Problemas resueltos

PROBLEMA 7.1

El tensor esfuerzo en la viga, que se muestra en la figura (5.8), est dado por

2 xyc 2 y20

Tij 3P 2 y2

c00

4c3

00

0

Siendo c el semiperalte de la seccin transversal de la viga y P una carga puntual aplicada en su extremo.

yx

c

Pz

c

L

1

FIGURA 5.8 Barra prismtica sometida a una carga puntual P en su extremo libre

Determine, aplicando el criterio de VMH, el valor lmite de la fuerza P, de tal forma que la viga se mantenga dentro del rango elstico.

SOLUCIN :

La teora del medio continuo ser aplicable si I 12 3I 2 Sf2 , en todos los puntos del medio.

Si en algn punto I 12 3 I 2 Sf2 , se establecera el lmite del tensor Tij hasta donde sera aplicable la mecnica del medio continuo.

Si en algunas regiones I12 3I 2 S 2f , la teora de la mecnica del medio continuo no ser aplicable.

Si P se aplica al medio, se busca de definir la regin del medio continuo en el cual sea aplicable la teora elstica.

Llamando:k 3P

4c3

Entonces los invariantes valen:

I1 2xyk

I 2 (c 2 y 2 )2 k 2

Sustituyendo los valores de I1 e I2 en la ecuacin (5.39) existir fluencia cuando

4 x 2 y 2 k 2 3k 2 (c 4 2c 2 y 2 y 4 ) Sf 2

Desarrollando:

4 x 2 y 2 k 2 3k 2 c 4 6k 2 c 2 y 2 3k 2 y 4 Sf 2S 2

4 x 2 y 2 3( c 4 2c 2 y 2 y4 ) f

k 2

Esta ltima ecuacin representa la condicin de fluencia de VMH.

La elasticidad sera aplicable mientras no se plastifique algn punto. Los puntos ms esforzados son a (L, c) y b (L, +c).

Se iniciar la fluencia en el medio en el instante en que las coordenadas de los puntos a y b satisfagan la condicin de VMH.

Sustituyendo las coordenadas de los puntos en la condicin de fluencia, se tiene:

2

4 L2 c 2 3( c 4 2c 4 c4 ) f

k 2

22

4L2 c2 f k 2 f

k222

4L c

224242

9P16c 4c

fP2 ff

16c62222

4L c36 L9L

21

P 2c2f

3L

Si la fuerzaPdel extremo est comprendida entre los lmites 2c 2 f P 2c2f, el medio es

3 L3L

elstico.

SiP2c2f, el material deja de ser elstico.

3L

PROBLEMA 7.2

El tensor esfuerzo en la viga que se muestra en la figura (5.9) est dado por:

000

M z

T 0x0

ijIz

000

Siendo Mz el momento flexionante aplicado en los extremos de la viga e Iz el momento de la inercia centroidal de la misma. Determine, aplicando el criterio de VMH, el momento de fluencia Mf de la viga.

x

MzcMz

y

c

FIGURA 7.9 Viga sometida a flexin pura

SOLUCIN :

Existir plastificacin si I12 3I 2 S f2

Mz2Mzx 2

x S 2f; S f

I zI z

x I zS f

M z

Las rectas lmites pasan por el borde del medio sic I z S f,por lo tanto Mz = Mf .

M f

AsM f S fI z

c

SiM f S fI z,todo el medio es elstico.

c

SiM f S fI z,el medio deja de ser elstico y slo una porcin prxima al eje y

c

permanecer elstica.

Esta distribucin de esfuerzos aparecer cuando la seccin se ha plastificado completamente, y ser engendrada por un momento plstico total Mp , tal que

M p M f

Por esttica se puede afirmar que el Mp es la resultante de la distribucin de esfuerzos en la seccin transversal completamente plastificada.

M p Fc

M p S f bc2

Por otra parte,

M f1b (2 c)3S f

c

12

M f2bc 2 S fM f2M p

33

Si el material que forma la pieza tiene el diagrama supuesto, se puede incrementar el momento que provoca la primera fluencia en 50% para alcanzar el momento que provoca fluencia en toda la seccin transversal.M p 3 M f2La relacin que existe entre el momento de la fluencia y el momento de plastificacin total, M p ,M fdepende de la forma de la seccin transversal y puede oscilar entre 1 y 2.5.

1.07 < Mp < 1.17Mf

Mp= 1.5

Mf

Mp 1.5Mf

FIGURA 7.10 Relacin Mp /Mf para diferentes secciones

23

PROBLEMA 7.3

Para el estado de esfuerzo:

000

M z

T 0x0siendo y constantes

ijI

z

000

Determine el esfuerzo de fluencia empleando los criterios de Coulomb-Tresca y VMH. Los esfuerzos principales se obtienen resolviendo la ecuacin caracterstica, y resulta:

1

2

3

As, el tensor esfuerzo queda como

00

Tij 00

00

Condicin de fluencia de VMH :

I 12 3 I 2 Sf2

Los invariantes del tensor esfuerzo son:

I1 = 3

I2 000

00 0

I2

I2 2 2 2 2

I2 32 2

Por lo que, aplicando la condicin de fluencia de VMH, se tiene:

3 2 3 32 2 S f2

9 2 9 2 3 2 S f2

S 2f 3 2S2f3

S f 1.73

Utilizando el criterio de Coulomb-Tresca:

m x1 3S f

22

f

22

f 2

Obsrvese que este ltimo criterio permite un mayor esfuerzo de fluencia comparado con la teora de VMH.

PROBLEMA 5.4

Una muestra cilndrica de un material deformable est confinado por un molde rgido que no le permite deformarse lateralmente, bajo una presin constante p . Aplicando el criterio de VMH, diga si el material alcanza la condicin de fluencia.

Para establecer el estado de esfuerzos y deformaciones suponga que el cuerpo deformable es elstico lineal, homogneo e istropo. Suponga adems que no se producen esfuerzos cortantes en el contacto molde-muestra.

Pmolde

a)rgido

y

molde xb)

muestra

z

FIGURA 7.11 Muestra cilndrica en un molde rgido, a) alzado, b) planta

Datos:

E = 2.1 108 kPa

= 0.2

Sf = 4000 102 kPa

p = 1000 102 kPa

25

5.5 TEORA DE VON MISES HENCKY

SOLUCIN :

Las ecuaciones constitutivas de los materiales elsticos lineales, homogneos e istropos son:

xx = 2Gxx + J1

yy = 2Gyy + J1

zz = 2Gzz + J1

Clculo de las constantes elsticas.

G E2.1 108 0.875 108 kPa

2)2(1 0.2)

(1

E0.2 2.1 1088

0.583 10 kPa

)(1

(12) (1 0.2)(1 2 0.2)

De los datos del problema, se pueden establecer las siguientes condiciones:

xx = p ;xx 0

yy 0;yy 0

zz 0 ;zz = 0

Parayyse tiene:

yy = J1

Parazzse tiene:

zz = J1 yy = zz

Paraxxse tiene:

xx = 1000 = 2Gxx + J1(xx + yy + zz)

1000102 = 2Gxx + xx = xx (2G + )

xx1000 10 2 1000 102

(2G )

(2 0.875 10 8 0.583 108 )

xx0.428 103 J1

yy 0.583 10 30.428 10 3249.5 10 2kPa

yy zz 249.5 102 kPa

Por lo tanto, el tensor esfuerzo resulta igual a

100000

0249.502kPa

Tij 10

00249.5

Aplicando el criterio de VMH, se tiene:

S 2f I12 3 I2

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Clculo del primer invariante I1.

I1 xx yy zz 1000 10 2 249.5 10 2 249.5 10 2

= 1499.0 102 kPa

I2 1000 249.5 249.5 249.5 249.5 1000 104

I2 561250 104

S 2f 1499.0 2 3 561250 10 4 563251 10

S f 750.5 10 4 kPa (esfuerzo de fluencia calculado)

Dado que 750.5 104 kPa 4000 104 kPa , no se presenta fluencia en el material.

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