza matematikoa ikas dezan.Problemak ebazten ikasteko, ikasleek hasieratik ohartu behar dute zein den problemaEgoeraren eta datuen eta eragiketen artean dauden erlazioez konturatu behar du. Garrantzihandia du haurrak hasieratik batuketak eta kenketak ekintza zehatz batzuekin lotzen direlaulertzea (jarri, elkartu, irabazi, gehitu... batuketa egoerak dira. Galdu, ordaindu, kontsumitu...kenketa ekintzak dira.)Problemak modu honetan ebazteko denbora gehiago behar izaten da. Baina egindako lanaesanguratsua denez, eta ulermenean zentratuta dagoenez, gehiago ikasten dute ikasleek.Sakontasunez lan egiten denean, ikasleek lehenago ebatzitako problema mota batekin ari dire-nean, normalean ez dituzte errepikatzen lehen erabili izan dituzten estrategiak, eta horienordez diren estrategia landuagoak erabiltzen dituzte; eraikitako ezagupenak erabiltzen dituzte.

Adibidea: Lehen Hezkuntza, 1. Maila

Problema: Behi bat badaukazu etxean eta behi horrek 8 txekor egiten baditu, zenbat hankadute denen artean?

Gelako bikote batek asmatutako problema da eta orain denon artean ebazten ari gara.Zenbaki altuetako horrelako biderketa egiten duten lehenengo aldia da.Hanken kopurua zenbatu ahal izateko estrategia desberdinak erabiltzen dituzte.



Txekorrak eta behia marraztu ondorenhanka guztiak zenbatu.

Behiak zenbatu, bakoitzari lau marra egin(hankak) eta marra hauek zenbatu.

Behiak zirkuluen bidez markatu, gero han-kak marren bidez, eta zenbatzean hauekezabatu.

Después de discutir el problema entre todos, llegamos a la conclusión de que matemática-mente se puede graficar así: 4+4+4+4+4+4+4+4+4=36.O incluso así: 9 X 4 = 36 9 veces 4 patas, o cuatro patas 9 veces.

• La siguiente vez que resolvieron un problema de este tipo “Tengo 6 mesas y mi hijopequeño en la sala. Cada mesa tiene 4 patas. ¿Cuántas patas son?”, ninguno dibujó lasmesas. Rápidamente dijeron que era como el problema de la vaca y los terneros. Porsupuesto para hacer el cálculo utilizaron los dedos, pero ya habían dado un gran paso ade-lante hacia la abstracción matemática y su simbolización.

“Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para hacer otrosproblemas” Descartes

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: SECUENCIA DIDÁCTICA A LARGOPLAZO (Para todo un curso o ciclo)

Objetivos

Con esta propuesta de trabajo sobre la resolución de problemas contribuimos a lograr losobjetivos generales de Infantil y Primaria y los del ámbito de Comunicación y Representacióny del área de matemáticas, marcados en los decretos de desarrollo curricular de nuestraComunidad Autónoma.

Fundamentalmente pretendemos que:

• Los niños y niñas piensen de forma autónoma.

• Adquieran confianza en sus propias capacidades y en su manera de entender las cosas y deresolver situaciones.

• Aprendan a razonar matemáticamente basándose en los conocimientos que ya tienen (éstostienen poca importancia en un aprendizaje memorístico pero son fundamentales en la cons-trucción del conocimiento) y en sus propios recursos.

• Se conviertan en resolutores de problemas, pudiendo hacerlo de muchas formas diferentes,utilizando múltiples estrategias.

• Aprendan a argumentar sus ideas y a intercambiar sus puntos de vista con los demás.

No vamos a hacer un listado de contenidos porque una situación problemática puede invo-lucrar a cualquier bloque de la matemática.

Propuestas de Actividades

Ésta es una línea de trabajo amplia, es una guía para los docentes.

Muchas de las actividades propuestas pueden trabajarse con los niños de cualquier edad deInfantil y Primaria. Variará el nivel de adquisición de los contenidos, el tipo de estrategias uti-lizadas, el grado de comprensión de los conceptos matemáticos que entran en juego...

Las actividades no están secuenciadas ni por nivel ni por el orden en que deban ser realiza-das. Cada docente, que es el que realmente conoce a su grupo, sus intereses, sus posibilida-des..., planificará en cada momento lo más conveniente.



Denon artean problema eztabaidatu ondoren, matematikoki horrela adierazi daitekeela era-baki dugu: 4+4+4+4+4+4+4+4+4=36Edota: 9X4=36, bederatzi aldiz lau hanka edo lau hanka bederatzi aldiz.

• Era honetako problema bat ebatzi genuen hurrengoan, “Sei mahai eta nere seme txikiaegongelan ditut. Mahai bakoitzak 4 hanka dauka. Zenbat hanka dira?” ez zuten marrazki-rik egin; berehala behia eta txekorren problema bezalakoa zela esan zuten. Kalkuluak eginahal izateko behatzak erabili zituzten baina marrazkiak ez egiteak sinbolizazioan eta mate-matikaren abstrakzioan aurrera pauso bat ematea suposatzen du.

“Ebatzi nuen problema bakoitza arau bihurtu zen. Arau horrek beste problema batzuk ebaz-teko bidea eman zidan” Descartes

PROBLEMEN EBAZPENA: EPE LUZEKO SEKUENTZIA DIDAKTIKOA

Helburuak

Problemen ebazpenari buruzko lan-proposamen honek haur hezkuntzako eta lehen hezkun-tzako xedeak eta komunikazioaren eta errepresentazioaren eremuko eta matematikako hel-buru orokorrak lortzen laguntzen du (Curriculumaren garapenerako dekretuetan adieraztendirenak).

Hau da lortu nahi duguna:

• Haurrek autonomiaz pentsatzea.

• Nork bere ahalmenetan eta bakoitzak gauzak ulertzeko eta ebazteko dituen era pertsonale-tan konfiantza edukitzea.

• Haurrak berak dituen ezagupenetan eta bere baliabideetan oinarrituz, matematikoki arra-zoitzen ikastea (ezagupen horiek ez dute garrantzi handirik buruz egindako ikasketetan,baina funtsezkoak dira ezagupenaren eraikuntzan).

• Problemak ebazten beste era batera ikastea, estrategia asko erabiliz.

• Nork bere ideiak argudiatzen eta bere ikuspegia kideenekin trukatzen ikastea.

Ez dugu edukien zerrenda bat egingo, problema egoera batean edozein eduki matematikoazaldu daitekeelako.

Jardueren Proposamena

Lan proposamen hau zabala da, irakasleentzako gida bat da.

Proposatzen ditugun jarduera asko haur eta lehen hezkuntzako ia edozein adinetako haurre-kin egin daitezke. Adin bakoitzean ikasiko dutena desberdina izango da, erabiltzen dituztenestrategiak, eduki matematikoen ulermen maila... desberdinak direlako.

Jarduerak ez daude sekuentziaturik, ez mailaka eta ez ordena jakin batean. Irakasle bakoitzakmomentu bakoitzean egokia dena planifikatuko du, daukan taldearen arabera.



Hemos organizado las actividades en torno a estas dos preguntas:

A. ¿Qué aspectos debemos trabajar para que ayudar a los alumnos a mejorar en la reso-lución de problemas?

B. ¿Qué tipos de problemas nos parecen interesantes para trabajar en el aula?

A. ¿ Qué aspectos debemos trabajar para ayudar a los alumnos a mejorar en la resolución deproblemas?

A continuación proponemos una serie de actividades que no son específicamente resoluciónde problemas, sino que son propuestas de trabajo para que los alumnos mejoren en los aspec-tos más importantes en la resolución de éstos.Cuando intentamos resolver un problema, después o/y en otros momentos es necesario traba-jar algunos aspectos que son fundamentales en la resolución de problemas.

• Comprender el texto del problema (sea oral o escrito), imaginarse la situación y rela-tarla. Es fundamental “hacerse con el problema” para poderlo resolver.A veces se pueden analizar problemas, situaciones sin resolverlas únicamente para versi hay dificultades de comprensión.

• Estimación y verificación. Al verificar la estimación que se ha hecho ayuda a tener undato que en las siguientes situaciones nos ayudan a hacer estimaciones más aproxi-madas.Procuraremos hacer uso de datos de rango y magnitudes diferentes:¿Cuántos libros tenemos en la biblioteca de aula?¿Cuántas fichas habrá aquí?¿Cabrá esta mesa en este hueco?....Si esto es 1 metro ¿Cuánto medirá el patio?

• Estimación de resultados o del procedimiento a seguir (sin necesidad de resolverlo) enun problema determinado.Intentar aproximarse al resultado antes de operar y verificar la estimación realizada.

• Cálculo mental: únicamente mencionaremos la importancia de poseer múltiples estra-tegias de cálculo, lo cual supone un dominio del sistema de numeración.Las herramientas de cálculo y la rapidez a la hora de operar redundan positivamenteen una eficiente resolución de problemas.Siempre mencionando el tipo de datos que son: 8 cm. + 23 cm... / 2 galletas por 17...,no cálculos descontextualizados.

B. ¿Qué tipos de problemas nos parecen interesantes para trabajar en el aula?



Tipo de problema

Problemas reales de los alumnos (vida esco-lar, extraescolar)

Problemas en torno a temas variados

Problemas-juego: lógicos, espaciales, geomé-tricos, aritméticos...

Problemas inventados por los alumnos

Significatividad ¿Por qué?

Significativo por el uso y el contexto

Significativo para el aprendizaje

Significativo porque entretiene, porque pro-voca placer, diversión...

Significativo para el alumno por ser produc-ción propiaSignificativo para la maestra (dato) (vemos lashipótesis que manejan nuestros alumnos)

Bi galderen inguruan antolatu ditugu jarduerak:

A- Zein alderdi landu behar ditugu ikasleei problemak hobeto ebazten laguntzeko?

B- Zein problema mota aukeratu gelan lantzeko?

A- Zein alderdi landu behar ditugu, gure ikasleei problemen ebazpenean trebatzen lagun-tzeko?

Ondoren proposatzen ditugun jarduerak ez dira bereziki problemak ebazten ikasteko, proble-mak ebazterakoan garrantzia duten zenbait alderditan ikasleen trebetasuna hobetzeko baizik.

Problema bat ebazten saiatzen ari garenean, ondoren edo beste une batzuetan, problemenebazpenean zerikusia duten oinarrizko alderdi batzuk landu behar izaten dira.

• Problemaren testua ulertu (ahozkoa nahiz idatzizkoa), egoera imajinatu eta kontatu.Ikasleak problema bereganaturik izan behar du, konponbidea bilatu ahal izateko.Batzuetan, problemak aztertu egin daitezke, ebatzi gabe, ikasleen ulermen zailtasunak ikus-teko.

• Kalkulua eta baieztapena. Egindako kalkulua baieztatzeak, antzeko beste egoera batzuetanerabil daitekeen datu bat ematen du, eta kalkulu zehatzagoak egiten laguntzen du.

• Problema jakin baten emaitza, edo hura ebazteko behar den prozedura aurreikusi (ez dabeharrezkoa problema ebaztea).

• Buru kalkulua: kalkulurako estrategia ugari edukitzeak garrantzi handia du, eta horretarakoondo ezagutu behar da zenbakitze sistema. Kalkuluak egiteko prozedurak eta eragiketak egi-teko arintasuna oso lagungarriak dira problemak ongi ebazteko.Beti adierazi beharra dago zer motako datuak diren: 8zm.+ 23zm / 2 gaileta bider 17... etaez testuingurutik ateratako datuak.

B- Zein problema mota aukeratu gelan lantzeko?



Problema mota

Ikasleek eskolan eta kanpo dituzten benetakoproblemak

Gaiei buruzko problemak

Jolas-problemak: logikakoak, espazialak,geometrikoak, aritmetikoak ...

Ikasleek asmatutako problemak

Esanguratasuna. Zergatik?

Esanguratsua testuinguruagatik eta erabilpe-narengatik

Ikasketarako esanguratsua

Esanguratsuak ondo pasarazten dutelako

Esanguratsua ikaslearentzat norberaren ekoiz-pena delakoIrakaslearentzat esanguratsua, ikasleen eza-gupenen eta gaitasunen berri izateko

Teniendo en cuenta todos estos tipos de problemas trabajamos en tres ejes:

B1 - Aprovechamiento de los problemas matemáticos que se dan en el aula todos los días.

B2 - Situaciones matemáticas en secuencias didácticas (o temas)

B3 - Situaciones didácticas planificadas específicamente para trabajar la resolución deproblemas.

B1- Aprovechamiento de los problemas matemáticos que se dan en el aula todos los días

Cantidad de situaciones (a veces infinidad de ellas) se nos presentan diariamente, deci-dimos aprovechar algunas de ellas por su gran potencial didáctico, otras las reservamospara volverlas a plantear en otro momento más adecuado, y algunas las dejamos pasarpor ser menos interesantes o por falta de tiempo.

A veces un auténtico problema es “nuestro tiempo”, o la concepción que tenemos de él.

Dejamos pasar muchas situaciones de gran potencialidad por falta de tiempo y las resol-vemos nosotras para después emplear dicho tiempo en actividades mucho menos inte-resantes y con menos potencialidad de aprendizaje.

Ejemplos:

Educación Infantil, 5 años

Reparto de 17 fotocopias (aula de 5 años): “Reparte una en cada cubeta”

Ximón tardó un rato en hacer el trabajo. A veces dudaba de si había puesto la hoja en lacubeta o no; miraba para comprobarlo.

No es tan fácil como parece: llevar el orden del reparto, mantener la correspondencia

1-1 sin equivocarse, cuando uno tiene 5 años.

Educación Primaria, 1º

Formar grupos para un trabajo

En un proyecto de trabajo queremos profundizar sobre 4 animales diferentes. En clasesomos 21 alumnos. Por lo tanto se trata de repartirse en 4 grupos. Yeray lo ve rápida-mente: primero hacemos 10 y 10 que son 20 y luego en cada grupo de 10 hacemos 5 y5. Así nos quedan cuatro grupos de 5 que son 20. ¿Qué pasa con el niño que sobra?Comentan que puede hacer el trabajo solo o con la profesora. Les cuesta admitir que elnúmero de componentes de cada grupo no sea el mismo.

Por fin deciden que en uno de los grupos habrá 6 niños y en todos los demás 5.

Es evidente que en ambos casos la maestra hubiera realizado esa tarea en un momento,para dar paso a la actividad correspondiente. Sin embargo estas tareas, son actividadesmatemáticas en sí mismas y al ser realizadas por los alumnos, les ayudan a aprender.

Muchas de éstas son situaciones problemáticas abiertas que dan lugar a la discusión dediferentes caminos y estrategias de resolución e incluso de diferentes soluciones.

Éstas son algunas de las situaciones matemáticas que hemos aprovechado este curso connuestros alumnos:

• Organización del aula: clasificación, conteo del material, organización de losespacios.



Problema mota hauek kontuan harturik, hiru ardatzetan antolatzen ditugu:

B1- Eguneroko bizitzan sortzen diren matematika problemak baliatzen ditugu gelan

B2- Matematika egoeran sekuentzia didaktikoetan edo gaietan

B3- Planifikatutako egoera matematikoak

B1- Gelan eguneroko bizitzan sortzen diren matematika problemak baliatzen

Egoera asko sortzen dira gelako bizitzan. Hainbeste direnez, horietako batzuk baliatzenditugu, eta beste egoera batzuk beste une batean planteatzeko utziko ditugu, eta badirabeste batzuk alde batera utziko ditugunak, hain interesgarriak ez direlako edo denboragutxi dugulako.

Batzuetan, “gure denbora”, edo guk denborari buruz dugun kontzeptua, benetako pro-blema izaten da. Egoera aberatsak alde batera uzten ditugu denbora gutxi dugulako, eta,halakoetan, irakasleok egiten dugu ikasleek egin zezaketena. Denbora hori, beraz, haininteresgarriak ez diren jarduerak egiteko erabiltzen dugu, eta alde batera uzten dituguikasketarako aberatsak izan zitezkeen egoera batzuk.

Adibideak:

Haur Hezkuntza, 5 urte

17 fotokopia banatu: “ Kubeta bakoitzean bat jarri”

Ximonek denbora piska bat behar izan zuen lana bukatzeko. Batzuetan ez zen gogora-tzen ea orria kubetan jarrita zegoen ala ez, eta berriro begiratzen zuen han zegoela ziur-tatzeko.

Erraza dirudi, baina banaketaren ordena eramatea eta 1-1 korrespondentzia nahasi gabemantentzea zaila izaten da 5 urteko umearentzat.

Lehen Hezkuntza, 1. maila

Lan bat egiteko taldeak antolatu

Lan proiektu batean 4 animalia desberdinei buruz sakondu nahi dugu. Gelan 21 ikasledira. Beraz, 4 talde egitea da eginkizuna. Yeraik berehala ikusi du: lehenengo egingodugu 10 eta 10 eta 20 dira eta gero 10eko talde bakoitzean 5 eta 5 egingo dugu. Horrela5 eko lau talde gelditzen dira eta 20 dira. “Zer gertatzen da soberan dagoen ikasleare-kin?” Haurrek esaten dute bakarrik lan egin dezakeela edo irakaslearekin. Kosta egitenzaie talde guztietan haur kopuru bera ez egotea onartzea.

Azkenean, erabaki dute talde batean 6 haur egongo direla, eta besteetan 5.

Garbi dago bi egoera horietan irakasleak berehala egingo zituela bi ekintza hauek, bestezerbait egiten hasteko. Baina ekintza hauek jarduera matematikoak dira berez, eta horiekhaurrei egiten utziz ikasten laguntzen diegu.

Hauetako asko matematika egoera irekiak dira, ebazteko bide, estrategia eta soluzioaskoz hitzegiteko aukera ematen dutenak.

Ondorengo hauek aurtengo ikastaroan, gure ikasleekin baliatu ditugun matematika ego-era batzuk dira:

• Gelaren antolaketa: sailkapena, materialaren zenbaketa, espazioen antolamendua.



• Organización de los grupos de trabajo: dado el número de grupos, calcular cuán-tos niños en cada uno, o dado el número de componentes calcular cuántos gru-pos.

• Repartos: galletas, hojas, platos, servilletas, fichas....

¿Habrá suficiente para todos? ¿A cuánto tocará?

• ¿Cuántos días o meses faltan para una fecha señalada? (cumpleaños, excursión...)

• Material que necesitamos para plástica: encuadernadores, pinzas, papeles para lassimetrías...

• Juegos: reparto de fichas para jugar al Bingo, anotar los tantos al jugar varios equi-pos a los bolos...

Educación Infantil, 5 años

Al jugar varias partidas a los bolos así han apuntado los tantos para saber cuántos boloshan tirado en total y quién es el ganador.

B2- Situaciones matemáticas en secuencias didácticas (o temas)

• Medidas del cuerpo (peso, altura, perímetro craneal, número de zapato) y relaciónentre ellas.

• Número de dientes que tenemos, de falanges, de huesos...

• Embarazo, meses, días...

• Edad de los niños, días, meses...

• Animales: peso, edad que alcanzan, velocidad...

• Medidas de distancias en un plano: comparación y ordenación de recorridos (distan-cia de casa al colegio).

• Cálculo de la edad que tenía Picasso al pintar diferentes cuadros.

• Diferentes situaciones de medida y proporción al construir la maqueta de Rentería.

• Ordenar cuatro cajas por su tamaño.



• Lan taldeen antolamendua: lan talde kopurua emanez, lan-talde bakoitzak zenbatlagun izango dituen kalkulatu, edo ikasle kopurua kontuan harturik zenbat taldeeratuko diren kalkulatu.

• Banaketak: gailetak, orriak, platerak, barajako kartak. Badago denontzat adina?Zenbana iritsiko da?

• Zenbat egun, hilabete falta dira ibilaldi egunera arte? (urtebetetzeak, oporrak, an-tzerki eguna...)

• Plastikarako behar dugun materiala: enkuadernagailuak, pintzak, simetriak egi-teko paperak...

• Jolasak: bingoan jolasteko fitxen banaketa, tantoak apuntatu bolotan aritzean...

Haur Hezkuntza, 5 urte

Bolotan aritzean horrela apuntatu dituzte emaitzak, txanda asko jokatu ondoren, guztirazenbat bolo bota dituzten eta irabazlea nor den jakiteko:

B2- Matematika egoerak sekuentzia didaktikoetan edo gaietan

• Gorputzaren neurriak (pisua, altuera, buruaren perimetroa, zapataren zenbakia) etadatu horien arteko erlazioak.

• Gorputzean ditugun hezur, falange, hortz kopurua.

• Haurdunaldia, hilabeteak, egunak....

• Animaliak; pisua, gehienez iritsi dezaketen adina, abiadura...

• Distantzien neurketa plano batean: ibilbide ezberdinak alderatu eta ordenatu (etxetikeskolara dagoen distantzia. )

• Picassok koadro batzuk zein adinarekin margotu zituen kalkulatu.

• Errenteriako maketa egiterakoan sortu diren neurketa eta proportzioen problemak

• Lau kaxa tamainaren arabera ordenatu.



B3- Situaciones didácticas planificadas específicamente para trabajar la resolución deproblemas

Actividad 1: ¿Qué es un problema matemático?

Si nunca hemos abordado este tema con los niños y niñas, resulta muy interesante plan-tear esta pregunta. Muchas veces a pesar de resolver auténticos problemas matemáticosen el aula, no tienen (ni tenemos) conciencia de ello. No explicitamos que “estamoshaciendo matemáticas”. Otras veces llamamos problemas a meros ejercicios rutinariosque no suponen ningún reto para nadie.

Escucharemos así las ideas y conocimientos que tienen respecto al tema, lo que paraellos es problema y que para ellos es matemática.

Registro de 1º de Primaria:

Profesora: Para vosotros ¿qué es un problema matemático?

Leila: Yo no sé, yo no tengo problemas.

Lide: Tú antes, cuando no nos callábamos tenías un problema, pero después cuando tehas enfadado y nos has reñido, el problema lo hemos tenido nosotros.

Profesora: De acuerdo, eso era un problema, pero ¿era un problema matemático?

Yeray: No, porque no había números.

Asier: Pero hay problemas sin números.

Profesora: ¿Por ejemplo?

(Silencio total durante unos segundos)

Hodei: Yo no sé, pero los laberintos de los pasatiempos no tienen números, yo no sé sison problemas.

Lide: Pues sí, pues serán, porque a veces cuesta mucho salir ¿te acuerdas el del otro día?,ese grande, el de la última hoja, ¿te acuerdas Ainhoa? Al final lo sacamos entre Leila,Ainhoa y yo, y porque nos ayudó Pili, siempre nos liábamos.

Mikel: Pero otros son fáciles.

Lide: Ya, pero ése no, ése era difícil ¿a qué sí?

Profesora: Leila ha dicho que ella no tiene problemas y los laberintos no tenemos clarosi son problemas o no. ¿Alguno de vosotros piensa que ha resuelto alguna vez un pro-blema matemático?

Iker M.: Sí, ¿no os acordáis? Cuando calculamos cuántos encuadernadores hacían faltapara el elefante, la rana y la gallina.

Profesora: ¿Por qué era un problema?

Iker M.: Porque hacían falta muchos y éramos más pequeños y no sabíamos contar.

Eider: Mi madre dice que cuando vas a comprar.

Mikel: ¿Por qué?

Eider: Por el dinero y eso.

Profesora: Lo referente al dinero ¿es un problema matemático?

Iris: Sí. Tú siempre nos dices que no tiremos los papeles de colores, que guardemos loque sobra para otro día porque son muy caros y tenemos poco dinero para comprarcosas para el cole.



B3- Planifikatutako egoera matematikoak

1. Jarduera: Zer da problema matematiko bat?

Ikasleekin inoiz ez badugu gai honetaz hitzegin, oso interesgarria izan daiteke galderahau egitea. Askotan gertatzen da, gelan benetako problemak ebatzi izan arren, ikasleekez dutela egindakoaren eta matematikaren artean loturarik egiten.

Horrela, gaiari buruzko dituzten ideiak eta ezagupenak entzungo ditugu; haientzat mate-matika eta problema bat zer den jakingo dugu.

Lehen Hezkuntzako 1.mailako errejistroa:

Irakaslea: Zer da problema matematiko bat zuentzako?

Leila: Nik ez dakit, nik ez dut problemarik..

Lide: Lehen, gu isiltzen ez ginenean, zuk problema bat zeneukan, baina gero, zu hase-rretu zarenean eta bronka bota didazunean, guk izan dugu problema.

Irakaslea: Adoz, hori problema bat dela, baina, problema matematiko bat da?

Yeray: Ez, ez zegoen zenbakirik.

Asier: Baina zenbakirik gabeko problemak badaude.

Irakaslea: Adibidez?

(Isiltasunean gelditzen dira)

Hodei: Nik ez dakit, baina denborapasetan dauden labirintoek ez dute zenbakirik, bainanik ez dakit problemak diren.

Lide: Ba bai, izango dira, askotan asko kostatzen delako ateratzea. Gogoratzen zaraaurreko egunekoa?, handi hori, azken orrian dagoena, gogoratzen zara Ainhoa?Azkenean Leila, Ainhoa eta hirurok atera genuen eta gainera Pilik lagundu zigulako, betiliatzen ginen.

Mikel: Baina beste batzuk errezak dira..

Lide: Ya, baina hori ez, hori zaila zen, baietz?

Irakaslea: Leilak ez duela problemarik esan du eta ez dakigu labirintoak problemak direnala ez. Norbaitek problema matematiko bat ebatzi duela pentsatzen al du?

Iker M.: Bai, ez zarete gogoratzen? Elefantea, igela eta oiloa egiteko zenbat enkuaderna-dore behar genuen kalkulatu genuenean.

Irakaslea: Zergatik zen problema bat?

Iker M.: Asko behar genuelako eta txikiagoak ginen eta ez genekien zenbatzen..

Eider: Nere amak esaten du erostera zoazenean.

Mikel: Zergatik?

Eider: Diruarengatik eta hori..

Irakaslea: Diruari dagokiona, problema matematiko bat da?

Iris: Bai. Zuk beti esaten duzu ez botatzeko koloretazko papereak, sobratzen dena gordebehar dugula beste egunerako oso garestiak direlako eta eskolarako gauzak erosteko dirugutxi daukagula.



Lide: Sí, porque para comprar cosas necesitas dinero y si no tienes y tú preguntas en latienda ¿cuánto es? y te dicen y no tienes ¿qué pasa?

Yeray: Pues yo no tengo problemas con el dinero. Yo voy los sábados y los domingos acomprar el pan y el periódico y no tengo problemas.

Profesora: ¿Sabes si te dan bien los cambios?

Yeray: Sí, yo doy 2 euros o 3 euros, o los céntimos que me dicen, yo lo cuento y ya está.Es fácil.

Lide: Porque compras sólo dos cosas, si no ya verías...

Iker S.: Yo también compro las chuches donde Txema. Voy yo solo.

Profesora: Vamos a pensar en problemas matemáticos que hayamos resuelto entre todosen clase. Iker ha comentado lo de los encuadernadores...

Jon: Sí, salieron ciento sesenta y ocho, eran muchos, y luego tú trajiste muchas cajas.

Asier: Sí y en cada caja había cuarenta o cincuenta ¿no?

Profesora: Está claro que aquel fue un problema matemático, a ver si nos acordamos dealguno más.

Iris: Cuando el cuento del “Gallo Kiriko”, tú dijiste que eso eran matemáticas, no sabía-mos cuántas hojas poner, queríamos justas...

Alba: Y estaban el gallo, el tío Perico, el fuego, la oveja, el palo...

Eider: La cocinera, la lechuga y la lluvia. Y también la portada.

Profesora: ¿Y por qué era un problema?

Iris: Porque como doblábamos las hojas y hacíamos por todos los lados era un lío y habíaque contar.

Ainhoa: Y cuando a Ismael y a Iker Soto se les cayó el periódico, y lo llevaron al corchoy era la hora del recreo y vino la andereño Ana y estuvisteis todos mucho rato poniendolas hojas bien. ¡Jo, menudo problema!

Profesora: El hacer sumas y restas ¿es un problema?

Yeray: Para mí no, yo hago muy rápido y ya no uso los dedos, ni pinturas ni nada, sólola cabeza.

Eider: Yo a veces sin dedos, es muy fácil: tres y tres son seis, cinco y cinco son diez.

Jon: Un millón y un millón dos millones.

En un principio les cuesta identificar ciertas situaciones como problema matemático. Elusar juntas ambas palabras les desconcierta.

Poco a poco van surgiendo situaciones variadas: laberintos, cómputo de encuadernado-res, dinero, cálculo de hojas que se necesitan para realizar una actividad, ordenación delas páginas del periódico.

Todas las situaciones que mencionan surgen de su vida real, son situaciones reales quehan vivido, significativas y por lo tanto necesaria su resolución.

La resolución de todas estas situaciones supone para estos niños de primero poner enjuego estrategias y formas de pensar variadas y originales.



Lide: Bai, gauzak erosteko dirua behar duzu eta ez badaukazu eta zuk galdetzen duzudendan zenbat da? Eta esaten dizute eta ez badaukazu, zer gertatzen da?

Yeray: Ba nik ez dut problemarik diruarekin. Ni larunbatero eta igandero ogia eta egun-karia erostera joaten naiz eta ez dut problemarik.

Irakaslea: Eta badakizu kanbioa ondo ematen dizuten?

Yeray: Bai, nik 2 edo 3 euro ematen dut, edo esaten dizkidaten zentimoak, nik kontatzenditut eta ya está. Erreza da.

Lide: Bi gauza besterik ez duzulako erosten, bestela ikusiko zenuke...

Iker S.: Nik ere txutxeak erosten ditut Txemaren dendan. Bakarrik joaten naiz.

Irakaslea: Denon artean gelan ebatzi ditugun problema matematikoak pentsatuko ditugu.Ikerrek enkuadernadorearena aipatu du...

Jon: Bai, ehun hirurogeitazortzi atera ziren, asko ziren, eta gero zuk kaxa asko ekarrizenuen.

Asier: Bai eta kaxa bakoitzean berrogei edo berrogeitahamar zeuden, ezta?

Irakaslea: Bai, hori problema matematiko bat izan zela argi dago; ea besteren batetazgogoratzen garen.

Iris: “Gallo Kiriko” ipuinarekin matematikak zirela esan zenuen, ez genekien zenbat orrijarri, ez genuen sobratzea nahi...

Alba: Eta oilarra, Periko osaba, sua, ardia, makila... zeuden.

Eider: Sukaldaria, letxuga eta euria. Eta portada ere bai.

Irakaslea: Eta zergatik zen problema bat?

Iris: Orriak tolestatu behar genituelako eta alde guztietatik egiten genuen, lio bat zen etazenbatu behar genuen.

Ainhoa: Eta Ismaeli eta Iker Sotori egunkaria erori zitzaiela, eta kortxora eraman zuteneta errekreo ordua zen eta Ana andereñoa etorri zen eta denak denbora handia egonzineten orriak ondo jartzen. ¡Jo, menudo problema!

Irakaslea: Batuketak eta kenketak egitea, problema bat da?

Yeray: Neretzat ez, nik oso azkar egiten ditut eta ez dut behatzik erabiltzen, ezta margo-rik ere ez, bakarrik burua.

Eider: Nik batzutan behatzik gabe, oso erreza da: hiru eta hiru sei, bost eta bost hamar.

Jon: Milioi bat eta milioi bat, bi milioi.

Haurrek eragozpenak dituzte egoera batzuk problema matematikoak bailiran identifika-tzeko. Bi hitzak elkarrekin erabiltzea kosta egiten zaie.

Pixkanaka egorea desberdinak sortuz doaz: labirintoak, enkuadernadoreen kopurua,dirua, jarduera bat egiteko behar den orrien kalkulua, egunkariaren orrien ordenazioa...

Aiaptzen dituzten egoera guztiak beraien bizipenak dira, beraien bizitzako egoera erre-alak direnez ebazpena beharrezkoa da.

Egoera hauen ebazpenak 1.mailako haurren pentsatzeko era ugari eta burutsuak piztenditu.



Actividad 2: Invención de problemas matemáticos

Inventar problemas. Es importante que potenciemos que los alumnos sean también pro-ductores (inventores) de problemas matemáticos.

Es un tipo de actividad que favorece la comprensión de los problemas y sirve para ana-lizar con los alumnos factores como el tema del problema, el tipo de datos que apare-cen, la coherencia del planteamiento, su ajuste con una situación real, tipo de operaciónque se debe realizar para resolverlo...

Se propone a los niños y niñas inventar problemas matemáticos y que los escriban (porparejas). Estos son algunos de los problemas inventados por los niños de 1º:

• Si tienes 200 perros y se mueren 30 ¿Cuántos quedan?

• Tengo 6 mesas y mi hijo pequeño en la sala. Cada mesa tiene 4 patas. ¿Cuántas patasson?

• Si una vaca tiene 8 terneros ¿Cómo los cuidaría?

• Si en el colegio hay 834 niños ¿Cuántas orejas hay? Y si cada uno te pide 2 juguetes¿Cuántos tienes que comprar?

• Va una chica a comprar 2 paquetes de patatas. Si cada paquete vale 50 céntimos¿Cuánto valen los dos?

• Tengo 8 perros. Cada uno tiene 8 cachorros. Y no sé cuántos son.

• Si tengo 5 rinocerontes. ¿Cuántas patas tienen?

• Si tienes mil y un perros y te quitan uno. ¿Cuántos te quedan?

• Si tienes tres caramelos y 8 niños ¿Qué harías?

• Si cada uno tenemos tres cuadernillos de matemáticas. ¿Cuántos tenemos entre todos?

• Si vas a un cementerio y hay 100 tumbas y en cada una hay 100 muertos ¿Cuántoshay?

• Tenemos 26 lápices. Cada lápiz tiene 2 puntas. ¿Cuántas puntas tienen?

• ¿Cuántas flores tiene el jersey de Iris?

• Si tienes una vaca en casa y esa vaca tiene 8 terneros. ¿Cuántas patas tienen entretodas?

• Tengo tres perros y me cagan tres veces al día. ¿Cuántas veces cagan entre todos?

El hecho de escribir el problema supone otro tipo de lenguaje diferente al oral. Casi todoslos problemas son de tipo multiplicativo (cuando según la secuenciación tradicional delos contenidos de matemáticas se debería iniciar la multiplicación a finales del 2º curso).

No plantean problemas de sumas y restas.

No plantean ningún problema parecido a los que proponen los libros de texto para estaedad (dato muy importante para que reflexionemos sobre lo que es significativo e inte-resante para los niños).

Muchos de los enunciados comienzan con una condición.



2. Jarduera: Matematikako problemak asmatzen

Problemak asmatu. Garrantzi handia ematen diogu ikasleak problemen sortzaileak iza-teari. Jarduera mota honek problemen ulermena errazten du eta oso baliagarria da ikas-leeekin problemen alderdi batzuk aztertzeko: agertzen diren datu motak, planteamen-duaren koherentzia, errealitatearekin duen lotura, egin beharko diren eragiketa motak...

Problema matematikoak asmatu eta idaztea proposatzen zaie haurrei (bikoteka jarrita).Hauek dira Lehen Hezkuntzako 1.mailako haurrek asmatutako batzuk:

• 200 txakur badaukazu eta 30 hiltzen badira. Zenbat gelditzen dira?

• Sei mahai eta nere seme txikia egongelan ditut. Mahai bakoitzak 4 hanka dauka.Zenbat hanka dira?

• Behi batek 8 txekor egiten badu. Nola zainduko zituen?

• Eskolan 834 haur baldin badaude, zenbat belarri daude? Eta haur bakoitzak 2 jostailueskatzen badizu. Zenbat erosi behar dituzu?

• Neska bat patata bi pakete erostera doa. Pakete bakoitzak 50 zentimo balio badu, zen-bat balio duten biek?

• 8 txakur daukat eta bakoitzak 8 katxorro egiten du. Eta ez dakit zenbat diren.

• 5 errinozeronte badut. Zenbat hanka dute?

• Mila eta bat txakur baduzu eta bat kentzen badizute. Zenbat gelditzen zaizu?

• 3 goxoki eta 8 haur baduzu. Zer egingo zenuke?

• Bakoitzak matematikako hiru koadernilo badugu. Zenbat dugu denon artean?

• Kanposantu betera bazoaz eta hor 100 tunba daude eta bakoitzean 100 hilda. Zenbatdaude?

• 26 arkatz dugu. Arkatz bakoitzak bi punta du. Zenbat punta dute?

• Zenbat lore dago Irisen jertseian?

• Behi bat badaukazu etxean eta behi horrek 8 txekor egiten ditu. Zenbat hanka dutedenen artean?

• Hiru txakur daukat eta egunean hiru aldiz egiten dute kaka. Zenbat kaka egiten duteorokorrean?

Problemak idazterakoan ahozkoa ez den beste hizkuntza bat erabiltzen da.

Haurrei ez zaie bururatu batuketaren eta kenketaren bidez ebazten den problemarik. Iaproblema guztiak biderketa baten bidez ebazten dira (matematika edukien ohikosekuentziazioak biderketa lantzen 1.mailaren bukaeran hasi beharko genukeela adieraz-ten du).

Testu liburuek adin honetarako proposatzen duten motako problema bat bera ere ez duteasmatzen. Honek haurrentzako esanguratsua eta interesgarria denaren inguruan haus-nartzeko aukera ematen digu.

Problema askok hasieran baldintza bat planteatzen dute.



Actividad 3: Resolución de problemas inventados (o propuestos por la maestra)

Toda la clase resuelve los problemas propuestos por cada pareja de niños.

Proponemos una primera fase de resolución personal para que cada niño pueda despuésaportar sus ideas a la discusión. Aparecen numerosas estrategias y formas diferentes deresolución, y después las discutimos entre todos.

Aparte de resolver el problema matemáticamente hablamos sobre si es lógico o no, sihay alguna posibilidad de que se de dicha situación en la vida real o no.

Resolvemos el problema de la vaca que tiene 8 terneros. La solución que dan es correcta:tienen en total 36 patas. Después tratamos si es normal que una vaca tenga 8 terneros ono. Modifican el problema y la que tiene 8 crías ahora es una coneja (situación que sí seda en la vida real).

Entre dos clases diferentes realizamos un intercambio de problemas: los inventados enuna pasan a la otra para ser resueltos y viceversa. Devolvemos a los autores no sólo losresultados sino diversos comentarios acerca lo interesante que ha sido, las estrategias uti-lizadas, si ha sido fácil o muy complicado...

Actividad 4: Inventar problemas teniendo en cuenta alguna condición puesta por lamaestra

Inventar un problema que sea de división; uno cuyo resultado sea 14; un problema quesea de medidas, en torno a un tema: deporte, geografía universo; inventar un problemacon un material determinado (un folleto de propaganda, inmobiliarias del periódico, unticket de compra...); dando una imagen o fotografía...

Se puede proponer inventar problemas difíciles para alumnos mayores, o problemas fáci-les para alumnos más jóvenes (así analizaremos qué supone para nuestros alumnos quealgo sea matemáticamente fácil o difícil).

Yeray inventa el problema siguiente (condición: ser muy fácil): Una niña tiene 6 cara-melos y su hermano le da 7. ¿Cuántos caramelos tienen entre los dos?

Cuando Yeray lo lee Lide comienza a explicar: “ Mira son 13, es fácil, pero el problemaestá en que su madre va y les pregunta ¿habéis comido caramelos? Porque ellos van a lacompra y con lo que les sobra, sin que su madre lo sepa, compran caramelos, y luegose los comen, la niña 6 y el niño 7. Pero luego su madre les pilla y les pregunta si hancomido caramelos para ver qué dicen. Ése sí que es un problema grande, y son 13 losque han comido.

Lide intenta convertir en auténtico problema una situación que matemáticamente seresuelve con un cálculo muy fácil para ella.

Esto nos lleva a pensar en tantos ejercicios rutinarios que realizan en clase bajo el nom-bre de problema y que no suponen ningún reto para nuestros alumnos.

Problemas inventados por diferentes niños teniendo como base la misma fotografía:

• Hay cuatro niños y tres niñas ¿cuántos dientes tienen?

• Estos niños comen en el comedor del colegio. Si todos los días cada uno come dosyogures. ¿cuántos comen en una semana?

• ¿Cuántos años tienen entre todos?



3. Jarduera: Asmatutako problemen ebazpena (edo irakasleak proposatutakoak)

Gela guztiak ebazten ditu haur bikote bakoitzak asmatutako problemak.

Hasieran haur bakoitzari bere kabuz ebazteko aukera ematea proposatzen dugu, gero,taldean eztabaidatzen dutenean, bakoitzak bere aportazioa egin ahal izan dezan.Estrategia asko azaltzen dira, ebazteko era desberdinak, eta, azkenik, denon artean ezta-baidatzen ditugu.

Problema matematikoki ebazteaz gainera, problema hori logikoa den ala ez, eta bizitzanhorrelako egoerarik izaten ote den ala ez aztertzen dugu.

8 txekor dituen behiaren problema ebazten dugu. Haurrek ematen duten soluzioazuzena da: denen artean 36 hanka dituzte. Ondoren aztertu dugu ea normala den behibatek 8 txekor edukitzea. Problema aldatu dute eta oraingoan 8 kume dituena untxi batda.

Bi gelen artean problemak trukatzen ditugu: gela batean asmatutakoak beste gelan ebaz-ten dira, eta alderantziz. Egileei emaitzak itzultzen dizkiegu eta baita ere komentariorenbat, zein interesgarria izan den adieraziz, zein estrategia erabili ditugun, erraza izan denedo oso zaila...

4. Jarduera: Irakasleak jarritako baldintzaren bat kontuan hartu problemak asmatzerakoan

Zatiketa eginez ebazten den problema bat asmatu; 14 emaitza duen bat; neurrien pro-blema bat; gai bati buruzkoa: kirola, geografia, unibertsoa; Material batean oinarrituzproblemak asmatu ( propagandako liburuxka bat, egunkarietako etxebizitzak saltzekoorriak, ordain-agiri bat...); irudi edo argazki batetik abiatuz...

Irakaslearen proposamena izan daiteke ikasle haundiagoentzat problemak asmatzea, edoproblema errazak ikasle gazteagoentzat, bestela ( Horrela ikus dezakegu irakasleok zerden gure ikasleentzat matematikoki zaila edo erraza den egoera bat).

Yerayk problema hau asmatzen du (baldintza: oso erreza izatea): Neska batek 6 goxokidu eta bere anaiak 7 ematen dio. Zenbat goxoki duten bien artean?

Yerayk irakurtzen duenean Lide hasten da adierazten: “Begira, 13 dira, erreza da, bainabere amak galdetzen die ea goxokiak jan dituzten. Haurrak erosketak egitera joan diraeta sobratzen zaien diruarekin, amak jakin gabe, goxokiak erosten dituzten eta gero jatendituzten, neskak 6 eta mutilak 7. Baina gero amak pilatzen ditu eta galdetzen die eagoxokiak jan dituzten ikusteko zer esaten duten, Hori bai dela problema handia eta ezjan dituzten 13 goxokiak.

Haur Hezkuntza, 5urte

Haur batzuek argazki berarekin asmatutako problemak:

• Lau mutil eta hiru neska daude ¿Zenbat hortz dituzte?

• Haur hauek eskolako jantokian bazkaltzen dute. Bakoitzak egunero bi jogurth jatenbaditu, zenbat jaten dituzte aste batean?

• Zenbat urte dituzte denen artean?



Actividad 5: Transformación de problemas

Esta actividad iría muy unida a los problemas con condiciones con una variante: dadoun problema proponer una transformación del mismo dando alguna condición.

Transformar un problema de suma en uno de resta manteniendo las cantidades.

Doblar todas las cantidades del problema y ver si sigue siendo lógico o no y si se puede

resolver.

Cambiar (o añadir) ciertos aspectos del problema sin que varíen ni las operaciones mate-máticas ni el resultado.

Conseguir que el resultado sea tres veces mayor.

Añadir algún elemento o situación al problema para aumentar el número de operacio-nes matemáticas. ...

Y como punto final a esta propuesta didáctica, una observación: los maestros deberíamos ana-lizar de vez en cuando (y bastante minuciosamente) los problemas que aparecen en los mate-riales didácticos.

Porque:

Al trabajar los contenidos matemáticos de forma aislada y descontextualizada, pierden sen-tido, y al no haber relación de unos elementos con otros se convierten en ejercicios más omenos mecánicos.

El hecho de programar el aprendizaje de los problemas en función del algoritmo que seenseña en cada momento supone que, el alumno ya sabe cual es el algoritmo que deberá uti-lizar; no necesita comprender el texto para saber qué operación debe de realizar. (Además fre-cuentemente los datos aparecen en el orden en el que hay que colocarlos para operar).

Cuando los problemas se plantean para ejercitar un algoritmo determinado, se incide en elalgoritmo y se aleja del significado del problema y de la búsqueda de procedimientos de reso-lución.



5. Jarduera: Problemak aldatu

Jarduera hau eta baldintza bat emanez problema bat ekoiztearena antzekoak dira:Problema bat proposatu ikasleei, eta baldintza bat kontuan harturik, problema horri alda-ketaren bat egitea proposatu.

Batuketaren bidez ebazten den problema bat asmatu, eta kopuruak mantenduz, kenketaeginez ebazten den problema bihurtu.

Problema baten kopuruak bikoiztuz gero, aztertu ea problemak logikoa izaten jarraitzenduen ala ez, eta ea posible den ebaztea.

Problemaren atal batzuk aldatu (edo erantsi) eragiketak eta emaitza aldatu gabe. Emaitzahiru aldiz handiagoa izatea lortu.

Problemari elementu edo egoeraren bat erantsi, problema ebazteko eragiketa gehiagoegin behar izateko. ...

Eta proposamen didaktiko hau bukatzeko, ohar bat: irakasleok noizbehinka material didakti-koetan agertzen diren problemak zehastasunez aztertu beharko genituzke arrazoi hauengatik:

Eduki matematikoak bereizita lantzen badira, testuingurutik kanpo, zentzua galtzen dute, eta,elementuen artean erlaziorik ez dagoenez, ariketa mekaniko bilakatzen dira.

Problemak algoritmo jakin bat egiten ikasteko helburuarekin planteatzen direnean, eragiketanjartzen da indarra eta garrantzia, eta ulermena eta ebazteko prozedurak bilatzea alde baterauzten dira.



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