Universidad Nacional de Colombia Sede Bogot Facultad de Ciencias Humanas Departamento de Lingstica Filosofa del Lenguaje David Felipe Guerrero Beltrn (2837356) 23 de diciembre de 2013

Problemas de la construccin lgica del sentido y el significado en Carnap desde la lgica

matemtica y la teora de conjuntos

El presente trabajo tiene por objetivo mostrar cmo, por medio de una aproximacin desde la

lgica matemtica, se pueden detectar varias problemticas en cuanto a la consistencia y

decidibilidad de la construccin del significado en el anlisis lgico de Carnap.

Se partir de un anlisis de las nociones de derivabilidad y de proposicin primaria (o

protocolaria) expuestas por el autor, y, a partir de all, se proceder a exponer cmo ciertos

resultados de la lgica matemtica presentan evidencias tericas de su inconsistencia como

modelo analtico del lenguaje.

I. Sobre las relaciones de derivacin y las proposiciones primarias

Para Carnap, la fijacin del significado de una palabra dentro del lenguaje determinado, se da

por medio de su proposicin elemental y sus estipulaciones de derivabilidad; de esta

proposicin se ha de considerar su criterio de verdad, su mtodo de verificacin, su sentido y

sus relaciones de derivacin (Carnap, 1965, pgs. 68-69).

Aunque el autor no define formalmente las relaciones de derivacin, se puede entender que

hay una organizacin jerrquica en el lenguaje de la ciencia, al menos en la cual las

palabras pueden ser definidas por medio de otras. Dicha relacin de definitud entre unas y

otras determina la relacin de derivacin entre sus respectivas proposiciones elementales.

Este continuo retrotraer de palabras definidas por medio de otras converge en que haya un

tipo de proposiciones en especial llamadas proposiciones primarias de las cuales se deriven

todas las otras.

De ah que exista necesariamente un conjunto de proposiciones primarias que formen la base

de dicho lenguaje; puesto que son segn stas que se definen las relaciones de derivacin

dentro de dicho lenguaje. Es decir, el sentido de las proposiciones y el significado de las

palabras dentro de un lenguaje depende de su facultad de ser retrotradas a proposiciones

primarias.

Como se puede observar, de todo esto se sigue que hay un vnculo inquebrantable entre las

relaciones de derivacin y las proposiciones primarias al momento de construir la estructura

semntica de los lenguajes.

II. Presentacin de las problemticas

a. Irreductibilidad de proposiciones primarias

Para Carnap un objeto puede ser reducido a otros, si todas las proposiciones acerca de l

pueden ser traducidas a proposiciones que ya slo hablan de los otros objetos (Carnap, 1988,

pg. 64). Segn esto, y considerando lo expuesto anteriormente, suponer que una proposicin

primaria sea reducible caera en el absurdo, puesto que podra ser expresada por medio de

otras proposiciones y, por tanto, no sera primaria.

Por una lado, esta propiedad de las proposiciones primarias conlleva a que, dentro de este

sistema de constitucin propuesto por Carnap, stas no puedan ser definidas explcitamente

dentro del lenguaje del que hacen parte.

Por otro lado, se evidencia el hecho de que no hay un consenso respecto a la manera en que

stas se definen (Carnap, 1965, pg. 69). De manera tal que no es posible definir formalmente

qu objetos son los que entran en el dominio de la proposicin elemental ( ) = x es una

proposicin primaria.

Esto conlleva a: (i) que no sea posible determinar tericamente si ( ) es una proposicin o

una pseudoproposicin; (ii) que, en virtud del axioma de comprensin de Frege (Levy, 1979,

pg. 6), el conjunto definido como ( ( )) -es decir, el conjunto de todas las

proposiciones primarias de un lenguaje L-, en realidad no est definido, puesto que la

proposicin ( ) tampoco lo est.

b. Dependencia de las relaciones de derivacin a las proposiciones primarias

Teniendo en cuenta de que las relaciones de derivacin son aquellas que permiten el

retrotraimiento de las proposiciones dentro de una lengua a sus proposiciones primarias, se

tendra, segn la definicin de relacin dentro de la teora de conjuntos (Levy, 1979, pgs. 25-

26), que para toda relacin de derivacin ( ) en un lenguaje L se cumple ;

pero, teniendo en cuenta que no puede definirse como conjunto, no puede definirse

y, por tanto, tampoco . Esto quiere decir que si el conjunto de proposiciones

primarias no est definido, tampoco se pueden definir a partir de l las relaciones de

derivacin y, por tanto, todo el sistema de constitucin sucumbe; en tanto que no es posible

que, desde un punto de vista lgico-semntico, .

Carnap soluciona esta problemtica de los elementos indefinidos incluyendo dentro del

sistema, adems de los elementos bsicos (proposiciones primarias), un conjunto de

postulados ordenatorios que l denominar relaciones bsicas. Estas relaciones bsicas

forman los conceptos bsicos no definidos del sistema, no los elementos bsicos. stos se

constituyen despus a partir de las relaciones bsicas (entendidas como su campo) (Carnap,

1988, pg. 143). De aqu que el significado de los elementos bsicos sea dado a consecuencia

de la manera en que sean definidas las relaciones bsicas.

As pues, el significado de los elementos bsicos sera una derivacin de las relaciones

definidas a priori de los elementos bsicos entre s. No obstante, sin quererlo se cae en el

mismo problema inicial: no se brinda una manera explcita ni implcita de definir el dominio de

la proposicin ( ) , salvo el de postular un sistema axiomtico

propio de cada lenguaje en donde cada axioma fuera una relacin bsica.

Esta alternativa del sistema axiomtico es bastante tentadora en tanto que, adems de

solucionar el problema de la definicin de ( ), tambin lo hace de ( ). Sin embargo,

asumir esto conlleva otras problemticas lgicas que se expondrn a continuacin.

c. Problemas de decidibilidad en la construccin del significado

Asumiendo se tiene que para cualquier palabra de L es posible determinar un algoritmo

mediante el cual, por medio de , y las reglas de derivacin, se calcule si dicha palabra

tiene o no significado; es decir, el sistema es R-Decidible semnticamente (Ebbinghaus,

Flum, & Thomas, 1989, pgs. 153-154). Segn el primer teorema de incompletitud de Gdel

(Ebbinghaus, Flum, & Thomas, 1989, pg. 176), no es posible que este sistema sea

simultneamente completo y consistente. Es decir, si suponemos que el sistema no puede

derivar que una palabra tenga y no tenga simultneamente significado (es consistente),

existirn entonces palabras dentro del lenguaje L a las cuales no se les pueda determinar si

tienen o no significado mediante (no es completo).

Esto implica que en cualquier lenguaje netamente proposicional (del que no se puedan derivar

pseudoproposiciones) construido por medio del sistema de constitucin de Carnap, existirn

palabras con significado pues se han excluido a priori las palabras asignificativas y las

pseudoproposiciones a las cuales no se les pueda someter a un proceso de verificacin.

Incluso, suponiendo que fuera posible verificarlas empricamente no se descarta-, no sera

posible verificar su valor de verdad lgicamente. Luego, segn las condiciones establecidas por

el autor para que una palabra tenga significado (Carnap, 1965, pgs. 68, 70), dicha palabra no

tendra significado. Lo cual es, evidentemente, una contradiccin.

De esto se concluye que el sistema de constitucin propuesto por Carnap es inconsistente en

cualquier lenguaje que carezca de pseudoproposiciones; lo cual se contrapone a las

pretensiones epistemolgicas del autor.

Llegado a este punto vale la pena preguntarse a qu pudo deberse la falla de este sistema. Una

primera aproximacin apuntara a que el punto de partida de la problemtica provino de la

nocin de proposiciones primarias y de la manera en que se definieron las reglas de

derivacin. Otra puede apuntar a que la falla radica en la pretencin por parte del autor a

explicar todo el lenguaje por medio de principios lgicos.

En lo personal, considero que no hay tal falla en dicho sistema. Este resultado lo que muestra

es que es necesario el sin sentido para construir un lenguaje que sea consistente. Lo cual es

slo una prueba, un ejemplo, de que el lenguaje parte de una contradiccin lgica que le

permite, como es bien sabido, derivar en cualquier cosa.

Bibliografa: -Carnap, R. (1965). La superacin de la matemtica mediante el anlisis lgico del lenguaje. En

A. Ayer, El Positivismo Lgico (pgs. 66-87). Mxico: Fondo de Cultura Econmica.

-Carnap, R. (1988). La Construccin Lgica del Mundo. Mxico: Universidad Nacional

Autnoma de Mxico.

-Ebbinghaus, H., Flum, J., & Thomas, W. (1989). Chapter X. Limitations of the Formal Method.

En Mathematical Logic (pgs. 144-178). Harrisonburg, Virginia: Springer-Verlag.

-Levy, A. (1979). Basic Set Theory. Londres: Springer-Verlag.