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Obj № (Nivelación: Operaciones en Z y Q)

I) adicción en Z

Los sumandos con signo iguales se suman, se

coloca el mismo signo.

Los sumandos con signo diferentes se restan,

se coloca el mismo signo del mayor.

a) )5()3(

b) )8()5()2(

c) )3()4()1(

d) )6()3()1(

II) Sustracción en Z

El sustraendo se cambia por el número opuesto y la sustracción por una adicción, el minuendo se deja igual.

a) )5()3(

b) )7()3(

III) Multiplicaciones en Z

Los factores con igual signo resulta positivo, mientras los factores de diferente signo resulta negativo.

Para resolver multiplicaciones combinada se resuelve las distributiva, luego las multiplicaciones por ultimo las adicciones.

a) )7()2(3

b) )21()3()5()1()2(5

IV) Potencia en Z

Las bases se deben multiplicar cuantas veces lo indique el exponente, la potencia resultara negativa si la base es negativa y el exponente impar.

a) 4)3(

b) 3)4(

c) 2)9(

d) 1)5(

V) Operaciones de Fracciones

El método directo se aplica cuando la

adicción tiene dos fracciones.

a) 3

2

6

5

El método mcm se aplica cuando la adicción

tiene tres o mas fracciones.

a) )10(7

3

5

7

La multiplicación de fracciones se realiza en

forma lineal numerador por numerador y

denominador por denominador.

a) 5

1.

4

3.

5

4

La división de fracciones la primera fracción

se deja igual se multiplica por la inversa de las demás.

a) 5

1:

4

3:

5

4

VI) Conjuntos

a) Naturales

........54,3,2,1,0N

b) Enteros

......3,2,1,0,1,2,3......Z

c) Enteros Positivos

......5,4,3,2,1Z

d) Enteros Negativos

......5,4,3,2,1Z

e) Enteros sin el Cero

......3,2,1,1,2,3......*Z

f) No Enteros

decimalesNoZ

Complete:

N Z Z Z Z

28

175

8105

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Obj Nº Funciones

Definición: Es una especie de correspondencia o

relación entre los elementos 2 conjuntos.

Relación (R): La relación entre dos conjuntos A y B es

toda expresión que permite asociar elementos del

conjunto A con elementos del conjunto B.

Ejemplo: Formaremos dos conjuntos A y B; el

conjunto A estará formado por nombres Propios:

Ana; Belkis; Dario; Emily, Heberto y el conjunto B

estará formado por letras del abecedario tales como:

a; b; c; d; e; f,; g; h; i. La relación será Empieza con la

letra

Ana R a Belkis R b Dario R d Emily R e Heberto R h

Diagrama: Es la representación de los elementos del conjunto A y B mediantes líneas cerradas el cuál se logra mediante una relación, en el caso anterior la expresión es “Empieza con la letra” Ejemplo: representa en diagrama los siguientes dos conjuntos

BqtooSanFernandBoliCmaracayC ,var,.,

ZuliaBoliAraguaApureD var,,, R “ es capital de” Diagrama:

Maracay R Aragua C. Bolívar R Bolívar

S.Fernando R Apure

Pares Ordenados: Es la vinculación de componentes o elementos de conjuntos mediante una relación donde se debe respetar el orden de los componentes, es una expresión de la forma (a,b)

Ejemplo: representa en diagrama los siguientes dos conjuntos. Encuentre sus pares ordenados

8,7,5,3E

20,14,12,8,6,5,4F R “es divisor de” Diagrama:

3 R 6 3 R 12 5 R 20 7 R 14 8 R 8

Los pares ordenados:

)8,8();14,7();20,5();12,3();6,3( Producto Cartesiano: Es el conjunto formado por todos los pares ordenados, se denota (AxB) significa el producto cartesiano del conjunto A y B Ejemplo: representa en diagrama los siguientes dos conjuntos. Encuentre su producto cartesiano

10,6,5,4,3,2G

5,4,3,2,1H R “es doble de” Diagrama: Producto Cartesiano:

)5,10();3,6();2,4();1,2(GxH Ley de Correspondencia: Son las relaciones que unen a los dos conjuntos relacionado. Ejemplo: Empieza con la letra Es capital de

Es doble de

Ejemplos: 1) Dado el siguiente diagrama. Encuentre la ley de correspondencia

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La Ley de Correspondencia: R:” Más uno es” 2) Dado los siguientes pares ordenados. Construye el diagrama y Encuentre la ley de correspondencia

),();,();,( InglesDianaMatRichardArtiRicardo La Ley de Correspondencia: R :“Es profesor de” Conjuntos de Partida: Es el conjunto cuyos elementos se le aplica la relación, de los anteriores ejemplos estos son: A, C, E, G, I, K Conjuntos de Llegada: Es el conjunto cuyos elementos concuerdan con la relación aplicada, de los anteriores ejemplos estos son: B, D, F, H, J, L Ejemplo: Identifique el conjunto de partida y de

Llegada. Encuentre su )(MxN

6,5,4,3,2M Diagrama:

10,8,6,4,2N R = “Es múltiplo de” Conjunto Partida: M Conjunto Llegada: N Producto Cartesiano:

)6,6();2,6();2,4();2,2()(MxN Característica de una Función:

TODOS los elementos de Partida están relacionados con los elementos del conjunto de Llegada.

Cada elemento del conjunto de Partida esta relacionado con un SOLO elemento del conjunto de Llegada.

Nota: Las funciones se denotan con las letras minúsculas hgf ,, y se escribe: BAf :

Se lee: La función se le aplica a cada elemento del conjunto A en uno y solo un elemento del conjunto B. Relaciones que no son funciones: Son aquellas relaciones que no cumplen con las característica de una función. Ejemplo: Señala cuales de los siguientes diagramas los conjuntos son funciones. 1) No es función: por que no TODOS los elementos de Partida están relacionados con los elementos del conjunto de Llegada.

2) No es Función:

porque los elementos del conjunto de Partida no está relacionado con un SOLO elemento del conjunto de Llegada. Ejercicios: Señala cuales de los siguientes diagramas los conjuntos son funciones. Respuesta:

TSf : ; XWR : ; ZYg : ; BAh : Dominio de una Función: Se denota (Df) corresponde a todos los elementos del conjunto de Partida que están relacionado con el conjunto de Llegada.

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Rango de una Función: Se denota (If), corresponde a todos los elementos del conjunto de Llegada que tienen imagen mediante la función del conjunto de Partida. Ejemplo: Sean los siguientes diagramas. Obtener El Dominio y el Rango Dominio:

6,5,4,3,2Df ó CDf Rango:

7,8,9,6,5If Dominio:

4D Rango:

3,2,1,0If ó FIf

Ejercicios: Indica cuales de las siguientes relaciones corresponde a una función, determina el dominio y el rango de la misma.

HGf : 3,2,1Df ieaIf ,, LKR : dcbD ,, LI OÑR : 5D OI JIf : IDf 6,5,4If NMf : MDf 3If

Tipo de Funciones: Pueden ser: Inyectiva, Sobreyectiva, Biyectiva y No Biyectiva. Inyectiva: es una función Inyectiva si elementos diferentes del dominio tienen imágenes diferentes del rango. Características de una función Inyectiva:

Los elementos de Llegada deben tener “solo” un elemento de Partida.

Los elementos de Partida deben tener “diferentes imágenes” en el conjunto de Llegada Sobreyectiva: es una función Sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de Llegada es imagen de al menos un elemento del conjunto de Partida. Características de una función Sobreyectiva:

Todos los elementos del conjunto de Llegada son imagen de al menos un elemento de Partida.

No sobra ningún elemento del conjunto de llegada. Biyectiva: es una función biyectiva si cumple con las características de una función inyectiva y sobreyectiva a la vez. Características de una función Biyectiva:

Elementos diferentes del conjunto de Partida tienen imágenes diferentes en el conjunto de Llegada. (inyectiva)

Todos los elementos del conjunto de Llegada es imagen de un elemento del conjunto de Partida. (sobreyectiva) No Biyectiva: es una función No biyectiva cuando no cumple con las características de una función inyectiva y sobreyectiva a la vez. Ejercicios: Indica cuales de las siguientes relaciones corresponde a una función, determina el tipo de función.

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Obj. 3 Graficas de funciones Introducción: las graficas de funciones son representaciones que se plasman en un plano, para ello debemos tener en cuenta varios términos básicos, para entender el lenguaje de este tema. Sistema de Coordenada Cartesiana “Rectangulares”: Es la unión de 2 rectas perpendiculares llamados eje “x” (eje de las abscisas) y el eje “y” (ejes de la ordenadas) el lugar donde se intercepta se llama origen de las coordenadas, los 2 ejes de coordenadas dividen el plano en 4 partes iguales, cada uno de estos semiplanos recibe el nombre de cuadrantes, estos se denotan en números romanos. Coordenada de un punto: Los puntos de un plano está determinado por 2 coordenadas (x,y) la 1ra coordenada corresponde a las abscisas y la 2da coordenada corresponde a las ordenadas, formando así un par ordenado. Los puntos de intersección de los ejes de coordenadas con las proyecciones ortogonales determinan las coordenadas de un punto.

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Ubicación de los puntos según los cuadrantes Representación de los puntos en el plano:

- Construir el sistema de coordenadas.

- Desde cada punto determinado sobre los ejes x e y se levanta una perpendiculares.

- La intersección de ambas perpendiculares determina en punto (x,y)

Ejercicio: En un sistema de coordenadas rectangulares represente los siguientes puntos.

)3,2(A )5,2(B )10,4(C )3,6(D )0,7(E )0,5(F )3,0(G )9,0(H

Ecuaciones de una función: Es la relación que indica las operaciones que hay que hacer con la variable independiente “x” para obtener la variable dependiente “y”.

3)( xxf ó 3xy donde X es la variable independiente. Y es la variable dependiente. Nota: la variable independiente puede ser un numero N, Z ó Q Representación grafica de una función: Para representar una grafica de una ecuación de una función debemos realizar los siguientes pasos:

Construir la tabla de valores

Aplicar la ley de correspondencia

Construir el sistema de coordenadas

Unir los puntos obtenidos de la tabla de valores

Tipo de funciones según su grafico: Funciones Constante: La ecuación de una función constante es f(x)= K donde K es un numero cualquiera, el grafico de una función constante es una recta paralela al eje de las abscisas (eje x). Funciones Lineal: La ecuación de una función lineal es f(x)= aX donde a es un numero cualquiera, el grafico de una función lineal es una recta que pasa por el origen. Función Afín: La ecuación de una función afín es f(x)= aX + b donde a y b son números cualquiera, el grafico de una función afín es una recta que pasa por el punto (0 , b). Ejercicio: Reconoce según la ecuación el tipo de Función:

a) 32)( xxf (afín)

b) xxf 3)( (lineal)

c) 3)(xf (constante)

d) xy (lineal)

e) 1xy (afín)

f) 1y (constante) Ejercicio: Construye la tabla de valores para la

función 32)( xxf siguiente y represéntala gráficamente Tabla de valores:

x y (x,y)

2

1

0

1

2

Ley de Correspondencia:

pág. 7

Completo la tabla:

x y (x,y)

2 1 )1,2( 1 1 )1,1(

0 3 )3,0(

1 5 )5,1(

2 7 )7,2(

Sistema de coordenadas:

Ejercicio: Construye la tabla de valores para la

función xxf 4)( siguiente y represéntala gráficamente Tabla de valores:

x y (x,y)

2

1

0

1

2

Ley de Correspondencia:

Completo la tabla:

x y (x,y)

2 8 )8,2(

1 4 )4,1(

0 0 )0,0(

1 4 )4,1(

2 8 )8,2(

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Sistema de coordenadas: Ejercicio: Construye la tabla de valores para la

función 5)(xf siguiente y represéntala gráficamente Tabla de valores:

x y (x,y)

2

1

0

1

2

Ley de Correspondencia:

Completo la tabla:

x y (x,y)

2 5 )5,2(

1 5 )5,1(

0 5 )5,0(

1 5 )5,1(

2 5 )5,2(

Sistema de coordenadas:

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Obj. 3 Polinomio

Funciones Identidad: es la función que asocia a cada elemento de Qx el mismo valor Qx ,es decir,

xxf )(

Ejemplo: xxf )(

Funciones constante: es toda función que asocia a cada elemento de Q un valor fijo, que también pertenece a Q, es decir, axf )( , donde a es el valor

fijo o constante. Ejemplo:

a) 2)(xf

b) 4)(xf

c) 5

4)(xf

Funciones polinómicas: es la función obtenida como una combinación de adicciones y multiplicaciones de funciones idénticas y constate. Ejemplo:

a) xxf 2)( xx

b) 3)( xxf xxx ..

c) 23)( 2xxf 2. xxxxx

Polinomio: es toda expresión de la forma

01

2

2

3

3

1

1 .....)( axaxaxaxaxaxP n

n

n

n

donde los exponentes de la variable x son números

naturales N y los coeficientes 01231 ,,,,, aaaaaa nn

son números racionales (Q) Partes de los Polinomio:

Sea 83

4589)( 2334 xxxxxxP

a) Términos del Polinomio: son expresiones del polinomio separadas por los signos y

Los términos son:

b) Variable: es la parte indeterminada del polinomio, representada por la letra. La variable es: c) Grado del Polinomio: es representado por exponente mayor de la variable, recuerde cuando una variable no tiene exponente se dice que exponente es uno. El grado del polinomio es:

d) Coeficiente: es la parte numérica que esta delante de la variable, recuerde cuando una variable no tiene coeficiente se dice que el coeficiente es uno

Los coeficientes son:

e) Termino Independiente: es la parte numérica del polinomio que no posee variable El término independiente es:

f) Parte literal: es la parte del polinomio formada por la variable y el exponente La parte Literal es:

Clasificación de los polinomios según términos: a) Monomio: es el polinomio que consta de un solo termino a) b) c) b) Binomios: es el polinomio que consta de dos términos a) b) c) c) Trinomios: es el polinomio que consta de tres términos a) b) c) d) Polinomio: son los que poseen cuatro ó más términos a)

b) c) Termino Semejantes: dos o más términos son semejantes sin poseen la misma parte literal, es decir, si poseen la mismas variables y exponentes

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Ejercicios: Indica cuales de las filas contienen términos semejantes. a) (No semejantes)

b) (semejantes)

c) (semejantes)

d) (semejantes)

e) (No semejantes)

Reducción de termino Semejantes: Para reducir 2 o más términos semejantes se debe sumar algebraicamente los coeficientes y conservar la misma parte literal. Ejercicios: Reduce los términos semejantes presente en los siguientes polinomios.

c)

Tipos de Polinomios: a) Polinomios Nulos: es el polinomio donde todos los coeficientes y término independiente son ceros. Ejercicio:

Diseña un polinomio nulo con 5 términos, variable t y grado 6

Diseña un polinomio nulo con 3 términos, variable b y grado 2

b) Polinomio Constante: es el polinomio donde todos los coeficientes y su término independiente es un número cualquiera. Ejercicio:

Diseña un polinomio constante con 5 términos, variable t y grado 6

Diseña un polinomio constante con 3 términos, variable b y grado 2

c) Polinomio Ordenado: un polinomio se puede ordenar de dos formas “Creciente” cuando los exponentes van de menos a mayor y “Decreciente” cuando los exponentes van de mayor a menor, cuando no se dice el orden, se hará de forma decreciente. Ejercicio:

Ordena el siguiente polinomio en forma Decreciente

Decreciente:

Ordena el siguiente polinomio en forma Creciente

Creciente:

d) Polinomio Completo: un polinomio de grado n es el que tiene un termino por cada grado, desde el grado mayor n hasta el cero, sin faltarle ningún termino. Ejercicio:

Ordena y completa el siguiente polinomio en forma Creciente

Ordenamos y completamos:

Ordena y completa el siguiente polinomio

Ordenamos y completamos:

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Obj. 4 Adicción de Polinomio

Definición: Para sumar dos o más polinomios, se debe ordenar y completar en forma decreciente preferiblemente, colocando las partes literales semejantes de cada polinomio debajo del otro. Regla de la Adicción de polinomio: Dados los polinomios se procede así:

Ordenamos y completamos ambos polinomios en forma decreciente a partir del grado mayor y escribimos en columnas los términos semejantes.

Se suman algebraicamente los coeficientes y se coloca el resultado acompañado de la parte literal (variable y exponente).

Obtenemos como polinomio suma otro polinomio. Ejercicios: Dado los polinomios, resolver las siguientes adicciones de polinomios.

Hallar: a) Ordenamos y completamos:

Ordenamos y completamos:

Ordenamos y completamos:

Ordenamos y completamos:

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Obj. 5 Sustracción de Polinomio

Definición: Para restar un polinomio con otro polinomio debemos cambiar el polinomio sustraendo por el polinomio opuesto y luego se realiza una adicción de polinomios.

Regla de la Sustracción de polinomio: Dados los polinomios se procede así:

Ordenamos y completamos ambos polinomios en forma decreciente a partir del grado mayor y escribimos en columnas los términos semejantes.

Se cambia el polinomio sustraendo por el polinomio opuesto.

Se suma el primer polinomio con el polinomio opuesto , se realiza las operaciones con los coeficientes y se coloca el resultado acompañado de la parte literal. Ejercicios: Dado los polinomios, resolver las siguientes Sustracciones de polinomios.

Nota: Antes de realizar las operaciones con sustracciones de polinomios debemos ordenar y completar todos los polinomios para facilitar los cálculos. Ordenamos y completamos los polinomios

Hallar: a)

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Obj. 6 Multiplicación de Polinomio

Definición: Consideremos los polinomios

para multiplicarse se procede así:

Ordenamos y completamos ambos polinomios en forma decreciente a partir del grado mayor de cada uno.

Multiplicamos cada uno de los términos del polinomio por el polinomio de la siguiente manera: Multiplicamos los signos de los términos. Multiplicamos los coeficientes de los

términos. Multiplicamos las potencias de igual bases

(colocamos la misma base y sumamos los exponentes)

Luego realizamos la adición de polinomios obtenida.