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42 Ejercicios
resueltos de series
numéricas
Genius, el secreto de los mejores Genius, el secreto de los mejores Genius, el secreto de los mejores Genius, el secreto de los mejores
Ximo BeneytoXimo BeneytoXimo BeneytoXimo Beneyto
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EJERCICIOS RESUELTOS
1. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",
. Se pide :
1.1. Hallar an y formar la serie
1.2. Hallar la suma de los 100.000 primeros términos de la sucesión
1.3. Estudiar si la serie es Convergente y hallar su SUMA.
1.1.- ¿ an ?
Recordemos la relación entre Sn y an
a1 = S1 =
[ Observa que en el segundo sumatorio, sumamos desde n = 2 ]
1.2.- ¿ ?
Interpretando Sn como la suma de los n primeros términos de Y
1.3.- ¿ CONVERGENCIA ? ¿ SUMA ?
Como es Convergente y su Sumaes 4.
S)))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
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2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",
. Se pide :
2.1. Hallar an y formar la serie
2.2. Hallar la suma de los 100.000 primeros términos de la sucesión
2.3. Estudiar si la serie es Convergente y hallar su SUMA.
2.1.- ¿ an ?
Operando como en el problema anterior :
a1 =
2.2.- ¿ ?
2.3.- ¿ CONVERGENCIA ? ¿ SUMA ?
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Y es Convergente y su Sumaes 1
))))))))))))))))))Q ËËËËËË )))))))))))))))))))))Q
3. Estudiar el carácter de la Serie
[ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
Sea
Y La Serie DIVERGE
)))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
4. Estudiar el carácter de la Serie
[ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
Y La Serie CONVERGE
[ Observa : (2n +1) ! = ( 2n+1 ) A (2n) A ( 2n-1)! ]
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
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5. Estudiar el carácter de la Serie
[ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
[ Si bn = 1 A 5 A 9 A ... A ( 4n - 3 ) Y bn+1 = 1 A 5 A 9 A ... A ( 4n - 3 ) ( 4n + 1 ) ¡ Ojo! ]
S))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË )))))))))))))))))))))))))))))))Q
6. Estudiar el carácter de la Serie
[ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
[ Observa : 5n+1 = 5n A 5 ]
Y La Serie CONVERGE
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
7. Estudiar según r 0000 úúúú el carácter de la Serie
Se trata de una Serie de términos cualesquiera, pues r 0 ú . Estudiemos su convergencia
absoluta.
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[ Criterio de D' Alembert ]
Sea
Y La Serie es ABSOLUTAMENTE CONVERGE Y Es Convergente œ r 0 ú
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
8. Estudiar según los valores de a 0000 úúúú, a > 0 el carácter de la Serie y aplicar el
resultado obtenido para estudiar el carácter de las series
Se trata de una Serie de términos positivos œ a > 0, apliquemos el criterio de
convergencia del cociente ( D'Alembert)
[
Observa : ( n+1 )! = (n+1) A n! ; ( n+1)n+1 = (n+1)n A (n+1) ]
Aplicando las condiciones del criterio del cociente, tenemos :
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i) si < 1 a < e Y La serie CONVERGE
ii) si > 1 a > e Y La serie DIVERGE
iii) si = 1 a = e Y DUDA ?
Resolvamos el caso DUDA ( a = e )
Sustituyendo en la serie original, quedará :
Comprobemos la condición de convergencia de Cauchy.
Y DIVERGE
Resumiendo, la serie œ a > 0
¿ Carácter ?
Observando el estudio anterior, tomando a = 3, como 3 > e Y La Serie Diverge
¿ Carácter ?
Razonando como anteriormente, tomando a = 2, como 2 < e Y La Serie Converge
[ Nota : Recordemos que e . 2,71828182 ]
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
9. Estudiar el carácter de la Serie
[ Criterio de D' Alembert ( Serie de términos positivos )]
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<
Y Y La Serie DIVERGE
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
10. Estudiar según los valores de x 0 ú el carácter de la Serie
Como x 0 ú, se trata de una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la
convergencia absoluta. Aplicando el Criterio de D' Alembert a la serie :
i) Si x = 0
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Obtenemos la serie , que es una serie convergente, œ n 0 ù y
CONVERGE
ii) Si x … 0
Estudiemos la Convergencia absoluta aplicando el criterio del cociente ( D'Alembert )
œ x 0 ú
Y La serie es Absolutamente Convergente Y La serie es Convergente.
Por tanto, es Convergente œ x 0 ú
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
11. Estudiar según los valores de a 0 ú, a > 0 el carácter de la Serie
Se trata de una Serie de términos positivos œ a > 0, apliquemos el criterio de
convergencia del cociente ( D'Alembert)
[ Mira aquí : ( 2n + 2 ) ! = ( 2n+2) ( 2n+1) (2n)! ; (n!)2 = (n!) A (n!) ]
Si aplicamos la conclusión del criterio :
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si < 1 Y a < 4 Y La Serie Converge
si > 1 Y a > 4 Y La Serie Diverge
si = 1 Y a = 4 Y DUDA
Resolvamos la duda sustituyendo a = 4 en la Serie Original
Apliquemos el criterio de Raabe aprovechando el último cociente del criterio de D'Alembert
Y La serie diverge.
Resumiendo, La Serie :
Y Converge si 0 < a < 4
Y Diverge si a $ 4 [ Pregunta : ¿ De dónde hemos obtenido 4n2 + 8n + 4 ?]
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
12. Estudiar el carácter de la Serie
Se trata de una Serie Alternada, optemos por estudiar la convergencia absoluta.
Sea pues la serie de términos positivos :
. Apliquemos el criterio de la raíz ( Cauchy ):
Dividiendo por "n" numerador y denominador
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Y La serie es Convergente
es ABSOLUTAMENTE Convergente Y
es Convergente
[ Recordemos que toda serie absolutamente Convergente, es Convergente ]
S)))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
13. Estudiar según los valores de x 0 ú la naturaleza de la Serie
Si x 0 ú, es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la convergencia absoluta.
i) Si x = -1. Sustituyendo queda la Serie nula que es una Serie convergente, tal
como hemos visto.
ii) Si x … -1
Apliquemos el criterio del COCIENTE
Aplicando las conclusiones de convergencia del criterio tenemos :
Y Si < 1 Y * x + 1 * < 3 Y -3 < x+1 < 3 Y -4 < x < 2 Y La Serie es
absolutamente convergente, y por tanto covergente.
Y Si = 1 Y * x + 1 * = 3 Y DUDA
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Y Si > 1 Y La serie es absolutamente divergente.
Estudiemos las DUDAS.
6 Si x = -4 sustituyendo en la serie obtenemos :
Serie alternada que es fácil comprobar que converge ( Criterio de Leibniz, típico además !
[ Mira : (-3)n = (-1)n A 3n ]
6 Si x = 2 Operando de igual forma :
Serie de términos positivos , divergente ( Criterio de
Pringsheim " = 1 )
Resumiendo, la serie
< Es absolutamente convergente y, por tanto, CONVERGENTE si -4 # x < 2
< Es absolutamente divergente y, por tanto, DIVERGENTE si x < 4 ó x $ 2
[ No olvidemos que la divergencia absoluta estudiada por D'Alembert implica Divergencia ]
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
14. Estudiar el carácter de la Serie
Se trata de una Serie de términos positivos . Aplicando el criterio de la Raíz ( Cauchy ) :
Separando los límites :
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Y La Serie CONVERGE
S)))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
15. Estudiar el carácter de la Serie
Se trata de una Serie de términos positivos . Antes de decidir qué criterio aplicar, una
reflexión interna provocaría una indecisión ante la estructura de an, un poco
exponencial, un poco polinómica... Sin embargo, hay un bloque dominante y es
y, por ese camino lo vamos a intentar por comparación por paso al límite.
Comparemos con serie Geométrica Convergente pues
Sea, pues,
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Como la serie es convergente, aplicando el criterio de comparación
Y la Serie Converge. Bueno, ¡ Tampoco era tan complicada !
[ Todos los límites de la fracción resultante al dividir por 3n y 5n dan cero mediante la
técnica de Stolz explicada en el tema de Sucesiones
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
16. Estudiar el carácter de la Serie
Intentemos, en primer lugar la convergencia absoluta
Aplicando el criterio de Pringsheim :
Sea " 0 ú /
Y La Serie Diverge en valor absoluto
Y La serie alternada no podemos afirmar nada. Apliquemos ahora directamente el criterio de
Leibniz a la serie alternada
i) ¿ ?
ii) ¿ es monótona creciente ?
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Y la Serie Converge
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
17. Estudiar el carácter de la Serie
Al llevar expresiones trigonométricas en su término general, cualquier criterio que
apliquemos nos va a llevar a un límite de difícil cálculo. Intentaremos el criterio de
comparación pues las funciones trigonométricas se suelen acotar con cierta facilidad.
Utilizando el Criterio de Comparación
[ Pues 1 + sen2 n $ 1 œ n ]
Utilizando el Criterio de Pringsheim
" = 2 Y La serie CONVERGE Y CONVERGE
S)))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
18. Estudiar el carácter de la Serie según valores de " 0 ú
Utilizando el Criterio de Pringsheim
Y p = " - 3
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Si " - 3 > 1 Y la Serie Converge Y " > 4
Si " - 3 # 1 Y la Serie Diverge Y " # 4
Si " > 4 Y Serie Convergente
Si " # 4 Y Serie Divergente
[ Fácil y sencillo !!. Pringsheim es muy práctico en las series cuyo término general es un
cociente de polinomios ]
S)))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
19. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
Como se trata de una Serie Geométrica
TERMINOS 1,
Serie Geométrica Y Como < 1 Y < 1 Y La serie
Converge
Suma a1 = 1 Y Y
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
20. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
Descomponiendo =
= [ Observa que hemos separado la Serie como suma de dos Series ]
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Carácter
a) Serie Geométrica Y La serie Converge
b) Serie Geométrica Y La serie Converge
Y La serie es una suma de series convergentes y por lo tanto
convergente
Suma
a)
b)
S = Sa + Sb = Y
[ ha sibo buena idea de separar la Serie en dos Series Geométricas ]
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
21. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
Preparemos un poco el término general operando sobre el [ (-1)2n = [(-1)2 ]n = 1n = 1 ]:
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se trata de una Serie de Geométrica
Términos
Carácter Serie Geométrica Y La serie Converge
Suma
Y
S)))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
22. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
[ Observa que hemos separado la Serie como suma de dos Series]
Carácter
a) Serie Geométrica Y La serie Converge
b) Serie Geométrica Y La serie Converge
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Y La serie es Convergente al ser Suma de Series Convergentes.
Suma
Sumando ambas como Series Geométricas.
a)
b)
S = Sa + Sb = Y
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
23. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
Y Se trata de una Serie
Geométrica.
Términos
Serie Geométrica Y Como < 1 Y < 1 Y La serie
Converge
Suma a1 = Y Y
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))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
24. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
Carácter
[ Aplicando el criterio de Pringsheim, an es un COCIENTE DE POLINOMIOS ]
La Serie es CONVERGENTE
Suma. Aplicaremos la técnica de descomposición de an, en este caso al ser un cociente
de polinomios, efectuaremos una descomposición en suma de fracciónes simple.
Raíces del denominador : n3 + n2 - 2n = 0 Y
Propongamos
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Como era , el primer valor que asignamos a n, es n = 2
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< n = 2 6
< n = 3 6
< n = 4 6
< n = 5 6
< n = 6 6
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA < n = n-2
6
< n = n-1 6
< n = n 6
Sumando )))))))))))))))))))))))
Observamos que los términos cuyo
denominador es el mismo en los tres
sumandos, se van cancelando, ya que los
numeradores suman cero.
[ ¡ Ojo ! Puede ser una buena idea para sumar,
cuando se descompone an en fracciones
simples ]
Tomando límites :
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[ Un poco " durillo " para ser la primera que sumamos por ésta
técnica ]
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
25. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, obtener la suma de la Serie
Carácter [ Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es convergente
Suma A primera vista, la estructura de an no nos permite identificar la suma de esta
serie con ninguno de los tipos que conocemos. No obstante, por eliminación
de las demás técnicas, vamos a tratar de hacer una descomposición en
factores. Para ello, vamos a trabajar un poco sobre el término general.
Hemos llegado, pues, a una serie telescópica
Asignando valores a n
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Tema : Series Numéricas Página 25
[ Observa que los términos con el mismo denominador se van cancelando entre sí al efectuar
la suma pues tienen signo contrario ]
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
26. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
Carácter [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es convergente
Suma Mediante descomposición de an en suma de fracciones simples :
Raíces del denominador Y n3 + 5n2 + 6n = 0 Y
Operando e igualando numeradores, pues el denominador es el mismo
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Tema : Series Numéricas Página 27
<
<
<
<
<
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
<
<
<
Sumando :
Los términos con el
mismo denominador en los
tres sumandos se van
cancelando al sumar cero
sus numeradores.
[ Fíjate que hemos dejado
los valores de A, B, C en el
numerador sin operar la
fracción resultante, para
que se "vean" mejor los
términos que se cancelan
entre sí ]
Tomando límites :
Y
![Page 27: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/27.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 28
[ Supongo que te ha resultado más sencillo ]
S)))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
27. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
Carácter [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es convergente
Suma Por descomposición . Aplicando la Sumapor descomposición de an en suma de
fracciones simples :
[ Mira esta nueva forma de hallar los coeficientes indeterminados ]
¿ Qué te ha parecido ?
![Page 28: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/28.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 29
Dando valores a "n" :
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
28. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
Carácter [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es Convergente
SUMA ¿ Es Hipergeométrica ?
es Hipergeométrica
Al ser Hipergeométrica y convergente
![Page 29: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/29.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 30
[Tambien podíamos haber sumado por descomposición de an en suma de fracciones simples ]
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
29. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
Carácter [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es convergente
[ ¡ Vaya sorpresa ! emplear el criterior de Pringsheim en la convergencia de esta serie ]
SUMA Preparemos an
[ Aplicando las propiedades de los logaritmos ]
Dando valores a "n"
![Page 30: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/30.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 31
Y
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
30. Estudiar el carácter y la suma de la Serie
Carácter [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es convergente
SUMA por descomposición de an en suma de fracciones simples :
![Page 31: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/31.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 32
Sumando todo
Tomando Y Y
Observa esta " variante " en la suma Sn para no especifficar todos los términos ]
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
31. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie
Carácter [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es Convergente
SUMA propongamos una descomposición en factores :
Sea pues
![Page 32: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/32.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 33
Igualando numeradores ( pues los denominadores son iguales )
y asignando valores a "n "
6 si n = 1
6 si n = 2
6 si n = 3
6 si n = 4
AAAAAAAAAAAAAAAAA
6 si n = n-2
6 si n = n-1
6 si n = n
Sumando y simplificando los elementos que son iguales pero con signo distinto
![Page 33: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/33.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 34
Tomando límites :
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
32. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie
Carácter [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es convergente
SUMA ¿ Es hipergeométrica ?
Al ser Hipergeométrica y Convergente
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
33. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie
![Page 34: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/34.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 35
Carácter [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es convergente
SUMA ¿ Es hipergeométrica ?
Al ser Hipergeométrica y Convergente
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
34. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie
Carácter [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
La Serie es Convergente
SUMA ¿ Es hipergeométrica ?
Como :
![Page 35: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/35.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 36
Al tratarse de una serie convergente su suma es :
Veamos a continuación como hubiera sido la suma mediante una descomposición en
factores :
Igualando numeradores :
Asignando valores a "n" a ambos lados de la igualdad :
6 Si n = -2 2 = 2 A Y A = 1
6 Si n = -3 2 = -B Y B = -2
6 Si n = -4 2 = 2 C Y C = 1
![Page 36: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/36.jpg)
Apunts
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Tema : Series Numéricas Página 37
[
Naturalmente, en esta serie, la suma como Hipergeométrica resulta mucho más sencilla ]
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
35. Estudiar el carácter y, en caso de ser convergente, la suma de la Serie
6 Antes de empezar, busquemos el término general al cual obedecen en los términos de la
serie. No es difícil comprobar que:
1, 3, 5, 7, .... Y 2n - 1
3, 5, 7, 9, .... Y 2n + 1
5, 7, 9, 11,.... Y 2n + 3
Carácter [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de Pringsheim ]
![Page 37: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/37.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 38
La Serie es Convergente
SUMA
Ante la doble opción para obtener la Suma de la serie, optamos por.... las dos.
¿ Es hipergeométrica ?
Como:
Al tratarse de una serie convergente su suma es :
Veamos a continuación como hubiera sido la suma mediante una descomposición en
factores :
Igualando numeradores :
Asignando valores a "n" a ambos lados de la igualdad :
6 Si n = 1 = 8 A Y A =
6 Si n = - 1 = -4B Y B =
6 Si n = 1 = 8 C Y C =
Y asignando valores a "n" :
![Page 38: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/38.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 39
[ por ambos caminos hemos llegado bien a la suma. Como siempre un poco mas sencillo si
la Serie es Hipergeométrica, sumándola como tal ]
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
36. Estudiar carácter y suma de según valores de p, y, en
particular obtener el carácter y la suma de
Carácter ( Serie de términos positivos œ p 0 ù ) Aplicando el criterio de Pringsheim ]
![Page 39: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/39.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 40
Aplicando sobre " el criterio de Pringsheim :
6 Si " > 1 Y p > 1 Y La Serie converge
6 Si " # 1 Y p # 1 Y La Serie diverge
SUMA œ p > 1 p 0 ù
Comprobamos si se trata de una Serie Hipergeométrica
Como
Al ser convergente su suma es :
En particular, para observamos que se trata de la Serie anterior para p = 3
Carácter
Como p = 3 > 1 Y La Serie Converge
SUMA. Tomando en la expresión de suma p = 3 Y
![Page 40: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/40.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 41
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
37. Estudiar carácter y suma de
Carácter [ Serie de términos positivos. Apliquemos el criterio de D'Alembert]
Y La Serie Converge
SUMA. Claremente, an tiene la forma adecuada para obtener la Suma de la Serie como
Aritmético-Geométrica, es decir, , apliquemos pues esta técnica
Tomando límites :
![Page 41: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/41.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 42
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
38. Estudiar carácter y suma de
Carácter [ Serie de términos positivos. Aplicando el criterio de D'Alembert]
Y La Serie Converge
SUMA. Sumando como Serie Aritmético-Geométrica
![Page 42: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/42.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 43
Tomando Límites :
[ NOTA : mediante Stolz, aplicándolo dos veces ]
[ Observa que al ser el polinomio del numerador de 2º grado hemos aplicado la técnica de
Aritmético-Geométrica dos veces]
)))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
39. Estudiar carácter y suma de
Carácter ( Se trata de una Serie Alternada) . Ante la doble opción que tenemos para su
![Page 43: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/43.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 44
estudio de convergencia ( Leibniz, Convergencia Absoluta ) Elegimos la Convergencia
Absoluta. ]
Por el Criterio del Cociente (D'Alembert)
es Convergente
Así es ABSOLUTAMENTE Convergente
es Convergente
SUMA
Sumemos por el procedimiento de la Serie Aritmético-Geométrica
Tomando Límites :
![Page 44: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/44.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 45
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
40. Estudiar carácter y suma de
Carácter (Como an > 0 œ n 0 ù Y Es una Serie de Términos positivos. Apliquemos el
criterio de D'Alembert)
Y La Serie converge
SUMA
En principio, an no se ajusta a ninguno de los modelos de suma conocidos. Preparemos el
término general :
Estudiemos cada una de las Series obtenidas por separado :
Y 31 Se trata de una Serie Geométrica, demos algunos términos :
Y 32 Se trata de una Serie Aritmético-Geométrica, Apliquemos la técnica adecuada.
[ Para no abusar de notación fraccionaria, llamaremos a = 5/2 ]
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Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 46
[ ¿ Bonita suma, eh ? ]
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
41. Estudiar carácter y suma de
2n es PAR, œ n 0 ù Y (-1)2n = 1, œ n 0 ù Y
Carácter es una Serie de términos positivos.
Por D'Alembert :
Y
La Serie converge
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Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 47
SUMA. Serie Aritmético-Geométrica
Tomando límites :
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
42. Estudiar carácter y suma de
Carácter. La Serie dada, se puede descomponer como una resta de dos series así :
Estudiemos cada una de ellas por separado :
Serie de términos positivos. Por D'Alembert :
![Page 47: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/47.jpg)
Apunts
XB
Series
Tema : Series Numéricas Página 48
Y La Serie converge
SUMA. Apliquemos la técnica adecuada para sumar la Serie Aritmético-Geométrica
Tomando límite :
Serie de términos positivos. Apliquemos el criterio de Pringsheim
![Page 48: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/48.jpg)
Apunts
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Series
Tema : Series Numéricas Página 49
Y La Serie CONVERGE
Propongamos una descomposición del término general en SUMA de fracciones según las raíces del
denominador
Asignando valores a "n" ( Inteligentemente seleccionados )
6 Si n = -2 1 = A Y A = 1
6 Si n = -3 1 = -B Y B = -1
Refundiendo los resultados :
Carácter es Convergente
Suma
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Apunts
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Series
Tema : Series Numéricas Página 50
NOTA : La serie también es Hipergeométrica pues
Y al ser Convergente su suma es
))))))))))))))))))))))))))))Q ËËËËËË S)))))))))))))))))))))))))))))))Q
43. Estudiar según los valores de x 0000 úúúú el carácter de la Serie
Si x 0 ú Y es una Serie de Términos cualesquiera . Estudiemos la
convergencia absoluta. Aplicando el Criterio de D' Alembert a la serie en valor absoluto:
Sea
Hagamos unas consideraciones sobre el valor de x.
i) Si
i.1) Si x = 1 Y
Sustituyendo en la serie original queda : . Aplicando
ahora la Condición necesaria de Cauchy, tenemos :
Y La Serie DIVERGE para x = 1
![Page 50: Problemes de SERIES - WordPress.com...Apunts XB Series Tema : Series Numéricas Página 4 2. De una serie sabemos el término general de su suma parcial de orden "n",. Se pide : 2.1.](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022071412/61084a47f826d02a4379e5c2/html5/thumbnails/50.jpg)
Apunts
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Series
Tema : Series Numéricas Página 51
i.2) Si x = -1 Y
Sustituyendo en la serie original queda : .
Aplicando de nuevo la Condición necesaria de Cauchy, tenemos :
Y La Serie DIVERGE para x = -1
ii) Si .
Aplicando ahora la condición necesaria de Cauchy , sustituyendo x / *x* < 1 en la
Serie:
Y La Serie DIVERGE para *x* < 1
iii) Si
iii.1) Si x > 1 Y Y
La Serie converge
iii.2) Si x < -1 Y ò Y La Serie diverge