Universidad Central del Ecuador

Problemas Abiertos

Integrantes:Bianca PalaciosJerry ReyesPedro Menéndez

Convertir un problema de matemática de tipo cerrado a uno de tipo abiertosignifica reformular la estructura del mismo de forma tal que el problema pase detener una sola respuesta correcta a tener varias. En la solución de estosproblemas, los estudiantes trabajan intensamente con interés y motivación,disfrutando el placer de comprobar de que en un instante, se puede producir lailuminación que compense el esfuerzo realizado.

Para los problemas abiertos los estudiantes deben acotar, reformular, plantearobjetivos de aprendizaje, etc. como punto de partida, en vez de comenzardirectamente con determinados cálculos numéricos a partir de datos queaparecen en el enunciado.

Problemas Abiertos y los estudiantes

Los problemas abiertos exigen al estudiante una actitud diferente, unaparticipación activa y un deseo de indagar y encontrar su solución para laconstrucción de su propio conocimiento, puesto que, al no tener una solucióninmediata, trascienden la esfera del conocimiento en ese momento; no se limitana un determinado juego de datos numéricos, sino que contemplan ciertosparámetros en función de los cuales puedan producirse situacionescualitativamente diferentes.

Adicionalmente, los problemas abiertos describen objetos y fenómenos de larealidad, lo cual constituye una vía para poner al estudiante en relación consituaciones del quehacer cotidiano y potencian el desarrollo de un conjunto derasgos y cualidades de la personalidad, reflejados en la voluntad, los sentimientosy emociones, así como el pensamiento lógico y científico – teórico de los mismos.

Al mismo tiempo, en los problemas abiertos el estudiante necesita ir más allá de lainformación recibida, utilizándola de manera distinta y/o modificando lossignificados atribuidos a los elementos del ejercicio. Ahora los recursos lógicosresultan insuficientes y se precisa de creatividad, lográndose mayor interacción enel aula, mejoran el diálogo e intercambio entre los protagónicos del proceso deenseñanza – aprendizaje y hacen sentir menos el rigor de la evaluación a losestudiantes.

La resolución de problemas abiertos requiere un compromiso por parte de losestudiantes por cuanto tienen que generarles interés; deben concebirse con ungrado de dificultad acorde al nivel; deben suscitar la necesidad de informarse, dediscutir, de evaluar la información que se posee entre los integrantes del grupo ygeneran la oportunidad de reflexionar sobre lo que se está aprendiendo.

• En las clases tradicionales, rara vez se da a los estudiantes la posibilidad de participación en labúsqueda de alternativas para resolver problemas abiertos, se resuelven ejercicios y problemasrutinarios que en general, no propician el diálogo, ni la argumentación y por tanto, no se generaproducción ni circulación de conocimiento para el aprendizaje.

• En la resolución de problemas rutinarios tradicionalmente el docente selecciona las variablessignificativas, cierra el enunciado con datos necesarios y suficientes para resolverlo, proporcionapalabras “claves” que encasillan la solución en determinados “capítulos” o “temas del programade disciplina” y explica “con toda claridad” el algoritmo o la “estrategia de solución”, de modoque los estudiantes puedan aprenderla y repetirla ante “situaciones idénticas”. Es la conocidapráctica del “problema tipo”.

• La elaboración de los problemas abiertos por parte del profesor y el colectivo debe orientarsehacia el mundo de significaciones de los estudiantes8, hacia su zona de desarrollo próximo, esdecir, la situación inicial del problema debe estar concebida para el nivel actual de este, pero lasituación final, lo buscado, junto con el proceso de resolución, que es desconocido pornaturaleza, deben generar verdaderos conflictos cognitivos y como consecuencia, un aprendizajesignificativo de los estudiantes, así como el enriquecimiento de su mundo de significaciones.

Problemas abiertos en clases

Finalmente se debe puntualizar, que el uso de los problemas abiertos tiene queestar al alcance de los estudiantes, se deben orientar en correspondencia conlos intereses, necesidades y posibilidades de estos, vinculados a su campo deacción profesional, donde se incluyan acciones teóricas y prácticas de carácterinterdisciplinarias.

La resolución de problemas abiertos es una actividad que ayuda al desarrollo dela creatividad y al aprendizaje significativo. Sin embargo, el uso de los problemasabiertos, así como las distintas alternativas para la resolución de problemasalcanzan su éxito, sólo en la adecuada combinación e instrumentación de estos,en correspondencia con el nivel de preparación de los estudiantes y el estudioprofundo.

Problemas No Resueltos (Abiertos)

En ciencia y matemáticas, un problema no resuelto o problema abierto, es un problema que puede ser formulado con mucha precisión, y todavía no ha sido resuelto (ya que no hay solución conocida para él). Ejemplos notables de grandes problemas matemáticos que han sido resueltos y cerrados por los investigadores en el siglo XX, son el último teorema de Fermat y el teorema de los cuatro colores.

Existen importantes problemas no resueltos en muchos campos, tales como la ciencia computacional teórica, la física y las matemáticas. Uno de los problemas abiertos más importantes en bioquímica es cómo predecir la estructura de una proteína desde su secuencia, este es el llamado problema de la predicción de la estructura de las proteínas.

Es común en las escuelas de postgrado señalar los problemas no resueltos a los estudiantes. Los estudiantes de posgrado, así como los miembros de la facultad a menudo se involucran en la investigación para resolver dichos problemas.

Problemas No Resueltos De La Matemática

Se ha dado en llamar problemas no resueltos de la matemática a una serie de enunciados o conjeturas matemáticas sobre los que existe una fuerte evidencia empírica de ser ciertos, pero de los que no se conoce una demostración matemática rigurosa. Existen diversas listas de problemas abiertos, entre ellos los problemas del milenio o los problemas de Hilbert (en la actualidad solo una parte de los mismos siguen siendo problemas no resueltos, habiendo sido resueltos la mayoría).

Problemas Del MilenioLos siete problemas del milenio han sido elegidos por una institución privada de Cambridge, Massachusetts (EE. UU.), el Instituto Clay de Matemáticas, cuya resolución sería premiada, según anunció el Clay Mathematics Institute en el año 2000, con la suma de un millón de dólares por cada uno.

La lista es la siguiente:

P versus NP.Conjetura de Hodge.La hipótesis de Riemann.Existencia de Yang-Mills y del salto de masa.Existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes.La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.La conjetura de Poincaré (resuelta).

P versus NP

Consiste en decidir si la inclusión entre las clases de complejidad P y NP es estricta.

Las matemáticas actuales no poseen la suficiente capacidad para poder distinguir problemas de tipo P y NP, para

los cuales es necesario desarrollar algoritmos bastante complejos. El problema en sí reside en que existen

problemas que no pueden resolverse en tiempo polinomial en una máquina determinista, es decir, no son

abarcables. La aritmética actual tiene límites a la hora de realizar algunos cálculos que ni los ordenadores más

potentes pueden realizar en un tiempo "razonable", es decir, del orden de las n^2 o n^3 operaciones. Sin

embargo el carácter exponencial de algunos problemas hace que actualmente su tratamiento sea inviable.

Se piensa que estos problemas podrían estar relacionados con el teorema de incompletitud de Gödel. Según

parece, ciertos enunciados matemáticos, entre los que se incluyen los que se refieren a cotas inferiores de

tiempo de cifrado, no se pueden demostrar dentro del marco de la aritmética de Peano, que es la forma

estándar de la aritmética.

Un ejemplo sería: si queremos determinar todas las formas posibles de asignar 70 personas a 70 trabajos

diferentes de forma que todas las personas tengan un trabajo y ninguna plaza quede vacante, no sería difícil

(para quien posea una mínima base matemática) establecer la solución: 70! (setenta factorial). Sin embargo, el

cálculo de este número sería equivalente a un número del orden de 10 elevado a la centésima potencia, lo que

significa que ni en la edad del universo podría resolverse computacionalmente este problema.

Hoy en día el estudio de este problema se plantea como la resolución o búsqueda de los límites en la

computación.

La conjetura de Hodge

La conjetura de Hodge dice que para variedad algebraicas proyectivas, los ciclos de Hodge son una combinación lineal racional de ciclos algebraicos.

La conjetura de Poincaré

Este es el único problema que ha sido resuelto. En topología, la esfera (o cascarón esférico) se caracteriza por ser la única superficie compacta simplemente conexa. La conjetura de Poincaré establece que esta afirmación es también válida para esferas tridimensionales.

En marzo de 2002, un matemático inglés, Martin Dunwoody, de la Universidad de Southampton, afirmaba haber resuelto este problema, pero luego se encontró un error.

El problema había sido resuelto en los casos de n > 3 por algunos matemáticos, Michael Freedman, Steven Smale, E. C. Zeeman, se mantenía inaccesible, curiosamente, para n = 3.

Finalmente, el matemático ruso Grigori Perelmán dio con la solución, anunciada en 2002 y dada a conocer en 2006. La resolución de la hipótesis de Poincaré hizo que a Grigori Perelmán le fuera concedida en el XXV Congreso Internacional de Matemáticos la Medalla Fields, considerada el mayor honor al que puede aspirar un matemático, premio el cual rechazó debido a que no quería convertirse en una "mascota" para el mundo de las matemáticas.

La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann dice que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1/2.

Existencia de Yang-Mills y del salto de masa

En Física, la teoría cuántica de Yang-Mills describe partículas con masa positiva que poseen ondas clásicas que viajan a la velocidad de la luz. Este es el salto de masa. El problema es establecer la existencia de la teoría de Yang-Mills y un salto de masa.

Las ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los líquidos y gases. Si bien éstas fueron formuladas en el siglo XIX, todavía no se conocen todas sus implicaciones, principalmente debido a la no linealidad de las ecuaciones y los múltiples términos acoplados. El problema consiste en progresar hacia una teoría matemática mejor sobre la dinámica de fluidos. El enunciado del problema es demostrar si a partir de unas condiciones iniciales de fluido laminar la solución del flujo para todos los instantes de tiempo es también un flujo laminar.

El matemático kazajo Mujtarbay Otelbáyev afirma haber encontrado la solución al problema.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer trata sobre un cierto tipo de ecuación que define curvas elípticas sobre los racionales. La conjetura dice que existe una forma sencilla de saber si esas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales.

Conjetura de Goldbach

Christian Goldbach (1742)

En teoría de números, la conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. A veces se le califica del problema más difícil en la historia de esta ciencia. Concretamente, G.H. Hardy en 1921 en su famoso discurso pronunciado en la Sociedad Matemática de Copenhage comentó que probablemente la conjetura de Goldbach no es sólo uno de los problemas no resueltos más difíciles de la teoría de números, sino de todas las matemáticas.

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Christian Goldbach (1742)

Esta conjetura había sido conocida por Descartes. La siguiente afirmación es equivalente a la anterior y es la que se conjeturó originalmente en una carta de Goldbach a Euler en 1742:

Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos.

Esta conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números y ha sido comprobada por ordenadores para todos los números pares menores que 1018.

Cuanto mayor sea el número entero par, se hace más probable que pueda ser escrito como suma de dos números primos.

Sabemos que todo número par puede escribirse de forma mínima como suma de a lo más seis números primos. Como consecuencia de un trabajo de Vinográdov, todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de a lo más cuatro números primos. Además, Vinográdov demostró que casi todos los números pares pueden escribirse como suma de dos números primos. En 1966, Chen Jing-runmostró que todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de un primo y un número que tiene a lo más dos factores primos.

Goldbach formuló dos conjeturas relacionadas entre sí sobre la suma de números primos: la conjetura 'fuerte' de Goldbach y la conjetura 'débil' de Goldbach

En teoría de números, la conjetura débil de Goldbach afirma que:

Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos.

Se puede emplear el mismo número primo más de una vez en esta suma.

Demostrada por el peruano Harald Helfgott, esta conjetura recibe el nombre de “débil” porque la conjetura fuerte de Goldbach sobre la suma de dos números primos, si se demuestra, demostraría automáticamente la conjetura débil de Goldbach.

Esto es así porque si cada número par mayor que 4 es la suma de dos primos impares, se puede añadir tres a los números pares mayores que 4 para producir los números impares mayores que 7.

Algunos expresan la conjetura como:

Todo número impar mayor que 7 puede expresarse como suma de tres números primos impares.

Esta versión excluye la solución 7 = 2+2+3, ya que requiere el número 2, el único número primo par.

Dos trabajos publicados en los años 2012 y 2013 por el matemático peruano afincado en Francia Harald Helfgott, que reivindican la mejora de las estimaciones de los arcos mayores y menores, se consideran suficientes para demostrar incondicionalmente la conjetura débil de Goldbach. De este modo la conjetura queda demostrada después de 271 años.[