Introducción Algunos Problemas Conclusión

Introducción a la Geometría ComputacionalProblemas y aplicaciones

Eduardo Adam NAVAS LÓPEZ1

1Escuela de Matemática

Facultad de Ciencias Naturales y Matemática

Universidad de El Salvador

Congreso de Matemática Aplicada, 2016

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Índice

1 Introducción¾Qué es la Geometría Computacional?Ejemplo Sencillo

2 Algunos ProblemasLa envolvente convexaTriangulación de DelaunayDiagrama de Voronoi

3 Conclusión

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

¾Qué es la Geometría Computacional?

Índice

1 Introducción¾Qué es la Geometría Computacional?Ejemplo Sencillo

2 Algunos ProblemasLa envolvente convexaTriangulación de DelaunayDiagrama de Voronoi

3 Conclusión

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

¾Qué es la Geometría Computacional?

Geometría Computacional

De�nición

La geometría computacional esuna rama de las ciencias de

la computación dedicada alestudio de algoritmos quepueden ser expresados entérminos de la geometría.[6]

Aparece formalmente en 1975como área de estudioindependiente[1]

Es una disciplina

constructiva, de carácterabstracto, que utiliza técnicasde la geometría clásica, latopología, la teoría de grafos,la teoría de conjuntos y elálgebra lineal.

La geometría computacional esindependiente de la tecnologíade las máquinas decomputación.

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

¾Qué es la Geometría Computacional?

Geometría Computacional

De�nición

La geometría computacional esuna rama de las ciencias de

la computación dedicada alestudio de algoritmos quepueden ser expresados entérminos de la geometría.[6]

Aparece formalmente en 1975como área de estudioindependiente[1]

Es una disciplina

constructiva, de carácterabstracto, que utiliza técnicasde la geometría clásica, latopología, la teoría de grafos,la teoría de conjuntos y elálgebra lineal.

La geometría computacional esindependiente de la tecnologíade las máquinas decomputación.

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

¾Qué es la Geometría Computacional?

Geometría Computacional

De�nición

La geometría computacional esuna rama de las ciencias de

la computación dedicada alestudio de algoritmos quepueden ser expresados entérminos de la geometría.[6]

Aparece formalmente en 1975como área de estudioindependiente[1]

Es una disciplina

constructiva, de carácterabstracto, que utiliza técnicasde la geometría clásica, latopología, la teoría de grafos,la teoría de conjuntos y elálgebra lineal.

La geometría computacional esindependiente de la tecnologíade las máquinas decomputación.

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

¾Qué es la Geometría Computacional?

Geometría Computacional

De�nición

La geometría computacional esuna rama de las ciencias de

la computación dedicada alestudio de algoritmos quepueden ser expresados entérminos de la geometría.[6]

Aparece formalmente en 1975como área de estudioindependiente[1]

Es una disciplina

constructiva, de carácterabstracto, que utiliza técnicasde la geometría clásica, latopología, la teoría de grafos,la teoría de conjuntos y elálgebra lineal.

La geometría computacional esindependiente de la tecnologíade las máquinas decomputación.

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Ejemplo Sencillo

Índice

1 Introducción¾Qué es la Geometría Computacional?Ejemplo Sencillo

2 Algunos ProblemasLa envolvente convexaTriangulación de DelaunayDiagrama de Voronoi

3 Conclusión

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Ejemplo Sencillo

Ejemplo

Dados tres puntos en el plano,¾forman un triángulo o soncolineales?

1. 2. 3. 4.

−1.

1.

2.

3.

4.

0

A= (1,1)

B = (3,2)

C = (1,3)

Hay muchas formas deresolverlo.Una forma es usar la de�niciónde producto punto vectorial:

|v ×w | = |v | · |w | · cosθ

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

vx vy vzwx wy wz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Ejemplo Sencillo

Ejemplo

Dados tres puntos en el plano,¾forman un triángulo o soncolineales?

1. 2. 3. 4.

−1.

1.

2.

3.

4.

0

A= (1,1)

B = (3,2)

C = (1,3)

Hay muchas formas deresolverlo.Una forma es usar la de�niciónde producto punto vectorial:

|v ×w | = |v | · |w | · cosθ

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

vx vy vzwx wy wz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Ejemplo Sencillo

Ejemplo

Solución por producto cruz

1. 2. 3.

1.

2.

3.

0

A

B

C

v

w

θ

Una solución genérica:

1: ~v = B−A

2: ~w = C −A

3: m =

∣∣∣∣vx vywx wy

∣∣∣∣4: if m = 0 then

5: A, B y C son colineales6: else

7: A, B y C forman un triángulo8: end if

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Ejemplo Sencillo

Ejemplo

Solución por producto cruz

1. 2. 3.

1.

2.

3.

0

A

B

C

v

w

θ

Una solución genérica:

1: ~v = B−A

2: ~w = C −A

3: m =

∣∣∣∣vx vywx wy

∣∣∣∣4: if m = 0 then

5: A, B y C son colineales6: else

7: A, B y C forman un triángulo8: end if

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Envolvente

Índice

1 Introducción¾Qué es la Geometría Computacional?Ejemplo Sencillo

2 Algunos ProblemasLa envolvente convexaTriangulación de DelaunayDiagrama de Voronoi

3 Conclusión

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Envolvente

La envolvente convexa

A

B C

D

E

FG

H

I

J

K

De�nición

Dado un conjunto de puntos{A,B,C , . . .}, es la secuencia depuntos ordenados {Pi}ni=0 tal queesta secuencia de�ne los vértices delpolígono convexo que contiene atodos los puntos del conjunto. [4, 3]

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Envolvente

Aplicaciones

Si los puntos representan puntos de control (estaciones demonitoreo o vigilancia).Se usa para aproximar el área contenida o monitorizada.

En la visión por computadora sirve para calcular rutas denavegación posibles.

También se usa como punto de partida para otros problemas de laGeometría Computacional, como las triangulaciones de Dalaunay.

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Envolvente

Aplicaciones

Si los puntos representan puntos de control (estaciones demonitoreo o vigilancia).Se usa para aproximar el área contenida o monitorizada.

En la visión por computadora sirve para calcular rutas denavegación posibles.

También se usa como punto de partida para otros problemas de laGeometría Computacional, como las triangulaciones de Dalaunay.

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Envolvente

Aplicaciones

Si los puntos representan puntos de control (estaciones demonitoreo o vigilancia).Se usa para aproximar el área contenida o monitorizada.

En la visión por computadora sirve para calcular rutas denavegación posibles.

También se usa como punto de partida para otros problemas de laGeometría Computacional, como las triangulaciones de Dalaunay.

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Envolvente

Estrategias simples

Dado un par de puntos del conjuntotrazamos la recta que los une,veri�camos si todos los demás puntosestán del mismo lado de la recta.Si es así, entonces el segmento derecta que une a esos dos puntos,forma parte de la envolventeconvexa, y si no, no.

Queda claro que este algoritmo esmuy lento, ya que requiere veri�carcada pareja de puntos.

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Envolvente

Estrategias simples

Dado un par de puntos del conjuntotrazamos la recta que los une,veri�camos si todos los demás puntosestán del mismo lado de la recta.Si es así, entonces el segmento derecta que une a esos dos puntos,forma parte de la envolventeconvexa, y si no, no.

Queda claro que este algoritmo esmuy lento, ya que requiere veri�carcada pareja de puntos.

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Envolvente

Estrategias simples

Intuitivamente puede verse que lospuntos en los extremos horizontales yverticales formarán parte de laenvolvente buscada, por lo que sonpuntos ideales para comenzar labúsqueda.[4]

Existen otros algoritmos másrápidos. . . [3, 2, 4, 1]

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Envolvente

Estrategias simples

Intuitivamente puede verse que lospuntos en los extremos horizontales yverticales formarán parte de laenvolvente buscada, por lo que sonpuntos ideales para comenzar labúsqueda.[4]

Existen otros algoritmos másrápidos. . . [3, 2, 4, 1]

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Delaunay

Índice

1 Introducción¾Qué es la Geometría Computacional?Ejemplo Sencillo

2 Algunos ProblemasLa envolvente convexaTriangulación de DelaunayDiagrama de Voronoi

3 Conclusión

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Delaunay

¾Qué es una triangulación?

De�nición

Una triangulación de un polígono o área poligonal es una particiónde dicha área en un conjunto de triángulos que no se cruzan entresí.[3]

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Delaunay

La triangulación de Delaunay

De�nición

Es una triangulación que cumple con la condición que lacircunferencia circunscrita de cada triángulo no debe contenerningún vértice de otro triángulo.[3]

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Delaunay

Aplicaciones

Generación de una triangulación con los ángulos mínimos de cadatriángulo maximizados. Es decir, se minimiza la ocurrencia deángulos �muy� agudos.[1] Es la triangulación más fuerte posible.

Modelado de terrenos Modelado de super�cies.[5]

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Delaunay

Aplicaciones

para simulaciones de Elemento Finito

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Voronoi

Índice

1 Introducción¾Qué es la Geometría Computacional?Ejemplo Sencillo

2 Algunos ProblemasLa envolvente convexaTriangulación de DelaunayDiagrama de Voronoi

3 Conclusión

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Voronoi

El diagrama de Voronoi

Ejemplo De�nición

El Diagrama de Voronoi de unconjunto de puntos (sitios) es unapartición del plano en un conjunto depolígonos convexos (algunos abiertos)asociados biunívocamente a estos.Estos polígonos son tales quecontienen a todos los puntos máscercanos a sus puntos asociados quea otros puntos.[2, 1, 3]

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Voronoi

Aplicaciones

Determinación de áreas de in�uencia

centros hospitalarios, estaciones de bomberos, paradas de autobús,centros comerciales, control del trá�co aéreo, telefonía móvil,análisis de poblaciones de especies vegetales (etcétera)

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Voronoi

Aplicaciones

Diagrama de Voronoi de las Capitales del Mundo en geometríaesférica

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Voronoi

Aplicaciones

Diagrama de Voronoi de estaciones meteorológicas en el mundo

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Voronoi

Aplicaciones

Diagrama de Voronoi en diferentes métricas

logomat

Introducción Algunos Problemas Conclusión

Conclusiones

La Geometría Computacional es una ciencia interesante y conabundantes aplicaciones

El estudio de la Geometría Computacional está fuertementeligada a la Gra�cación por Computadora, ya que es esta la quepermite observar los resultados de la primera

Desde el punto de vista de las aplicaciones resulta muyinteresante el estudio de los Diagramas de Voronoi condiferentes métricas.

logomat

Apéndices

Licencia

Licencia

Esta obra está bajo una Licencia Creative CommonsAtribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.

logomat

Apéndices

Referencias

Referencias I

Preparata F.P., Shamos M.I. (1988).Computational Geometry - An Introduction.Springer-Verlag. Segunda edición: ISBN 3-540-96131-3.

Mendoza F.R (s.f.)Geometría Computacional

Universidad de Los Andes, Venezuelahttp://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/geome_comp/geometria_computacional.pdf

de Berg M., Cheong O., van Kreveld M, Overmars M.Computational Geometry (3 edición, 1998).Springer. ISBN 978-3-540-77973-5.

Márquez A. (s.f.)Fundamentos de Geometría Computacional,consultado el 1 de septiembre de 2016.http://asignatura.us.es/fgcitig/contenidos/gctem1ma.htm

logomat

Apéndices

Referencias

Referencias II

Sainz M. (2013) Una realidad triangular

El Mundo (periódico), consultado el 4 de septiembre de 2016.http://www.elmundo.es/blogs/elmundo/applicate/2013/10/15/una-realidad-triangular.html

Wikipedia, Geometría Computacional,consultado el 26 de agosto de 2016.es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometr%C3%ADa_computacional&oldid=85791519