Problemas Resueltos de Interes Compuesto
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PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERS COMPUESTO
1. Cul es la tasa de inters por periodo de:
a) 30% anual capitalizable mensualmente?
b) 16% anual capitalizable trimestralmente?
c) 2% trimestral?
d) 15% anual?
SOLUCIONES
SOLUCION
Para conocer la tasa de inters por periodo se divide la tasa anual entre la frecuencia de conversin:
a) 30% anual capitalizable mensualmente
Tasa anual = 30%
Frecuencia de conversin = 12
025.012
30.0
conversin de frecuencia
anual inters de tasai
i = 2.50% mensual
b) 16% anual capitalizable trimestralmente
Tasa anual = 16%
Frecuencia de conversin = 4
04.04
16.0
conversin de frecuencia
anual inters de tasai
i = 4% trimestral
c) 2% trimestral
periodo = trimestre
Tasa anual = 2% x 4 = 8%
Frecuencia de conversin = 4
02.04
08.0
conversin de frecuencia
anual inters de tasai
i = 2% trimestral
-
d) 15% anual
Tasa anual = 15%
Frecuencia de conversin = 1
15.01
15.0
conversin de frecuencia
anual inters de tasai
i = 15% anual
2. Cul es la frecuencia de conversin de los ejemplos del problema anterior?
a) 30% anual capitalizable mensualmente?
SOLUCION
Periodo = mes
Frecuencia de conversin = 12
b) 16% anual capitalizable trimestralmente?
SOLUCION
Periodo = trimestre
Frecuencia de conversin = 4
c) 2% trimestral?
SOLUCION
Periodo = trimestre
Frecuencia de conversin = 4
4. Determine el inters que gana en un ao un depsito de $1 000 en:
a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de inters anual simple.
b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de inters semestral simple.
c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de inters anual compuesto semestralmente.
d) Una cuenta de valores que paga 20% de inters anual convertible trimestralmente.
SOLUCION
DATOS
I ?
Plazo = 1 ao
C = $1,000.00
-
a) i = 20% anual simple
La frmula que se utiliza es I=Cit porque pide calcular el inters simple:
Como el plazo es 1 ao, t = 1.
200.00I
20)(1)(1,000)(0.
I
CitI
I = $200.00
b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de inters semestral simple.
SOLUCION
Se utiliza la frmula de inters simple, con
I = 10% semestral simple y t = 2 semestres:
200.00I
)20)(1(1,000)(0.
I
CitI
I = $200.00
c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de inters anual compuesto semestralmente.
SOLUCION
Se utiliza la frmula de monto a inters compuesto, y luego el resultado se resta del capital:
j = 20%
m =2
n = (1) (2) = 2 semestres
semestralsemestralm
ji 10.0%10
2
%20
00.210,1
21.1000,1
10.1000,1
10.01000,1
1000,1
2
2
M
M
M
M
iMn
00.000,100.210,1
I
CMI
I = $210.00
-
d) Una cuenta de valores que paga 20% de inters anual convertible trimestralmente.
SOLUCION
Se utiliza la frmula de monto a inters compuesto, y luego el resultado se resta del capital:
j = 20%
m = 4
n = (1) (4) = 4 trimestres
trimestraltrimestralm
ji 05.0%5
4
%20
51.215,1
21550625.1000,1
05.1000,1
05.01000,1
1000,1
4
4
M
M
M
M
iMn
00.000,151.215,1
I
CMI
I = $215.51
5. Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valores que paga
15% anual convertible mensualmente:
a) Al cabo de un ao
b) Al cabo de dos aos
SOLUCION
Se utiliza la frmula de monto a inters compuesto:
DATOS
C = $50 000.00
j = 15%
m = 12
La tasa de inters compuesto para cada inciso es:
mensualmensualm
ji _0125.0_%25.1
12
%15
-
El nmero de periodos n depende del plazo, y se obtiene multiplicando el nmero de aos por la
frecuencia de conversin.
a) Al cabo de un ao
n = 1(12) = 12 meses
160754518.1000,50
025.1000,50
.0125.01000,50
1
12
12
M
M
M
iCMn
M = $58,037.73
b) Al cabo de dos aos
n = 2(12) = 24 meses
34735105.1000,50
0125.1000,50
.0125.01000,50
1
12
24
M
M
M
iCMn
M = $67,367.55
9. Cunto dinero debe pagarse a un banco que hizo un prstamo de $300 000 si se reembolsa al ao
capital e inters y la tasa aplicada es de 0.24 anual convertible trimestralmente?
DATOS
C=$300 000.00 (cantidad prestada por el banco)
Tasa nominal anual = 0.24 = 24%
Plazo = 1 ao
Periodo de capitalizacin = trimestre
Frecuencia de conversin = 4 (un ao tiene 4 trimestres)
M = ?
SOLUCION
trimestral 6%
conversin de frecuencia
anual nominal tasa
4
24.0i
i
trimestres
aos en plazoconversin de frecuencia
414
n
n
-
26247696.1000,300
06.1000,300
06.01000,300
1
4
4
M
M
M
iCMn
M = $378,743.09 (dinero que se le debe pagar al banco)
26. Cunto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de $250 000 en
un plazo de 2 aos, y la tasa de inters es de 9% convertible mensualmente?
DATOS
C = ? (La cantidad que se debe depositar es un valor actual)
M = $250 000 (La cantidad a acumular es valor futuro)
Plazo = 2 aos
j = 9%
m = 12
SOLUCION
Entonces, se busca el valor actual a inters compuesto conociendo el monto.
n = 2(12) = 24 meses
C = $208 957.85 (Cantidad a depositar para acumular
$250 000.00 en dos aos)
0075.0%75.0
12
%9
i
m
ji
957.85 208
0.8358314250000
0075.1250000
0075.01250000
1
24
24
C
C
C
C
iMCn
-
27. Qu cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de prstamo si ha firmado un
documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18% convertible trimestralmente, y tiene
vencimiento en 18 meses?
DATOS
C = ? (La cantidad que recibe en prstamo es un valor actual)
M = $650 000 (valor nominal del documento o valor futuro)
Plazo = 18 meses
j = 18%
m = 4
SOLUCION
Entonces, se busca el valor actual a inters compuesto conociendo el monto.
n = (18/12)(4) = 6 trimestres
C = $499 132.23 es la cantidad que se recibe en prstamo
30. Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagar que incluye intereses a razn de
3% trimestral, y que ser pagadero al cabo de un ao. Qu cantidad puede obtenerse por l si se
descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de inters de 12% convertible mensualmente?
DATOS
M = $50 000 (valor futuro de la deuda o del pagar)
i = 3% trimestral (Tasa de inters por periodo de la deuda)
plazo = 1 ao (Tiempo en que se pagar la deuda)
plazo = 4 meses (tiempo transcurrido desde que se document la deuda)
45.0%50.4
4
%18
i
m
ji
132.229881 499
0.76789574000 650
045.1000 650
045.01000 650
1
6
6
C
C
C
C
iMCn
-
plazo = 12 4 = 8 meses (plazo que se anticipa el pago)
j = 12%
m = 12
SOLUCION
Se busca el valor actual considerando el descuento y transcurridos 4 meses despus de que se firm
el pagar.
01.0%
12
%12
i
m
ji
n = 8 meses
C = $46 174.16 (Cantidad que se puede obtener si se
descuenta)
34. Por la venta de una casa, una compaa inmobiliaria recibe un pagar por $140 000 con
vencimiento a 5 aos que devenga intereses a razn de 10% anual convertible semestralmente. Qu
cantidad recibir la empresa si al cabo de un ao descuenta el documento en su banco y ste le
cobra 16% de inters anual?
SOLUCION
El pagar produce intereses, por lo que es necesario calcular el valor del mismo en la fecha de su
vencimiento, es decir, se debe calcular el monto con los siguientes:
DATOS
C = $140 000 (importe de la venta de la casa a valor actual)
Plazo = 5 aos (tiempo en que vencer el pagar)
j = 10%
m = 2
M = ? (valor nominal del pagar)
2446174.1611
20.92348322000 50
01.01000 50
1
8
C
C
C
iMCn
-
M = $228 045.25 (valor del pagar cuando venza)
Con este valor futuro se calcula su valor actual con las condiciones del descuento que aplica el banco:
M = 228 045.25
Plazo = 4 aos
j = 16%
m = 1
C = ?
C = $125 947.36 (valor que recibe la empresa un ao
despus)
36. En cunto tiempo se duplica un capital si la tasa de inters efectiva anual es de:
a) 10%?
b) 20%?
DATOS
Plazo = ?
C = C (el capital puede ser cualquier cantidad)
M = 2C (el monto ser el doble del capital)
De la frmula del monto a inters compuesto se despeja el plazo (n):
a) 10%?
2477.228045
628894627.1140000
05.01140000
1
10
M
M
M
iCMn
3615.125947
552291097.025.228045
16.0125.2280454
C
C
C
272540897.7041392685.0
301029995.0
10.1log
2log
10.1log2log
10.1log2log
10.12
10.12
10.012
1
n
n
n
C
C
CC
iCM
n
n
n
n
n
-
a) 20%?
39. Una inversin duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de inters. En cunto
tiempo lo triplicar?
SOLUCION
La inversin inicial puede ser cualquier cantidad, la condicin es que 18 meses despus ser el doble
de esa cantidad. Con estos datos se calcula la tasa de inters con la que se duplica:
C = C
M = 2C
n = 18 meses
n = ?
aplicando la frmula de la tasa de inters compuesto, que se despeja de la frmula del monto a
inters compuesto:
Despejando, tenemos:
Sustituyendo los datos, se tiene:
Para conocer el tiempo en que se triplica el capital, los datos son:
n = 7.272540897 aos es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al
10% efectivo anual
8018.3079181246.0
301029995.0
20.1log
2log
20.1log2log
20.1log2log
20.12
20.12
20.012
1
n
n
n
C
C
CC
iCM
n
n
n
n
n
n = 3.8018 aos es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al 20%
efectivo anual
ni1CM
1C
Mi n
60.03925922i
1039259226.112
12
1
18
18
i
C
Ci
C
Mi n
A esta tasa se duplica el capital
-
C = C
M = 3C
i = 3.9259226% mensual
n = ?
Ahora, de la frmula del monto a inters compuesto se despeja otra para calcular el plazo:
meses 28.53n
i1log
C
Mlog
n
52932504.28n
80.01672388
40.47712125
61.03925922log
3logn
60.039259221log
C
3Clog
n
40. Se realiza una inversin de $50 000 en un banco el da 1 de febrero. En qu fecha valdr
$55 000 si la tasa de inters es de 15% compuesta mensualmente?
SOLUCION
La cantidad invertida de $50 000 es el capital (C) y el 1 de febrero la fecha inicial. Los $55 000 es el
monto (M)(o valor futuro de la inversin) y se busca la fecha final. Para encontrarla, primero
calculamos el plazo de la inversin, determinando el valor de n a inters compuesto:
j = 15%
m = 12
exacto) tiempo ndo(considera septiembre de 22 final fecha
exacto) (tiempo das 233 365 x 7.67/12 n
)aproximado tiempo ndo(considera septiembre de 21 final fecha
das 20 meses 7n
meses 7.67n
i1log
C
Mlog
n
672370808.7n
18870.00539503
50.04139268
1.0125log
1.1logn
0.01251log
50000
55000log
n
La inversin se triplica en 28.53 meses
0.0125i
12
15%
m
ji
-
42. A qu tasa de inters un capital quintuplica su valor en 10 aos?
SOLUCION
El capital (C) puede ser cualquier cantidad. Si se quintuplica, el monto (M) es 5 veces C, es decir, 5C.
DATOS
C = C
M = 5C
Plazo = 10 aos
m = 1 (la frecuencia de conversin es 1, pues el plazo se expresa en aos)
n = 10 aos
De la frmula del monto a inters compuesto se despeja la tasa de inters compuesto, se sustituyen
los datos, y se resuelve:
43. Qu tasa de inters nominal ha ganado un capital de $20 000 que se ha incrementado a $50
000 en 3 aos, si dicho inters se capitaliza:
a) mensualmente?
b) trimestralmente?
SOLUCION
Para encontrar la tasa nominal (j) primero se calcula la tasa de inters por periodo (i), con la frmula
que se despeja de la frmula del monto a inters compuesto:
DATOS
j = ?
C = $20 000
M = $50 000
Plazo = 3 aos
a) mensualmente?
La frecuencia de conversin es:
m = 12 Entonces:
n = 3 aos x 12 = 36 meses
anual %17.4618943i
174618943.01174618943.1
1515
1
1010
i
iC
Ci
C
Mi n
-
periodo) por (tasa mensual 2.578%i
025779201.01025779201.1
15.2120000
50000
1
3636
i
ii
C
Mi n
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
J = 30.94% anual convertible mensualmente
b) trimestralmente?
La frecuencia de conversin es:
m = 4 Entonces:
n = 3 aos x 4 = 12 trimestres
periodo) por (tasa trimestral 7.9348438%i
079348438.01079348438.1
15.2120000
50000
1
1212
i
ii
C
Mi n
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
44. Pablo Prez deposit $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 aos y 9 meses. Actualmente
tiene $208 862, y desea saber cul es la tasa de inters que ha ganado si la capitalizacin es
trimestral.
DATOS
C = $100 000 (la cantidad depositada es el capital)
M = $208 862 (la cantidad que ahora tiene es el valor futuro de su depsito)
plazo = 3 aos y 9 meses
j = ?
m = 4 (la frecuencia de conversin es trimestral, o sea, 4 por ao)
309350417.0
j
j
jmi
m
ji
1210.02577920
mentetrimestral econvertibl anual 31.74%j
317393752.0480.07934843j
jmi
m
ji
-
SOLUCION
Se busca la tasa de inters por periodo y luego la tasa nominal:
n = 15 trimestres (3 aos x 4) + 9/3 = 12 + 3 = 15 trimestres
periodo) por (tasa trimestral 5.03%i
050325627.01050325627.1
108862.21100000
208862
1
1515
i
ii
C
Mi n
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
mentetrimestral econvertibl anual
201302508.04050325627.0
20.13% i
j
jmi
m
ji