Programacion dinamica

PROGRAMACIÓN DINÁMICA

Investigación Operativa II

ESCUELA PROFESIONAL:

. INGENIERÍA INDUSTRIAL

. INGENIERÍA DE COMPUTACIÓN Y SISTEMAS

Adolfo PradoMar. 2013

CASO 2 EL PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA

A

B

C

D

E

F

G

EL PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA

La distancia entre las ciudades nodo i al nodo j, que se denota por cij, es:

B C D

A 7 8 5

E F

B 12

C 8 9

D 7 13

G

E 9

F 6


A

B

C

D

E

F

G

88

5

712

9

7

13

6

9


S3 f*3 X*3

E

F

f*2 (s2 , x3= Min (c2 + f*3)

x2

E F f*2(S) x*2

S2

B

C

D


f*1 (s1 , x1)= Min (c1 + f*2)

x1

B C D f*1(S) x*1s1

A


S3 f*3 X*3

E 9 G

F 6 G

f*2 (s2 , x3= Min (c2 + f*3)

x2

E F f*2(S) x*2

S2

B

C

D

X4= G


S3 f*3 X*3

E 9 G

F 6 G

f*2 (s2 , x3= Min (c2 + f*3)

x2

E F f*2(S) x*2

S2

B12+9=21

- 21 E

C8+9=17

9+6=15

15 F

D7+9=16

13+6=19

16 E


f*1 (s1 , x1)= Min (c1 + f*2)

x1

B C D f*1(S) x*1s1

A7+21=28

8+15=23

5+16=21

21 D


f*1 (s1 , x1)= Min (c1 + f*2)

x1

B C D f*1(S) x*1s1

A7+21=28

8+15=23

5+16=21

21 D

Solución:A -> D -> E -> G

1. El problema puede dividirse en etapas

que requieren una política de decisión

en cada una de ellas.

2. Cada etapa tiene cierto número de

estados asociados con su

inicio.

3. El efecto de la política de decisión en cada etapa

es transformar el estado actual en

un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa.

CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DE LOS PROBLEMAS DE P.D.

5. Dado el estado actual, una

política óptima para las etapas restantes es independiente de la

política adoptada en etapas anteriores (la decisión inmediata óptima depende sólo del estado

actual y no de cómo se llegó ahí).

6. El procedimiento de solución se inicia al encontrar la política

óptima para la última etapa.

7. Se dispone de una relación recursiva que

identifica la política óptima para la etapa n, dada la política óptima para la

etapa n+1.


N = número de etapas

n = etiqueta para la etapa actual (n = 1,2, ......., N)

Sn = estado actual para la etapa n

Xn = variable de decisión para la etapa n

X*n = valor óptimo de xn (dado Sn)

fn (Sn, xn) = contribución a la función objetivo de las etapas n, n+1, ....., N

f*n (Sn) = fn (Sn, x*n) f*n (Sn) = mínxn (fn (Sn, xn))

para el ejemplo f*n (Sn) = mínxn [Cs,xn + f*n+1 (xn)]

NOTACIÓN

8. Cuando se usa la relación recursiva, el procedimiento de solución comienza al final y se mueve hacia atrás etapa por

etapa -encontrando la política óptima para esa etapa- hasta

que encuentra la política óptima desde la etapa inicial.

Para todos los problemas de

Programación dinámica se obtiene una tabla

para cada etapa (n = N, N-1, ....., 1)

xn fn (Sn, xn)

Sn f*n (Sn) x*n


N = número de etapas

n = etiqueta para la etapa actual (n = 1,2, ......., N)

Sn = estado actual para la etapa n

Xn = variable de decisión para la etapa n

X*n = valor óptimo de xn (dado Sn)

fn (Sn, xn) = contribución a la función objetivo de las etapas n, n+1, ....., N

fn (Sn, xn) = fn(Sn) + f*n+1 (Sn+1)]

fn (Sn, xn) = fn(Sn) + f*n+1 (Sn-xn)]

f*n (Sn) = mín o máxxn [fn(Sn) + f*n+1 (Sn-Xn)]

NOTACIÓN

Supongamos que un problema se resuelve tras tomar una secuencia d1, d2,….,dn de decisiones

Sea Eo el estado inicial del problema

Sea D1={v11,…,v1n} el conjunto de valores de decisión posibles para la decisión d1

Sea E1i, el estado del problema tras la elección del valor v1i , 1<=i<=n

Sea S1, una secuencia óptima de decisiones respecto al estado E1i

Principio de Optimalidad de Bellman:Una secuencia óptima de decisiones respecto a Eo es la mejor de las secuencias de decisión {v1,S1}, 1<=i<=n El mismo razonamiento puede aplicarse a cualquier subsecuencia de decisiones dk, …, dl , 1 <= k <= l <= n, partiendo como estado inicial de Ek-1

Una solución dinámica para este problema, simbolizado como (k,l), debe expresarse en términos de valores de decisión existentes para la decisión dk y el subproblema (k+1,l) resultante de aplicar cada valor de decisión.

Etapa i Etapa 1: Nodo A Etapa 2: Nodos B,C,DEtapa 3: Nodos E,F Etapa 4: Nodo G

Sea Yi un nodo en etapa i y fi(Yi) la distancia más corta del nodo Yi al destino G

Sea los Estados Yi (Nodos origen) y las Alternativas Yi+1 (Nodo destino)

f4 (y4) = 0 para y4 = G

fi(yi) = min { d(yi,yi+1) + fi+1(yi+1) } para i= 3,2,1

rutas viables (yi, yi+1)

PD – EN REVERSA (Backward)

CASO 2 : EL PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA

Etapa i Etapa 1: Nodo A Etapa 2: Nodos B,C,DEtapa 3: Nodos E,F Etapa 4: Nodo G

Sea Xi un nodo en etapa i y fi(Xi) la distancia más corta del nodo Xi al origen A

Sea los Estados Xi (Nodos destino) y las Alternativas Xi+1 (Nodos origen)

f0 (x0) = 0 para X0 = A

fi(xi) = min { d(xi-1,xi) + fi-1(xi-1) } para i= 1,2,3

rutas viables (xi-1, xi)

PD – EN AVANCE (forward)


File -> New

Nodo Origen

Nodo Destino

DistanciaPersonalizar Nombre de NodosEdit.Edit Nodo Names

Titulo

Nro. Nodos

WinqsbDP.EXE


Solve and AnalyzeSolve the problem

Nodo Inicial

NodoFinal

Boton Solve

Boton Resolver

Problema

y Solución


Resumen Result.Show Solution Summary

Detallado Result.Show Solution Detail

Resultados


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