Teoría de colasProceso de nacimiento y de muerteLEIDY VANESSA FALLA

CARLOS EDUARDO MARTINEZ PADILLA

Teoría de colasConcepto

• El estudio de la espera en las distintas modalidades. El número de clientes que llegan hasta un

momento es una Distribución de Poisson

La distribución de probabilidad del

tiempo que transcurre entre

dos llegadas consecutivas es

exponencial

Nomenclatura básica de la teoría de colas

• Estado del sistema = numero de clientes en el sistema. • Longitud de la cola = numero de clientes que esperan servicio. • N(t) = numero de clientes en el sistema de colas en el tiempo t ( ). • Pn(t) = probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el

tiempo t, dado el numero en el tiempo 0. • s = numero de servidores (canales de servicio en paralelo) en el sistema de colas. • = tasa media de llegadas (numero esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema. • tasa media de servicio en todo el sistema (numero esperado de clientes que

completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema. • Nota: representa la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados

(aquellos que están sirviendo a un cliente) logran terminar sus servicios.

nλ

nµ

nµ

0t ≥

Medidas de desempeño de la línea de espera

• Pn = Probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema • L = Numero esperado de clientes en el sistema • Lq = Tamaño esperado de la cola • W = Tiempo de espera en el sistema • Wq= Tiempo de espera en la cola

Proceso de nacimiento

• Llegada de clientes al sistema • N(t): Estado en el sistema en el tiempo t

• Supuesto 1.

Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro n.

(n = 0, 1, 2, . . .).

 

Procesos de Muerte

• Salida de clientes del sistema • Cambio probabilístico en N al aumentar t • Dado N(t)=n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que

falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro n (n =1, 2, . . .).

Diagrama de tasas del proceso de nacimiento y muerte.

Modelo de nacimiento puro

• En el modelo de nacimiento puro los clientes llegan y nunca parten. Los procesos de llegada ocurren de manera aleatoria.

P0(t) = Probabilidad de que no hayan llegadas en un espacio de tiempo t.

Suponga que los nacimientos en un país están separados en el tiempo, de acuerdo con una distribución exponencial,

presentándose un nacimiento cada 7 minutos. a) Calcule la cantidad de nacimientos que se registraran

en un año. b) Calcule la probabilidad de emitir 50 actas de nacimiento

en 3 horas cuando ya se emitieron 40 en las dos anteriores del periodo.

Ejemplo

Solución

•  

 

 

Modelo de muerte pura

• En el modelo de muerte pura, el sistema se inicia con N clientes en el instante 0, sin llegadas nuevas permitidas. Las salidas ocurren a razón de m clientes por unidad de tiempo.

• Los clientes se retiran de un abasto inicial, ocurren de manera aleatoria.

EJEMPLO: Una florería inicia cada semana con 18 docenas de rosas. En promedio, la florería vende 3 docenas al día (una docena a la vez), pero la demanda real sigue una distribución de Poisson. Siempre que el nivel de las existencias se reduce a 5 docenas, se coloca un nuevo pedido de 18 nuevas docenas para entrega al principio de la siguiente semana. Debido a la naturaleza de la mercancía, las rosas sobrantes al final de la semana se desechan. Determine lo siguiente: (a) La probabilidad de colocar un pedido cualquier día de la semana.

Distribucion de Poison truncada

Procesos de nacimiento y de Muerte

PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE

Análisis de Procesos de nacimiento y de Muerte

• Cuando el sistema ha alcanzado la condición de estado estable (en caso de que pueda alcanzarla):

• En el tiempo 0 :

En (t) = numero de veces que el proceso entra al estado n hasta el tiempo t.

Ln (t) = numero de veces que el proceso sale del estado n hasta el tiempo t.

En (t) y Ln (t) entre t = Tasa real

t → ∞ = tasa media

Ecuacion de balance de la cola (estado estable)

• Entonces :

• Lo que conduce a tasa de entrada = tasa de salida Principio Clave

Resultados de Procesos de nacimiento y de Muerte

• Cuando un modelo de líneas de espera se basa en el proceso de nacimiento y muerte, de manera que el estado del sistema n representa el numero de clientes en el sistema de colas, las medidas clave de desempeño del sistema (L, Lq, W y Wq) se pueden obtener de inmediato después de calcular las Pn mediante las formulas anteriores. Las definiciones de L y Lq que se dieron en la sección 17.2 especifican que:

Resultados de Procesos de nacimiento y de Muerte

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