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PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

2009

MATEMÁTICAS II

TEMA 5: INTEGRALES

Junio, Ejercicio 2, Opción A

Junio, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 1, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 2, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 2, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 3, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 3, Ejercicio 2, Opción B

Reserva 4, Ejercicio 2, Opción A

Reserva 4, Ejercicio 2, Opción B

Septiembre, Ejercicio 2, Opción A

Septiembre, Ejercicio 2, Opción B

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R E S O L U C I Ó N

a) Lo primero que hacemos es abrir la función y dibujarla

2

2

1( ) 1

1

x x si xf x x x

x x si x

b) La ecuación de la recta tangente será: (0) '(0) ( 0)y f f x

(0) 0f

' (0) 1f

luego, sustituyendo, tenemos que la recta tangente es: 0 1 ( 0)y x y x

c) 1 2 1 2

2 2 2 2

0 1 0 1

1 23 3

2 2

0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )

1 8 14 1 1

3 3 3 3 3

Área x x x dx x x x dx x dx x x dx

x xx u

Sea :f la función definida por ( ) 1f x x x .

a) Esboza la gráfica de f.

b) Comprueba que la recta de ecuación y x es la recta tangente a la gráfica de f en el punto

de abscisa 0x .

c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la de dicha tangente.

MATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

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R E S O L U C I Ó N

a)

2

1 22 0 ( 1) 2

' 3 3 '( 1) 0

x yy x y

y x m y

b)

Por lo tanto, el área pedida será:

2

4 223 2

11

3 1 3 272 3 2 4 4 6 2

4 2 4 2 4

x xA x x dx x u

Considera la curva de ecuación 33y x x .

a) Halla la recta tangente a la curva en el punto de abscisa 1x .

b) Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta 2y .

MATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B

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R E S O L U C I Ó N

a)

b)

-

23 2

22 2

00

16 442 (6 ) 2 6 24 4

3 2 3 3

x xA x x dx x u

Considera las funciones , :f g definidas por ( )f x x , 2( ) 6g x x

a) Esboza el recinto limitado por sus gráficas.

b) Calcula el área de dicho recinto.

MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

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R E S O L U C I Ó N

a) Calculamos la función derivada: ' ( ) 2f x mx n

- Pasa por 2(1, 6) (1) 6 1 1 3 6f m n

- Tangente paralela a ' (1) 1 2 1 1y x f m n

Resolviendo el sistema, tenemos que: 22 ; 5 ( ) 2 5 3m n f x x x

La ecuación de la tangente será: 6 1 ( 1) 5 0y x x y

b) El área de la región pedida es:

1

31 12 2 2 2

0 00

2 2(2 5 3) ( 5) 2 4 2) 2 2

3 3

xA x x x dx x x dx x x u

La recta tangente a la gráfica de la función :f , definida por 2( ) 3f x mx nx , en el

punto (1, 6) , es paralela a la recta de ecuación y x

a) Determina las constantes m y n. Halla la ecuación de dicha recta tangente.

b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, la recta tangente anterior y

el eje de ordenadas.

MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.

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R E S O L U C I Ó N

a) La recta tangente en x e es ( ) '( ) ( )y f e f e x e

( ) 2f e

1 1'( ) '( )f x f e

e e

Sustituyendo en la ecuación, tenemos, 1 1

2 ( ) 1y x e y xe e

b) El área de la región pedida es: 1 2A A A

1 ( ) (1 ( )) ( ) ln( )x

ln x dx x ln x dx x x ln x x x xx

22

1 1 22

ee

ee

x xA dx x e u

e e

2

2

12 1

1(1 ln( )) ln( )

ee

ee

eA x dx x x u

e

2 22

1 2

1 12

e eA A A e u

e e

Sea : (0, )f la función definida por ( ) 1 ( )f x ln x , siendo ln la función logaritmo

neperiano.

a) Comprueba que la recta de ecuación 1

1y xe

es la recta tangente a la gráfica de f en el

punto de abscisa x e .

b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta tangente

obtenida en el apartado anterior.

MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

11 ln( );

;

u x du dxx

dv dx v x

1A 2A

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R E S O L U C I Ó N

R E S O L U C I Ó N

a) Las dos funciones podemos representarlas haciendo una tabla de valores.

b) En el dibujo vemos que los puntos de corte son el (0,0) y (3,3) . Luego, el área que nos piden es:

A =

33

33 22 2

0

0

2 313 3

3 3 9

x xx x dx u

Se consideran las funciones f : [0, ] y :g definidas por ( ) 3f x x y

21( )

3g x x

a) Haz un esbozo de sus gráficas

b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones.

MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.

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R E S O L U C I Ó N

a) Calculamos la integral por partes

cos cos cosx sen x dx x x x dx x x sen x C

b)

Calculamos los puntos de corte de las dos funciones.

2

212 0 1 ; 2

1

y xx x x x

y x

El área que nos piden es:

1

3 21 12 2 2

2 22

7 10 9( 1) ( 1) 2 2

3 2 6 3 2

x xA x x dx x x dx x u

a) Calcula x sen x dx

b) Sean las funciones , :f g , definidas por: 2

( ) 1 ; ( ) 1f x x g x x

Calcula el área del recinto limitado por sus gráficas.

MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

;

; cos

u x du dx

dv sen x dx v x

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R E S O L U C I Ó N

a) Calculamos la función derivada.

2 2

2 2 2( 1)'( )

xf x

x x x

Vemos que esta función corta al eje X en el punto (1,0). Luego la gráfica de f es la (a) y la gráfica

de f ’ es la (b)

b) Calculamos la integral por partes: ln ln lnx dx x x dx x x x C

El área que nos piden es:

33 3

2

2 21 1 1

2 2 2 2 2 18ln 3 82ln( ) 2 ln( ) 2 ln 2

3A x dx x dx x x x u

x x x x x

Las dos gráficas del dibujo corresponden a la función : (0, )f definida por

2( ) 2ln( )f x x

x

y a la de su derivada ' : (0, )f

a) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f ’.

b) Calcula el área de la región sombreada.

MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.

a

b

xvdxdv

dxx

duxu

;

1;ln

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R E S O L U C I Ó N

a)

2

2

2

0( )

0

x x si xf x x x

x x si x

Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones.

2

2 2 0 2 ; 12

y x xx x x x

y

. Sólo 1x está en el intervalo

2

2 2 0 1 ; 22

y x xx x x x

y

. Sólo 1x está en el intervalo

Luego, los puntos de corte son: ( 1, 2) y (1,2)

b) 00 3 2

2 2

1 1

7 72 (2 ) 2 2

3 2 6 3

x xA x x dx x u

Sean :f y :g las funciones definidas por: 2( )f x x x ; ( ) 2g x

a) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g. Esboza dichas gráficas.

b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

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R E S O L U C I Ó N

Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones.

2

2 4 0 2 ; 24

y xx x x

y

22 3

2

1

2 2

32(4 ) 4

3 3

xA x dx x

2

2 0 ;y x

x a x a x ay a

32

2

4( )

3 3

aa

a a

a axA a x dx ax

1 2

4 428 32 41

3 3 3 3 3

a a a aA A A a

Calcula un número positivo a, menor que 4, para que el recinto limitado por la parábola de

ecuación 2y x y las dos rectas de ecuaciones 4y e y a , tenga un área de

28

3 unidades

cuadradas.

MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 4. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.

A1

A2

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R E S O L U C I Ó N

a) Hacemos el dibujo

b) Calculamos el área de dicho recintos.

Calculamos el punto de corte de la parábola con la recta 1y

2

1

21

2

y

xy x

El área del primer recinto es:

2

32

2 2

10

0

1 2 2(1 )

2 6 3

xA x dx x u

El área del segundo recinto es igual al área del rectángulo menos el área del primer recinto:

2

2

6 2 22 22

3 3A u

La curva 21

2y x divide al rectángulo de vértices (0,0)A , (2,0)B , (2,1)C y (0,1)D en

dos recintos.

a) Dibuja dichos recintos.

b) Halla el área de cada uno de ellos

MATEMÁTICAS II. 2009. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.

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R E S O L U C I Ó N

Como el cambio es 23

2t x , vamos a calcular cuanto vale dx:

233

2 3

dtt x dt x dx x dx

Sustituyendo, nos queda:

4 2 2 2

2

1 13 3( )6 64 9 4 2 1 1

4 99

1 3

6 2

dt dt

x dtF x dx arc sent C

x t t t

xarc sen C

Como 1

(0) 3 3 0 36

F arcsen C C

Por lo tanto, 21 3

( ) 36 2

xF x arc sen

Sea f la función definida por4

( )4 9

xf x

x

.

Halla la primitiva F de f que cumple (0) 3F . (Sugerencia: utiliza el cambio de variable

23

2t x ).

MATEMÁTICAS II. 2009. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.