Programació matemàtiques aula oberta curs 2008-2009

Matemàtiques - Programació d’aula – 3r i 4t ESO Aula Oberta - IES Joan Puig i Ferreter - Curs 2008/2009

0

Matemàtiques ESO Aula Oberta

Programació d’aula

IES Joan Puig i Ferreter Curs 2008/2009


1

Índex

Introducció ............................................................................................................. 2

Competències bàsiques ........................................................................................ 3

Unitats didàctiques ................................................................................................ 5

Notació científica ................................................................................................... 6

Estadística ............................................................................................................ 8

Escales .................................................................................................................. 11

Triangles ............................................................................................................... 14

Equacions de segon grau ..................................................................................... 17

Annex 1 ................................................................................................................. 19

Annex 2a .............................................................................................................. 25

Annex 2b .............................................................................................................. 33

Annex 3a .............................................................................................................. 38

Annex 3b .............................................................................................................. 47

Annex 4a .............................................................................................................. 50

Annex 4b .............................................................................................................. 61

Annex 5a .............................................................................................................. 64

Annex 5b .............................................................................................................. 76


2

Introducció

Aquesta programació està pensada per a alumnes d’Aula Oberta de 3r i 4t d’ESO, tots ells amb un elevat grau d’objecció escolar: rendiment acadèmic molt baix durant tota la secundària, sense hàbit d’estudi i amb problemes per adaptar-se a les normes bàsiques de convivència del centre (en alguns casos, fins i tot, amb greus problemes de conducta). A això s’afegeix el fet de què es tracta d’alumnes desmotivats i amb un fort dèficit d’autoestima i confiança en el seu potencial, la qual cosa es tradueix, entre d’altres, en una baixa capacitat de resistència a l’esforç en matèria acadèmica.

Les diferents unitats didàctiques no segueixen cap llibre de text en particular, basant-se en una sèrie de fitxes amb activitats i exercicis elaborats específicament per a aquesta programació (veure annexos), així com en diverses activitats pràctiques.

Totes les activitats d’ensenyament-aprenentatge programades es desenvoluparan dintre de l’horari escolar, sense que els alumnes hagin de realitzar cap tipus de tasca fora d’aquest.

La programació consta de 5 unitats didàctiques organitzades en 50 sessions d’una hora de durada cadascuna, aproximadament:

Notació científica (7 sessions).

Estadística (11 sessions).

Escales (10 sessions).

Triangles (11 sessions).

Equacions de segon grau (11 sessions).

La nota final de l’assignatura s’obtindrà fent la mitjana ponderada (segons el nombre de sessions dedicades) de les notes de cadascuna de les unitats didàctiques de la programació.


3

Competències bàsiques

Amb les activitats d’ensenyament-aprenentatge d’aquestes unitats es pretén contribuir a l’assoliment d’una sèrie de competències bàsiques, les quals es llisten a continuació.

COMPETÈNCIA MATEMÀTICA

Interpretar i transmetre dades expressades en notació científica.

Interpretar i construir gràfics estadístics.

Calcular i interpretar la mitjana aritmètica d’un conjunt de dades estadístiques.

Resoldre problemes fent servir escales numèriques i gràfiques.

Calcular i mesurar el valor d’angles fent servir el transportador i aplicant relacions de complementarietat i de congruència.

Resoldre problemes senzills aplicant els teoremes de Pitàgores i Tales.

Resoldre equacions de segon grau.

COMPETÈNCIA EN COMUNICACIÓ LINGÜÍSTICA

Expressar idees i raonaments oralment i per escrit.

Comprendre informació transmesa oralment i per escrit.

COMPETÈNCIA EN EL CONEIXEMENT I LA INTERACCIÓ AMB EL MÓN FÍSIC

Predir comportaments a partir de gràfics.

Fer servir el regle i la cinta mètrica per mesurar magnituds reals.

Comprendre informació de tipus espacial a partir de mapes i plànols a escala.

TRACTAMENT DE LA INFORMACIÓ I COMPETÈNCIA DIGITAL

Utilitzar una calculadora científica per al càlcul numèric.

Utilitzar els llenguatges gràfic, algebraic i estadístic per facilitar la interpretació de la realitat.

Elaborar gràfics amb un full de càlcul.

Fer representacions esquemàtiques a escala mitjançant alguna eina informàtica de dibuix.

COMPETÈNCIA SOCIAL I CIUTADANA

Quantificar i reflexionar sobre fenòmens de tipus social mitjançant gràfics i càlculs matemàtics.

Analitzar els errors comesos per millorar l’aplicació dels procediments utilitzats i ser conscient de les seves limitacions.

COMPETÈNCIA CULTURAL I ARTÍSTICA

Valorar la qualitat estètica i la creativitat en la presentació de treballs.

COMPETÈNCIA PER APRENDRE A APRENDRE

Perseverar en la recerca de la solució d’un problema.

Reflexionar sobre l’origen dels propis errors en la resolució de problemes.


4

AUTONOMIA I INICIATIVA PERSONAL

Organitzar les feines proposades per tal de respectar els terminis de presentació fixats.

Conèixer les pròpies capacitats i limitacions.

Relacionar-se amb l’entorn acadèmic de forma serena i confiada.

Valorar l’esforç per desenvolupar les pròpies capacitats com a motor per a la millora i l’assoliment dels objectius personals.

Reconèixer el valor de la perseverança i l’excel·lència en la millora de la qualitat de vida individual i col·lectiva.

Assolir nivells d’autoestima que permetin afrontar els reptes quotidians amb determinació i confiança.


6

1 Notació científica

OBJECTIUS DIDÀCTICS

Reconèixer la utilitat de fer servir notació científica en determinats casos.

Expressar en notació científica xifres expressades en notació estàndard.

Expressar en notació estàndard xifres expressades en notació científica.

Multiplicar i dividir valors expressats en notació científica sense fer servir la calculadora.

Multiplicar i dividir valors expressats en notació científica fent ús de la calculadora.

CONTINGUTS

Notació científica. Concepte. Equivalència amb la notació estàndard. Termes i nomenclatura. Avantatges i utilitat.

Multiplicació i divisió de xifres expressades en notació científica sense fer servir la calculadora.

Ús de la calculadora per a la multiplicació i divisió de xifres expressades en notació científica.

CRITERIS D’AVALUACIÓ

Comprovar que l’alumne reconeix la utilitat de fer servir notació científica en determinats casos.

Constatar que l’alumne sap expressar en notació científica xifres expressades en notació estàndard.

Verificar que l’alumne pot expressar en notació estàndard xifres expressades en notació científica.

Observar que l’alumne és capaç de multiplicar i dividir valors expressats en notació científica sense fer servir la calculadora.

Comprovar que l’alumne sap fer ús la calculadora per a la multiplicació i divisió de xifres expressades en notació científica.

ACTIVITATS D’ENSENYAMENT-APRENENTATGE

Nuclis d’activitat.

Les activitats d’ensenyament-aprenentatge d’aquesta unitat s’agrupen entorn a tres nuclis d’activitat:

Introducció dels continguts teòrics de la unitat (sessions 1 i 3).

Realització de fitxes (sessions 2, 3, 4 i 5).

Repàs (sessions 2, 4 i 6).

Seqüència i descripció.

Les activitats d’ensenyament-aprenentatge de la unitat s’organitzen en 6 sessions, donant prioritat a la realització de fitxes pràctiques (Annex 1) per davant de la introducció de continguts teòrics.

Sessió 1.

Avaluació inicial (5-10 minuts). Es plantejaran una sèrie de preguntes als alumnes per poder tenir una idea del seu grau de coneixement de la matèria (què és una potència, com expressarien numèricament la grandària d’un virus, com expressarien numèricament el volum d’aigua que hi ha a la Terra, etc.).

Introducció dels continguts. Es presentarà als alumnes el concepte de notació científica i la seva equivalència amb la notació estàndard, així com quins són els seus termes característics (coeficient, base i exponent). També s’explicarà quins avantatges i utilitats té l’ús de la notació científica en comparació amb l’estàndard. Finalment, com a exemple i amb la participació dels alumnes, es resoldran a la pissarra alguns exercicis de canvi de notació estàndard a científica i viceversa.


7

Sessió 2.

Repàs. Breu repàs dels continguts introduïts a la sessió anterior (10-15 minuts).

Realització dels exercicis 1, 2 i 3 de les fitxes. El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor. No es podrà fer servir la calculadora. Al final de la sessió, el professor recollirà totes les fitxes per corregir-les.

Sessió 3.

Introducció dels continguts (15-20 minuts). Mitjançant la resolució d’alguns exemples a la pissarra, es mostrarà com resoldre multiplicacions i divisions de xifres expressades en notació científica sense fer servir la calculadora. Igualment, s’assessorarà als alumnes en l’ús de la calculadora per a la multiplicació i divisió de xifres expressades en notació científica.

Realització dels exercicis 4, 5, 6 i 7 de les fitxes. El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor. Només es podrà fer servir la calculadora per a la resolució de l’exercici 7. Al final de la sessió, el professor recollirà totes les fitxes per corregir-les.

Sessió 4.



Sessió 5.


Sessió 6.

Repàs. Resolució d’exercicis a la pissarra, amb la participació de tots els alumnes i com a preparació per a l’examen.

MATERIAL I RECURSOS

Totes les activitats de la unitat podran desenvolupar-se en qualsevol aula del centre mínimament condicionada.

Pel que fa als alumnes, al començament de la unitat, se’ls lliuraran les fitxes amb les activitats que han de realitzar. Aquests, a més, hauran de disposar d’una calculadora científica.

AVALUACIÓ

Al final de cada sessió, el professor valorarà l’actitud i el grau de treball de cada alumne, assignant-li una nota del 0 al 10. El pes d’aquesta qualificació a la nota global de la unitat serà del 20%.

La nota mitjana de les activitats de les fitxes tindrà un pes del 30% a la nota global de la unitat.

Al final de la unitat, els alumnes hauran de realitzar un examen (1 hora de duració) amb exercicis molt semblants als plantejats a les fitxes. La nota d’aquest examen tindrà un pes del 50% a la nota global de la unitat.


8

2 Estadística


Conèixer els conceptes de població i mostra.

Distingir els conceptes de variable qualitativa i variable quantitativa.

Construir una taula de freqüències absolutes i relatives a partir d’un conjunt de dades estadístiques.

Elaborar gràfics de sectors mitjançant un full de càlcul a partir de taules de freqüències.

Calcular la mitjana aritmètica d’un conjunt de dades estadístiques.

CONTINGUTS

Conceptes de població i mostra.

Diferència entre variable qualitativa i variable quantitativa.

Taules de freqüències. Elaboració directa a partir de les dades. Elaboració agrupant dades en classes.

Gràfics de sectors. Construcció mitjançant un full de càlcul i interpretació.

Mitjana aritmètica. Càlcul i interpretació.


Comprovar que l’alumne comprèn els conceptes de població i mostra.

Constatar que l’alumne distingeix els conceptes de variable qualitativa i variable quantitativa.

Verificar que l’alumne sap construir una taula de freqüències absolutes i relatives a partir d’un conjunt de dades estadístiques.

Observar que l’alumne és capaç d’elaborar gràfics de sectors a partir de taules de freqüències.

Comprovar que l’alumne pot calcular la mitjana aritmètica d’un conjunt de dades estadístiques.



Les activitats d’ensenyament-aprenentatge d’aquesta unitat s’agrupen entorn a quatre nuclis d’activitat:

Introducció dels continguts teòrics de la unitat (sessions 1 i 3).

Realització de fitxes (sessions 2, 3, 4 i 5).

Realització d’una enquesta (sessions 6, 7, 8 i 9).



Les activitats d’ensenyament-aprenentatge de la unitat s’organitzen en 10 sessions, donant prioritat a la realització d’activitats pràctiques per davant de la introducció de continguts teòrics.

Sessió 1.

Avaluació inicial (5-10 minuts). Es plantejaran una sèrie de preguntes als alumnes per poder tenir una idea del seu grau de coneixement de la matèria (quina diferència hi ha entre població i mostra, així com entre variable qualitativa i quantitativa, com es solen representar els resultats electorals, què significa que el nombre de fills per família d’un país és 1,3, etc.).

Introducció dels continguts. Breument, i fent servir exemples de la vida quotidiana, es presentarà als alumnes quina diferència hi ha entre població i mostra, així com entre variable qualitativa i variable quantitativa. Igualment, es mostrarà com construir una taula de freqüències absolutes i relatives partint d’un conjunt de dades estadístiques, ja sigui directament o agrupant les dades en classes. Finalment, amb la participació dels alumnes, es resoldran a la pissarra alguns exercicis de construcció de taules de freqüències.


9

Sessió 2.


Realització dels exercicis 1, 2 i 3 de les fitxes (Annex 2a). El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor. També podran fer servir la calculadora. Al final de la sessió, el professor recollirà totes les fitxes per corregir-les.

Sessió 3.

Introducció dels continguts (15-20 minuts). Partint d’un exemple, es mostrarà als alumnes com calcular la mitjana aritmètica d’un conjunt de dades estadístiques.

Realització dels exercicis 4, 5, 7 i 8 de les fitxes. El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor. També podran fer servir la calculadora. Al final de la sessió, el professor recollirà totes les fitxes per corregir-les.

Sessió 4.


Realització dels exercicis 6, 9, 10, 11 i 12 de les fitxes. El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor. També podran fer servir la calculadora. Al final de la sessió, el professor recollirà totes les fitxes per corregir-les.

Sessió 5.


Sessió 6.

Realització d’una enquesta. Durant els dies previs, els alumnes hauran d’haver realitzat una enquesta entre l’alumnat del centre, tot formulant-los una sèrie de preguntes, recollides al dossier de la pràctica (Annex 2b). Cada alumne haurà d’introduir els resultats de l’enquesta en un full de càlcul i, a partir d’aquests, anar solucionant les diferents activitats que es proposen al mateix dossier. El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor.

Sessió 7.

Realització d’una enquesta. Els alumnes continuaran amb el treball relacionat amb l’enquesta.

Sessió 8.

Realització d’una enquesta. Els alumnes continuaran amb el treball relacionat amb l’enquesta.

Sessió 9.

Realització d’una enquesta. Els alumnes hauran de finalitzar el treball relacionat amb l’enquesta. Després d’aquesta sessió, el professor accedirà als fitxers de cadascun dels alumnes per tal d’avaluar la seva feina.

Sessió 10.


MATERIAL I RECURSOS

A les sessions 6, 7, 8 i 9, serà necessari disposar d’un ordinador per a cada alumne amb un full de càlcul instal·lat. La resta de sessions de la unitat podran desenvolupar-se en qualsevol aula del centre mínimament condicionada.

Pel que fa als alumnes, al començament de la unitat, se’ls lliuraran les fitxes amb les activitats que han de realitzar, així com el dossier de la pràctica. En relació amb l’enquesta, cada alumne disposarà d’un full per a recollir les respostes dels alumnes, així com un dossier amb les activitats que han de solucionar. Cada alumne, a més, haurà de disposar d’una calculadora científica.


10

AVALUACIÓ



La nota mitjana de les activitats relacionades amb l’enquesta tindrà un pes del 10% a la nota global de la unitat.

Al final de la unitat, els alumnes hauran de realitzar un examen (1 hora de duració), el qual constarà de dues parts. A la primera part (amb un pes parcial del 70% a la nota total de l’examen), els alumnes hauran de resoldre al paper i amb l’ajut exclusiu de la calculadora una sèrie d’exercicis molt semblants als plantejats a les fitxes. A la segona part (amb un pes parcial del 30% a la nota total de l’examen), cada alumne haurà de fer servir el full de càlcul de l’ordinador per a solucionar una activitat similar a les del dossier de l’enquesta. La nota total d’aquest examen tindrà un pes del 50% a la nota global de la unitat.


11

3 Escales


Calcular distàncies reals a partir de representacions a escala.

Fer representacions gràfiques a escala de la realitat.

Calcular l’escala d’un mapa o d’un plànol.

Resoldre problemes senzills amb escales relacionats amb situacions de la vida quotidiana.

CONTINGUTS

Escales. Concepte. Escala numèrica. Escales gràfiques.

Càlcul de distàncies reals a partir de representacions a escala.

Representació a escala de distàncies reals.

Càlcul de l’escala d’un mapa o d’un plànol.


Comprovar que l’alumne sap calcular distàncies reals a partir de representacions a escala.

Constatar que l’alumne és capaç de fer representacions gràfiques a escala de la realitat.

Verificar que l’alumne pot calcular l’escala d’un mapa o d’un plànol.

Observar que l’alumne és capaç de resoldre problemes senzills amb escales relacionats amb situacions de la vida quotidiana




Introducció dels continguts teòrics de la unitat (sessió 1).

Realització de fitxes (sessions 2, 3, 4, 5, 6 i 7).

Representació a escala d’un espai de l’institut (sessions 7 i 8).

Repàs (sessions 2 i 9).



Sessió 1.

Avaluació inicial (5-10 minuts). Es plantejaran una sèrie de preguntes als alumnes per poder tenir una idea del seu grau de coneixement de la matèria (què és una representació a escala, per a què serveix, quins exemples coneixen en què es faci servir una representació a escala, com es pot conèixer el valor d’una distància real a partir d’un mapa, etc.).

Introducció dels continguts. Breument, i fent servir exemples de la vida quotidiana, s’introduirà el concepte d’escala i es presentaran els diferents tipus d’escales que es fan servir. També, a partir d’exemples senzills, es mostrarà quins són els passos a seguir per calcular distàncies reals a partir de representacions a escala, per trobar distàncies a escala a partir de valors reals i per obtenir l’escala d’un mapa o d’un plànol. Els alumnes hauran de prendre apunts d’aquests passos per poder consultar-los durant tota la unitat. Finalment, amb la participació dels alumnes, es resoldran a la pissarra alguns exercicis per tal de contribuir a l’assimilació els continguts (Annex 3b).


12

Sessió 2.


Realització dels exercicis 1, 2 i 3 de les fitxes (Annex 3a). El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor. També podran fer servir la calculadora. Al final de la sessió, el professor recollirà totes les fitxes per corregir-les.

Sessió 3.


Sessió 4.


Sessió 5.


Sessió 6.


Sessió 7.

Representació a escala d’un espai de l’institut (25-30 minuts). Els alumnes hauran de fer una representació esquemàtica a escala d’algun espai del centre, fent servir alguna eina informàtica de dibuix senzilla. Durant la primera part d’aquesta sessió, aprofitaran per prendre les mesures que creguin oportunes de l’espai en qüestió.

Realització dels exercicis 20 i 21 de les fitxes. El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor. També podran fer servir la calculadora. Al final de la sessió, el professor recollirà totes les fitxes per corregir-les.

Sessió 8.

Representació a escala d’un espai de l’institut. Partint de les mesures que van prendre a la sessió anterior, els alumnes faran ús d’alguna eina informàtica de dibuix senzilla per a representar esquemàticament a escala l’espai del centre seleccionat. El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor. Al final de la sessió, els alumnes imprimiran els seus treballs i el professor els recollirà per corregir-los.

Sessió 9.


MATERIAL I RECURSOS

A la sessió 8, serà necessari disposar d’un ordinador per a cada alumne amb un programa de dibuix senzill instal·lat, a més d’accés a una impressora. La resta de sessions de la unitat podran desenvolupar-se en qualsevol aula del centre mínimament condicionada.

Pel que fa als alumnes, al començament de la unitat, se’ls lliuraran les fitxes amb les activitats que han de realitzar. Cada alumne, a més, haurà de disposar d’una calculadora científica.


13

AVALUACIÓ



La nota del treball de representació a escala d’un espai de l’institut tindrà un pes del 5% a la nota global de la unitat.



14

4 Triangles


Reconèixer un triangle rectangle i identificar-ne els catets i la hipotenusa.

Calcular el valor d’angles sense fer servir el transportador, aplicant relacions de complementarietat i de congruència.

Calcular el valor d’un angle d’un triangle, coneguts els altres dos.

Mesurar i dibuixar angles fent servir el transportador.

Dibuixar triangles conegudes tres dades, fent servir el regle, el transportador i el compàs.

Aplicar els teoremes de Pitàgores i Tales per a la resolució de problemes senzills relacionats amb situacions de la vida quotidiana.

CONTINGUTS

Triangles rectangles. Concepte. Catets i hipotenusa d’un triangle rectangle.

Angles. Concepte d’angles complementaris i d’angles congruents. Suma dels angles d’un triangle. Ús del transportador.

Tècniques per dibuixar triangles conegudes tres dades, fent servir el regle, el transportador i el compàs.

Triangles semblants. Concepte. Teorema de Tales. Aplicacions pràctiques.

Teorema de Pitàgores. Aplicacions pràctiques.


Comprovar que l’alumne és capaç de reconèixer un triangle rectangle i d’identificar-ne els catets i la hipotenusa.

Verificar que l’alumne sap calcular el valor d’angles sense fer servir el transportador, aplicant relacions de complementarietat i de congruència.

Constatar que l’alumne sap calcular el valor d’un angle d’un triangle, coneguts els altres dos.

Observar que l’alumne és capaç de mesurar i dibuixar angles fent servir el transportador.

Verificar que l’alumne pot dibuixar triangles conegudes tres dades, fent servir el regle, el transportador i el compàs.

Comprovar que l’alumne aplica correctament els teoremes de Pitàgores i Tales per a la resolució de problemes senzills relacionats amb situacions de la vida quotidiana.




Introducció dels continguts teòrics de la unitat (sessions 1, 4 i 5).

Realització de fitxes (sessions 2, 3, 4, 6, 8 i 9).

Càlcul pràctic de l’altura d’un edifici aplicant el teorema de Tales (sessió 7)



15



Sessió 1.

Avaluació inicial (5-10 minuts). Es plantejaran una sèrie de preguntes als alumnes per poder tenir una idea del seu grau de coneixement de la matèria (què és un triangle, en quines unitats es mesuren els angles, què és un angle recte, com es fa servir un transportador, qui era Pitàgores, etc.).

Introducció dels continguts. Breument, i fent servir exemples, s’introduiran els conceptes de triangle rectangle, catet i hipotenusa. Tot seguit, es farà el mateix amb el concepte d’angles complementaris i d’angles congruents, mostrant-se, també a partir d’exemples senzills, com calcular el valor d’angles sense fer servir el transportador aplicant aquests conceptes. Igualment, es demostrarà gràficament que la suma dels angles d’un triangle és 180º i es mostrarà com aquest fet permet calcular el valor de qualsevol angle d’un triangle, coneguts els altres dos. Finalment, amb l’ajut d’un transportador de grandària adient, es mostrarà a la pissarra com fer-lo servir per mesurar i dibuixar angles.

Sessió 2.


Realització dels exercicis 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7 de les fitxes (Annex 4a). El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor. També podran fer servir la calculadora. Al final de la sessió, el professor recollirà totes les fitxes per corregir-les.

Sessió 3.

Realització dels exercicis 8, 9, 10, 11, 12, 13 i 14 de les fitxes. El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor. També podran fer servir la calculadora. Al final de la sessió, el professor recollirà totes les fitxes per corregir-les.

Sessió 4.

Introducció dels continguts (20-25 minuts). Amb l’ajut d’un regle, un transportador i un compàs de grandària adients, es mostrarà a la pissarra com fer-los servir per dibuixar triangles conegudes tres dades, mitjançant diferents tècniques.

Realització de l’exercici 15 de les fitxes. El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor. També podran fer servir la calculadora. Al final de la sessió, el professor recollirà totes les fitxes per corregir-les.

Sessió 5.

Introducció dels continguts. Breument, i fent servir exemples, s’introduirà el concepte de triangles semblants i es presentarà el teorema de Tales. Igualment es farà amb el teorema de Pitàgores. Seguidament, a partir d’exemples senzills, es mostrarà com aplicar ambdós teoremes per resoldre problemes senzills relacionats amb situacions de la vida quotidiana. Els alumnes hauran de prendre apunts per poder consultar-los durant tota la unitat. Finalment, amb la participació dels alumnes, es resoldran a la pissarra alguns exercicis per tal de contribuir a l’assimilació els continguts (Annex 4b).

Sessió 6.

Repàs. Breu repàs dels continguts introduïts a les sessions 4 i 5 (10-15 minuts).

Realització dels exercicis 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 i 25 de les fitxes. El treball serà individual, encara que els alumnes podran consultar els seus apunts i preguntar el professor. També podran fer servir la calculadora. Al final de la sessió, el professor recollirà totes les fitxes per corregir-les.

Sessió 7.

Càlcul pràctic de l’altura d’un edifici aplicant el teorema de Tales. Els alumnes sortiran al pati del centre i, un cop allà, mesuraran les longituds de les ombres que fan, en un moment donat, l’edifici principal i un bastó de llargada coneguda. Amb aquestes dades, aplicaran el teorema de Tales per tal de calcular l’alçada de l’edifici, comparant el resultat obtingut amb la dada que recullen els plànols de l’institut i reflexionant sobre les causes de les possibles diferències entre ambdós valors. Els alumnes hauran d’elaborar un breu informe de la pràctica que inclogui els següents apartats: objectiu, materials, procediment, resultats i conclusions.


16

Sessió 8.


Sessió 9.


Sessió 10.

Repàs. Resolució d’exercicis a la pissarra, amb la participació de tots els alumnes i com a preparació per l’examen.

MATERIAL I RECURSOS

A la sessió 7, serà necessari disposar d’una cinta mètrica, així com d’una còpia dels plànols de l’institut. La resta de sessions de la unitat podran desenvolupar-se en qualsevol aula del centre mínimament condicionada.

Pel que fa als alumnes, se’ls lliuraran les fitxes amb les activitats que han de realitzar. Aquests, a més, hauran de disposar d’una calculadora científica.

AVALUACIÓ



La nota de la pràctica de la sessió 7 tindrà un pes del 5% a la nota global de la unitat.



17

5 Equacions de segon grau


Resoldre equacions de segon grau senzilles.

CONTINGUTS

Equacions de primer grau. Concepte. Nombre de solucions Procés de resolució mitjançant la fórmula general.


Comprovar que l’alumne és capaç de resoldre equacions de primer grau senzilles.



Les activitats d’ensenyament-aprenentatge d’aquesta unitat s’agrupen entorn a tres nuclis d’activitat:

Introducció dels continguts teòrics de la unitat (sessió 1).

Realització de fitxes (sessions 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9).

Repàs (sessions 2 i 10).


Les activitats d’ensenyament-aprenentatge de la unitat s’organitzen en 10 sessions, donant prioritat a la realització de fitxes pràctiques (Annex 5a) per davant de la introducció de continguts teòrics.

Sessió 1.

Avaluació inicial (5-10 minuts). Es plantejaran una sèrie de preguntes als alumnes per poder tenir una idea del seu grau de coneixement de la matèria (què és una incògnita, amb quina lletra se sol representar, què és una equació de segon grau, etc.).

Introducció dels continguts. Amb l’ajuda d’un document que explica pas a pas el mètode de resolució general d’equacions de segon grau (Annex 5b), es mostrarà com resoldre aquest tipus d’equacions. Seguidament, es resoldran una sèrie d’exemples a la pissarra, promovent la participació dels alumnes.

Sessió 2.

Repàs. Es resoldrà un exemple a la pissarra amb la participació dels alumnes (5-10 minuts).


Sessió 3.


Sessió 4.


Sessió 5.



18

Sessió 6.


Sessió 7.


Sessió 8.


Sessió 9.


Sessió 10.

Repàs. Resolució d’exercicis a la pissarra, amb la participació de tots els alumnes i com a preparació per l’examen.

MATERIAL I RECURSOS

Totes les activitats de la unitat podran desenvolupar-se en qualsevol aula del centre mínimament condicionada.

Pel que fa als alumnes, se’ls lliuraran les fitxes amb les activitats que han de realitzar, així com el document explicatiu del mètode de resolució general d’equacions de segon grau. Aquests, a més, hauran de disposar d’una calculadora científica.

AVALUACIÓ





5

Unitats didàctiques


19

Annex 1


19

Notació científica.

▪ Exercici 1. Expressa en notació científica les següents quantitats.

a) 76500000000000000000 =

b) 53910000 =

c) 0,0000000000001 =

d) 2000000 =

e) 0,000000000000000000000004356 =

f) 0,000000000379 =

g) 345,76 =

h) 0,00000002300001234 =

i) 71000006200000000000000000000000000000000 =

j) 0,00000000000000000000005000000098 =

▪ Exercici 2. Expressa en notació estàndard les següents quantitats.

a) 5,78 · 10-6

=

b) 8,116 · 109 =

c) 3,4432 · 10-8

=

d) 1,92 · 105 =

e) 3,597 · 10-4

=

f) 2,719 · 10-11

=

g) 1,98733723 · 105 =

h) 5,45900000445 · 10-9

=

i) 3,3580007 · 1015

=

j) 9,853000000001 · 10-3

=


19

▪ Exercici 3. Expressa en notació estàndard i científica:

a) L’edat de l’Univers. [ http://ca.wikipedia.org/wiki/Univers ]

b) El nombre d’estrelles que hi ha, aproximadament, a la Via Làctia. [ http://www.xtec.cat/~rmolins1/univers/cat/vialact.htm ]

c) El diàmetre del Sol. [ http://ca.wikipedia.org/wiki/Sol ]

d) El diàmetre de la Terra. [ http://ca.wikipedia.org/wiki/Terra ]

e) El diàmetre de la Lluna. [ http://ca.wikipedia.org/wiki/Lluna ]

f) La distància mitjana entre el Sol i la Terra. [ http://ca.wikipedia.org/wiki/Terra ]

g) La distància mitjana entre la Terra i la Lluna. [ http://ca.wikipedia.org/wiki/Lluna ]


a) 8697000000000000 =

b) 1900000000 =

c) 0,0000000007 =

d) 3000000000 =

e) 0,0000000000000000086914 =

f) 0,000000000000005 =

g) 1486255892540 =

h) 0,00000520369 =

i) 2305800000000000000000000000000000000 =

j) 0,0000000000000981 =

http://ca.wikipedia.org/wiki/Univers

http://www.xtec.cat/~rmolins1/univers/cat/vialact.htm

http://www.oarval.org/section3_4sp.htm

http://www.xtec.cat/~rmolins1/solar/cat/planetes.htm





19


a) 8,3692 · 10-4

=

b) 4,5 · 107 =

c) 1,1111 · 10-11

=

d) 9,45 · 106 =

e) 2,78459 · 10-5

=

f) 4,5809 · 10-2

=

g) 6,58925689 · 108 =

h) 1,115879 · 10-3

=

i) 3,98 · 105 =

j) 1 · 10-7

=

▪ Exercici 6. Calcula, sense fer servir la calculadora, el resultat de les següents operacions.

a) 2 · 107 x 3 · 10

3 =

b) 5 · 10-8

x 1 · 106 =

c) 4 · 10-2

x 2 · 10-4

=

d) 3 · 105 x 3 · 10

-5 =

e) 2 · 108 x 2 · 10

3 =

▪ Exercici 7. Calcula, fent servir la calculadora, el resultat de les següents operacions.

a) 5,68 · 104 x 7,7789 · 10

6 =

b) 2 · 10-7

x 8,5896471 · 105 =

c) 6,58024 · 10-24

x 8 · 10-13

=

d) 3,3 · 109 x 9,102 · 10

-61 =

e) 1,589 · 1054

x 3,56 · 1046

=


19


a) 15269000000000000 =

b) 50000 =

c) 0,0000000004 =

d) 2360000 =

e) 0,00000000000058116 =


a) 5,78 · 10-5

=

b) 8,116 · 108 =

c) 3,4432 · 10-4

=

d) 1,92 · 107 =

e) 3,597 · 10-12

=


a) 8 · 106 x 1 · 10

5 =

b) 9 · 10-8

3 · 107 =

c) 4 · 10-2

x 2 · 106 =

d) 8 · 10-3

4 · 10-9

=

e) 2 · 104 x 2 · 10

7 =

f) 2 · 108 x 4 · 10

-3 =

g) 6 · 10-9

2 · 103 =

h) 7 · 108 1 · 10

4 =


a) 3,897 · 107 x 1,2 · 10

8 =

b) 7,5 · 10-6

x 9,9856247 · 104 =

c) 4 · 10-13

x 7,11 · 10-36

=

d) 5,5 · 107 x 2,09 · 10

-15 =

e) 9,125 · 1025

x 6 · 1019

=


19


a) 15000000000 =

b) 63000 =

c) 0,000000048 =

d) 60000000 =

e) 0,000000000011 =


a) 8,96 · 10-7

=

b) 3,586 · 1010

=

c) 2,569 · 10-6

=

d) 3 · 109 =

e) 2,999963 · 10-14

=


a) 7 · 106 x 1 · 10

5 =

b) 9 · 108 3 · 10

8 =

c) 4 · 102 x 2 · 10

-6 =

d) 8 · 103 4 · 10

9 =

e) 2 · 10-4

x 2 · 10-7

=

f) 2 · 10-8

x 4 · 103 =

g) 6 · 109 2 · 10

-3 =

h) 7 · 10-8

1 · 10-4

=


a) 3,897 · 107 1,2 · 10

8 =

b) 7,5 · 10-6

9,9856247 · 104 =

c) 4 · 10-13

7,11 · 10-36

=

d) 5,5 · 107 2,09 · 10

-15 =

e) 9,125 · 1025

6 · 1019

=


25

Annex 2a


25

Estadística.

▪ Exercici 1. S’ha preguntat a deu alumnes d’un institut de secundària quin és el seu color preferit. Les respostes han estat les següents: blau, verd, verd, blau, blau, groc, blau, vermell, negre i groc. Amb aquestes dades, construeix una taula de freqüències.

▪ Exercici 2. Durant un mes, els sis germans d’una família han acumulat, respectivament, 2, 0, 5, 0, 0 i 2 faltes de conducta. Amb aquestes dades, elabora una taula de freqüències.

▪ Exercici 3. Els pesos dels 20 alumnes d’una classe són els que es mostren a continuació. Construeix-ne una taula de freqüències.

42,5 43 51,6 75,1 66,2 55 61 65,7 55 51,2

49,6 50,5 51,2 66,4 70,1 67,5 54,3 61,1 59 50,9


25

▪ Exercici 4. Els resultats d’una enquesta realitzada a un grup d’estudiants de secundària, als quals se’ls preguntava pel seu esport preferit, han estat els que es llisten a continuació. Amb ells, elabora una taula de freqüències.

Tenis Futbol Futbol Ball Futbol Ball Bàsquet Futbol Futbol Futbol

Bàsquet Bàsquet Natació Ball Bàsquet Ciclisme Bàsquet Futbol Karate Rugbi

Futbol Atletism

e Kickboxi

ng Atletism

e Bàsquet Futbol Ciclisme Futbol Ciclisme Futbol

Tenis Futbol Natació Bàsquet Ciclisme Atletism

e Karate Rem Karate Bàsquet

Ciclisme Futbol Bàsquet Futbol Bàsquet Futbol Handbol Futbol Ball Futbol

▪ Exercici 5. A continuació tens un llistat dels diferents números de calçat dels alumnes de tercer d’ESO d’un institut. Construeix-ne una taula de freqüències.

36 35 37 41 37 42 43 36 37 35 35 38 40 42 42

38 37 38 36 35 37 41 40 37 37 42 37 38 40 39

40 39 39 37 40 36 44 34 42 38 41 40 37 39 41

42 34 44 38 39 38 37 39 41 44 37 38 42 40 37


25

▪ Exercici 6. En un control de velocitat, els mossos d’esquadra han mesurat les velocitats de circulació de 60 vehicles, les quals apareixen reflectides a continuació. A partir d’aquestes dades, elabora una taula de freqüències.

65 80 70 89 88 87 94 79 91 74

82 68 69 80 85 89 90 90 79 64

80 86 79 77 88 71 99 89 87 86

83 67 84 80 81 79 80 81 78 66

71 84 81 88 77 82 79 85 83 73

83 75 81 85 76 72 84 55 85 85

▪ Exercici 7. Amb les dades de l’exercici 2, calcula la mitjana de conductes rebudes pels sis germans.

▪ Exercici 8. Amb les dades de l’exercici 3, calcula la mitjana dels pesos dels 20 alumnes.

▪ Exercici 9. Amb les dades de l’exercici 5, calcula la mitjana dels números de calçat dels alumnes.

▪ Exercici 10. Amb les dades de l’exercici 6, calcula la mitjana de velocitat dels 60 vehicles.


25

▪ Exercici 11. A continuació tens els gols que va marcar en Santillana a la lliga a cadascuna de les 17

temporades que va defensar la samarreta del Real Madrid C.F. Amb aquestes dades, calcula la seva

mitjana de gols per partit.

10 10 3 17 12 12 24 18 23 13 9 9 13 4 4 1 4

▪ Exercici 12. A les darreres eleccions, el candidat a alcalde d’una ciutat va obtenir el següent nombre de

vots a cadascun dels 12 districtes electorals. Calcula la mitjana de vots per districte que va obtenir.

26

5

33

3

48

7

40

1

70

5

50

1

45

9

30

9

43

0

55

4

29

8

42

4

▪ Exercici 13. A continuació tens un llistat de les escuderies que han obtingut el campionat de constructors a la Fórmula 1 en les darreres vint temporades. Amb aquestes dades, elabora una taula de freqüències. Després, respon a les preguntes que se’t plantegen.

Ferrari Ferrari Renault Renault Ferrari Ferrari Ferrari Ferrari Ferrari Ferrari

McLaren Williams Williams Benetton Williams Williams Williams McLaren McLaren McLaren

a) Quin percentatge de campionats han guanyat McLaren i Williams?

b) Quin percentatge de campionats no ha guanyat Ferrari?


25

c) Quin percentatge de campionats no han guanyat ni Ferrari ni McLaren?

▪ Exercici 14. A continuació tens un llistat dels punts que va obtenir el pilot de Fórmula 1 Fernando Alonso a la temporada 2007/09. Construeix-ne una taula de freqüències i respon a les preguntes que se’t plantegen més avall.

5 1 0 0 3 0 0 1 3 0 5 0 5 5 10

10

5 8

a) En quin percentatge de curses va aconseguir puntuar en Fernando Alonso?

b) En quin percentatge de curses va aconseguir més de cinc punts?

c) Quina va ser la seva mitjana de punts aquella temporada?


25

▪ Exercici 15. Un grup d’alumnes va entretenir-se a apuntar les marques dels tots els cotxes que hi havia a l’aparcament del seu institut. Amb les dades que van recollir, elabora una taula de freqüències. Després, respon a les preguntes que se’t plantegen.

Volkswagen Ford Renault Renault Peugeot Seat Volkswagen Nissan

Mercedes Volkswagen Peugeot Seat Renault Citroën Hyundai Renault

Renault Seat Citroën Peugeot Volkswagen Hyundai Renault Nissan

a) Quin percentatge dels cotxes són Volkswagen o Renault?

b) Quin percentatge de les marques no són franceses?

c) Quin percentatge dels cotxes no són Peugeot o Hyundai?

▪ Exercici 16. A continuació tens un llistat que recull el nombre de fills de les dotze famílies d’un edifici. Construeix-ne una taula de freqüències i respon a les preguntes que se’t plantegen més avall.

8 1 0 3 1 1 0 3 2 1 1 2

a) Quin percentatge de famílies tenen fills?


25

b) Quin percentatge de famílies tenen més de dos fills?

c) Quina és la mitjana de fills de les famílies de l’edifici?

Matemàtiques · Aula Oberta · Curs 2008/2009

34

Annex 2b


35

Estadística.

Pràctica. Realització d’una enquesta.

▪ Has de realitzar una enquesta entre 10 alumnes del teu centre, procurant que hi hagi varietat de cursos i sexe. Al final d’aquest dossier trobaràs un full amb les preguntes que has de fer i que t’ajudarà a recollir fàcilment la informació.

▪ Un cop hagis completat aquesta feina, introdueix els resultats obtinguts en un full de càlcul. Fes una còpia dels resultats recollits per la resta de companys de classe i procedeix de la mateixa forma.

▪ Al mateix full de càlcul, resol les activitats que a continuació se’t plantegen.

Activitat 1.

a) Amb els resultats de la pregunta "T'agrada venir a l'institut?" elabora una taula de freqüències. b) Crea'n també un gràfic circular.

Activitat 2.

a) Elabora una taula de freqüències amb la nota (insuficient, suficient, bé, notable o excel·lent) que atorguen els alumnes al centre.

b) Crea'n també un gràfic circular. c) Calcula la nota mitjana que els alumnes atorguen a l'institut.

Activitat 3.

a) Elabora una taula de freqüències amb la nota (insuficient, suficient, bé, notable o excel·lent) que atorguen els alumnes als professors.

b) Crea'n també un gràfic circular. c) Calcula la nota mitjana que els alumnes atorguen als professors.

Activitat 4.

a) Amb els resultats de la pregunta "Què és el que t'agrada més de l'institut?" elabora una taula de freqüències.

b) Crea'n també un gràfic circular.

Activitat 5.

a) Amb els resultats de la pregunta "Què és el que t'agrada menys de l'institut?" elabora una taula de freqüències.

b) Crea'n també un gràfic circular.

Activitat 6.

a) Elabora una taula de freqüències amb la nota (insuficient, suficient, bé, notable o excel·lent) que atorguen només les noies al centre.

b) Crea'n també un gràfic circular. c) Calcula la nota mitjana que les noies atorguen a l'institut.

Activitat 7.

a) Elabora una taula de freqüències amb la nota (insuficient, suficient, bé, notable o excel·lent) que atorguen només els nois al centre.

b) Crea'n també un gràfic circular. c) Calcula la nota mitjana que els nois atorguen a l'institut.

Activitat 8.

a) Elabora una taula de freqüències amb la nota (insuficient, suficient, bé, notable o excel·lent) que atorguen només els alumnes de 1r als professors.

b) Crea'n també un gràfic circular. c) Calcula la nota mitjana que els alumnes de 1r atorguen als professors.


36

Activitat 9.

a) Elabora una taula de freqüències amb la nota (insuficient, suficient, bé, notable o excel·lent) que atorguen només els alumnes de 2n als professors.

b) Crea'n també un gràfic circular. c) Calcula la nota mitjana que els alumnes de 2n atorguen als professors.

Activitat 10.

a) Elabora una taula de freqüències amb la nota (insuficient, suficient, bé, notable o excel·lent) que atorguen només els alumnes de 3r als professors.

b) Crea'n també un gràfic circular. c) Calcula la nota mitjana que els alumnes de 3r atorguen als professors.

Activitat 11.

a) Elabora una taula de freqüències amb la nota (insuficient, suficient, bé, notable o excel·lent) que atorguen només els alumnes de 4t als professors.

b) Crea'n també un gràfic circular. c) Calcula la nota mitjana que els alumnes de 4t atorguen als professors.


33

▪ Curs:

▪ Sexe:

▪ T’agrada venir a l’institut?

▪ Quina nota li posaries, en general, al nostre centre? (De 0 a 10)

▪ Quina nota els posaries només als professors? (De 0 a 10)

▪ Què és el que t’agrada més de l’institut? ....................................................................................................................

▪ I el que t’agrada menys? ....................................................................................................................

▪ Curs:

▪ Sexe:






▪ Curs:

▪ Sexe:






▪ Curs:

▪ Sexe:






▪ Curs:

▪ Sexe:


1r 2n 3r 4t

D H

Sí No

1r 2n 3r 4t

D H

Sí No

1r 2n 3r 4t

D H

Sí No

1r 2n 3r 4t

D H

Sí No

1r 2n 3r 4t

D H

Sí No


33






33

▪ Curs:

▪ Sexe:






▪ Curs:

▪ Sexe:






▪ Curs:

▪ Sexe:






▪ Curs:

▪ Sexe:






▪ Curs:

▪ Sexe:


1r 2n 3r 4t

D H

Sí No

1r 2n 3r 4t

D H

Sí No

1r 2n 3r 4t

D H

Sí No

1r 2n 3r 4t

D H

Sí No

1r 2n 3r 4t

D H

Sí No


33



▪ Què és el que t’agrada més de l’institut? .................................................................................................................... ▪ I el que t’agrada menys? ............................................................................................


38

Annex 3a


38

Escales.

▪ Exercici 1. L’escala del següent mapa és 1:125000. Calcula la distància real que hi ha, en línia recta, entre La Selva del Camp i Almoster.

▪ Exercici 2. La distància en línia recta entre Barcelona i Madrid és de 508 km. A quants cm de distància apareixeran representades aquestes ciutats en un mapa dibuixat a escala 1:20000000?


38

▪ Exercici 3. La localitat gaditana de Tarifa es troba a una distància real en línia recta de 32,5 km de la localitat marroquina de Tànger. Tenint en compte aquesta dada, quina serà l’escala del mapa que es mostra a continuació?

▪ Exercici 4. La distància en línia recta entre Barcelona i Londres és de 1140 km. A quants cm de distància apareixeran representades aquestes ciutats en un mapa dibuixat a escala 1:30000000?


38

▪ Exercici 5. Lisboa, la capital de Portugal, es troba a una distància real en línia recta de 920 km de Tarragona. Tenint en compte aquesta dada, quina serà l’escala del mapa que es mostra a continuació?

▪ Exercici 6. L’escala del següent mapa és 1:250000. Calcula la distància real que hi ha, en línia recta, entre Cambrils i Salou.


38

▪ Exercici 7. Troba l’escala numèrica del següent mapa.

▪ Exercici 8. Tenint en compte tota la informació que puguis extreure de l’exercici anterior, calcula la distància real que hi ha, en línia recta, entre Prades i La Selva del Camp.

▪ Exercici 9. Sabent que la distància real en línia recta entre Prades i Mont-Ral és de 9,1 km, quina de les tres localitats sense nom assenyalades al mapa de l’exercici 7 és Mont-Ral? Justifica amb algun càlcul numèric la teva resposta.


38


▪ Exercici 11. Sabent que la distància real en línia recta entre Madrid i València és de 323 km, quina de les dues ciutats de la Comunitat Valenciana assenyalades sense nom al mapa de l’exercici 10 és València? Justifica amb algun càlcul numèric la teva resposta.

▪ Exercici 12. Tenint en compte les dades que apareixen a la següent taula, quina és la ciutat gallega assenyalada sense nom al mapa de l’exercici 10? Justifica amb algun càlcul numèric la teva resposta.

Distància en línia recta (km) La Corunya Vigo Lugo Orense

Madrid 532 486 451 429


38

▪ Exercici 13. Sabent que l’alçada del garatge d’un determinat habitatge és de 2,9 m, troba

l’escala del seu plànol.

▪ Exercici 14. Volem ficar al garatge de l’habitatge de l’exercici 13 un camió que fa 4,8 m de llargada. Hi cabrà?

▪ Exercici 15. Calcula la distància que hi ha, viatjant en línia recta, entre Barcelona i Madrid, passant per Saragossa. Recorda que l’escala del següent plànol ja la vas calcular a l’exercici 10.

Garatge


38


▪ Exercici 17. Un vaixell que ha sortit de València navega en direcció al port de Barcelona quan, de sobte, el seu capità s’adona de què no han carregat prou combustible i només en tenen prou per recórrer 60 km més. Cap a quin port haurà de dirigir el vaixell? La posició del vaixell apareix marcada amb una “x” al mapa de l’exercici 16.

▪ Exercici 18. Fent servir l’escala trobada a l’exercici 16, calcula la distància en línia recta que hi ha entre el punt de sortida del vaixell (València) i la localitat cap a on es veu forçat a dirigir-se.

×


38


▪ Exercici 20. Dos nens de cinc anys s’han perdut durant una excursió amb la seva classe mentre visitaven la localitat de Vilalba dels Arcs, a la Terra Alta. Després de buscar-los per tot el poble sense resultat, es decideix organitzar un dispositiu de recerca que escombrarà els voltants del poble en 7 km a la rodona. Marca al mapa de l’exercici 19 la zona que cobrirà l’operatiu de recerca.

▪ Exercici 21. Finalment, els dos nens han estat trobats per un veí a l’únic poble (a part de Vilalba dels Arcs) situat dintre de la zona de recerca, al qual han arribat esgotats i desorientats després d’haver caminat durant força estona. Fent servir l’escala trobada a l’exercici 19, calcula la distància en línia recta que hi ha entre Vilalba dels Arcs i el poble on han estat trobats els nens.

0

3,5 7 km


47

Annex 3b


47

Escales.

▪ Exemple 1. L’escala del següent mapa és 1:125000. Calcula la distància real que hi ha, en línia recta, entre La Selva del Camp i Vilallonga del Camp.

▪ Exemple 2. La distància entre Tarragona i Reus és de 14 km. A quants cm de distància apareixeran representades aquestes ciutats en un mapa dibuixat a escala 1:500000?


47

▪ Exemple 3. La localitat gironina d’Olot, situada al Parc Natural de la Zona Volcànica de la Garrotxa, es troba a una distància real en línia recta de 6 km del volcà Santa Margarida. Tenint en compte aquesta dada, quina serà l’escala del mapa que es mostra a continuació?


50

Annex 4a


50

Triangles.

▪ Exercici 1. Assenyala quins dels següents triangles són rectangles i marca’n l’angle recte.

▪ Exercici 2. Assenyala quins són els catets i la hipotenusa de cadascun dels següents triangles.

▪ Exercici 3. Sense fer servir el transportador, indica el valor dels angles assenyalats.


▪ Exercici 5. Mesura amb transportador els següents angles.

45º A A 110º A 30º A 50º

30º

A

60º 60º

A

50º 36º

A

45º

A

A A A A


50

▪ Exercici 6. Mesura amb transportador els angles dels següents triangles.

▪ Exercici 7. Amb el transportador, dibuixa un angle de 45º i un altre de 60º.




20º

A

130º

A

60º

A 70º A

C B


50


▪ Exercici 12. Mesura amb transportador els següents angles

▪ Exercici 13. Mesura amb transportador els angles dels següents triangles.


45º

75º A

95º

25º A 15º

A

60º

A

A A A A


50

▪ Exercici 15. Dibuixa triangles respectant les condicions que se’t marquen.

a) Un costat de 3,5 cm, un altre de 2 cm i un altre de 4 cm.

b) Un costat de 5,2 cm, un angle de 30º i un altre angle de 45º.

c) Un costat de 4,2 cm, un angle de 60º i un altre costat de 4,5 cm oposat a aquest angle.

d) Un costat de 6 cm, un angle de 25º i un altre costat de 2 cm formant aquest angle.


50






▪ Exercici 21. Mesura amb transportador els angles del següent triangle.

50º A A

25º

A

45º 40º

A

A A


50


▪ Exercici 23. Dibuixa un triangle que té un costat de 5 cm, un altre de 3 cm i un altre de 2,5 cm.

▪ Exercici 24. Calcula el valor de la diagonal d’una taula de billar de 1,1 m d’amplada per 2,2 m de llargada.

▪ Exercici 25. Un edifici produeix una ombra de 6 m. A la mateixa hora, un llistó de fusta de 4 m de longitud produeix una ombra d’1,5 m. Calcula l’alçada de l’edifici.

2,2 m

1,1 m


50







A A

150º A 20º A 40º

65º 65º

A

35º

A


50


▪ Exercici 33. Dibuixa un triangle que té un costat de 6 cm, un angle de 10º i un altre angle de 60º.

▪ Exercici 34. Volem conèixer la longitud d’un dels cables de subjecció d’una torre de comunicacions. El cable està ancorat a una distància de 40 m de la base de la torre, la qual té una alçada de 30 m.

▪ Exercici 35. Un edifici de 54 m d’altura produeix una ombra de 15 m. A la mateixa hora, un altre edifici en produeix una de 25 m. Quina és l’altura del segon edifici?

30 m

40 m

25 m 15 m

54 m


50







A A

140º

A

50º A

C B

105º

15º A 20º

A


50


▪ Exercici 43. Dibuixa un triangle que té un costat de 2 cm, un angle de 25º i un altre costat de 3,5 cm oposat a aquest angle.

▪ Exercici 44. Hem recolzat una escala contra un mur. L’alçada del mur és de 2 m i els peus de l’escala es troben a 1 m de la base del mur. Calcula quina és la longitud de l’escala.

▪ Exercici 45. Volem calcular l’altura de la piràmide de Keops, fent servir el teorema de Tales. Així, hem agafat un bastó d’1,5 m d’alçària, l’hem clavat al terra i hem mesurat la longitud de l’ombra que produeix, la qual és d’1,3 m. Tot seguit, hem mesurat també la longitud de l’ombra de la pròpia piràmide, obtenint un valor de 5 m. Sabent que la piràmide té una base de 230 m, quina és, doncs, la seva altura?

2 m

230 m

1,5 m

5 m 1,3 m


61

Annex 4b


61

Triangles (exemples).

▪ Exemple 1. Calcula el valor de la diagonal d’una taula de billar de 2,4 m de llargada per 1,3 m d’amplada.

▪ Exemple 2. Un edifici produeix una ombra de 7 m. A la mateixa hora, un llistó de fusta de 3,3 m de longitud produeix una ombra d’1,1 m. Calcula l’alçada de l’edifici.

2,4 m

1,3 m

3,3 m

1,1 m 7 m


61

▪ Exemple 3. Hem recolzat una escala contra un mur. L’alçada del mur és de 3 m i els peus de l’escala es troben a 1 m de la base del mur. Calcula quina és la longitud de l’escala.

▪ Exemple 4. Un edifici de 34 m d’altura produeix una ombra de 12 m. A la mateixa hora, un altre edifici en produeix una de 30 m. Quina és l’altura del segon edifici?

3 m

30 m 12 m

34 m


64

Annex 5a


64

Equacions de segon grau.

▪ Exercici 1. Resol la següent equació: 4x2+5x+1=0.

▪ Exercici 2. Resol la següent equació: x2–4x–21=0.

▪ Exercici 3. Resol la següent equació: –5x2–4x+9=0.


64

▪ Exercici 4. Resol la següent equació: 5x2–5=0.

▪ Exercici 5. Resol la següent equació: –9x2=0.

▪ Exercici 6. Resol la següent equació: –2x2–x=0.


64

▪ Exercici 7. Resol la següent equació: 8x2+4x–40=0.

▪ Exercici 8. Resol la següent equació: –x2+4x+5=0.

▪ Exercici 9. Resol la següent equació: –3x2–11x–6=0.


64

▪ Exercici 10. Resol la següent equació: 3x2+9x=0.

▪ Exercici 11. Resol la següent equació: –7x2+252=0.

▪ Exercici 12. Resol la següent equació: 2x2–9x+4=0.


64

▪ Exercici 13. Resol la següent equació: –2x2+7x–6=0.

▪ Exercici 14. Resol la següent equació: 9x2=0.

▪ Exercici 15. Resol la següent equació: 16x2-4x=0.


64

▪ Exercici 16. Resol la següent equació: –x2+4x =0.

▪ Exercici 17. Resol la següent equació: 3x2+10x+3=0.

▪ Exercici 18. Resol la següent equació: 3x2–4x–15=0.


64

▪ Exercici 19. Resol la següent equació: –x2–x+2=0.

▪ Exercici 20. Resol la següent equació: 4x2–16=0.

▪ Exercici 21. Resol la següent equació: –7x2=0.


64

▪ Exercici 22. Resol la següent equació: –2x2–12x=0.

▪ Exercici 23. Resol la següent equació: 2x2+4x–30=0.

▪ Exercici 24. Resol la següent equació: –5x2+9x+2=0.


64

▪ Exercici 25. Resol la següent equació: –2x2–6x–4=0.

▪ Exercici 26. Resol la següent equació: x2+x=0.

▪ Exercici 27. Resol la següent equació: –2x2+18=0.


64

▪ Exercici 28. Resol la següent equació: 2x2–15x+7=0.

▪ Exercici 29. Resol la següent equació: –3x2+34x–11=0.

▪ Exercici 30. Resol la següent equació: 6x2=0.


64

▪ Exercici 31. Resol la següent equació: 5x2–4x=0.

▪ Exercici 32. Resol la següent equació: –x2+x =0.


76

Annex 5b


76

Resolució d’equacions de segon grau.

Una equació de segon grau és una equació del següent tipus:

0cxbxa 2

Per resoldre-la (recorda que resoldre una equació vol dir esbrinar el valor de la x), hem d’aplicar la següent fórmula:

a2

ca4bbx

2

Sembla complicada, oi? Doncs ja veuràs com no ho és tant. En primer lloc, dividirem aquesta fórmula en quatre blocs de colors. Després, només hauràs de seguir una sèrie de passos bastant senzills. Te’ls mostrarem de seguida mitjançant un exemple.

a2

ca4b bx

2

Imagina que vols resoldre l’equació 07x4x3 2 . Abans d’iniciar el procés de resolució,

observa-la bé i compara-la amb la forma general. Un cop fet això, pots afrontar el primer dels passos.

Pas 1. Determina els valors de les lletres a, b i c.

7c

4b

3a

Pas 2. Troba el resultat de cadascun dels quatre blocs (blau, verd, vermell i taronja) per separat. Tingues en compte que, quan multipliques nombres amb diferent signe, has de fer servir la regla dels signes.

632a2

84734ca4

1644b

4b

2

Pas 3. Substitueix els resultats obtinguts per a cada bloc a la fórmula.

6

84164 x

Pas 4. Si resulta que tens algun parell de signes junts, també hauràs d’aplicar la regla dels signes per tal convertir-los en un de sol.

841684168416

Pas 5. Torna a escriure la fórmula tal i com ha de quedar després d’aplicar el pas 4.

6

84164x

+ · + = +

+ · =

· + =

· = +

Regla dels signes


76

Pas 6. Calcula el resultat de l’arrel quadrada.

101008416

Pas 7. Torna a escriure la fórmula substituint l’arrel pel valor que acabes de calcular al pas 6.

6

104x

Pas 8. Ara ja només has de realitzar els pocs càlculs que et queden i podràs resoldre l’equació. Potser, però, encara trobes que no ho pots fer perquè no saps què vol dir el signe ±. Significa que els nombres s’han de sumar? Significa que s’han de restar? Doncs significa tant una cosa com l’altra, perquè el signe ± indica que els càlculs s’han de fer dues vegades, una sumant i l’altra restant.

Això vol dir, és clar, que obtindràs dos resultats, i és normal, perquè una de les característiques principals de les equacions de segon grau és que tenen dues solucions.

a2

ca4bbx

2

a2

ca4bbx

2

a2

ca4bbx

2

Sabent tot això, ara sí que pots realitzar els càlculs que et queden i obtenir-ne els resultats. Ves amb compte, perquè pot ser que, quan hagis de fer la divisió, si algun dels signes és negatiu (o tots dos), hauràs d’aplicar la regla dels signes.

16

6

6

104x

6

104x

32,6

14

6

104x

Pas 9. Torna a escriure l’equació que volies resoldre junt amb les dues solucions que has trobat i hauràs finalitzat el procés.

07x4x3 2 Solució 1: 1x Solució 2: 32,x

Finalment, per tal d’ajudar-te a acabar d’assimilar el procediment per a la resolució d’equacions de segon grau que t’acabem de presentar, resoldrem una altra equació, seguint tots els passos, encara que sense detenir-nos-en tant.

Resoldrem l’equació 014x5x2 .

Pas 1. Determinem els valors de les lletres a, b i c.

14c

5b

1a


76

Pas 2. Fent servir la regla dels signes, trobem el resultat de cadascun dels quatre blocs (blau, verd, vermell i taronja) per separat.

212a2

561414ca4

2555b

5b

2

Pas 3. Substituïm els resultats obtinguts per a cada bloc a la fórmula.

2

56255 x

Pas 4. Apliquem la regla dels signes per tal de convertir cada parell de signes que tenim junts, en un de sol.

55

56255625

Pas 5. Tornem a escriure la fórmula tal i com ha de quedar després d’aplicar el pas 4.

2

56255x

Pas 6. Calculem el resultat de l’arrel quadrada.

9815625

Pas 7. Tornem a escriure la fórmula substituint l’arrel pel valor que acabem de calcular al pas 6.

2

95x

Pas 8. Aplicant la regla dels signes, realitzem els càlculs que ens queden per tal de resoldre l’equació.

72

14

2

95x

2

95x

22

4

2

95x

Pas 9. Torna a escriure l’equació que volies resoldre junt amb les dues solucions que has trobat i hauràs finalitzat el procés.

014x5x2 Solució 1: 7x Solució 2: 2x

Programació matemàtiques aula oberta curs 2008-2009

Documents

Transcript of Programació matemàtiques aula oberta curs 2008-2009