8/4/2019 Problemas sobre sumatorias

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Problemas sobre sumatorias - Olimpiadas de matemticas - 01

Problema 1 . Demostrar la identidad siguiente suma de trminos:

1.2.2 + 2.3.4 + 3.4.8 + + n(n+1)2n = 2n (2n2 2n + 4) 4

Solucin:

Por induccin matemtica:

Para n = 1: 1.2.2 = 2(2 - 2 + 4) = 4. Cumple para n = 1.

Supongamos cierto para n N ; es decir:

1.2.2 + 2.3.4 + 3.4.8 + + n(n+1)2n = 2n (2n2 2n + 4) 4

Luego, agregando (n+1)(n+2)2n+1 a ambos lados, el lado derecho seconvierte

en:

2n (2n2 2n + 4) 4 + (n+1)(n+2)2n+1

= 2n (n2 n + 2 + (n+1)(n+2) ) 4

= 2n (2n2 + 2 n + 6) 4

= 2n (2(n+1)2 2(n+1) + 4) 4

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/code.php?hash=d1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa&sid=98ebc1585aa7bdf758d0ff19894d7c9b

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Es decir cierto para implica cierto para n + 1. Por lo tanto, por elprincipio de induccin matemtica, es cierto para todos los n N.

Problema 2: Demuestre que

12 - 22 + 32 - 42 + ... + (-1)n-1.n2 = (-1)n-1 . [n(n+1)]/2

Solucin:

Lo podemos solucionar al considerar dos casos: npary n impar

Caso 1: nmero par de trminos

E = (12 + 22 + + n2) 2.(22 + 42 + + n2 )

= (12 + 22 + + n2) 8.(12 + 22 + + (n/2)2 )

= n(n+1)(2n+1)/6 8(n/2)[(n/2)+1)][2(n/2)+1]/6

= n(n+1)(2n+1)/6 n[n +2][2n +2]/6

= [(2n+1) (2n+4)].n(n+1)/6

= [-3].n(n+1)/6 = [-1]n-1.n(n+1)/2

Caso 2: nmero impar de trminos

E = (12 + 22 + + n2) 2.(22 + 42 + + (n-1)2 )

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/code.php?hash=d1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa&sid=98ebc1585aa7bdf758d0ff19894d7c9b

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= (12 + 22 + + n2) 8.(12 + 22 + + [(n-1)/2]2 )

= n(n+1)(2n+1)/6 8((n-1)/2)[(n-1)/2+1)][2(n-1)/2+1]/6

= n(n+1)(2n+1)/6 (n-1)[n+1][2n]/6

= [(2n+1) (2n-2)].n(n+1)/6

= [3].n(n+1)/6 = [-1]n-1.n(n+1)/2

Por lo tanto:

12 - 22 + 32 - 42 + ... + (-1)n-1.n2 = (-1)n-1 . [n(n+1)]/2, para todonatural n

Problema 3. Si p y q son nmeros enteros positivos tales que

(p/q) = 1 + 1/2 - 2/3 + 1/4 + 1/5 - 2/6 + 1/7 + 1/8 - 2/9 + 1/478 + 1/479 - 2/480

demostrar que p es divisible por 641

Solucin:

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La suma se puede escribir como

Por lo tanto

Luego al sumar los trminos equidistantes tenemos:

y luego la conclusin es obvia.

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