Lugares geométricos. Las cónicas y las cuádricas Lugares geométricos Circunferencia Elipse...

Lugares geométricos. Las cónicas y las cuádricas

Lugares geométricos Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola …

Lugares geométricos en el plano

Se denomina LUGAR GEOMÉTRICA del plano al conjunto de puntos

de éste que cumple unas condiciones determinadas

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

, , 4 2 4 4

4 2 4 4

8 4 20 8 8 32

16 4 12 0 : 4 3 0

d P A d P B x y x y

x y x y

x y x y x y x y

x y r x y

Ejemplo.- La mediatriz de un segmento de extremos A, B es la recta r que

cumple que para cualquier punto P de r, se cumple d(P,A) = d(P,B). Así por

ejemplo, si A(-4,2) y B(4,4) la mediatriz r será

Lugares geométricos en el plano

2 2 22

12 5 3 4 7, ,

3 412 5

12 5 3 4 799 27 91 013 5 :

12 5 3 4 7 21 77 91 0

13 5

x y x yd P A d P B

x y x yx y

tx y x y x y

Ejemplo.- La bisectriz de dos rectas r y s, es la recta t que cumple que

para cualquier punto P de t, se cumple d(P,r) = d(P,s).

Así por ejemplo, si r : -12 x + 5 y = 0 y s : 3 x + 4 y =7 la bisectriz r

será

Circunferencia. Ecuación

La CIRCUNFERENCIA es el lugar geométrico de los puntos P(x,y)

del plano que equidistan de otro punto llamado centro C(a,b). Es

decir

{ P(x,y) ℝ2 : un r que cumple d(P,C) = r }

2 2 2x a y b r

Elevando al cuadrado la expresión d(P,C) = r, la ecuación de la

CIRCUNFERENCIA será

2 2

2 2 2

2

0; Donde 2

m a

x y m x n y p n b

p a b r

Quitando paréntesis en la ecuación e igualando a cero, obtenemos la

ecuación polinomial de la CIRCUNFERENCIA, que será

No toda expresión polinomial de este último tipo representa una circunferencia,

ya que para que sea una circunferencia, r tiene que ser mayor o igual a cero.


Ejemplo.- Calcular la ecuación polinomial de la circunferencia de

radio 4 y centro (1,-2)

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

1 2 4

2 4 1 2 4 0

2 4 11 0

x y

x y x y

x y x y

2 2 2

4 2 2

Si (a,b) es el centro y r el radio se cumple 2 2 1

25 2 1 20

a a

b b

r r

Si representa una circunferencia la siguiente ecuación polinomial ecuación

polinomial, calcular cu centro y su radio

x2 + y2 + 4 x – 2 y + 25 = 0

Que como no puede hallarse un valor real para r, la ecuación polinomial, no

representa una circunferencia


La CIRCUNFERENCIA centrada en el origen es aquella que su

centro es (0,0). Es decir de ecuación

2 2 2x y r

2 2 0x y m x n y

También es fácil comprobar que una ecuación que pase por el origen de

coordenadas, su ecuación polinomial será de la forma

2 2

2 2

0

' 0

x y m x n y p

x y m x n y p

Las ecuaciones polinomiales de dos circunferencias concéntricas serán de la

forma

|PA| . |PB| si A [P,B] , pues Cos (PA,PB) = 0º

PA PB =

- |PA| . |PB| si P [A,B] , pues Cos (PA,PB) = 180º

Potencia de un punto respecto a una Circunferencia

Se denomina POTENCIA de un punto P(x0,y0) respecto de una

circunferencia C : (x-a)2 + (y-b)2 = r2, al producto PA PB donde A y B son

dos puntos de la circunferencia, que están alineados con P (este valor es

constante independientemente de los valores de A y B).

2 2 20 0

, ,

, ,

, , , ,

C

C

PA PB si A P BP P PA PB

PA PA si P A B

P P d P a b r d P a b r x a y b r

��

��

En particular, si tomamos A y B, que pertenezcan a un diámetro de la

circunferencia, obtenemos la ecuación

Que será

> 0, si P es un punto exterior a la circunferencia

= 0, si P = A o P = B

< 0, si p es un punto interior de la circunferencia

Potencia de un punto respecto a una Circunferencia

Ejemplo.- Dada la circunferencia C : x2 + y2 – 6 x + 5 y - 16 = 0,

calcular la potencia del punto P(1,1)

2 25 6 6 5 5 6 19 42CP P

Teniendo en cuenta la definición de

potencia y el teorema de Pitágoras, se

observa que

PC(P) = d2(PT)

Donde T es el punto de intersección de la

recta tangente a Circunferencia que pasa

por P y la circunferencia

Eje radical de dos circunferencias

El EJE RADICAL de dos circunferencias

C : x2 + y2 + m x + n y + p = 0

C’ : x2 + y2 + m’ x + n’ y + p’ = 0

Es el lugar geométrico de los puntos que tiene la misma potencia respecto de

ambas circunferencias. Es decir 2': C CP P P P P ℝ

Si las circunferencias C y C’ son

concéntricas no existe el eje radical si son

secantes el la recta que pasa por los

puntos de intersección

Par ver la interpretación gráfica del eje

radical pincha en el siguiente vínculo (eje

radical de dos circunferencia de J. Manuel

Arranz)

Que desarrollando e igualando dichas potencias se obtiene la siguiente recta

2 2 2 2 ' ' '

: ' ' ' 0

x y m x n y p x y m x n y p

r m m x n n y p p

Centro radical de tres circunferencias

El CENTRO RADICAL de tres circunferencias, es el punto que tiene la

misma potencia respecto de las tres circunferencias

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de

distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es constante

El CENTRO de la elipse es el punto medio del segmento [F,F’]. El EJE FOCAL es la recta que contiene al segmento [F,F’]. El EJE SECUNDARIA es la mediatriz del segmento [F,F’]. La SEMIDISTANCIA FOCAL es c = d(O,F) = d(O,F’) La DISTANCIA FOCAL es d(F,F’) = 2.c Los VÉRTICES de la elipse (A, A’, B, B’) son los puntos de intersección con el eje focal y con el eje secundario.

El EJE MAYOR es el segmento [A, A’] de distancia 2.a El EJE MENOR es el segmento [B,B’] de distancia 2.b

Hay que observar

que por el teorema

de Pitágoras, se

cumple b2 + c2 = a2

Ecuación reducida de la Elipse

Si consideramos la elipse sobre un sistema de referencia plano, de

forma que O sea el origen de coordenadas, y los ejes focal y

secundario los ejes de abcisas y ordenadas, las coordenadas de los

focos serán F(c,0) y F’(-c,0). Si las coordenadas de los puntos de la

elipse son P(x,y)


Si tomamos como eje de abcisas el eje secundario, y como eje de

ordenadas el eje focal, obtendríamos la ecuación reducida

2 2

2 21

y x

a b


Si tomamos como centro de la elipse el punto O =(p,q), y los ejes

focal y secundarios son paralelos a los ejes de abcisas y ordenadas

respectivamente, obtenemos la ecuación

Si tomamos como centro de la elipse el punto O =(p,q), y los ejes

focal y secundarios son paralelos a los ejes de ordenadas y abcisas


2 2

2 21

x p y q

a b

2 2

2 21

x p y q

b a

La EXCENTRICIDAD e de una elipse, es el cociente entre la semidistancia

focal y el semieje mayor, es decir e = c / a.

La excentricidad de la elipse será menor que 1 (cuanto más próxima a 1 será

más achatada y cuanto más próxima a 0, se aproximará a una circunferencia)

Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de puntos del plano cuya diferencia

de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS (F y F’) es constante

El CENTRO O de la hipérbola es el punto medio del segmento [F,F’]. El EJE FOCAL es la recta que contiene al segmento [F,F’]. El EJE SECUNDARIA es la mediatriz del segmento [F,F’]. La SEMIDISTANCIA FOCAL es c = d(O,F) = d(O,F’) La DISTANCIA FOCAL es d(F,F’) = 2.c Los VÉRTICES de la hipérbola (A, A’) son los puntos de intersección con el eje focal.

Ecuación reducida de la hipérbola

Si consideramos la hiperbola sobre un sistema de referencia plano,

de forma que O sea el origen de coordenadas, y los ejes focal y

secundario los ejes de abcisas y ordenadas, las coordenadas de los

focos serán F(c,0) y F’(-c,0). Si las coordenadas de los puntos de la

Parábola son P(x,y)

Ecuación reducida de la Hipérbola


Si tomamos como eje de abcisas el eje secundario, y como eje de

ordenadas el eje focal, obtendríamos la ecuación reducida

2 2

2 21

y x

a b


Si tomamos como centro de la hipérbola el punto O =(p,q), y los ejes

focal y secundarios son paralelos a los ejes de abcisas y ordenadas


Si tomamos como centro de la Hipérbola el punto O =(p,q), y los ejes

focal y secundarios son paralelos a los ejes de ordenadas y abcisas


2 2

2 21

x p y q

a b

2 2

2 21

y q x p

a b

La EXCENTRICIDAD de de una hipérbola, es el cociente entre la

semidistancia focal y el semieje mayor, es decir e = c / a.

Asíntotas de la Hipérbola

2 2

22 2

1 1x y b

y xa b a

Se denomina Asíntota de una hipérbola a una recta que pasa por el

centro de la misma y que es tangente a la hipérbola en el infinito.

Dado que la asíntota pasa por el origen, será de la forma y = m x, y

teniendo en cuenta que la ecuación reducida de la hipérbola es de la

forma

22

2 2

11

lim lim limx x x

bx

b x bam y

x a x x a

Igualando esta última expresión con y = m .x, y tomando límites, se obtiene

limx

b bm y x

a a

Luego

Cuando a = b, se obtiene las asíntotas y = ± x, es decir las bisectrices de los

cuadrantes

Parábola La Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan de una recta denominada directriz y un punto

denominado FOCO (F)

La distancia entre el foco y la directriz se denomina PARÁMETRO (p) Se denomina EJE DE LA PARÁBOLA, a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco

Se denomina VÉRTICE de la parábola al punto de intersección de la parábola con su eje

Ecuación reducida de la Parábola

Si consideramos la Parábola sobre un sistema de referencia plano, de

forma que el vértice V sea el origen de coordenadas, el eje de abcisas

la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el eje de

ordenadas la recta paralela a la directriz que pasa por el vértice V. Las

coordenadas del foco serán F(p/2,0). Si las coordenadas de los puntos

de la Parábola son P(x,y)


Si consideramos la Parábola sobre un sistema de referencia plano, de

forma que el vértice V vértice sea el origen de coordenadas, el eje de

abcisas la recta paralela a la directriz que pasa por el vértice V y el

eje de ordenadas la recta perpendicular a la directriz que pasa por el

foco , obtendríamos la ecuación reducida

2 2x p y


Si el vértice V de la parábola tiene coordenadas V(a,b).

Si el eje y la directriz son paralelos a los ejes de abcisas y ordenadas

respectivamente, la ecuación de la parábola será de la forma

Si el eje y la directriz son paralelos a los ejes de ordenadas y abcisas

respectivamente, la ecuación de la parábola será de la forma

22y b p x a

22x a p y b

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

En la siguiente diapósitiva


lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/mate

maticas.htm)



Manuel Sada

(figuras de GeoGebra)

(http://docentes.educacion.navarra.es/msa

daall/geogebra/)


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