Departamento de Ciencias

SUPERFICIES CUADRICAS

COORDENADAS EN EL ESPACIO, PLANOS Y SUPERFICIES

SUPERFICIES PRESENTES EN LA INDUSTRIA Y LA CIENCIA

ALGUNAS INTERROGANTES

1) Podrs relacionar alguna superficie cudrica por medio de alguna estructura arquitectnica?

2) Podrs calcular el volumen para cada superficie cerrada?

2) Cmo sera tu sistema referencial para modelar matemticamente la ecuacin de la superficie?

LOGRO DE SESIN

Al finalizar la sesin, el estudiante resuelve problemas de superficie cudrica y de superficie de revolucin en el espacio, utilizando las ecuaciones de conversiones de coordenadas rectangulares a coordenadas cilndricas y/o esfricas y viceversa; de forma correcta.

SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONALES

X Y

I

II

IV

III

V

VI VIII

Fuente: Larson Vol 2

(1,6,0)

(3,3,-2)

(-2,5,4)

(2,-5,4)

COORDENADAS EN EL ESPACIO

PLANOS PARALELOS A LOS COORDENADOS

Z

X

Y

Ecuacin: Z=3 Z=3 es // XY Z=3 es Z

3

-3

Ecuacin: Z=-3

PLANOS PARALELOS A LOS COORDENADOS

Z

X

Y

Ecuacin: X=-2 X=-2 // YZ X=-2 X

-2

Ecuacin:y=3 Y=3 // ZX Y=3 Y

Traza

Z

X

Y

Ecuacin General:

1c

z

b

y

a

x

a

b

c

Traza con YZ

1c

z

b

y

1c

z

a

x

Traza con XZ

1b

y

a

x

Traza con XY

Ejemplo 1: Dada la siguiente ecuacin, determine cortes, trazas y grfica.

yzx 6301510 Ecuacin:

Solucin: 1) Cortes

Con X (Y=0, Z=0) 10x=30 x=3// Con Y (X=0, Z=0) 0=30+6y y=-5// Con Z (X=0, Y=0) 15z=30 z=2//

2) Trazas Con XY ( Z=0) 10x=30+6y 10x-6y=30// Con YZ (X=0) 15z=30+6y 15z-6y=30// Con XZ (Y=0) 10x+15z=30//

Z

X

Y

30610 yx

30615 yz

301510 zx

2

-5

3

PLANOS

si

Es una funcin contnua, entonces el conjunto

de nivel de la funcin F correspondiente al valor

c, esto es F(x,y,z) = c, es una superficie.

),,(),,(

: 3

zyxFwzyx

F

SUPERFICIES

Definicin.

El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a una curva C se llama cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta generatriz del cilindro.

Si la generatriz es perpendicular al plano que contiene la directriz, se dice que es un cilindro recto.

Cilindro Circular Recto x2 + y2 = 4

SUPERFICIES CILNDRICAS

CILINDROS RECTOS

La ecuacin de un cilindro cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

16416

22

zx

2

1

yz xy sen2

Dada la siguiente ecuacin, determine cortes, trazas y grfica.

44

2

x

zEcuacin:

Solucin: La curva directriz est en el plano XZ Las rectas generatrices son // Y Anlisis de la directriz: Cortes con Z (x=0) Cortes con X (z=0) Vrtice:

44

02

x

4x

4z

a

bxv

2

0

2

0

vx

44

02vz 4vz

X

Z

Y

EJEMPLO DE SUPERFICIE CILNDRICAS

SUPERFICIES CUDRICAS

Definicin. Una superficie cudrica es aquella cuya ecuacin es de la forma:

0JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx 222

Tipos de superficies:

1. Elipsoide

2. Hiperboloide de una hoja

3. Hiperboloide de dos hojas

4. Cono elptico

5. Paraboloide elptico

6. Paraboloide hiperblico

ELIPSOIDE

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

12

2

2

2

b

y

a

x

12

2

2

2

c

z

a

x

12

2

2

2

c

z

b

y

xz: Elipse

yz: Elipse

ECUACIN

TRAZAS

XY: Elipse

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

12

2

2

2

b

y

a

x

12

2

2

2

c

z

a

x

12

2

2

2

c

z

b

y

xz: Hiprbola

yz: Hiprbola ECUACIN

TRAZAS

XY: Elipse

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

12

2

2

2

b

y

a

x

12

2

2

2

c

z

a

x

kc

z

b

y

2

2

2

2

xz: Hiprbola

(|x|>0) Elipse

yz: (x=0) No existe ECUACIN

TRAZAS

XY: Hiprbola

CONO ELPTICO

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

kb

y

a

x

2

2

2

2

c

azx

c

bzy

kc

z

a

x

2

2

2

2

kc

z

b

y

2

2

2

2

(|z|>0) Elipse

xz: (y=0) Rectas

(|y|>0) Hiprbola

yz: (x=0) Rectas

(|x|>0) Hiprbola

ECUACIN

TRAZAS

xy: (z=0) Punto

PARABOLOIDE ELPTICO

02

2

2

2

zb

y

a

x

kb

y

a

x

2

2

2

2

2

2

a

xz

2

2

b

yz

(z>0) Elipse

xz: Parbola

yz: Parbola

ECUACIN

TRAZAS

xy: (z=0) Punto

02

2

2

2

za

x

b

y

ka

x

b

y

2

2

2

2

2

2

a

xz

2

2

b

yz yz: Parbola

xz: Parbola

xa

by

PARABOLOIDE HIPERBLICO

ECUACIN

TRAZAS

xy: (z=0) Recta

(|z|>0) Hiprbola

1. Interseccin con los ejes coordenados. eje X:y=z=0; eje Y: x=z=0; eje Z: x=y=0 2. Trazas sobre los planos coordenados. plano XY: z=0; plano XZ: y=0; plano YZ: x=0 3. Simetras con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y origen. plano XY: F(x,y,-z)=F(x,y,z) plano XZ: F(x,-y,z)=F(x,y,z) plano YZ: F(-x,y,z)=F(x,y,z) origen: F(-x,-y,-z)=F(x,y,z) 4. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados. plano XY: z=k; plano XZ: y=k; plano YZ: x=k

0),,( zyxFDISCUSIN DE LA GRFICA:

Se sigue los siguientes cinco pasos:

1. En torno al eje x: y2 + z2 = [r(x)]2

2. En torno al eje y: x2 + z2 = [r(y)]2

3. En torno al eje z: x2 + y2 = [r(z)]2

SUPERFICIES DE REVOLUCIN

Si la grfica de una funcin con radio r gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuacin de la superficie resultante tiene una de las siguientes formas:

Al girar la grfica de la funcin f(x) = x2+1 en torno al eje x

se genera la grfica de la funcin

y2 + z2 = (x2 + 1)2.

radio

SUPERFICIE DE REVOLUCIN

a) Graficar la superficie y2 + z2 = (x2 - 1)2.

EJERCICIOS PROPUESTOS

b) Graficar la superficie y2 - z2 = x2.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

http://www.aliatuniversidades.com.mx/bibliotecasdigitales/pdf/construccion/Geometria_analitica.pdf