Programacion Dinamica

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE

ALVARADO, VER.

MATERIA:

Investigación de Operaciones ii

SEMESTRE- GRUPO:

V-AC

PRODUCTO ACADEMICO:

Investigación

Tema(S):

Programación Dinámica Probabilística y

Determinística.

PRESENTAN:

Wilber Lizandro López Ramón

DOCENTE:

M. en I. A. Christian Román Clara

30/Octubre/2014

Wilber Lizandro López Ramón. Página 2

Contenido

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 3

DESAROLLO ................................................................................................................... 3

Características de los problemas de programación dinámica ........................................... 3

Ejemplo .......................................................................................................................... 5

El problema de la diligencia. .......................................................................................... 5

Formalización de los cálculos de programación dinámica ............................................... 9

PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINÍSTICA (PDD) ....................................... 10

Aplicaciones de programación dinámica determinística ............................................... 10

Modelo del tamaño de la fuerza de trabajo .................................................................... 11

Ejemplo ........................................................................................................................ 11

Modelo de reposición de equipo ................................................................................... 13

Ejemplo ........................................................................................................................ 14

PROGRAMACIÓN DINÁMICA PROBABILÍSTICA (PDP).......................................... 17

Aplicaciones de programación dinámica probabilística ................................................ 17

Un juego aleatorio ........................................................................................................ 17

Ejemplo ........................................................................................................................ 18

CONCLUSIÓN................................................................................................................ 22

BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................ 22


INTRODUCCIÓN

La PD fue desarrollada por Richard Bellman y G B Dantzing. Sus importantes

contribuciones sobre esta técnica cuantitativa de toma de decisiones se publicaron en 1957

en un libro del primer autor denominado “Dynamic Programming” (Princeton University

Press. Princeton, New Jersey) (Domínguez, 2000).

Inicialmente a la PD se le denominó programación lineal estocástica ó problemas de

programación lineal con incertidumbre.

La programación dinámica (PD) determina la solución óptima de un problema de

n variables descomponiéndola en n etapas, con cada etapa incluyendo un subproblema de

una sola variable. La principal contribución de la PD es el principio de optimalidad, el cual

establece que una política óptima consiste de subpolíticas óptimas, un marco de referencia

para descomponer el problema en etapas.

La programación dinámica es una técnica que se puede aplicar para resolver muchos

problemas de optimización. La mayor parte de las veces, la programación dinámica obtiene

soluciones con un avance en reversa, desde el final de un problema hacia el principio con lo

que un problema grande y engorroso se convierte en una serie de problemas más pequeños

y más tratables.

Así, la programación dinámica se puede definir como una técnica matemática útil que

resuelve una serie de decisiones secuenciales, cada una de las cuales afecta las decisiones

futuras. Proporciona un procedimiento sistemático para determinar la combinación de

decisiones que maximiza la efectividad total (Taha, 2004).

En contraste para el problema de programación dinámica, trata de un enfoque de tipo

parcial para la solución de problemas y las ecuaciones específicas que se usan se deben

desarrollar para que represente cada situación individual.

DESAROLLO

Características de los problemas de programación dinámica

Las características de la programación dinámica se emplean para formular e identificar la

estructura de los problemas de este tipo.

A continuación se presentarán estas características básicas que distinguen a los problemas

de programación dinámica.

1. El problema se puede dividir en etapas que requieren una política de decisión en

cada una de ellas. En muchos problemas de programación dinámica, la etapa es la

cantidad de tiempo que pasa desde el inicio del problema, en ciertos casos no se

necesitan decisiones en cada etapa.


2. Cada etapa tiene un cierto número de estados asociados a ella. Por estado se

entiende la información que se necesita en cualquier etapa para tomar una decisión

óptima.

3. El efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar el estado actual en

un estado asociado con la siguiente etapa (tal vez de acuerdo a una distribución de

probabilidad).

4. El procedimiento de solución está diseñado para encontrar una política óptima para

el problema completo, es decir, una receta para las decisiones de la política óptima

en cada etapa para cada uno de los estados posibles.

5. Dado el estado actual, una política óptima para las etapas restantes es independiente

de la política adoptada en etapas anteriores. (este es el principio de óptimalidad para

la programación dinámica). En general en los problemas de PD, el conocimiento del

estado actual del sistema expresa toda la información sobre su comportamiento

anterior, y esta información es necesario para determinar la política óptima de ahí en

adelante.

6. El procedimiento de solución se inicia al encontrar la política óptima para la última

etapa. La política óptima para la última etapa prescribe la política óptima de

decisión para cada estado posible en esa etapa.

7. Se dispone de una relación recursiva que indica la política óptima para la etapa dada

la política óptima para la etapa (n+1)

A pesar de esta característica, los problemas que pueden ser atacados con la PD tienen otras

dos propiedades adicionales:

Sólo un número reducido de variables se debe conocer en cualquier etapa con el fin

de describir al problema. En efecto, los problemas de la PD se caracterizan por la

dependencia de los resultados derivados de decisiones sobre un número reducido de

variables.

El resultado de una decisión en cualquier etapa altera los valores numéricos de un

número reducido de variables relevantes al problema. La decisión actual ni

incrementa ni decrementa el número de factores sobre los cuales depende el

resultado. Así, para la siguiente decisión en la secuencia, el mismo número de

variables se considera (Hillier, 1991).

En un problema de PD una serie de decisiones se deben tomar en una secuencia dada.

Cuando esto se cumple, una política óptima se debe perseguir. No importa cuáles fueron

los estados y decisiones iniciales, las decisiones restantes constituirán una política óptima

con respecto al estado resultante de la primera decisión.


Ejemplo

El problema de la diligencia.

Un problema construido especialmente por el Profesor H M Wagner de la Universidad de

Stanford para ilustrar las características e introducir la terminología de la PD es el

problema de la diligencia.

Este problema se refiere a un vendedor mítico que tuvo que viajar hacia el oeste utilizando

como medio de transporte una diligencia, a través de tierras hostiles, en el último cuarto del

siglo XIX. Aún cuando su punto de partida y destino eran fijos, tenía un número

considerable de opciones para elegir qué estados (o territorios que posteriormente se

convirtieron en estados) recorrer en su ruta.

En la figura 5.1 se muestran las rutas posibles, en donde cada estado se representa por un

bloque numerado.

Figura 5.1. Sistema de caminos para el problema de la diligencia.

De la ilustración se puede observar que el viaje se puede realizar en 4 etapas, partiendo del

estado 1 hasta su destino en el estado 10:

Primera etapa: estados 1 y (2, 3, 4)

Segunda etapa: estados (2, 3,4) y (5, 6, 7)

Tercera etapa: estados (5,6,7) y (8, 9)

Cuarta etapa: estado (8,9) y10

Puesto que se ofrecían seguros de vida a los pasajeros de las diligencias, este vendedor no

quiso dejar pasar la oportunidad y se propuso determinar la ruta más segura. Como el costo

de cada póliza se basaba en una evaluación cuidadosa de la seguridad de ese recorrido, la

ruta más segura debía ser aquella con la póliza de seguro de vida más barata. El costo de la

póliza estándar para el viaje en diligencia del estado i al j se muestra en figura 5.1 como

una etiqueta en los caminos (flechas) para ir de un estado a otro.


Así la pregunta central es: ¿cuál ruta (conjunto de caminos) minimiza el costo total de la

póliza?, para contestar esta pregunta es necesario hacer notar que, el procedimiento poco

inteligente de seleccionar el camino más barato ofrecido en cada etapa sucesiva no

necesariamente conduce a una decisión óptima global.

La PD parte de una pequeña porción del problema y encuentra la solución óptima para ese

problema más pequeño. Entonces gradualmente agranda el problema, hallando la solución

óptima en curso a partir de la anterior, hasta que se resuelve por completo el problema

original.

A continuación se explican los detalles involucrados en la implementación de esta filosofía

general.

La idea es calcular el costo mínimo (acumulativo) de la póliza de seguros entre los dos

estados de cada etapa y después utilizar esos costos como datos de entrada para la etapa

inmediata siguiente.

CÁLCULOS PARA LA ETAPA 1

Considerando los estados asociados con la etapa 1, se puede ver que los estados 2, 3 y 4

están conectados cada uno con el estado inicial 1 por una sola flecha como se puede

apreciar en la figura 5.2. Por consiguiente, para la etapa 1 se tiene

Costo mínimo al estado 2 = 2 (desde el estado 1)




Después se avanza a la etapa 2 para determinar los costos mínimos

(Acumulativos) para los estados 5, 6 y 7 como se aprecia en la figura 5.3.

Considerando primero al estado 5, se ve que existen tres alternativas; a saber (2,5), (3,5),

(4,5).

Figura 5.2 etapa 1: estados 2, 3,4

conectados con el estado inicial 1


Esta información, junto con los costos mínimos de los estados 2, 3 y 4 (figura 5.4)

determinan el costo mínimo (acumulativo) para el estado 5 como:

De forma similar para el estado 6 (figura 5.5), se tiene:

Finalmente para el estado 7 (figura 5.6), se tiene:

Figura 5.3

Etapa 2: estados 5, 6, 7 conectados

con los estados 2, 3, 4.

Figura 5.4 etapa 2: Estados 5 conectado con los estados 2, 3, 4.

Figura 5.5

Etapa 2: Estados 6 conectado




Para los cálculos se toman los datos de la figura 5.7


Para los cálculos se toman los datos de la figura 5.8

Resumen de cálculos para las diferentes etapas

Figura 5.6

Etapa 2: Estados 7 conectados


Figura 5.8

Etapa 4: Estados 10 conectados

con los estados 8, 9

Figura 5.7

Etapa 3: estados 8, 9 conectados



El costo mínimo total desde el estado 1 al estado 10 es de 11.

El estado 10 se puede alcanzar desde los estados 8 y 9.

Si se elige el estado 9, este proviene de haber elegido el estado 6, el cual a su vez de haber

elegido el estado 4 y finalmente el estado 1.

Es decir la ruta óptima es: 1, 4, 6, 9,10

Si se elige el estado 8, este proviene de haber elegido el estado 5, el cual a su vez de haber

elegido el estado 4 o el 3.

Si se elige el estado 4, la ruta óptima es: 1, 4, 5, 8,10.

Si se elige el estado 3, la ruta óptima es: 1, 3, 5, 8,10

Por lo tanto existen 3 rutas óptimas a elegir ya que la tres implican el costo mínimo total

que es 11.

Formalización de los cálculos de programación dinámica

Se mostrará ahora la forma en la cual se pueden expresar matemáticamente los cálculos

recursivos de la PD.

Con la condición inicial . La ecuación indica que las distancias más cortas

en la etapa i se debe expresar en función del siguiente nodo . En la terminología

de la programación dinámica, a se le llama estado del sistema en la etapa i.

De hecho se considera que el estado del sistema en la etapa i es la información que enlaza,

conecta o vincula las etapas, de tal modo que se pueda tomar las decisiones para las etapas

restantes sin volver a examinar cómo se llegó a las decisiones de las etapas anteriores. La

definición correcta de estado permite considerar por separado cada estado, y garantiza que

la solución sea factible para todos los estados.

i=1, 2,3…n


PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINÍSTICA (PDD)

En este caso se profundiza sobre el enfoque de programación dinámica en los problemas

determinísticos, en donde el estado en la siguiente etapa está completamente determinado

por el estado y la política de decisión de la etapa actual. El caso probabilístico en el que

existe una distribución de probabilidad para el valor posible del siguiente estado este se

analizara más adelante.

Aplicaciones de programación dinámica determinística

Algunas de las aplicaciones de programación dinámica determinística son:

Modelo de Volumen-Carga “Mochila”

Modelo del tamaño de la fuerza de trabajo

Modelo de reposición de equipos

Modelo de inversión

Modelos de inventarios

A continuación se presentarán algunas de estas aplicaciones, cada una de las cuales

muestra una nueva idea en la puesta en práctica de la PD.

A medida que se presente cada aplicación, es importante prestar atención a los tres

elementos básicos de un modelo de PD:

Definición de las etapas

Definición de las políticas o alternativas

Definición de los estados para cada etapa

De los tres elementos, la definición del estado por lo común es la más sutil.

Las aplicaciones que se presentan a continuación muestran que la definición de estado varía

dependiendo de la situación que se está modelando.

Sin embargo, a medida que se presente cada aplicación, resultará útil considerar las

siguientes preguntas:

¿Qué relaciones unen las etapas?

¿Qué información se necesita para tomar decisiones factibles en la etapa actual, sin

reexaminar las decisiones que se tomaron en las etapas anteriores?

La experiencia indica que la comprensión del concepto de estado se puede mejorar

cuestionando la “validez” de la forma que dicta la intuición.

Se sugiere intentar una definición de estado diferente que pueda parecer “más lógica” y

utilizarla en los cálculos recursivos.

Con el tiempo, se descubrirá que las definiciones que se presentan en las siguientes

aplicaciones proporcionan la forma correcta para resolver el problema.

Mientras tanto, el proceso mental propuesto deberá mejorar la comprensión del concepto de

estado.


Modelo del tamaño de la fuerza de trabajo

En algunos proyectos de construcción, las contrataciones y los despidos se ejercen para

mantener un número de empleados que satisfaga las necesidades del proyecto. Debido a

que las actividades tanto de contratación como de despido incurren en costos adicionales,

¿cómo se debe mantener el número de empleados a todo lo largo de la vida del proyecto?

Supóngase que el proyecto se ejecutara durante el lapso de n semanas, y que la fuerza de

trabajo mínima requiere en la semana i es . Sin embargo, de acuerdo con los parámetros

de costos, podría ser más económico dejar que fluctué el tamaño de la fuerza de trabajo.

Como es la cantidad de trabajadores empleados en la semana i, en esa semana i se puede

incurrir en dos costos: , el costo de mantener el exceso de personal;

, el costo de contratar, trabajadores adicionales.

Los elementos del modelo de programación dinámica se definen como sigue:

Ejemplo

Un contratista constructor estima que la fuerza de trabajo necesaria durante las próximas 5

semanas será de 5, 7, 8, 4 y 6 trabajadores, respectivamente. La mano de obra en exceso

que se conserve le costara $300 por trabajador semanalmente, y la nueva contratación en

cualquiera semana tendrá un costo fijo de $400 más $200 por trabajador y por semana.

Los datos del problema se resumen como sigue:


Modelo de reposición de equipo

Mientras más tiempo este en servicio una máquina, su costo de mantenimiento es mayor y

su productividad menor. Cuando la máquina llegue a cierta antigüedad será más económico

reemplazarla. Es así que entonces el problema se reduce a determinación de la antigüedad

mas económica de una maquina.

Supóngase que se estudia el problema de reposición de la máquina durante un lapso de n

años. Al inicio de cada año, se debe decidir si mantener la maquina en servicio por un año


más o reemplazarla por una nueva. Sean r(t), c(t), los ingresos y el costos de operación

anuales, y s(t) el valor de recuperación de una maquina con t años de antigüedad. El costo

de adquisición de una máquina nueva en cualquier año es I.

Los elementos del modelo de programación dinámica son:

Ejemplo

Una empresa debe determinar la política óptima, durante los próximos 4 años (n=4), de

reemplazo de una máquina, que en la actualidad tiene 3 años. La tabla 5.1 muestra los

datos del problema. La empresa establece que toda máquina que tenga 6 años de edad debe

reemplazarse. El costo de una maquina nueva es $100,000.

La determinación de los valores factibles de la edad de la máquina en cada etapa requiere

de algo de ingenio. En la figura 5.9 se resume la red que representa el problema. Al iniciar

Tabla 5.1.

Años con relación a sus utilidades,

costos y valor de rescate


el año 1 se tiene una máquina de 3 años de antigüedad. Se puede reemplazarla (R) o

conservarla (k) durante otro año. Al inicia el año 2, si hay reemplazo, la maquina nueva

tendrá 1 año de edad; en caso contrario, la máquina actual tendrá 4 años de antigüedad. Los

mismos razonamientos se aplican al iniciar los años 2 o 4. Si se reemplaza una maquina con

1 año de antigüedad al iniciar los años 2 y 3, su reposición tendrá 1 año de antigüedad al

inicio del año siguiente. También, al iniciar el año 4, se debe reemplazar una máquina con 6

años de servicio, y al final del año 4 se desechan las máquinas, con recuperación S.

La red indica que al comenzar el año 2, las edades posibles de las maquinas son de 1 4

años.

Para el comienzo del año 3, las antigüedades posibles son 1, 2 y 5 años, y para el comienzo

del año 4, las antigüedades posibles son 1, 2, 3 y 6 años.

La solución de la red de la figura 5.9 equivale a determinar la ruta más larga, del inicio del

año 1 al final del año 4. Se iniciara la forma tabular para resolver el problema. Todos los

valores son en miles de $. Nótese que si se reemplaza una máquina en el año 4 (es decir, al

final del horizonte de planeación) los ingresos incluirán el valor de recuperación, s(t), de la

máquina reemplazada y el valor de recuperación, s(1) de la máquina de repuesto.

Figura 5.9

Representación de la edad

de la maquina en función

del año de decisión, en el

ejemplo 5.2.1-2


La figura 5.10 resume el orden en el cual se obtiene la solución óptima. Al iniciar el año 1,

la decisión óptima para t=3 es reemplazar la máquina. Así, la máquina nueva tendrá 1 año

al iniciar el año 2, y t=1 al iniciar el año 2 determina conservarla o reemplazarla. Si se

reemplaza, la nueva máquina tendrá 1 año al inicial el año 3; en caso contrario, la maquina

conservada tendrá 2 años. El proceso se continúa de esta forma hasta llegar al año 4.


PROGRAMACIÓN DINÁMICA PROBABILÍSTICA (PDP)

La programación dinámica probabilística (PDP) es una técnica matemáticamente útil para

la toma de decisiones interrelacionadas, se presenta cuando el estado en la siguiente etapa

no está determinado por completo por el estado y la política de decisión de la etapa actual.

En su lugar existe una distribución de probabilidad para determinar cuál será el siguiente

estado. Sin embargo, esta distribución de probabilidad si queda bien determinada por el

estado y la política de decisión en la etapa actual. Por consiguiente la diferencia entre la

programación dinámica probabilística y la programación dinámica determinística (PDD)

está en que los estados y los retornos o retribuciones en cada etapa son probabilísticos. La

programación dinámica probabilística se origina en especial en el tratamiento de modelos

estocásticos de inventarios y en los procesos markovianos de decisión.

En este apartado se presentará algunos ejemplos generales, con objeto de hacer resaltar la

naturaleza estocástica de la programación dinámica.

Aplicaciones de programación dinámica probabilística

Algunas de las aplicaciones de programación dinámica probabilística son:

Un juego aleatorio

Problema de inversión

Maximización del evento de lograr una meta.

A continuación se presentará una de estas aplicaciones.

Un juego aleatorio

Es una variación del juego de la ruleta rusa, se hace girar una rueda con marcas de n

números consecutivos: 1 a n, en su superficie. La probabilidad de que la rueda se detenga

en el número i después de un giro es pi. Un jugador paga $x por el privilegio de hacer girar

Figura 5.10

Las políticas alternativas óptimas empezando en el año 1 son (R, K, K, R) y

(R, R, K, K). El costo total es de 55,300 dólares.


la rueda un máximo de m giros. La recompensa para el jugador es el doble de la cantidad

obtenida en el último giro. Suponiendo que le jugador se repite (hasta con m giros cada vez)

una cantidad razonablemente grande de veces, propone una estrategia optima para el

jugador.

Se puede formular el problema como un modelo de programación dinámica con las

siguientes definiciones:

1. La etapa i corresponde a la i-ésima vuelta de la rueda, i = 1, 2, …, m

2. En cada etapa hay dos alternativas: se gira la rueda una vez más o se termina el

juego

3. El estado j del sistema en la etapa i es el número que se obtuvo la última vez que se

giró la rueda, el cual está entre 1 y n

Sea

fi(j) = Ingreso máximo esperado cuando el juego está en la etapa i (el giro) y que el

resultado del último giro fue j

En este caso se tiene que

Entonces, la ecuación recursiva se puede escribir como sigue:

Los cálculos comienzan con fm+1 y terminan con f1, de modo que hay m+1 etapas. Como

f1(0) representa el rendimiento esperado de las m vueltas, así que el rendimiento esperado

neto, Rn, es:

Ejemplo

Supongamos que la ruleta está marcada con los números 1 a 5 y que las probabilidades de

que se detenga en cada número son p1 = 0.30, p2 = 0.25, p3 = 0.20, p4 = 0.15, p5 = 0.10.

El jugador paga $5 por un máximo de cuatro vueltas. Determine la estrategia óptima para

cada una de las cuatro vueltas y encuentre el rendimiento esperado neto asociado.

11

2 , si terminamax

, si continúani

k ik

jf j

p f k

1 0nR f x


Etapa 4

f4(j) = máx.{2j,∑(pkf5(k))}

= máx.{2j, p1f5 (1)+ p2f5(2)+ p3f5 (3)+ p4f5 (4)+ p5f5 (5)}

= máx.{2j,0.3x2 + 0.25x4 + 0.2x6 + 0.15x8 + 0.1x10}

= máx.{2j,5}

Resultado de

la vuelta 4 Rendimiento esperado Solución óptima

j Terminar Girar f4(j) Decisión

1 2 5 5 Girar

2 4 5 5 Girar

3 6 5 6 Terminar

4 8 5 8 Terminar

5 10 5 10 Terminar

Etapa 5

f5(j) = 2j

Resultado de la

vuelta 4 Solución óptima

j f5(j) Decisión

1 2 Terminar

2 4 Terminar

3 6 Terminar

4 8 Terminar

5 10 Terminar


Etapa 3

f3(j) = máx.{2j, ∑ (pkf4(k))}

= máx.{2j, p1f4 (1)+ p2f4(2)+ p3f4 (3)+ p4f4 (4)+ p5f4

(5)}

= máx.{2j,0.3x5 + 0.25x5 + 0.2x6 + 0.15x8 + 0.1x10}

= máx.{2j,6.15}

Resultado de la

vuelta 3 Rendimiento esperado Solución óptima


1 2 6.15 6.15 Girar

2 4 6.15 6.15 Girar

3 6 6.15 6.15 Girar

4 8 6.15 8 Terminar

5 10 6.15 10 Terminar

Etapa 2

f2(j) = máx.{2j, ∑ (pkf3(k))}

= máx.{2j, p1f3 (1)+ p2f3(2)+ p3f3 (3)+ p4f3 (4)+ p5f3 (5)}

= máx.{2j,0.3x6.15 + 0.25x6.15 + 0.2x6.15 + 0.15x8 + 0.1x10}

= máx.{2j,6.8125}

Resultado de

la vuelta 3 Rendimiento esperado Solución óptima


1 2 6.8125 6.8125 Girar

2 4 6.8125 6.8125 Girar


3 6 6.8125 6.8125 Girar

4 8 6.8125 8 Terminar

5 10 6.8125 10 Terminar

Etapa 1

La única opción disponible al iniciar el juego es girar.

De acuerdo con los cuadros anteriores, la solución óptima es:

Vuelta número Estrategia óptima

1 Comienza el juego. Gire

2

Continúe si la vuelta 1 produce 1,2, o 3; de otra

forma, termine el juego

3

Continúe si la vuelta 2 produce 1, 2 o 3; de otra

forma, termine el juego

4

Continúe si la vuelta 3 produce 1 o 2. De otra forma,

termine el juego

Ingreso neto esperado= $7.31-$5.00= $2.31

f1(0) = máx.{2j, ∑ (pkf2(k))}

= máx.{2j, p1f2 (1)+ p2f2(2)+ p3f2 (3)+ p4f2 (4)+ p5f2 (5)}

= máx.{2j, 0.3x6.8125+ 0.25x6.8125 + 0.2x6.8125 + 0.15x8 + 0.1x10

= máx.{2j,7.31}


CONCLUSIÓN

La programación dinámica (Sea PDD o PDP) es una técnica muy útil para tomar una

sucesión de decisiones interrelacionadas. Requiere la formulación de una relación recursiva

apropiada para cada problema individual. Sin embargo, proporciona grandes ahorros

computacionales en comparación con la enumeración exhaustiva para encontrar la mejor

combinación de decisiones, en especial cuando se trata de problemas grandes.

A sí que, Programación Dinámica consiste en solucionar el presente suponiendo que en

cada etapa futura siempre se toman las decisiones correctas.

BIBLIOGRAFÍA.

Nombre de la búsqueda: “programación dinámica probabilística”

Como lo encontré: “Programación dinámica - SlideShare”

Consultado en: es.slideshare.net

Link: http://es.slideshare.net/elmergabrielchanpech/programacin-dinmica-

15433493

Autor: Elmer Gabriel Chan Pech

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