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Matemáticas. 1º Bachillerato

PROYECTO MCGRAW-HILL

OBJETIVOS GENERALES

Con relación a los objetivos de Matemáticas, los objetivos de 1º de Bachillerato que planteamos en el desarrollo del libro son los siguientes:

Aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones diversas que puedan presentarse en fenómenos y procesos propios de las ciencias.

Utilizar y contrastar diversas estrategias para la resolución de problemas.

Adaptar los conocimietnos matemáticos adquiridos a la situación problemática planteada, con el fin de encontrar la solución buscada.

Mostrar actitudes propias de la actividad matemática como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el gusto por el rigor o la necesidad de contrastar apreciaciones intuitivas.

Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, adquirir cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los argumentos y detectar incorrecciones lógicas.

Expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un vocabulario específico de notaciones y términos matemáticos.

Establecer relaciones entre las matemáticas y el medio social, cultural y económico, reconociendo su valor como parte de nuestra cultura.

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Servirse de los medios tecnológicos que se encuentran a su disposición, haciendo un uso racional de ellos y descubriendo las enormes posibilidades que nos ofrecen.

Aprovechar los cauces de información facilitados por las nuevas tecnologías, seleccionando aquello que pueda ser más útil para resolver los problemas planteados.

Desarrollar métodos que contribuyan a adquirir hábitos de trabajo, curiosidad, creatividad, interés y confianza en sí mismos para investigar y resolver situaciones problemáticas nuevas y desconocidas.




Matemáticas

1. Contenidos de primero

A. Conceptos

Aritmética y Álgebra

Números racionales e irracionales. Números reales. La recta real. Valor absoluto. Distancias. Intervalos y entornos.

Números complejos. Operaciones elementales.

Logaritmos. Propiedades elementales. Utilización de la calculadora científica.

Sucesiones numéricas. El número e. Logaritmos decimales y neperianos.

Descomposición factorial de un polinomio. Simplificación y operaciones con fracciones algebraicas.

Resolución e interpretación geométrica de ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grados.

Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas.

Sistemas de ecuaciones lineales con más de dos incógnitas. Aplicación del método de Gauss para su resolución.

Geometría

Ampliación del concepto de ángulo. El radián. Medida de un ángulo en radianes.

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Identidades trigonométricas.

Teorema del seno y del coseno. Resolución de triángulos rectángulos y no rectángulos.

Razones trigonométricas de la suma o diferencia de dos ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad.

Ecuaciones trigonométricas.

Vectores en el plano. Operaciones: suma, resta y producto por un escalar.




Producto escalar de dos vectores. Módulo de un vector. Ángulo entre vectores y distancia entre dos puntos.

Ecuaciones de la recta. Incidencia, paralelismo y perpendicularidad. Cálculo de distancias entre puntos y rectas.

Lugares geométricos del plano. Mediatriz de un segmento. Bisectriz de un ángulo. Cónicas. Ecuación de la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.

Funciones y gráficas

Funciones reales de variable real. Dominio, recorrido, gráfica y operaciones con funciones. Función inversa.

Clasificación y características básicas de las funciones elementales.

Concepto intuitivo del límite de una función en un punto. Límites laterales. Límites en el infinito. Cálculo de límites. Asíntotas verticales y horizontales de una función.

Continuidad de una función. Estudio de discontinuidades.

Derivada de una función en un punto. Aplicaciones geométricas y físicas de la derivada.

Iniciación al cálculo de derivadas.

Signo de la derivada. Crecimiento y decrecimiento.

Puntos críticos o singulares de una función. Máximos y mínimos.

Representación gráfica de funciones elementales a partir del análisis de sus características globales y locales.

Análisis

Integrales indefinidas. Propiedades elementales. Cálculo de integrales indefinidas inmediatas o reducibles a inmediatas.

Integral definida. Regla de Barrow. Aplicación de la integral definida en el cálculo de áreas planas.

Utilización de distintos recursos tecnológicos (calculadoras científicas y gráficas, programas informáticos) como apoyo en el análisis de las propiedades de funciones pertenecientes a las familias más conocidas y a los procedimientos de integración.




Estadística y probabilidad

Estadística descriptiva bidimensional. Interpretación de relaciones entre variables estadísticas. Representación gráfica. Nube de puntos.

Parámetros estadísticos bidimensionales. Medias y desviaciones típicas marginales, covarianza. Coeficiente de correlación lineal. Regresión lineal.

Distribución de frecuencias y distribución de probabilidad. Variable aleatoria.

Variable aleatoria discreta. Función de probabilidad. Media y varianza de una función de probabilidad discreta. Distribución binomial.

Probabilidad condicionada. Probabilidad total. Teorema de Bayes.

Variable aleatoria continua. Función de densidad. Función de distribución. Media y varianza. La distribución normal.

Utilización de distintos métodos e instrumentos en los cálculos estadísticos. Manejo de tablas.

B. Procedimientos

Iniciación, con la calculadora, de dos sucesiones que definan un número real.

Construcción sobre la recta real de números radicales irracionales.

Realización de operaciones de números irracionales con error acotado.

Hacer operaciones con radicales.

Racionalización de expresiones radicales monómicas y binómicas.

Extracción / introducción de factores de / en un radical.

Simplificación de radicales.

Reducción de radicales a índice común.

Operaciones con radicales.

División de polinomios con coeficientes reales; uso de la regla de Ruffini; determinación de los ceros de un polinomio; descomposición factorial de un polinomio.

Cálculo del D y del M de dos polinomios, por descomposición factorial.

Simplificación de fracciones algebraicas; reducción de fracciones algebraicas a denominador común.




Operaciones con fracciones algebraicas.

Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado; resolución de ecuaciones bicuadradas; resolución de ecuaciones de grado superior a 2, que sean reducibles por factorización a ecuaciones de segundo grado.

Resolución de la ecuación de segundo grado, mediante la gráfica de su parábola asociada.

Reconstrucción de ecuaciones, dadas sus soluciones.

Resolución de ecuaciones racionales que generen una de primer o segundo grado.

Resolución de ecuaciones irracionales.

Resolver gráfica y analíticamente inecuaciones lineales con una o con dos incógnitas.

Resolución analítica de inecuaciones racionales que generen inecuaciones de primer o segundo grados.

Resolución analítica y gráfica de inecuaciones de segundo grado.

Resolución, discusión e interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones lineales con más de dos incógnitas.

Uso del método de Gauss.

Resolución de problemas mediante el uso de ecuaciones y sistemas lineales.

Operar con números complejos en todas sus formas.

Resolución de ecuaciones en el cuerpo de los números complejos.

Sumar y restar números complejos, de forma gráfica.

Manejo con destreza de las representaciones en el plano de Gauss: afijos, vectores, pares, ...

Expresión y transformación de un número complejo a cualquiera de sus formas.

Cálculo de la potencia de un número complejo; uso de la fórmula de De Moivre.

Cálculo de las raíces de un número complejo; uso de su expresión gráfica para aplicaciones geométricas.




Conocimiento y uso de las relaciones de las operaciones con números complejos y las transformaciones en el plano.

Aplicación al cálculo de la definición y propiedades de los logaritmos.

Resolución de ecuaciones y sistemas logarítmicos y exponenciales.

Clasificación de sucesiones numéricas. Determinación de sus términos generales y, en su caso, cálculo de límites.

Uso y manejo de sucesiones con base en el número e.

Uso y transformación de unidades sexagesimales a radianes, y viceversa, de la medida de un ángulo.

Cálculo de todas las razones trigonométricas de un ángulo, conocida una de ellas.

Comprobación de identidades trigonométricas.

Dibujo de un ángulo, conocida una de sus razones trigonométricas.

Reducción al primer cuadrante, en el cálculo de razones trigonométricas.

Aplicación a ejercicios y problemas de las fórmulas del seno y coseno de la suma; de la diferencia de dos ángulos, y de las razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad de otro.

Resolución de ecuaciones trigonométricas.

Resolución de triángulos rectángulos.

Resolución de cualquier triángulo usando los teoremas de los senos y del coseno.

Cálculo de alturas de puntos de pie accesible o no accesible; de distancias entre dos puntos de los que uno, al menos, no es accesible.

Dibujo de un triángulo, conocidos los datos necesarios y suficientes.

Utilización precisa de la calculadora en el cálculo de razones trigonométricas y de ángulos.

Realización de sumas, restas y multiplicaciones, por un escalar, de vectores en el plano.

Cálculo del producto escalar de dos vectores.

Cálculo del módulo de un vector, del ángulo que forman y de la distancia entre dos puntos.




Cálculo y uso de la ecuación de una recta en el plano, en todas sus formas.

Análisis de la posición relativa de dos rectas en el plano.

Calculo de distancias punto – recta, recta – recta.

Determinación de las rectas y puntos notables de un triángulo.

Investigación de la ecuación de lugares geométricos sencillos.

Dibujo de cónicas por puntos o utilizando algunas propiedades métricas de ellas.

Uso de las ecuaciones reducidas de las cónicas; identificación de cónicas.

Cálculo de las ecuaciones de las cónicas, conocidos datos métricos suficientes de ellas.

Hacer ejercicios referibles a la potencia de puntos respecto de una circunferencia.

Uso de las distintas ecuaciones y características de la hipérbola equilátera.

Cálculos de tangencia cónicas – rectas, sin usar cálculo diferencial.

Determinación del dominio y recorrido de una función, dados su fórmula, pares o gráfica.

Representación funciones polinómicas, racionales y de criterio múltiple.

Estudio de las propiedades de una función a partir de su gráfica.

Composición de funciones.

Determinación de la correspondencia inversa de una función, dada su expresión algebraica.

Establecimiento de sucesiones en los semientornos de un punto, que determinen el límite funcional en ese punto, sea finito o no finito.

Cálculo de límites de funciones sencillas, continuas o que presenten indeterminaciones de tipos 0 / 0, / , - .

Cálculo de las ecuaciones de las posibles asíntotas verticales y horizontales.

Determinación de derivadas de funciones sencillas.

Realización de ejercicios sobre la variación de una función en un punto y en un intervalo, en términos analíticos y geométricos.

Análisis de la monotonía: crecimiento, decrecimiento y extremos locales de una función derivable.




Representación gráfica de funciones elementales a partir del análisis de sus características globales y locales.

Dibujo de la nube de puntos de los datos de una tabla estadística bidimensional.

Construcción de tablas de doble entrada para las distribuciones marginales de una distribución bidimensional (X, Y).

Cálculo de la covarianza de una distribución estadística bidimensional.

Ajuste, mediante el método abreviado, de los datos de una regresión lineal.

Cálculo de las ecuaciones de las rectas de regresión.

Cálculo del coeficiente de correlación lineal.

Uso de las rectas de regresión para hacer estimaciones y valoración de la fiabilidad de las mismas.

Interpretación estadística valorativa de las pendientes de las rectas de regresión.

Establecimiento de las funciones de probabilidad y de distribución de una variable aleatoria binomial.

Cálculo de los parámetros de una distribución binomial.

Uso operativo de la relación entre las funciones de distribución y de densidad de una distribución normal.

Tipificación de la variable normal.

Uso de las tablas de la distribución N (0, 1).

Realización de la aproximación de una distribución binomial por una normal.




C. Actitudes

Tener sensibilidad hacia la realidad inevitable del cálculo aproximado en R, con la posibilidad de acotar el error, tanto como se quiera.

Valorar la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje del álgebra.

Reconocer y valorar las relaciones entre el lenguaje gráfico y el lenguaje algebraico.

Tener sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido y de los resultados obtenidos en problemas y cálculos numéricos.

Mostrar interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas numéricos, distintos de las propias.

Abordar con curiosidad e interés el planteamiento y la resolución de problemas, mediante ecuaciones e inecuaciones, confiando en la propia capacidad para resolverlos.

Recurrir de forma espontánea y sistemática a la representación gráfica para encontrar relaciones geométricas y trigonométricas en el diseño de resolución de problemas.

Valorar la importancia de la trigonometría en el desarrollo del conocimiento humano a lo largo de la historia y en la actualidad, con sus aplicaciones a la topografía, física, astronomía, navegación, astronáutica, ...

Estimar la utilidad del método de los lugares geométricos para determinar puntos del plano que han de cumplir determinadas propiedades.

Mostrar disposición favorable a resolver los problemas de geometría utilizando críticamente los teoremas

Valorar como muy importante el momento histórico en que la geometría y el álgebra “se juntan”, dando lugar a la geometría analítica.

Valorar la potencia del cálculo de funciones en la resolución de problemas de la vida real.

Reconocer el papel de las funciones en el estudio de los cambios de un proceso natural, social o técnico de la realidad.

Tener sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de los trabajos realizados.




Abordar con curiosidad e interés el planteamiento y la resolución de problemas, mediante las características analíticas de las funciones que describen los fenómenos que se estudian.

Desarrollar hábitos de investigación sistemática.

Tener disposición para incorporar el lenguaje gráfico al tratamiento y análisis de la información.

Valorar la matemática de la aleatoriedad como una parte de la matemática tan “científica” como el Análisis, el Álgebra o el Cálculo.

Comprender la necesidad del rigor en los cálculos probabilísticos, de cuyos resultados depende la decisión que afecta a poblaciones.

Reconocer y valorar el trabajo en equipo como la manera de realizar, de forma eficaz y con menor riesgo de error, los trabajos de la aplicación de modelos probabilísticos a situaciones reales estadísticas.

Tener sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de los trabajos estadísticos realizados.

Valorar la elaboración de los resultados teóricos, evitando el uso de fórmulas – receta.

2. Criterios de evaluación de primero

Utilizar las estrategias de cálculo con números reales para resolver problemas. Interpretar los valores obtenidos. Resolver cálculos en los que intervengan potencias, raíces, exponenciales y logaritmos.

Representar sobre la recta diferentes intervalos. Expresar e interpretar valores absolutos, desigualdades y distancias en la recta real.

Interpretar y operar correctamente con números complejos en su forma binómica, trigonométrica y polar.

Transcribir problemas reales a un lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticas apropiadas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación, ajustada al contexto, de las soluciones obtenidas.

Aplicar, en situaciones reales, los conocimientos geométricos sobre el triángulo, haciendo uso de las razones trigonométricas y sus propiedades.

Utilizar el lenguaje vectorial para interpretar analíticamente distintas situaciones de la geometría plana elemental, obtener las ecuaciones de




rectas y utilizarlas, junto con el concepto de producto escalar, para resolver problemas de incidencia y cálculo de distancias.

Obtener e interpretar la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo y las ecuaciones canónicas de las cónicas, conceptuadas como lugares geométricos.

Manejar el cálculo elemental de derivadas como herramienta para determinar el crecimiento, el decrecimiento y los puntos críticos de funciones elementales sencillas que describan una situación real.

Identificar las funciones elementales (polinómicas de primer o segundo grado, racionales sencillas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas) con su gráfica, ayudándose de una tabla de valores y del estudio de sus propiedades globales y locales (dominio, recorrido, continuidad, simetrías, periodicidad, puntos de corte, intervalos de crecimiento, puntos críticos, extremos, asíntotas).

Utilizar los recursos estadísticos para analizar el comportamiento de dos variables y el grado de correlación entre ellas. Obtener las rectas de regresión para poder hacer predicciones estadísticas.

Asignar a los resultados de un experimento los posibles valores de la variable aleatoria que se quiera estudiar, identificando ésta como discreta o continua. Determinar la función de probabilidad de dicha variable.

Estudiar situaciones reales en las que se precise el estudio y análisis de una variable aleatoria discreta. Utilizar las propiedades de la distribución binomial cuando sea posible asociarla al fenómeno aleatorio objeto de estudio, calculando las probabilidades de uno o varios sucesos.

Estudiar situaciones reales en las que se precise el estudio y análisis de una variable aleatoria continua. Utilizar las propiedades de la distribución normal cuando sea posible asociarla al fenómeno aleatorio objeto de estudio, calculando mediante el uso de tablas, las probabilidades de uno o varios sucesos




Unidad 2. Números reales

Objetivos

Saber, distinguir y clasificar las diferentes clases de números.

Conocer y definir las distintas clases de intervalos en R y en saber operar con ellos.

Conocer el concepto de valor absoluto y sus propiedades.

Definir y saber aplicar los conceptos de distancia y entorno en el conjunto ordenado de los números reales.

Trabajar con el concepto de errores absolutos y relativos.

Usar e interpretar la notación científica; cifras significativas.

Conocer y operar potencias de exponente natural, entero o racional.

Saber qué son radicales equivalentes y semejantes.

Conocer y aplicar en sus operaciones las propiedades de los radicales.

Racionalizar expresiones radicales.

Utilizar correctamente la calculadora en cálculos con números reales.

Contenidos

Conceptos

Los números reales.

Operaciones con números reales.

Orden en el conjunto de los reales.

La recta real.

Intervalos.




Errores

La notación científica.

Radicales. Potencias de exponente racional.

Propiedades de los radicales.

Operaciones con radicales.

Procedimientos

Clasificación, expresión en diferentes formas y representación de

números racionales e irracionales. Uso correcto de los conceptos

de valor absoluto y distancia.

Manejo de intervalos y entornos en la recta real.

Determinación de errores.

Uso de la notación científica, del redondeo y de las cifras significativas

de una expresión numérica.

Operaciones con potencias y radicales. Simplificación de resultados.

Racionalización de expresiones radicales.

Actitudes

Receptividad y sensibilidad hacia la realidad inevitable del cálculo

aproximado en R, con la posibilidad de acotar el error, tanto como se

quiera.

Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje del

álgebra.

Compresión y valoración de las relaciones entre el lenguaje gráfico y

el lenguaje algebraico.




Criterios de evaluación

Distinguir, expresar, clasificar, ordenar y representar en la recta real las diferentes clases de números.

Operar en sus diversas expresiones números racionales e irracionales.

Utilizar técnicas de aproximación, operar con números aproximados y acotar errores.

Manejar las diferentes clases de intervalos y entornos.

Calcular y simplificar resultados de expresiones operativas con potencias de exponente racional y radicales.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el Departamento, pero proponemos que a esta Unidad se le dedique en torno a 1 semana.




Unidad 3. Introducción al número real

Objetivos

Conocer el concepto de expresión algebraica y su valor numérico.

Saber realizar operaciones con polinomios.

Aprender a utilizar la regla de Ruffini.

Familiarizarse con la divisibilidad e irreductibilidad de polinomios.

Aprender a aplicar el teorema del resto y del factor para la factorización de polinomios.

Conocer el concepto de fracción algebraica.

Aprender a operar con fracciones algebraicas.

Saber simplificar fracciones algebraicas.

Aprender a descomponer fracciones racionales en fracciones simples.

Aprender a operar con expresiones algebraicas con raíces.

Contenidos

Conceptos

Expresiones algebraicas.

Polinomios y operaciones con polinomios. Regla de Ruffini.

Fracciones algebraicas.

Descomposición de una fracción racional en fracciones simples.

Expresiones algebraicas con raíces.




Procedimientos

Trabajo con el concepto de expresión algebraica y su valor numérico.

Resolución de operaciones con polinomios.

Comprensión de la regla de Ruffini.

Discusión de la divisibilidad e irreductibilidad de polinomios.

Aplicación del teorema del resto y del factor para la factorización de polinomios.

Comprensión del concepto de fracción algebraica.

Operaciones con fracciones algebraicas.

Simplificación de fracciones algebraicas.

Descomposición de fracciones racionales en fracciones simples.

Operaciones con expresiones algebraicas con raíces.

Actitudes

Abordar con curiosidad e interés el planteamiento y la resolución de polinomios y fracciones algebraicas, confiando en la propia capacidad para resolverlos.

Comprensión e interés por la aplicación de este tipo de problemas a casos reales.

Gusto por la representación gráfica y la solución de este tipo de problemas.

Valoración de la resolución algebraica de problemas de distintos tipos.

Curiosidad e interés por el planteamiento y la resolución de problemas, mediante ecuaciones, confiando en la propia capacidad para resolverlos.

Gusto por la resolución de polinomios y fracciones algebraicas utilizando las diferentes herramientas expuestas en la Unidad.





Resolver operaciones con polinomios.

Utilizar correctamente la regla de Ruffini.

Comprender y utilizar apropiadamente la divisibilidad e irreductibilidad de polinomios.

Aplicar el teorema del resto y del factor para la factorización de polinomios.

Operar con fracciones algebraicas.

Simplificar fracciones algebraicas.

Descomponer fracciones racionales en fracciones simples.

Operar con expresiones algebraicas con raíces.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el departamento, pero proponemos que a esta Unidad se le dedique en torno a una semana y media.




Unidad 4. Ecuaciones y sistemas

Objetivos

Traducir al lenguaje algebraico expresiones verbales.

Discutir y resolver ecuaciones de primer y de segundo grado.

Resolver ecuaciones polinómicas de grado superior a dos con no más de dos raíces no enteras.

Detectar las posibles soluciones extrañas en el proceso de resolución de ecuaciones racionales e irracionales.

Plantear, resolver e interpretar las soluciones en términos del enunciado, problemas resueltos con ecuaciones.

Conocer la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales, en función de sus posibles soluciones.

Saber expresar y representar las infinitas soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas.

Hacer la discusión de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Interpretar geométricamente las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Resolver sistemas de hasta tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, utilizando los métodos de sustitución, igualación, reducción y de Gauss.

Resolver sistemas no lineales.

Contenidos

Conceptos

Identidades y ecuaciones.

Ecuaciones equivalentes.

Ecuaciones polinómicas de primer grado.




Ecuaciones de segundo grado.

Análisis de las soluciones de la ecuación.

Ecuaciones bicuadradas.

Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos.

Ecuaciones racionales.

Ecuaciones irracionales.

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales.

Discusión de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Interpretación geométrica de las soluciones de un sistema.

Resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Sistemas de ecuaciones no lineales.

Aplicación a la resolución de problemas.

Resolución de problemas. Ejemplos.

Procedimientos

Justificación de identidades algebraicas.

Análisis de la incompatibilidad / compatibilidad determinada o indeterminada de ecuaciones propuestas.

Distinción entre operaciones que transforman ecuaciones en otras equivalentes y las que no.

Resolución de ecuaciones lineales y de segundo grado.

Discusión de la naturaleza de las soluciones de una ecuación de segundo grado, en función de sus coeficientes.

Resolución de ecuaciones bicuadradas y de grado superior a dos.

Resolución de ecuaciones irracionales.




Planteamiento y resolución algebraica de problemas de distintos tipos.

Representación gráfica de las soluciones de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Planteamiento de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que presenten diferentes situaciones de compatibilidad / incompatibilidad.

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales en función del

número de sus soluciones.

Discusión de sistemas de ecuaciones lineales en función de los valores de un parámetro.

Resolución gráfica de sistemas de dos o tres ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Resolución de sistemas de dos o tres ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas por los métodos de sustitución, igualación y reducción y de Gauss.

Resolución de sistemas de una ecuación lineal y otra de segundo grado.

Planteamiento y solución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales.

Actitudes

Curiosidad e interés por el planteamiento y la resolución de problemas, mediante ecuaciones, confiando en la propia capacidad para resolverlos.

Gusto por la resolución de ecuaciones utilizando las diferentes

herramientas expuestas en la Unidad.

Abordar con curiosidad e interés el planteamiento y la resolución de problemas, mediante sistemas de ecuaciones, confiando en la propia capacidad para resolverlos.

Comprensión e interés por la aplicación de este tipo de problemas a casos reales.

Gusto por la representación gráfica y la solución de este tipo de problemas.

Valoración de la resolución algebraica de problemas de distintos tipos.





Distinguir entre identidades y ecuaciones algebraicas.

Resolver ecuaciones polinómicas de primer y de segundo grado completas e incompletas, con coeficientes en R.

Deducir la fórmula de resolución de la ecuación completa de segundo grado.

Analizar y discutir ecuaciones de primer y de segundo grado, en función de un parámetro.

Resolver ecuaciones bicuadradas y polinómicas de grado superior a dos con raíces enteras.

Resolver ecuaciones racionales analizando la validez de las soluciones.

Resolver ecuaciones irracionales, desechando las soluciones extrañas.

Plantear, resolver y valorar las soluciones en términos del enunciado, problemas elaborados y resueltos con ecuaciones algebraicas.

Resolver sistemas de dos y de tres ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas utilizando los métodos de resolución estudiados.

Discutir las soluciones de los sistemas estudiados.

Interpretar geométricamente las diferentes clases de compatibilidad, así como las posibles soluciones de los sistemas estudiados.

Plantear y resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales o de una ecuación lineal y otra de segundo grado.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el Departamento, pero proponemos que a esta Unidad se le dediquen dos semanas y media aproximadamente.




Unidad 5. Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones.

Objetivos

Conocer las propiedades para obtener inecuaciones equivalentes.

Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita y representar el conjunto de sus soluciones sobre la recta real.

Resolver inecuaciones lineales en valor absoluto.

Resolver gráfica y analíticamente inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Resolver gráfica y analíticamente inecuaciones lineales racionales con una incógnita.

Resolver inecuaciones de segundo grado y representar el conjunto de sus soluciones sobre la recta real.

Inecuaciones con expresiones radicales

Resolver gráfica y analíticamente sistemas de dos inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Contenidos

Conceptos

Inecuaciones.

Inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Inecuaciones con una incógnita en forma de cociente.

Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Inecuaciones en valor absoluto.

Inecuaciones con expresiones radicales




Sistemas de inecuaciones.

Procedimientos

Aplicación de las propiedades del orden para resolver inecuaciones lineales.

Interpretación gráfica de las soluciones de las inecuaciones lineales.

Utilización del lenguaje gráfico y de la descomposición factorial para resolver la inecuación cuadrática.

Confección de tablas para hallar el conjunto de soluciones de inecuaciones de grado superior a dos.

Resolución gráfica de sistemas de inecuaciones lineales.

Planteamiento de problemas resolubles mediante inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

Actitudes

Curiosidad e interés en el planteamiento y la resolución de problemas, mediante inecuaciones y sistemas de inecuaciones, confiando en la propia capacidad para resolverlos.

Valoración de la potencia del cálculo matemático en la resolución de problemas de la vida real.

Compresión y valoración del papel de la matemática en el estudio de los cambios de un proceso natural o social de la realidad.


Resolver e interpretar geométricamente las soluciones de inecuaciones lineales con una y con dos incógnitas.

Resolver analítica y gráficamente inecuaciones lineales racionales con una y con dos incógnitas.




Resolver e interpretar geométricamente las soluciones de una inecuación de segundo grado.

Resolver inecuaciones lineales en valor absoluto.

Resolver y representar gráficamente el conjunto de soluciones de un sistema de dos inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el Departamento, pero proponemos que a esta Unidad se le dedique aproximadamente dos semanas.




Unidad 6. Combinatoria

Objetivos

Saber qué es un número factorial, y conocer sus propiedades.

Saber el concepto, expresión y cálculo de un número combinatorio; conocer sus propiedades y aplicarlo a la resolución de ecuaciones combinatorias sencillas.

Aplicar el Teorema del binomio o fórmula de Newton para la potencia n-enésima de un binomio al cálculo de ejercicios y planteamiento y resolución de problemas.

Conocer el construir el triángulo de Tartaglia de los coeficientes del ginomio, usando el algoritmo basado en las propiedades de los números combinatorios.

Conocer el concepto y fórmula del número de variaciones y de variaciones de repetición, y aplicarlo al desarrollo de ejercicios y planteamiento y resolución de problemas.

Conocer el concepto y fórmula del número de permutaciones y de permutaciones con repetición, y aplicarlo al desarrollo de ejercicios y planteamiento y resolución de problemas.

Conocer el concepto y fórmula del número de combinaciones y aplicarlo al desarrollo de ejercicios y planteamiento y resolución de problemas.

Contenidos

Conceptos

Número factorial.

Número combinatorio.

Potencia de un binomio. Fórmula de Newton.

Variaciones.

Variaciones con repetición.

Permutaciones.




Permutaciones con repetición.

Combinaciones.

Procedimientos

Simplificación de expresiones factoriales.

Uso del Teorema del binomio: cálculos y justificaciones de identidades combinatorias.

Desarrollo de ejercicios y planteamiento y resolución de problemas de variaciones y de variaciones con repetición.

Desarrollo de ejercicios y planteamiento y resolución de problemas de permutaciones y de permutaciones con repetición.

Cálculo de expresiones con números combinatorios.

Desarrollo de ejercicios y planteamiento y resolución de problemas de combinaciones.

Actitudes

Disposición para incorporar el lenguaje gráfico al tratamiento y análisis de la información.

Desarrollo de hábitos de investigación sistemática.





Realizar cálculos y simplificaciones en expresiones factoriales.

Utilizar el Teorema del binomio en cálculos y justificaciones de identidades combinatorias.

Desarrollar ejercicios y plantear y resolver problemas de variaciones y de variaciones con repetición.

Desarrollar ejercicios y plantear y resolver problemas de permutaciones y de permutaciones con repetición.

Calcular expresiones con números combinatorios.

Desarrollar ejercicios y plantear y resolver problemas de combinaciones.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el seminario, pero proponemos que a esta Unidad se le dedique más o menos dos semanas.




Unidad 7.Trigonometría

Objetivos

Conocer las razones trigonométricas, sus relaciones entre ellas y calcular cualquiera de ellas utilizando la geometría del triángulo rectángulo.

Saber y utilizar la relación fundamental de la trigonometría en ejercicios de justificación de identidades trigonométricas.

Reducir las razones trigonométricas de cualquier ángulo a las de uno del primer cuadrante.

Calcular las razones trigonométricas del ángulo suma o diferencia de dos ángulos dados.

Calcular las razones trigonométricas del ángulo doble o mitad de otro dado.

Resolver ecuaciones trigonométricas.

Resolver sistemas de ecuaciones trigonométricas.

Contenidos

Conceptos

Razones trigonométricas.

Relación fundamental de la trigonometría.

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera.

Reducción de las razones trigonométricas.

Suma y diferencia de ángulos.

Ángulo doble y ángulo mitad.

Ecuaciones trigonométricas.

Sistemas de ecuaciones trigonométricas.




Procedimientos

Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo.

Uso de la relación fundamental de la trigonometría.

Comprobación de identidades trigonométricas.

Reducción de ángulos al primer cuadrante.

Cálculo de las razones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos.

Cálculo de las razones trigonométricas del ángulo doble y mitad de otro.

Resolución de ecuaciones trigonométricas.

Resolución de Sistemas de ecuaciones trigonométricas.




Actitudes

Curiosidad por los cálculos trigonométricos.

Valoración de la importancia de la trigonometría en el desarrollo del conocimiento humano a lo largo de la historia y en la actualidad, con sus aplicaciones a la topografía, la física, la astronomía, la navegación, la astronáutica, etc.

Utilización de forma espontánea y sistemática de la representación gráfica para encontrar relaciones geométricas y trigonométricas en el diseño de resolución de problemas.


Hacer cálculos trigonométricos sobre el triángulo rectángulo.

Reducir al primer cuadrante las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Calcular las razones trigonométricas de los ángulos doble y mitad de dos dados.

Justificar identidades trigonométricas.

Conocer y saber aplicar los valores de las razones trigonométricas de ángulos notables.

Plantear y resolver problemas mediante el uso de los conocimientos adquiridos en esta Unidad.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el Departamento, pero proponemos que a esta Unidad se le dediquen dos semanas.




Unidad 8. Resolución de triángulos

Objetivos

Aprender a resolver triángulos rectángulos.

Saber calcular el área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.

Comprender el teorema del seno y del coseno y sus consecuencias.

Aprender a resolver un triángulo en cualquiera de sus casos, estos es, si tenemos: dos ángulos y un lado, dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, dos lados y el ángulo opuesto a ellos o los tres lados.

Contenidos

Conceptos

Significado de la resolución de un triángulo.

Área del triángulo. Fórmula de Herón.

Teorema del seno y coseno.

Resolución de un triángulo cualquiera.

Procedimientos

Comprensión del concepto de resolución de triángulos rectángulos.

Cálculo del área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.

Comprensión del teorema del seno y del coseno y sus consecuencias.

Resolución de triángulos en cualquiera de sus casos, estos es, si tenemos: dos ángulos y un lado, dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, dos lados y el ángulo opuesto a ellos o los tres lados.




Actitudes

Curiosidad por los cálculos trigonométricos.

Valoración de la importancia de la trigonometría en el desarrollo del conocimiento humano a lo largo de la historia y en la actualidad, con sus aplicaciones a la topografía, la física, la astronomía, la navegación, la astronáutica, etc.

Utilización de forma espontánea y sistemática de la representación gráfica para resolver triángulos, en el diseño de resolución de problemas.


Saber hallar el área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.

Resolver triángulos.

Plantear y resolver problemas mediante el uso de los conocimientos adquiridos en esta Unidad.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el seminario, pero proponemos que a esta Unidad se le dedique aproximadamente una semana.




Unidad 9. Los números complejos

Objetivos

Conocer y diferenciar los conjuntos de los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos.

Conocer el afijo y el vector asociado a un número complejo.

Saber qué son números complejos conjugados y opuestos.

Clasificar los números complejos.

Representación gráfica de los números complejos.

Saber qué es el módulo y el argumento principal de un número complejo.

Operar con números complejos en forma binómica.

Conocer la potenciación de números complejos.

Comprender la forma polar y trigonométrica de un número complejo.

Operar con números complejos en forma polar.

Conocer la potenciación y radicación de números complejos.

Resolver ecuaciones en el cuerpo de los números complejos.

Resolver y reconstruir ecuaciones de coeficientes reales, a partir de sus raíces reales o complejas.

Representar gráficamente números complejos.




Contenidos

Conceptos

Ampliación del conjunto de los reales. Definición de número complejo.

Representación gráfica.

Operaciones con números complejos en forma binómico.

Forma polar y trigonométrica de un número complejo.

Multiplicación y división de números complejos en forma polar.

Potencia y radicación de números complejos.

Ecuaciones con números complejos.

Procedimientos

Clasificación de los números complejos.

Representación gráfica de los números complejos.

Comprensión de los conceptos de módulo y argumento principal de un número complejo.

Operaciones con números complejos en forma binómica.

Potenciación de números complejos.

Comprensión de la forma polar y trigonométrica de un número complejo.

Operaciones con números complejos en forma polar.

Potenciación y radicación de números complejos.

Resolución de ecuaciones en el cuerpo de los números complejos.

Resolución y reconstrucción de ecuaciones de coeficientes reales, a partir de sus raíces reales o complejas.

Representación gráfica de números complejos.

Actitudes




Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje del álgebra.

Compresión y valoración de las relaciones entre el lenguaje gráfico y el lenguaje algebraico.


Utilizar y saber transformar las diversas expresiones de un número complejo.

Operar con números complejos expresados en forma binómica o polar.

Utilizar la representación gráfica de la radicación de números complejos, para la resolución de ejercicios y problemas de geometría métrica.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el seminario, pero proponemos que a esta Unidad se le dedique una semana.




Unidad 10. Geometría analítica

Objetivos

Determinar las componentes de un vector, dado por sus extremos.

Conocer los conceptos de vector fijo y vector libre.

Operar con vectores y calcular productos externos por números reales.

Analizar la dependencia / independencia de vectores; establecer combinaciones lineales sujetas a condiciones dadas.

Conocer y usar el concepto de producto escalar, así como sus propiedades, para realizar ejercicios de ortogonalidad / ortonormalidad y, en general, de ángulos entre vectores.

Establecer la ecuación de la recta en el plano en cualquiera de sus formas.

Calcular la ecuación de un haz de rectas concurrentes o paralelas.

Analizar la posición relativa de dos rectas en el plano.

Calcular el ángulo de dos rectas utilizando vectores directores o pendientes.

Conocer y aplicar las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas, dadas por sus ecuaciones.

Conocer y usar la ecuación normal de una recta en el plano.

Hallar la distancia de un punto a una recta y aplicar ese cálculo a las medidas de segmentos notables en el triángulo.




Contenidos

Conceptos

Vectores en el plano.

Características de un vector.

Suma de vectores.

Producto de un número real por un vector.

Combinaciones lineales de vectores.

Producto escalar.

Consecuencias del producto escalar.

Aplicaciones de las operaciones con vectores.

Determinaciones lineales de una recta.

La ecuación de la recta.

Otras formas de la ecuación de la recta.

Posición relativa de dos rectas en el plano.

Ángulo de dos rectas.

Paralelismo y perpendicularidad.

Vector normal de una recta. Ecuación normal de la recta.

Distancia de un punto a una recta.

Lugares geométricos.

Procedimientos

Determinación de las componentes de un vector, dado por sus

extremos.

Comprensión del concepto de vector fijo u libre.

Cálculo de las coordenadas de puntos que impliquen paralelismo entre vectores.




Cálculo del módulo de un vector de extremos conocidos.

Aplicación del módulo de un vector al análisis y clasificación de triángulos.

Realización de las operaciones con vectores y aplicación de sus propiedades.

Uso del producto externo de un número real por un vector y aplicación de sus propiedades.

Aplicación de los conceptos de dependencia e independencia lineal de vectores y uso de las combinaciones lineales de vectores.

Cálculo de productos escalares de vectores.

Aplicaciones del producto escalar al cálculo del ángulo entre vectores y al análisis de la ortogonalidad / ortonormalidad de los mismos.

Determinación del vector proyección ortogonal de uno sobre otro.

Cálculo de la ecuación de una recta en cualquiera de sus formas.

Determinación de la ecuación general de haces de rectas paralelas o concurrentes.

Análisis de la posición relativa de dos rectas en el espacio.

Determinación de parámetros en las ecuaciones de rectas para que se dispongan en una determinada posición relativa.

Cálculo del ángulo de dos rectas usando sus vectores directores.

Cálculo del ángulo de dos rectas usando sus pendientes.

Uso en ejercicios y problemas de las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas.

Establecimiento de las ecuaciones de las alturas de un triángulo y de su ortocentro.

Cálculo de las coordenadas de puntos simétricos respecto de una recta.

Utilización de la ecuación normal de una recta y determinación de vectores normales.

Cálculo de la distancia de un punto a una recta y sus aplicaciones a la determinación de longitud de segmentos en el triángulo.

Actitudes




Receptividad, interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas numéricos, distintos de las propias.

Disposición favorable a resolver los problemas de geometría utilizando críticamente los teoremas.

Compresión y valoración del momento histórico en que la geometría y el álgebra «se untan» dando lugar a la geometría analítica.


Calcular las componentes y el módulo de un vector, dado por sus extremos.

Comprender el concepto de vector fijo y libre.

Operar con vectores y calcular productos externos por números reales.

Hacer combinaciones lineales y usarlas para determinar la dependencia / independencia de vectores.

Cálculo y uso del producto escalar en ejercicios y problemas de paralelismo, perpendicularidad y ángulos entre vectores.

Conocer y saber expresar la dirección de una recta con vectores o pendientes.

Saber y utilizar las ecuaciones de la recta en el plano, en cualquiera de sus formas.

Calcular ángulos de rectas concurrentes.

Analizar la posición relativa de dos rectas en el plano.

Calcular la distancia de un punto a una recta.

Conocer y saber utilizar el concepto de lugar geométrico.




Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el seminario, pero proponemos que a esta Unidad se le dedique entre una y dos semanas




Unidad 11. Lugares geométricos. Cónicas

Objetivos

Describir correctamente las secciones cónicas y definir comprensivamente las cónicas como lugares geométricos.

Tener adquiridos el concepto y los valores de la excentricidad, y ser capaz de expresarlo correctamente.

Conocer y saber aplicar la relación que liga las constantes métricas en las distintas cónicas.

Saber y saber aplicar el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia y usarlo como criterio de posición del punto respecto de la cónica.

Saber el concepto de ee radical de dos circunferencias y calcular su ecuación, aplicando su naturaleza de lugar geométrico.

Dibujar cónicas por puntos o utilizando alguna propiedad métrica de ellas.

Usar las ecuaciones reducidas de las cónicas.

Hacer ejercicios de identificación de cónicas.

Calcular ecuaciones de cónicas.

Hacer ejercicios de tangencia entre rectas y circunferencias, sin necesidad de usar las derivadas.

Plantear y resolver problemas en el ámbito de contenidos de esta Unidad.




Contenidos

Conceptos

Secciones cónicas.

Circunferencia.

Potencia de un punto con respecto a una circunferencia.

Elipse.

Hipérbola.

Parábola.

Procedimientos

Descripción de las secciones cónicas.

Cálculo e identificación de ecuaciones de circunferencias.

Estudio de la posición relativa de dos circunferencias.

Establecimiento de la ecuación de la recta tangente a una

circunferencia.

Cálculo de la potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Cálculo de la ecuación de una elipse, de una hipérbola o de una parábola, conocidos datos suficientes de sus elementos o/y excentricidad.

Determinación de los elementos de una elipse, de una hipérbola o de una parábola o/y su excentricidad, conocida su ecuación.

Cálculo de las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola.




Actitudes

Mostrar una disposición favorable a resolver los problemas de geometría utilizando críticamente los teoremas.

Valoración del momento histórico en que la geometría y el álgebra «se untan dando lugar a la geometría analítica y en especial al apartado de cónicas».

Comprensión, interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas dentro del ámbito de la geometría analítica.


Establecer ecuaciones de las cónicas, conocidos datos suficientes para su determinación.

Calcular los parámetros y excentricidad de una cónica, conocida su ecuación.

Hallar la potencia de un punto respecto de una circunferencia.

Determinar la ecuación de la recta tangente en un punto de una circunferencia o desde un punto fuera de ella, sin usar derivadas.

Calcular las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola.

Hacer ejercicios y plantear y resolver problemas en que se usen las definiciones, parámetros y relaciones métricas de las cónicas.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el seminario, pero proponemos que a esta Unidad se le dedique más o menos una semana.




Unidad 12. Sucesiones de números reales

Objetivos

Calcular los términos de una sucesión, dado su término general, y viceversa.

Analizar los tipos de sucesiones.

Estudiar la acotación de sucesiones.

Calcular límites de sucesiones.

Resolver indeterminaciones de los tipo polinomio, 1/P(n) y P(n)/Q(n).

Conocer la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética.

Conocer la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica.

Conocer la suma de n términos consecutivos para r<1.

Calcular el producto de n términos consecutivos de una progresión geométrica.

Contenidos

Sucesiones.

Término general de una sucesión.

Sucesiones crecientes y decrecientes.

Sucesiones constantes.

Sucesiones acotadas.

Propiedades de la sucesión.

Límite de una sucesión.

Cálculo de límites elementales.

Límite de sucesiones de tipo polinómico.




Límite del coeficiente de dos sucesiones.

El número e.

Progresiones aritméticas.

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética.

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica.

Producto de n términos consecutivos de una progresión geométrica.

Procedimientos

Cálculo de términos de una sucesión, dado su término general, y viceversa.

Determinación de una convergencia / divergencia de una sucesión y estimación intuitiva de su límite.

Ejemplificaciones de sucesiones de características dadas.

Análisis de la acotación de sucesiones.

Realización de operaciones con sucesiones.

Cálculo de límites elementales de sucesiones.

Uso de la calculadora para cálculos con sucesiones.

Determinación del límite del resultado de las operaciones con sucesiones.

Realización de cálculos con progresiones aritméticas.

Realización de cálculos con progresiones geométricas.

Actitudes

Respeto e interés frente a estrategias y soluciones a problemas numéricos distintos de las propias.

Curiosidad e interés por el planteamiento y la resolución atente de problemas y confianza en la propia capacidad resolutiva.

Valorar la potencia del cálculo matemático en la resolución de problemas en la viada real.




Reconocer y valorar el papel de la matemática en el estudio de los cambios de un proceso natural o social en la realidad.


Calcular términos de una sucesión, dado su término general, y viceversa.

Analizar la monotonía de una sucesión y calcular -si procede- su límite.

Operar sucesiones.

Deshacer indeterminaciones de los tipos polinómico, 1/P(n) y P(n)/Q(n).

Helar el término general de progresiones aritméticas.

Hallar la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética.

Hallar la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el seminario, pero proponemos que en esta Unidad se empleen tres semanas.




Unidad 13. Funciones reales

Objetivos

Calcular dominios y recorridos de funciones reales de variable real.

Distinguir correspondencias funcionales de las que no lo son.

Dibujar las gráficas de funciones elementales y de funciones definidas a trozos.

Conocer y dibujar las funciones polinómicas.

Conocer y dibujar las funciones racionales.

Conocer y dibujar las funciones radicales.

Componer funciones y determinar el dominio de la función resultante.

Calcular y representar la correspondencia inversa de una función y discutir la naturaleza del resultado.

Saber y saber aplicar los conceptos de función par / impar, así como las simetrías correspondientes de sus gráficas.

Saber qué es una función creciente / decreciente, monótona en un intervalo y saber aplicar esos conceptos al análisis de funciones elementales.

Conocer los conceptos de la acotación de funciones y analizar si son acotadas y cómo, funciones reales de variable real dadas.

Saber qué son funciones periódicas, y descubrir el periodo de

funciones trigonométricas.




Contenidos

Conceptos

Concepto de función.

Dominio e imagen de una función.

Gráfica.

Gráficas de algunas funciones elementales.

Funciones definidas a trozos.

Funciones polinómicas.

Funciones racionales.

Funciones radicales.


Función inversa.

Gráfica de la función inversa.

Simetrías.

Crecimiento y decrecimiento.

Máximos y mínimos.

Funciones periódicas.

Asíntotas.

Procedimientos

Expresión en forma funcional de reglas y relaciones descritas en lenguaje convencional.

Cálculo de dominios e imágenes de funciones.

Dibujo de gráficas de funciones de dominios e imágenes dados.

Distinción entre correspondencias que son funciones y las que no lo son.




Trazado de gráficas de funciones elementales y de funciones

definidas a trozos.

Realización de operaciones con funciones.


Determinación de correspondencias inversas de funciones y trazado de sus gráficas.

Uso de la calculadora para hacer tablas de valores.

Análisis de la paridad de funciones y de la simetría de sus gráficas.

Análisis y representación de funciones periódicas.

Actitudes

Valoración de la potencia del cálculo de funciones en la resolución de problemas de la vida real.

Reconocimiento del papel de las funciones en el estudio de los cambios de un proceso natural, social o técnico de la realidad.

Receptividad, curiosidad e interés por el planteamiento y la resolución de problemas, mediante las características analíticas de las funciones que describen los fenómenos que se estudian.

Gusto por la interpretación de problemas de aplicación a casos

reales.


Distinguir correspondencias que son funciones de las que no lo son.

Calcular el dominio y el recorrido de una función dada.

Dibujar la gráfica de funciones elementales y de funciones definidas a trozos.

Operar con funciones.

Componer funciones y determinar el dominio del resultado.




Calcular funciones inversas y analizar el resultado.

Analizar la paridad y simetrías de la gráfica de una función dada.

Conocer y analizar, usando tablas de valores y gráficas, de forma

aproximada, el crecimiento / decrecimiento, extremos absolutos / relativos y acotación de funciones dadas.

Saber y saber aplicar al análisis de la periodicidad de funciones.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el seminario, pero proponemos que a esta Unidad se le dedique tres semanas.




Unidad 14 Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

Objetivos

Conocer y dibujar las funciones exponenciales.

Conocer y dibujar las funciones logarítmicas.

Conocer y resolver ecuaciones de tipo exponencial

Conocer y resolver ecuaciones de tipo exponencial y logarítmica de forma combinada.

Resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas.

Conocer algunas aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Conocer y dibujar las funciones trigonométricas.

Conocer las diferentes funciones trigonométricas inversas.

Interpretar gráficamente la solución de ecuaciones trigonométricas.

Contenidos

Conceptos

Concepto de función exponencial.

Concepto de función logarítmica.

Ecuaciones exponenciales.

Ecuaciones ligadas a exponentes y logaritmos.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas.

Función seno.

Función coseno

Función tangente.




Funciones radicales.

Inversas de las diferentes funciones trigonométricas.

Solución y gráfica de la solución de ecuaciones trigonométricas.

Procedimientos

Expresión en forma funcional de reglas y relaciones descritas en lenguaje convencional.

Dibujo de gráficas de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Resolución de ecuaciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas

Resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas.

Diferenciación entre las diferentes ecuaciones trigonométricas.

Conocimiento y uso de las inversas de las funciones trigonométricas.

Uso de la calculadora para hacer tablas de valores.

Análisis de la paridad de funciones y de la simetría de sus gráficas.

Análisis y representación de funciones periódicas como solución de ecuaciones trigonométricas.

Actitudes

Valoración de la potencia del cálculo de funciones en la resolución de problemas de la vida real.

Reconocimiento del papel de las funciones en el estudio de los cambios de un proceso natural, social o técnico de la realidad.

Receptividad, curiosidad e interés por el planteamiento y la resolución de problemas, mediante las características analíticas de las funciones que describen los fenómenos que se estudian.

Gusto por la interpretación de problemas de aplicación a casos reales.





Distinguir entre funciones exponenciales y logarítmicas

Conocer las diferentes características de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Resolver ecuaciones exponenciales.

Resolver ecuaciones logarítmicas.

Resolver ecuaciones que combinan funciones logarítmicas y exponenciales.

Resolver ecuaciones logarítmicas.

Conocer las diferentes funciones trigonométricas, su dominio y sus gráficas.

Saber como se transforman las diferentes funciones trigonométricas.

Conocer las funciones inversas de las diferentes funciones trigonométricas.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha

por el seminario, pero proponemos que a esta Unidad se le dedique dos

semanas.




Unidad 15. Límites de funciones. Continuidad

Objetivos

Conocer los conceptos de límite y límite en un punto, ser capaz de expresarlos correctamente y aplicarlos a su cálculo.

Saber y saber aplicar las propiedades elementales de los límites.

Calcular límites de funciones racionales cuando x à a en un punto.

Calcular límites de funciones radicales cuando x à a en un punto.

Calcular límites en el infinito y determinar el comportamiento de funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas, radicales y trigonométricas.

Aplicar el cálculo de límites a la determinación de asíntotas.

Aplicar la teoría de límites a la continuidad de una función.

Contenidos

Conceptos

Límite de una función en un punto. Límites laterales.

Cálculo de límites: límites en un punto.

Cálculo de límites: límites en el infinito.

Límites de funciones racionales, logarítmicas, trigonométricas, con radicales,…

Continuidad.

Límites en el infinito. Asíntotas.




Procedimientos

Estudio de los límites laterales y el límite de una función en un punto, dibuando la gráfica o estableciendo tablas de valores a un lado y a otro del punto.

Análisis de la continuidad / discontinuidad de funciones en un punto, mediante el trazado de las gráficas y el estudio de los límites laterales.

Cálculo de límites de funciones contínuas en un punto.

Determinación de ecuaciones de asíntotas horizontales y verticales.

Cálculo de límites de funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas, radicales y trigonométricas.

Actitudes


Compresión y valoración del papel de las matemáticas en el estudio de los cambios de un proceso natural o social de la realidad.

Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de los trabaos realizados.


Calcular límites laterales y límites de funciones en un punto.

Analizar la continuidad / discontinuidad de una función en un punto.

Determinar el valor de límites en el infinito.

Deshacer indeterminaciones 0 / 0, ` / `, ` 2 `.

Establecer las ecuaciones de posibles asíntotas verticales y horizontales de una función en un punto.




Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el Departamento, pero proponemos que a esta Unidad se le dediquen aproximadamente dos semanas




Unidad 16. Derivadas

Objetivos

Conocer operativamente los términos: incremento funcional y Tasa de Variación Media e Instantánea.

Definir comprensiva y diferenciadamente los conceptos de derivada de una función en un punto y función derivada.

Conocer el significado geométrico de la derivada en un punto y de la función derivada de una función.

Saber que es necesaria, pero no suficiente, la continuidad para la derivabilidad.

Conocer las funciones derivadas de las funciones usuales, así como las reglas de derivación.

Calcular a partir de la definición la función derivada y el valor de la derivada en un punto de funciones sencillas.

Calcular funciones derivadas de funciones simples y compuestas. Derivar funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.

Aplicar la derivabilidad al estudio del crecimiento y decrecimiento de una función.

Determinar las derivadas sucesivas de una función y sus valores en un punto.

Calcular las derivadas sucesivas de una función n 2 derivable.

Averiguar para qué valores de los parámetros una función, que los presenta en su criterio, es derivable.

Estudiar la gráfica de una función partiendo del estudio del crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de la función.




Contenidos

Conceptos

Tasa de Variación Media.

Derivada de una función en un punto.

Derivabilidad y continuidad.

Función derivada.

Cálculo de derivadas.

Reglas de derivación.

La regla de la cadena.

Derivación implícita.

Derivadas de las funciones logarítmicas.

Derivadas de las funciones exponenciales.

Derivadas de las funciones trigonométricas.

La derivada como razón de cambio.

Procedimientos

Cálculo de Tasas de Variación Media en un intervalo funcional. Determinación de pendientes de las secantes a una función en un

intervalo.

Cálculo de los valores de la derivada de una función en un punto. Análisis de la continuidad y derivabilidad de una función en un punto.

Cálculo de funciones derivadas de funciones simples y compuestas.

Cálculo de las derivadas sucesivas de una función.

Uso de la derivación implícita.

Derivación de funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.




Determinación de coeficientes de variación.

Actitudes


Reconocimiento y valoración del papel de la matemática en el estudio de los cambios de un proceso natural o social de la realidad.

Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de los trabaos realizados.

Curiosidad e interés por el planteamiento y la resolución de problemas mediante las características analíticas de las funciones que describen los fenómenos que se estudian.


Calcular tasas de variación media.

Derivar funciones simples y compuestas y calcular valores de sus derivadas en un punto.

Derivar funciones en las que proceda la utilización de la derivación implícita o la derivación logarítmica.

Calcular las derivadas sucesivas de una función.

Determinar los valores de parámetros en una función para que sea derivable en un determinado intervalo.

Derivar funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.

Temporalización




El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el seminario, pero proponemos que a esta Unidad se le dediquen dos semanas.




Unidad 17. Introducción al cálculo integral

Objetivos

Conocer el concepto de primitiva.

Calcular funciones primitivas sencillas.

Calcular integrales indefinidas y conocer sus propiedades.

Conocer las integrales inmediatas.

Conocer los diferentes métodos de integración.

Utilizar el concepto de integral definida.

Calcula integrales definidas.

Contenidos

Conceptos

La integral indefinida. Cálculo de primitivas.

Integral inmediata.

Técnicas de integración.

La integral definida,

Procedimientos

Cálculo de primitivas sencillas.

Cálculo de integrales indefinidas utilizando sus propiedades.

Utilización de las integrales inmediatas.

Determinación de integrales definidas, conociendo sus propiedades.




Actitudes


Reconocimiento y valoración del papel de la matemática en el estudio de los cambios de un proceso natural o social de la realidad.

Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de los trabajos realizados.

Curiosidad e interés por el planteamiento y la resolución de problemas mediante las características analíticas de las funciones que describen los fenómenos que se estudian.


Calcular primitivas sencillas.

Calcular integrales indefinidas.

Calcular integrales definidas sencillas.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el seminario, pero proponemos que ha esta Unidad se le dedique una semana.




Unidad18. Distribuciones bidimensionales

Objetivos

Conocer y diferenciar los conceptos de relación funcional y estadística.

Conocer el concepto de correlación.

Conocer la influencia de la correlación en los diagramas de dispersión.

Saber encontrar los diferentes parámetros que gobiernan una distribución bidimensional.

Conocer el concepto de covarianza y qué mide.

Definir el coeficiente de correlación lineal.

Conocer las clases y los grados de correlación lineal.

Saber que las rectas de regresión se cortan en el punto cuyas coordenadas son las medias de las distribuciones marginales.

Dibujar la nube de puntos de los datos de una tabla bidimensional.

Construir tablas de doble entrada con las distribuciones marginales de una variable bidimensional.

Calcular la covarianza de una distribución bidimensional.

Calcular las ecuaciones de las rectas de regresión.

Calcular el coeficiente de correlación de una regresión lineal.

Hallar valores estimados de una variable sobre datos de la otra usando

las rectas de regresión, por interpolación o extrapolación, valorando la fiabilidad del resultado en atención al valor absoluto del

coeficiente de correlación lineal.

Saber expresar la fiabilidad de la recta de regresión.




Contenidos

Conceptos

La media aritmética y la desviación típica.

Variable estadística bidimensional.

Tablas de frecuencias bidimensionales. Gráficos.

La covarianza.

Correlación lineal.

Regresión lineal.

Procedimientos

Construcción de la nube de puntos de distribuciones estadísticas bidimensionales, y primera estimación del grado de dependencia de las variables.

Tabulación de frecuencias y de sus marginales correspondientes de distribuciones bidimensionales.

Determinación de frecuencias en distribuciones condicionadas.

Cálculo de la covarianza de distribuciones bidimensionales.

Cálculo del coeficiente de correlación de distribuciones bidimensionales y valoración de su signo y valor absoluto.

Establecimiento de las ecuaciones de las rectas de regresión de una distribución bidimensional.

Cálculo de valores estimados de una variable sobre la otra, usando las rectas de regresión.

Valoración de la fiabilidad de la estimación, en función del valor absoluto del coeficiente de correlación lineal.

Actitudes




Valoración de la matemática de la aleatoriedad como una parte de la matemática tan «científica» como el Análisis, el Álgebra o el Cálculo.

Comprensión y valoración de la necesidad del rigor en los cálculos probabilísticos, de cuyos resultados depende la decisión que afecta a poblaciones.

Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como la manera de realizar, de forma eficaz y con menor riesgo de error, los trabajos de la aplicación de modelos probabilísticas a situaciones reales estadísticas.

Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de los trabajos realizados.


Tabular, con sus márgenes, los datos de una distribución estadística bidimensional.

Calcular frecuencias en distribuciones condicionadas.

Hallar la covarianza de una distribución estadística bidimensional.

Establecer el coeficiente de correlación lineal de una distribución estadística bidimensional.

Cálculo estimado de valores de una de las variables marginales sobre datos de la otra, en una distribución estadística bidimensional, valorando la fiabilidad del resultado, según sea interpolación o extrapolación, y en función del coeficiente de correlación.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependera de la programación hecha por el seminario, pero proponemos que a esta Unidad se le dedique entre una y dos semanas.




Unidad 19. La probabilidad

Objetivos

Definir experimentos aleatorios y espacio muestral.

Saber operar con sucesos.

Expresar correctamente y aplicar al cálculo de probabilidades la Regla de Laplace.

Conocer y aplicar al cálculo las propiedades de la probabilidad.

Definir probabilidad condicionada y aplicar la definición a ejercicios y problemas.

Saber qué son sucesos independientes y analizar si dos sucesos son no independientes, en ejercicios y problemas.

Calcular ejercicios y plantear y resolver problemas utilizando los Teoremas

de la probabilidad total y de Bayes.

Contenidos

Conceptos

Experimentos. Sucesos aleatorios.

Espacio muestral.

Operaciones con sucesos.

Probabilidad de un suceso.

Probabilidad condicionada.

Independencia de sucesos.

Probabilidad total. Teorema de Bayes.

Procedimientos




Análisis de sucesos y establecimiento de espacios muestrales.

Operaciones con sucesos.

Aplicación de las leyes de Morgan.

Cálculo de la probabilidad de la unión y diferencia de sucesos.

Estudio de la probabilidad condicionada.

Cálculo de la probabilidad de la intersección de sucesos.

Realización de ejercicios de dependencia / independencia de sucesos.

Aplicaciones del Teorema de la probabilidad total y del Teorema de Bayes.

Actitudes

Valoración de la matemática de la probabilidad como una parte de la

matemática tan «científica» como el Análisis, el Álgebra o el Cálculo. Comprensión y valoración de la necesidad del rigor en los cálculos probabilísticos, de cuyos resultados depende la decisión que afecta a poblaciones.

Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como la manera de realizar, de forma eficaz y con menor riesgo de error, los trabaos de la aplicación de modelos probabilísticos a situaciones reales estadísticas.

Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de los trabaos probabilísticos realizados.


Calcular probabilidades de sucesos simples y compuestos.

Calcular probabilidades condicionadas.

Utilizar en ejercicios y problemas el Teorema de la probabilidad total y el de Bayes.




Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha por el seminario, pero propondremos que a esta Unidad se le dedique aproximadamente entre una u dos semanas.




Unidad 20. Distribuciones de probabilidad

Objetivos

Definir variables discretas y sus clases.

Conocer y saber calcular los parámetros de distribuciones de probabilidad discretas.

Definir distribución binomial y aplicarlo a la identificación de distribuciones – problema.

Establecer el concepto y la función de densidad, con sus características, de una distribución normal.

Saber cómo se reparte la probabilidad en una distribución normal.

Establecer las funciones de probabilidad y de distribución de una variable aleatoria binomial.

Calcular los parámetros de una distribución binomial.

Tipificar la variable normal.

Manear las tablas de la distribución N (0, 1).

Calcular probabilidades en ejercicios y problemas de distribuciones binomiales y normales.

Aproximar, previo análisis de lo que procede, una distribución binomial por una normal.

Contenidos

Conceptos

Distribuciones de probabilidad.

Función de distribución.

Variables aleatorias.




Parámetros de una distribución.

Distribución binomial.

Variables aleatorias continuas.

Distribución normal.

Aproximación de la binomial mediante la normal.

Procedimientos

Establecimiento de variables aleatorias discretas y continuas; tabulaciones de sus funciones de probabilidad y representación gráfica de sus distribuciones.

Cálculo de los parámetros de distribuciones aleatorias.

Cálculo de ejercicios y planteamiento y desarrollo de problemas con la distribución binomial.

Cálculo de funciones de densidad de variables aleatorias continuas.

Cálculo de funciones de distribución a partir de las de densidad de variables aleatorias continuas.

Tipificación de la variable de una distribución normal.

Cálculo de probabilidades en una distribución normal.

Aproximación de una distribución binomial por la normal que sea procedente.

Actitudes

Valoración de la matemática de la probabilidad como una parte de la matemática tan «científica» como el Análisis, el Álgebra o el Cálculo.

Comprensión y valoración de la necesidad del rigor en los cálculos probabilísticos, de cuyos resultados depende la decisión que afecta a poblaciones.

Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como la manera de realizar, de forma eficaz y con menor riesgo de error, los trabaos de la aplicación de modelos probabilísticos a situaciones reales estadísticas.




Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de los trabaos probabilísticos realizados.


Calcular parámetros de distribuciones aleatorias.

Desarrollar ejercicios y plantear y resolver problemas referidos a la distribución binomial.

Desarrollar ejercicios y resolver problemas referidos a la distribución normal.

Aproximar, analizando la procedencia de hacerlo, una distribución binomial por una normal.

Temporalización

El tiempo dedicado a cada Unidad dependerá de la programación hecha

por el seminario, pero proponemos que a esta Unidad se le dedique una

o dos semanas.


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