EDITORIAL

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EDITORIALUNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

Rafael J. Villanueva MicóCatedrático de Matemática Aplicada de la Uni-versitat Politècnica de València (UPV), actual-mente imparte docencia en las asignaturas de Modelos Matemáticos para ADE en la Facultad de Administración y Dirección de Empresas. En cuanto a investigación, pertenece al Instituto Universitario de Matemática Multidisciplinar donde investiga en modelos matemáticos para el estudio de la dinámica de transmisión de enfermedades infecciosas.

Clara Burgos Simón | José Sergio Camp Mora | Llúcia Monreal Mengual | Ana Navarro Quiles | Cristina Santamaría Navarro | Rafael Jacinto Villanueva Micó (coord.)

UPVUPV

Clara Burgos SimónGraduada en Matemáticas por la Universitat de València (UV) en el año 2015. Obtuvo el título de Máster en Investigación matemática por la UV y la Universitat Politècnica de Va-léncia (UPV) en julio del 2016. Actualmente es estudiante de doctorado en la UPV, en el Instituto de Matemática Multidisciplinar. Su investigación se centra en la implementación computacional de modelos epidemiológicos y el tratamiento de la incertidumbre bajo el punto de vista estadístico.

Sergio Camp MoraLicenciado en Ciencias Matemáticas en la Universitat de València (UV). Realizo la tesis doctoral en la Universidad Pública de Navarra con título Three theorems in a class of locally finite groups y ha continuado en esa misma línea de investigación: ‘teoría de grupos. Propiedades reticulares de grupos localmente finitos’. Actualmente es contratado doctor en la Universitat Politècnica de València e impar-te sus clases en la Facultad de Administración y Dirección de Empresas.

Llúcia Monreal MengualProfesora titular de Universidad de Matemá-tica Aplicada de la Universitat Politècnica de Valencia (UPV) imparte docencia en el Grado de Administración y Dirección de Empresas (ADE), en la asignatura Modelos Matemáticos para ADE. Su investigación, la cual se centra en la Modelización Matemática en Ingeniería y Física, la desarrolla en el Centro de Investiga-ción en Tecnologías Gráficas de la UPV.

Ana Navarro QuilesDoctora en matemáticas por la Universitat Politècnica de Valencia (UPV), actualmente disfruta de un contrato post-doctoral en DeustoTech dentro del marco del proyecto “DYCON: Dynamical Control”, financiado por European Research Council - ERC grants. Su investigación se centra en el estudio de pro-blemas basados en ecuaciones diferenciales parámetro-dependientes con incertidumbre, usando diferentes técnicas tanto analíticas como computacionales.

Cristina Santamaría NavarroContratada doctor en el Departamento de Matemática Aplicada de la Universitat Politèc-nica de València (UPV). Ha impartido clases en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería del Diseño y actualmente en la Facultad de Administración y Dirección de Empresas, donde imparte las asignaturas de modelos Matemáticos para ADE I y II. Ha desarrollado la actividad investigadora desde el año 2004 en la modelización matemática para el estudio de procesos con eventos recurrentes en el campo de Supervivencia y Fiabilidad.

Problemas resueltos de modelos estáticos y optimización aplicados a la administración y dirección de empresasClara Burgos Simón | José Sergio Camp Mora | Llúcia Monreal Mengual | Ana Navarro Quiles | Cristina Santamaría Navarro | Rafael Jacinto Villanueva Micó (coord.)

Los estudiantes que se inician en el Grado en Administración y Dirección de Empresas necesitan iniciarse en el estudio de ciertos modelos económicos desde un punto de vista matemático, ya que juegan un papel fundamental en áreas como las Finanzas, la Mi-croeconomía y la Macroeconomía entre otros. Así, este libro tiene como objetivo principal apoyar sus conocimientos matemáticos a través de una clasificación de los modelos en diferentes capítulos, dependiendo del tipo de problema a abordar. Además en cada uno de los problemas desarrollados se ha indicado brevemente su reso-lución haciendo uso del software Mathematica, para dotar al lector de los conocimientos computacionales necesarios en su avance en la materia con una intención claramente pedagógica.

Problemas resueltos de modelos estáticos y optimización aplicados a la administración y dirección de empresas

Colección Académica

Colección de carácter multidisciplinar, orientada a los estudiantes y cuya finalidad es apoyar la gestión docente conforme a los planes de estudio de las titulaciones universitarias impartidas en la Universitat Politècnica de València, constituyendo bi-bliografía recomendada para el aprendizaje de una asignatura. Los títulos de la colección se clasifican en distintas series según el área de conocimiento y la mayoría de ellos están disponibles tanto en formato papel como electrónico.

Todos los títulos de la colección están eva-luados por el departamento de la Universitat Politècnica de València en el que se inscribe la materia, atendiendo a la oportunidad de la obra para el estudiante y la adecuación de la metodología empleada en su didáctica.

Para conocer más información sobre la colección, los títulos que la componen y cómo adquirirlos puede visitar la web http://www.lalibreria.upv.es

Problemas resueltos de modelos estáticos y optimización aplicados a la

administración y dirección de empresas

Clara Burgos Simón José Sergio Camp Mora Llúcia Monreal Mengual

Ana Navarro Quiles Cristina Santamaría Navarro

Rafael Jacinto Villanueva Micó (coord.)

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UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

Colección Académica

Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: Burgos Simón, C., Camp Mora, J. S., Monreal Mengual, Ll., Navarro Quiles, A., Santamaría Navarro, C. y Villanueva Micó, R. J. (coord.) (2018). Problemas resueltos de modelos estáticos y optimización aplicados a la administración y dirección de empresas. Valencia: Editorial Universitat Politècnica de València

© Clara Burgos Simón José Sergio Camp Mora Llúcia Monreal Mengual Ana Navarro Quiles Cristina Santamaría Navarro Rafael Jacinto Villanueva Micó (coord.)

© 2018, Editorial Universitat Politècnica de València distribución: www.lalibreria.upv.es / Ref.: 0778_04_01_01

Imprime: Byprint Percom, sl

ISBN: 978-84-9048-724-2 Impreso bajo demanda

La Editorial UPV autoriza la reproducción, traducción y difusión parcial de la presente publicación con fines científicos, educativos y de investigación que no sean comerciales ni de lucro, siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV, la publicación y los autores. La autorización para reproducir, difundir o traducir el presente estudio, o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma, con finescomerciales/lucrativos o sin ánimo de lucro, deberá solicitarse por escrito al correo edicion@editorial.upv.es

Impreso en España

Resumen

Este texto compila una serie de ejercicios matemáticos de modelización mate-mática en la administración y dirección de empresas. De esta forma, se introdu-ce al lector en el estudio de forma matemática de ciertos modelos económicosque juegan un papel fundamental en áreas como las Finanzas, la Microeco-nomía y la Macroeconomía entre otras. Así, hemos optado por clasificar losmodelos en diferentes capítulos dependiendo del tipo de problema. Además encada uno de los problemas desarrollados se ha indicado brevemente su resolu-ción haciendo uso del software Mathematica R©, para así dotar al lector de losconocimientos computacionales básicos que le permitan resolver el ejercicio uti-lizando este paquete de cálculo simbólico. Así en cada capítulo se muestran lasideas relevantes que permiten comprender los diferentes problemas de índoleeconómica desde un punto de vista tanto matemático como pedagógico.

En el Capítulo 1 se estudian algunos tipos de modelos estáticos. Primeramenteel modelo lineal estático de mercado de un bien, modelo fundamental en Micro-economía. A continuación varios ejemplos de modelos de renta nacional de granutilidad en Macroeconomía, entre los que se encuentran el modelo simplifica-do de renta nacional como el modelo IS-LM (Investment - Saving - Liquidity- Money). Asimismo, encontramos ejercicios relativos al modelo input-outputde Leontief.

El Capítulo 2 se centra en la resolución de varios problemas de diagonaliza-ción de matrices, de gran importancia en la resolución de modelos dinámicosbasados en sistemas de ecuaciones lineales, como pueden ser los modelos decompetencia donde los clientes van cambiando de proveedor o los llamados

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modelos de Markov, representados mediante una matriz de transición entreciertos estados establecidos. Asimismo, el cálculo de valores propios será útilen el Capítulo 3 para la clasificación de puntos críticos en problemas de opti-mización de varias variables.

Finalmente en el Capítulo 3, mostramos diversos problemas de optimizacióntanto de una como de varias variables. Cada uno de estos problemas vienecontextualizado en una aplicación económica concreta. Particularmente, se es-tudiarán varias cuestiones de maximización de ingresos y beneficios, así comola aplicación del concepto de coste de oportunidad en la toma de decisionesóptimas.

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Resumen

Índice general

Resumen iii

Índice general v

1 Modelos estáticos 11.1 Interpretación económica y geométrica del equilibrio en un modelo lineal demercado de un bien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Modelo lineal de mercado de un bien: equilibrio y análisis estático-comparativo 4

1.3 Determinación de los parámetros en un modelo lineal de mercado de un bieny cálculo del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Cuestiones sobre el modelo lineal de mercado de un bien . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Equilibrio en un modelo de renta nacional. Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Equilibrio en un modelo de renta nacional dependiente de un parámetro yanálisis estático-comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Cálculo del consumo en un modelo de renta nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Modelo de renta nacional: cálculo del equilibrio mediante técnicas matriciales . 16

1.9 Modelo de Renta Nacional Investment - Savings - Liquidity - Money (IS-LM) . 17

1.10 Modelo input-output de Leontief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

v

Índice general

2 Diagonalización 232.1 Determinar si una matriz es diagonalizable por sus valores propios . . . . . . . . . 23

2.2 Diagonalización de una matriz y comprobación de que la digonalización escorrecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Diagonalización y su aplicación al cálculo de la potencia de una matriz . . . . . . 27

2.4 Diagonalización y su aplicación al cálculo de la exponencial de una matriz. . . . 29

2.5 Diagonalización de una matriz dependiente de un parámetro . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Cuestiones generales sobre la diagonalización de matrices . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Optimización de funciones 373.1 Coste de oportunidad: el problema del almacenamiento del vino. . . . . . . . . . . 37

3.2 Maximización de los ingresos de una empresa de ordenadores . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Maximización de los ingresos de una empresa de lavadoras . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Maximización de los beneficios de una empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Maximización de beneficios de una empresa dependiendo del precio de ventaen un mercado monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6 Minimización del coste de un envase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.7 Minimización de costes de una empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.8 Óptimos de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.9 Venta de un producto en dos mercados: El problema de discriminación deprecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.10 Maximización de beneficios con función de producción de tipo Cobb-Douglas . 69

Bibliografía 73

vi

Capítulo 1

Modelos estáticos

1.1 Interpretación económica y geométrica del equilibrio enun modelo lineal de mercado de un bien

Sea el modelo lineal de mercado de un bien dado por

QD = α− βPQS = −γ + δPQD = QS

⎫⎬⎭

donde QD representa la cantidad demandada por el consumidor del bien, QS

representa la cantidad producida/ofrecida por el productor del bien y P repre-senta el precio del bien. Consideremos el mercado en el que α = 10, β = 2,γ = 4 y δ = 4. Para estos valores resuelve los siguientes apartados.

1

Capítulo 1. Modelos estáticos

Apartado (a)

Calcula el precio y la producción de equilibrio.

Solución

Sustituimos los valores de los parámetros dados y tenemos el modelo de mer-cado de un bien siguiente

QD = 10− 2P,QS = −4 + 4P,QD = QS.

⎫⎬⎭

A partir de la condición de equilibrio del modelo, tercera ecuación, obtenemos

QS = QD ⇒ 10−2P = −4+4P ⇒ 10+4 = 4P +2P ⇒ 6P = 14 ⇒ Pe =7

3

y por tanto el precio de equilibrio está en Pe =73

unidades monetarias (u.m.).Sustituyendo en la ecuación de la demanda, por ejemplo, obtenemos la cantidadproducida/vendida de equilibrio

Qe = QD(Pe) = 10− 27

3=

16

3.

Como Pe > 0 y Qe > 0 la solución de equilibrio tiene sentido económico.

s = Solve[{Q == 10 - 2 P, Q == - 4 + 4 P}, {P, Q}]{{P→ 7

3, Q→ 16

3

}}Mathematica R©

2

1.1 Interpretación económica y geométrica del equilibrio en un modelo lineal de mercado de un bien

Apartado (b)

Representa gráficamente las funciones QS y QD en la misma gráfica. ¿Hayintersección? Si la hay, interprétala económicamente. Interpreta además el sig-nificado de la intersección de ambas rectas con el eje de abscisas (eje-x).

Solución

Para realizar el gráfico utilizamos: los puntos (1, 0) y (0,−4) pertenecientes ala recta de la oferta para trazar dicha recta y los puntos (5, 0) y (0, 10) en elcaso de la demanda obteniendo la Figura 1.1

-

Figura 1.1: Funciones de demanda y oferta, QD(P ) y QS(P ) respectivamente.

Como puede verse en la Figura 1.1 ambas rectas se cruzan en el punto de equi-librio (Pe, Qe) = ( 7

3, 16

3) calculado anteriormente. Este punto recoge el precio

del producto en el mercado para el que la oferta y demanda son iguales, estoes, el mercado se vacía. Observamos además que la curva de oferta cruza al ejede abscisas en el precio P = 1 u.m. Este es el precio que marca el productorcomo el precio mínimo a partir del cual existirá oferta. En el caso de la curvade demanda cruza al eje de abscisas en el precio P = 5 u.m. Este precio es elmáximo admisible por el comprador, a partir de este precio no habrá demanda.

3

Capítulo 1. Modelos estáticos

Plot[{10 - 2 P, - 4 + 4 P}, {P, 0, 5.5}, AxesOrigin → {0, 0},

PlotLegends → {"Demanda, QD(P)", "Oferta, QS(P)"},

AxesLabel → {"P", " "}]

Mathematica R©

1.2 Modelo lineal de mercado de un bien: equilibrio yanálisis estático-comparativo

Considera el modelo lineal de mercado con un bien

QD = α− βP,QS = −γ + δP,QD = QS,

⎫⎬⎭ (1.1)

donde QD es la demanda, QS es la oferta y P es el precio del producto. Con-sidera que los parámetros del modelo (1.1) toman los valores α = 10, β = 2 yγ = 4.

Apartado (a)

Calcula el punto de equilibrio, es decir el precio y la producción de equilibrio,Pe y Qe respectivamente, teniendo en cuenta que dependerá de δ.

Solución

El primer paso es sustituir los valores correspondientes de los parámetros enel modelo (1.1), obteniendo así el modelo

QD = 10− 2P,QS = −4 + δP,QD = QS.

⎫⎬⎭ (1.2)

El precio de equilibrio Pe se obtiene a partir de la condición de equilibrio delmodelo (1.2), esto es cuando las funciones de oferta y demanda coinciden.Teniendo en cuenta la tercera ecuación dada en (1.2) obtenemos

4

1.2 Modelo lineal de mercado de un bien: equilibrio y análisis estático-comparativo

QS = QD ⇒ 10− 2P = −4 + δP ⇒ Pe =14

δ + 2.

Destacar que la solución se ha podido obtener dado que δ > 0 y por lo tantoδ+2 > 0. Además dado que 14 > 0 y δ+2 > 0, entonces Pe > 0 y el resultadotiene sentido económico.

Ahora obtenemos la producción de equilibrio sustituyendo el valor del precioen la función de demanda (o de oferta)

Qe = QD(Pe) = 10− 214

2 + δ=

10δ − 8

δ + 2.

La producción de equilibrio Qe tiene sentido económico si Qe ≥ 0, y, teniendoen cuenta que δ + 2 > 0, ocurrirá si 10δ − 8 ≥ 0, esto es, si δ ≥ 8/10 = 4/5.

eq = {Q == α - β P, Q == - γ + δ P};

re = {α → 10, β → 2, γ → 4};

s = Solve[eq, {P, Q}] /. re{P→ 14

2 + δ, Q→ -

8 - 10δ

2 + δ

}

Mathematica R©

Apartado (b)

Realiza un análisis comparativo del precio de equilibrio, Pe, con respecto alparámetro δ.

Solución

Para realizar dicho estudio tenemos que hallar la derivada de Pe con respectoa δ

P ′e(δ) =

−14(δ + 2)2

.

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