PROBLEMAS

MÉTRICOS

EN EL ESPACIOEN EL ESPACIO

2º Bachillerato

ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS

Ángulo entre dos vectores.

�u v u v cos(u , v)⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �

� u vcos(u , v)

⋅=

� �� �

� �

u�

v�

α � u vcos(u , v)

u v

⋅=

⋅

� �� �

u vcos

u v

⋅α =

⋅

� �

� �

v�

α

ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS

Ángulo entre dos rectas que se cortan.

su�

αru�

u u⋅� �

su�

α

s

r

r s

r s

u ucos

u u

⋅α =

⋅

� �

� �

ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS

Ángulo entre dos rectas que se cruzan.Se define como el ángulo formado por las rectas secantes paralelas alas dadas.

u u⋅� �

r s

r s

u ucos

u u

⋅α =

⋅

� �

� �

ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS

Ejemplo: Halla el ángulo formado por las rectas de ecuaciones:

ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS

Ángulo entre dos planos.

n n⋅� �

n� ′π n n

cosn n

′π π

′π π

⋅α =

⋅

� �

� �

αα

nπ

�

n ′π

�′π

π

ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS

Ejemplo: Halla el ángulo formado por los planos de ecuaciones:

ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS

Ángulo entre una recta y un plano.

( )d n

cos 90ºd n

⋅−α =

⋅

� �

� �

90º −α

n� r

α90º −α

π

d nsen

d n

⋅α =

⋅

� �

� �

ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS

x y z 2r :

x z 1

+ + =

+ =: x y 3π + =

Ejemplo: Halla el ángulo formado por la recta y el plano de ecuaciones:

ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOSEjemplo: Determina la recta r que es paralela al plano π : x − z = 3, forma 30ºcon el plano π’ : z = −2 y pasa por el punto A(0 , 3 , 5).

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO

Proyección ortogonal de un punto sobre un plano.

Se llama proyección ortogonal de un punto P sobre un plano π al punto P’ quese obtiene como intersección de la recta r, perpendicular a π que pasa por elpunto P, con el plano π.

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTOProyección ortogonal de un punto sobre un plano.

Ejemplo: Determina la proyección ortogonal del punto A(0 , 3 , 5) con el planoπ : x − z = 3.

( )n 1,0, 1π = −�

( )A 0,3,5=

x

r : y 3

z 5

= λ

= = − λz 5 = − λ

( )5 3 2 5 3 4π → λ − − λ = → λ − = → λ =

( )4 A ' 4,3,1λ = → =

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO

Proyección ortogonal de una recta sobre un plano.

Se puede obtener de dos formas diferentes:

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO

Ejemplo: Halla la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π:

( )rd 4,1, 1= −�

( )A 1, 2,3= −

Proyección ortogonal de una recta sobre un plano.

x 1 y 2 z 3r :

4 1 1

− + − += = : x y z 4π + − =

( )n 1,1, 1π = −�

( )r ( ) ( )π

La ecuación del plano π’ es:

x 1 y 2 z 3

4 1 1 0 y z 1 0

1 1 1

− + −

− = → + − =

−

Por lo tanto r es:x y z 4 0

r :y z 1 0

+ − − =

+ − =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 1 2 1 2 1d P,Q PQ x x y y z z= = − + − + −����

( )1 1 1P x , y ,z

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Distancia entre dos puntos.

( )2 2 2Q x , y ,z

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

d P,Q PQ 4 5 5 1 11 7 361 19u= = − + + + − − = =����

( )P 5, 1,7−

Ejemplo:

( )Q 4,5, 11−

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Distancia entre un punto y un plano. Método constructivo.

n�

P1. Hallar la recta r perpendicular a π

que pasa por P2. La intersección de π y r es el

r

π

P′2. La intersección de π y r es el

punto P’.3. La distancia entre P y P’ es la

distancia entre π y r.

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Distancia entre un punto y un plano. Expresión vectorial.

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Distancia entre un punto y un plano. Expresión analítica.

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Distancia entre un punto y un plano. Fórmula.

P ( )0 0 0P x , y , z

: ax by cz d 0π + + + =

π ( ) 0 0 0

2 2 2

ax by cz dd P,

a b c

+ + +π =

+ +

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Ejemplo: Calcula la distancia de P (3, 1, 7) a π : x −3y + 5z − 1 = 0

( )3 3 1 5 7 1 34− ⋅ + ⋅ −

( )2 2 2

3 3 1 5 7 1 34d P, 5'75u

351 3 5

− ⋅ + ⋅ −π = = ≈

+ +

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Distancia entre un punto y una recta. Método constructivo.

r

P′

d�

n� 1. Hallar el plano π perpendicular a

r que pasa por P2. La intersección de π y r es el

P

2. La intersección de π y r es elpunto P’.

3. La distancia entre P y P’ es ladistancia entre π y r.

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Distancia entre un punto y una recta. Método del punto genérico.

R1. El punto R es un punto genérico

de la recta y sus coordenadasdepende de λ.

rP

d� depende de λ.

2. Se obliga a que el vector seaperpendicular a r y por tanto a .

3. El producto escalar es 0 y sehalla λ y el punto P’.

PR����

d�

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Distancia entre un punto y una recta. Método del producto vectorial.

P

h

Área Base Altura= ⋅

RP d d h× = ⋅���� � �

r

R d�

h

( )RP d

dist P, r hd

×= =

���� �

�

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Ejemplo: Calcula la distancia del punto P (5, −1, 6) ax 1 2

r : y

z 5

= − λ

= −λ = + λ

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Ejemplo: Calcula la distancia del punto P (5, −1, 6) ax 1 2

r : y

z 5

= − λ

= −λ = + λ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

P 3,1,4 d P, r d P,P 3 5 1 1 4 6 12 u′ ′= → = = − + + + − =

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Ejemplo: Calcula la distancia del punto P (5, −1, 6) ax 1 2

r : y

z 5

= − λ

= −λ = + λ

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Distancia de una recta a un plano.

P 1. Si la recta corta al plano ladistancia es 0.

2. Si es paralela al plano la distancia

r

π

P′

2. Si es paralela al plano la distanciaes la de cualquier punto de larecta al plano.

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Distancia entre dos planos.

P 1. Si los planos son secantes ladistancia es 0.

2. Si son paralelos la distancia es la′π

π

P′

2. Si son paralelos la distancia es lade cualquier punto de uno de losplanos al otro.

DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.

Distancia de entre dos rectas que se cortan o son paralelas.

1. Si las rectas se cortan la distanciaes 0.

2. Si son paralelas la distancia es la

r

s

P

P′

2. Si son paralelas la distancia es lade cualquier punto de una de lasrectas a la otra.

r

s

DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.

Distancia de entre dos rectas que se cruzan. Método plano paralelo.

Ps

1. Hallamos el plano π paralelo a sque contiene a r.

2. La distancia de un punto de s a π

π

P′r

2. La distancia de un punto de s a πes la distancia entre las dosrectas.

( ) ( )d r,s d s,= π

DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.

Distancia de entre dos rectas que se cruzan. Método vector variable.

S

s 1. Un punto genérico de s S.Depende de λ.

2. Un punto genérico de s S. Dependede µ.

0S

R r

de µ.3. Se le impone que el vector sea

perpendicular a r y a s. Nos da R0

y S0.

RS����

( ) ( )0 0d r,s d R ,S=

0R

DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.Distancia de entre dos rectas que se cruzan. Método producto mixto.

Q

h

s

v�

v�

( ) ( )u, v,PQVol. paralelepípedo

d r,s d Q, hÁrea de la base u v

= π = = =×

����� �

� �

πr

Pu�

DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.Ejemplo: Calcula la distancia entre las rectas: x 5

r : y 1

z 8 2

= + λ

= − = + λ

x 4 3

s : y 3

z 5 4

= + µ

= − µ = + µ

DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.Ejemplo: Calcula la distancia entre las rectas: x 5

r : y 1

z 8 2

= + λ

= − = + λ

x 4 3

s : y 3

z 5 4

= + µ

= − µ = + µ

DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS.Ejemplo: Calcula la distancia entre las rectas: x 5

r : y 1

z 8 2

= + λ

= − = + λ

x 4 3

s : y 3

z 5 4

= + µ

= − µ = + µ

PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.

r

rd�

� �

r sd d� �

t

rP

π ′πs

sd�

rd�

( )s s r sPlano : P ,d ,d dπ ×� � �

( )r r r sPlano : P ,d ,d d′π ×� � �

sP

( )

( )s s r s

r r r s

Plano : P ,d ,d dRecta t :

Plano : P ,d ,d d

π ×

′π ×

� � �

� � �

PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.

Ejemplo: Calcula la perpendicular común de las rectas cruzadas:

x

r : y 1

z 1

= λ

= + λ = − − λ

x 2 2

r : y 0

z 1

= − λ

= = + λ

MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.

Área de un paralelogramo del que se conocen los vértices.

B C

AB����

AAD����

Área paralelogramo ABCD AB AD= ×���� ����

D

MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.

Área de un triángulo del que se conocen los vértices.

B

AB����

A CAC����

� 1Área triángulo ABC AB AC

2= ⋅ ×

���� ����

MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.

Ejemplo: Hallar el área del triángulo de vértices:

( )A 5,2,1= − ( )B 1,7,5= ( )C 1,0,4= −

( )

( )( )

AB 6,5,4AB AC 23, 2, 32

AC 4, 2,3

= → × = − −

= −

�������� ����

����( )AC 4, 2,3= −

2 2 2 21 1 1Área triángulo AB AC 23 2 32 1557 19,73 u

2 2 2= ⋅ × = + + = ≈

���� ����

El área del triángulo es, aproximadamente, 19,73 unidades cuadradas

MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.

Volumen de un paralelepípedo del que se conocen los vértices.

AC����

AD����

AB����

AC����

Volumen del paralelepípedo AB,AC,AD =

���� ���� ����

MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.

Volumen de un tetraedro del que se conocen los vértices.

A

B

AB����

DAD����

A

CAC����

1Volumen del tetraedro AB,AC,AD

6 = ⋅

���� ���� ����

D

MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES.

Ejemplo: Hallar el volumen del tetraedro de vértices:

( )A 3,5,7= ( )B 1,0, 1= − ( )C 7, 1,4= −

( ) ( ) ( )BA 2,5,8 BC 6, 1,5 BD 10,4, 5= = − = −���� ���� ����

( )D 11,4, 6= −

3

2 5 81 1 642

Volumen del tetraedro BA, BC,BD 6 1 5 107 u6 6 6

10 4 5

= ⋅ = ⋅ − = = −

���� ���� ����

LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO.

Plano mediador.

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremosdel segmento AB.

( ) ( )d X,A d X,B=

LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO.

Plano mediador.

LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO.

Plano bisector.

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los semiplanosque forman el ángulo.

( ) ( )d X, d X, ′π = π

LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO.

Plano bisector.