Procesamiento Digital de Senales~ · 1 Teorema de muestreo y reconstrucci on de la senal~ 2...

PDS

A. Osman

Teorema demuestreo yreconstruc-cion de lasenal

Comparacionde losespectros delas senalesmuestreadaydiscretizada

Filtradoantisolapa-miento

ConversorA/D

Muestreo yRetencion

Cuantificador

Codificador

ConversorD/A

Tratamientomultitasa

Diezmado

Interpolacion

Factor noentero.

Zonas deNyquist

Referencias

Procesamiento Digital de SenalesApuntes de clase de muestreo y reconstruccion

A. Osman

Universidad de Carabobo

17 de marzo de 2018

PDS

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ConversorA/D

Muestreo yRetencion

Cuantificador

Codificador

ConversorD/A


Diezmado

Interpolacion

Factor noentero.

Zonas deNyquist

Referencias

Contenido

1 Teorema de muestreo y reconstruccion de la senal2 Comparacion de los espectros de las senales muestreada y

discretizada

3 Filtrado antisolapamiento

4 Conversor A/DMuestreo y RetencionCuantificadorCodificador

5 Conversor D/A

6 Tratamiento multitasaDiezmadoInterpolacionFactor no entero.

7 Zonas de Nyquist

8 Referencias

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Teorema de Muestreo

Sea x(t) una senal de banda banda limitada con X(jΩ) = 0para |Ω| > Ωm, entonces x(t) se determina univocamentemediante sus muestras x(nT ), con n entero, si:

ωs > 2ωm (1)

donde Ωs se denomina frecuencia de muestreo.Reconstruccion: Dadas estas muestras, se puedereconstruir x(t) generando un tren de impulsos periodico, enel cual, los impulsos sucesivos tengan amplitudes quecorrespondan a los valores de las muestras sucesivas. Estetren de impulsos es entonces procesado a traves de un filtropasa bajas ideal con ganancia T cuya frecuencia de corte seamayor que Ωm y menor que Ωs − Ωm. la senal de salidaresultante sera exactamente igual a x(t).[1][2]

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Muestreo con tren de impulsos en el dominio deltiempo

Sea xs(t) una senal que resulta de multiplicar una senal x(t)con un tren de impulsos p(t):

xs(t) = x(t)p(t)

Sabiendo que:

p(t) =

∞∑n=−∞

δ(t− nT )

Entonces:

xs(t) = x(t)∞∑

n=−∞δ(t− nT ) =

∞∑n=−∞

x(t)δ(t− nT )

Luego:

xs(t) =

∞∑n=−∞

x(nT )δ(t− nT )

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Muestreo con tren de impulsos en el dominio dela frecuencia

Calculando la transformada de fourier de xs(t) se obtiene:

Xs(jΩ) =1

2πX(jω) ∗ P (jΩ)

Sabiendo que:

P (jΩ) =2π

T

∞∑k=−∞

δ(Ω− kΩs)

Entonces:

Xs(jΩ) =1

2π

2π

T

∞∑k=−∞

X[j(Ω− kΩs)]

Luego:

Xp(jΩ) =1

T

∞∑k=−∞

X[j(Ω− kΩs)]

donde: Ωs = 2πTs

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De la implementacion real

En la vida real, los impulsos resultan casi imposibles degenerar. Es por eso que para muestrear una senal se aplicandiferentes metodos y aproximaciones, basadas en el teoremade muestreo, para recuperar la senal original de la mejormanera posible.[1][2]

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Metodos de Reconstruccion de la senalRetenedor de orden cero

El retenerdor de orden cero es un proceso mediante el cualxs(t) pasa a traves de un sistema cuya respuesta al impulsoes

ho(t) = µ(t)− µ(t− T )

Por ende, el retenedor de orden cero viene siendo unmuestreo por pulsos rectangulares.

Ho(jΩ) =2sen(ΩT

2 )

Ωe−jΩ

T2

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Metodos de Reconstruccion de la senalOtros retenedores

Retenedor de primer orden: xs(t) pasa a traves de unsistema con respuesta impulsiva triangular,convirtiendose en un muestreo por pulsos triangulares.

Retenedor de orden superior: xs(t) pasa a traves de unsistema con respuesta impulsiva polinomica,convirtiendose en un muestreo por pulsos curvos.

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Metodos de Reconstruccion de la senalReconstruccion ideal

Teoricamente, para recuperar una senal muestreada por untren de impulsos se requiere implementar un filtro pasabajosideal. Lo anterior, equivale a realizar la siguienteaproximacion en el tiempo:

xr(t) =

∞∑n=−∞

x(nTs)ΩcTsen[Ωc(t− nT )]

πΩc(t− nT )(2)

A la ecuacion 2 se le llama interpolacion ideal.

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Comparacion de los espectros de las senalesmuestreada y discretizada

Partiendo de:

xp(t) =

∞∑n=−∞

x(nT )δ(t− nT )

y calculando su transformada de fourier por otro metodo seobtiene:

Xp(jΩ) =

∞∑n=−∞

x[n]e−jΩ(nTs)

Xp(jΩ) =

∞∑n=−∞

x[n]e−jn(ΩTs)

Recordando que :

X(e−jω) =

∞∑n=−∞

x[n]e−jωn

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Comparacion de los espectros de las senalesmuestreada y discretizada

Finalmente tenemos:

Xs(jΩ) = X(ejω)|ω=ΩTs

X(ejω) = Xs(jΩ)|Ω= ωTs

Factor de escalamiento en los espectros:

ω = ΩTs (3)

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Factor noentero.

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Filtro antisolapamiento

Muchas senales, por naturaleza, son de banda ilimitada yesto representa un problema a la hora de realizar eltratamiento de las mismas, por ello en todo proceso demuestreo real se incluye un filtro analogico Haa(jΩ). Estefiltro tiene como propositos asegurar que la senal que se va amuestrear este en el rango de frecuencias deseado y limitarel espectro del ruido aditivo. La ecuacion 4 representa larespuesta en frecuencia del filtro antisolapamiento .[2][1]

Haa (jΩ) =

1, |Ω| < |Ωc| ≤ π/T0, |Ω| ≥ |Ωc|

(4)

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Conversor A/DIntroduccion

El concepto

El conversor A/D convierte la amplitud de la senal en uncodigo binario que representa la amplitud cuantificada mascercana a la amplitud de la entrada. La conversion A/D sepuede interpretar a traves del modelo del conversor C/D.

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Conversor A/DEstructura real

Conversor C/D

Convierte una senal en tiempo continuo a una detiempo discreto.Se supone que cada muestra se conoce con precisioninfinita.

Una aproximacion a esto es el siguiente diagrama

Muestreo y Retencion

Ts

ConversorA/D

Ts

xa(t) x0(t) xB [n]

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Conversor C/DEl bloque de muestreo y retencion

La conversion A/D no es instantanea,por este motivo lossistemas de altas prestaciones incluyen generalmente unsistema de muestreo y retencion.

×

s(t) =

∞∑n=−∞

δ(t− nT )

Retenedorxa(t) xs(t) x0(t)

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CuantificadorEstructura

El cuantificador es un sistema no lineal cuyo modelo sepuede aproximar a:

Cuantificador

e [n]

x [n] x [n]

Este modelo es valido si la senal es lo suficientementecompleja y los pasos de cuantificacion suficientementepequeno.

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Errores de Cuantificacion

En este proceso se mide el nivel de voltaje de cada una delas muestras, La muestra cuantificada x [n] sera en generaldiferente del verdadero valor de la muestra x [n]. Ladiferencia entre ambas es el error de cuantificacion y vienedado por:

e [n] = x [n]− x [n]

Incluso en su caso ideal anade una senal de ruido a la senalde entrada.En general un cuantificador de (b+ 1) bits con ∆dado el error de cuantificacion satisface la siguiente ecuacion

(−Xm −∆/2) < x [n] ≤ (Xm −∆/2)

Con ∆ = Xm2B

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Errores de CuantificacionContinuacion

Los errores de cuantificacion se basan en los siguientessupuestos:

La secuencia de error e[n] es una muestra de un procesoaleatorio estacionario.

La secuencia de error no esta correlacionada con lasecuencia x[n].

Las variables aleatorias del proceso de error no estancorrelacioadas. Es decir, el error es un proceso de ruidoblanco.

La distribucion de probabilidad del proceso de error esuniforme en el intervalo del error de cuantificacion.

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Codificacion

Este proceso en convertir a una palabra binaria los nivelesde cuantificacion. La muestras se pueden etiquetarutilizando un codigo binario. En general, 2B+1 niveles sepueden codificar mediante un codigo binario de (B + 1)bits.

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Conversor D/A

Diagrama de Bloques de un Conversor D/A.

Esc. por Xm

T

Conv. a Imp. R. O. CeroXB [n] Q (x[n]) XDA(t)

Representacion en terminos de un filtro de retencion deorden Cero.

xDA(t) =

∞∑n=−∞

XmXb[n]h0(t− nT )

xDA(t) =

∞∑n=−∞

X[n]h0(t− nT ) +

∞∑n=−∞

e[n]h0(t− nT )

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Conversor D/ADiagrama de Bloques de la configuracion fısica

D/A

T

Hr(Ω)X[n] XDA(t) Xr(t)

xr(t) =

∞∑n=−∞

X[n]sen[π(t− nT )/T ]

π(t− nT )/T+

∞∑n=−∞

e[n]sen[π(t− nT )/T ]

π(t− nT )/T

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Introduccion

Muchas veces durante el procesado digital de senales surgela necesidad de transformar una senal muestreada a unafrecuencia Fs en una senal equivalente muestreada a otrafrecuencia F

′s. Para ello:

Se discutira sobre el diezmado o reduccion de lafrecuencia de muestreo por un factor entero M.

Se discutira sobre la interpolacion o incremento en lafrecuencia de muestreo por un factor entero L.

Se discutira sobre el cambio de frecuencia en un factorno entero.

Se discutiran procesos auxiliares como el submuestreo ysobremuestreo.

Se analizara lo referente a la zona de nyquist.

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Diezmado

El diezmado consiste en reducir la frecuencia de muestreo enun factor entero M. En la mayorıa de las aplicaciones, undiezmador va precedido de un filtro limitador de banda cuyoobjetivo es evitar el solapamiento. [2]

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DiezmadoEjemplo

Para explicar los efectos del diezmado se realiza un ejemplocon la siguiente senal:

xc(t) =sen(π2 t)

πt(5)

Primero se muestrea adecuadamente xc(t) para obtener x[n]:

xc(t) = x[nTs] =sen(π2nTs)

πnTs(6)

Aplicando teorema de Nyquist:

ωs > 2ωn → ωs > 2(π

2)→ ωs > π

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DiezmadoEjemplo

Se selecciona el valor de ωs = 20πrad/s y siendo ωs = 2πfscon fs = 1

Tsentonces Ts = 2π

ωs, por lo tanto,

Ts =2π

ωs=

2π

20π=

1

10

Luego resulta la representacion en tiempo discreto de lasenal de entrada:

x[n] =sen( π20n)

π10n

(7)

Finalmente se muestra el resultado de realizar el proceso dediezmado de x[n] con un factor de M = 3.

xd[n] =sen(3π

20n)3π10n

(8)

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DiezmadoEspectro del ejemplo

El espectro de una senal diezmada esta representadomediante la ecuacion 9

Xd

(ejω)

=1

M

M−1∑i=0

X(ej(

ωM− 2πiM

))

(9)

Entonces, el espectro de la ecuacion 25 viene dado por laexpresion:

Xd

(ejω)

=1

3

2∑i=0

X(ej(

ω3− 2πi

3))

(10)

La ecuacion 10 significa una expansion y acercamiento entresı de las replicas en el espectro discreto.

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Interpolacion

La interpolacion ocurre cuando se aumenta la frecuencia demuestreo en un factor entero L. Con el filtro conectado encascada, se modifica el factor de escala de la amplitud y seeliminan todas las replicas escaladas en frecuencia que noesten situadas en multiplos enteros de 2π. [2]

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InterpolacionEjemplo

Para explicar los efectos de la interpolacion se realiza unejemplo con la siguiente senal:

xc(t) =sen(π2 t)

πt(11)

Primero se muestrea adecuadamente xc(t) para obtener x[n]:

xc(t) = x[nTs] =sen(π2nTs)

πnTs(12)

Aplicando teorema de Nyquist:

ωs > 2ωn → ωs > 2(π

2)→ ωs > π

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InterpolacionEjemplo

Se selecciona el valor de ωs = 2πrad/s y siendo ωs = 2πfscon fs = 1

Tsentonces Ts = 2π

ωs, por lo tanto,

Ts =2π

ωs=

2π

2π= 1

Luego resulta la representacion en tiempo discreto de lasenal de entrada:

x[n] =sen(π2n)

πn(13)

Finalmente se muestra el resultado de realizar el proceso dediezmado de x[n] con un factor de L = 3.

x[n] =sen(π6n)

π3n

(14)

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InterpolacionEspectro del ejemplo

El espectro de una senal interpolada esta representadomediante la ecuacion 9

Xe

(ejω)

= X(ejωL

)(15)

Entonces, el espectro de la ecuacion 25 viene dado por laexpresion:

Xe

(ejω)

= X(ejω3

)(16)

La ecuacion 15 significa una compresion en incorporacion denuevas replicas en el perıodo en el espectro discreto.

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Multiplicacion por factor no entero.

Cuando el cociente entre la frecuencia de muestreo deseaday la original no es un numero entero, se puede cambiar lafrecuencia de muestreo conectando en cascada las etapas dediezmado e interpolacion.1

1En los estudios de grabacion se producen cintas digitales (formatoDAT) que se muestrean a 48KHz, pero en radiodifusion (formato DAB)se usa una tasa de muestreo de 32KHz. ¿ Como adaptar el formatoDAT al DAB? Conectando os sistemas en cascada, de tal manera que elcociente entre las frecuencias sera igual a: 48KHz

32KHz= 3

2, se obtiene un

factor de interpolacion L = 2 y un factor de diezmado de M = 3. Elfiltro tendra una frecuencia de corte igual al mınimo entre π

2y π

3

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Sobremuestreo

Tambien se le llama oversampling y es una tecnica queconsiste en usar frecuencias de muestreo es losuficientemente altas, generalmente multiplos de lafrecuencia de nyquist.Generalmente el oversampling2, es usado en casospuntuales en los cuales se requiere un beneficio adicional dela alta resolucion, sin embargo, esto ocasiona un incrementoen carga computacional, es por ello que probablemente seregrese el audio a la frecuencia de muestreo normal.

2En ocasiones, esta tecnica es implementada en etapas posteriores alconversor A/D a traves de filtros de interpolacion.

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Submuestreo

Tambien llamado undersampling ocurre cuando se utilizauna frecuencia de muestreo inferior a dos veces lacomponente de maxima frecuencia en la senal.

Con el submuestreador se puede generar perdida deinformacion.

El submuestreo requiere menos memoria, por lo quepuede ser util en ciertas aplicaciones como por ejemplo:reducir la dimension (espacial) de una imagen y, portanto, el numero de pıxeles que deben ser codificados omuestrear voz para la trnamision en comunicacionesmoviles.

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Zona de NyquistConcepto

Son aquellas zonas en las que es posible muestrear una senalsin presencia del aliasing. Aplica a senales cuyo espectro estarepresentado de la siguiente forma:

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Zona de NyquistExpresion matematica

Partiendo de la siguiente ecuacion se puede fijar un rango defrecuencias en el cual esto es posible

2FH

K≤ FS ≤

2FL

K − 1

teniendo en cuenta que Para k=1, tenemos 2FH ≤ FS ≤ ∞,que es el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon. Elmaximo valor de k dependera de la siguiente relacion:

Kmax =FH

B

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Zona de NyquistEjemplo

Ejemplo: Si FH = 510KHz y B = 20KHz se obtiene que elmaximo valor posible de k sera igual a 25, puesto que k soloadmite valores enteros y deben redondearse por debajo delvalor obtenido.

Kmax =510KHz

20KHz= 25, 5 = 25

Entonces, para k=25 se obtiene

2 (510KHz)

25≤ FS ≤

2 (490KHz)

24

40, 8KHz ≤ FS ≤ 40, 83KHz

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Zona de NyquistEjemplo

El rango descrito anteriormente es muy estrecho y difıcil deimplementar. Si se selecciona un valor de k menor, dichorango de frecuencias aumentara el sistema se vuelverealizable.

2 (510KHz)

10≤ FS ≤

2 (490KHz)

9

102KHz ≤ FS ≤ 98KHz

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Zonas de nyquistRepresentacion Grafica

Las areas sombreadas representan frecuencias de muestreoque son resultado del aliasing. El rango permitido defrecuencias de muestreo es el definido por las cunas blancas.

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Referencias

Referencias

Dimitris G. Proakis, John G.; Manolakis.Tratamiento Digital de Senales.Prentice Hall. Madrid. ES. 4a ed. 1048 p., Reading, MA,2007.

Ronald W. Oppenheim, Alan V.; Schafer.Tratamiento de Senales en tiempo discreto.Prentice Hall. Madrid. ES. 2a ed. 873 p., Reading, MA,2000.

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