UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

DOCENTE: Ing. Samir Augusto Arévalo Vidal

CIP 177 295

CURSO: Investigación de Operaciones II

Lima-Perú

2015

PROGRAMACIÓN DINÁMICA

• OBJETIVOS:

• Conocer los fundamentos de la programación dinámica probabilística.

• Formular programaciones dinámicas probabilística para resolver situaciones reales

con propiedades que satisfacen soluciones óptimas.

• Determinar una política óptima que de como resultado el mejor rendimiento óptimo.

• Dar soluciones factibles a los problemas que se suscitan en el ámbito de la

ingeniería relacionados con las proyecciones probabilísticas.

PROCESOS ESTOCÁSTICOS DE DECISIÓN DE N ETAPAS

• Un proceso de decisión de n etapas es dinámico si el rendimiento asociado con al

menos una decisión del proceso aleatorio. Esta aleatoriedad se presenta en una de

dos formas. O los estados son determinados exclusivamente por las decisiones, pero

los rendimientos asociados con uno o más de los estados son inciertos, o los

rendimientos son determinados exclusivamente por los estados, pero los estados

que se presentan a partir de una o más de las decisiones son inciertas.

TABLAS DE POLÍTICAS

• Para los procesos en los cuales la aleatoriedad existe en los estados asociados

con las decisiones, una política puede exhibirse como una tabla de políticas

similar a la siguiente tabla N°01.

𝑑𝑗(𝑎𝑘) 𝑗 = 1,2,… , 𝑛; 𝑘 = 1,2,… 𝑟

Denota la decisión en la etapa j si el proceso se encuentra en un estados 𝑎𝑘.

a1 a2 … a3

1 d1(a1) d1(a2) … d1(an)

2 d2(a1) d2(a2) … d2(an)

… … … … …

n dn(a1) dn(a2) … dn(an)

Tabla N°01

PROBLEMA 01

• Se va a distribuir entre 3 tiendas ocho barricas de naranjas. La demanda de naranjas

en cada tiendas en aleatoria, de acuerdo con las distribuciones probabilísticas

mostradas en la siguiente tabla N°01. El beneficio por barrica vendida en las

tiendas 1, 2, y 3 es de $18, 20 y $21, respectivamente. Determine el número de

barricas ( con la condición de que sea entero) que deberían asignarse a cada tienda

para maximizar el beneficio total esperado.

TIENDA 1 TIENDA 2 TIENDA 3

0 0.1 0 0.1

1 0.2 0.2 0.3

2 0.3 0.6 0.2

3 0.2 0 0.2

4 0.1 0.2 0

5 0.1 0 0.2

PROBABILIDADES DE DEMANDABARRICAS

𝑻𝑨𝑩𝑳𝑨 𝑵° 𝟎𝟏

Este proceso de decisión de tres etapas. Los estados son u=0, 1, 2, …, 8, representando el número de barricas disponibles para envío a una tienda. No hay aleatoriedad en cuanto al estado resultante de cualquier decisión- Si se asignan 2 barricas a una tienda, entonces esta tienda almacenará 2 barricas- pero hay aleatoriedad en cuanto al rendimiento de cada uno de los estados.En consecuencia lo que se maximiza es el beneficio esperado, más que el beneficio total, se define lo siguiente:

𝑓𝑗 𝑥 = 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑟 𝑥 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑗

𝑚𝑗 𝑢

= 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 𝑗, 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑢.𝑑𝑗 𝑢 = 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 𝑗 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑛 𝑚𝑗 𝑢

0 1 2 3 4 5 6 7 8

f1(x) 0,00 16,60 28,80 36,00 39,60 41,40 41,40 41,40 41,40

f2(x) 0,00 20,00 36,00 40,00 44,00 44,00 44,00 44,00 44,00

f3(x) 0,00 18,90 31,50 39,90 44,10 48,30 48,30 48,30 48,30

f x

Con 3 barricas asignadas, la tienda 1 obtiene un beneficio de $0 su vende 0 barricas, $18 si se vende 1, $36 si venden 2, $54 si venden 3. Las probabilidades respectivas de los 3 primeros de estos eventos son, a partir de la TABLA N°01 y son 0,1; 0,2 y 0,3. La probabilidad del cuarto evento es la probabilidad de que la demanda sea igual o mayor a 3 barricas, 0,2 + 0,1+ 0,1= 0,4. Entonces:

f1(3)=0x0,1 + 18x0,2 + 36x0,3 + 54x0,4= 36

f2(5)=20x0 + 20x0,2 + 40x0,6 + 60x0+ 80x0,2+100x0= 44

TABLA N°02

f1(1)= 0 x 0,1 + 18 x 0,9 = 16,20

f1(2)= 0 x 0,1 + 18 x 0,2 + 36 x 0,7 = 28,80

f1(3)= 0 x 0,1 + 18 x 0,2 + 36 x 0,3 + 54 x 0,4 = 36,00

f1(4)= 0 x 0,1 + 18 x 0,2 + 36 x 0,3 + 54 x 0,2 + 72 x 0,2 = 39,60

f1(5)= 0 x 0,1 + 18 x 0,2 + 36 x 0,3 + 54 x 0,2 + 72 x 0,1 + 90 x 0,1 = 41,40

f1(6)= 0 x 0,1 + 18 x 0,2 + 36 x 0,3 + 54 x 0,2 + 72 x 0,1 + 90 x 0,1 = 41,40

f1(7)= 0 x 0,1 + 18 x 0,2 + 36 x 0,3 + 54 x 0,2 + 72 x 0,1 + 90 x 0,1 = 41,40

f1(8)= 0 x 0,1 + 18 x 0,2 + 36 x 0,3 + 54 x 0,2 + 72 x 0,1 + 90 x 0,1 = 41,40

f2(1)= 0 x 0 + 20 x 1 = 20,00

f2(2)= 0 x 0 + 20 x 0,2 + 40 x 0,8 = 36,00

f2(3)= 0 x 0 + 20 x 0,2 + 40 x 0,6 + 60 x 0,2 = 40,00

f2(4)= 0 x 0 + 20 x 0,2 + 40 x 0,6 + 60 x 0 + 80 x 0,2 = 44,00

f2(5)= 0 x 0 + 20 x 0,2 + 40 x 0,6 + 60 x 0 + 80 x 0,2 + 100 x 0 = 44,00

f2(6)= 0 x 0 + 20 x 0,2 + 40 x 0,6 + 60 x 0 + 80 x 0,2 + 100 x 0 = 44,00

f2(7)= 0 x 0 + 20 x 0,2 + 40 x 0,6 + 60 x 0 + 80 x 0,2 + 100 x 0 = 44,00

f2(8)= 0 x 0 + 20 x 0,2 + 40 x 0,6 + 60 x 0 + 80 x 0,2 + 100 x 0 = 44,00

Etapa 1, U=1,2,…8

Etapa 2, U=1,2,…8

f3(1)= 0 x 0,1 + 21 x 0,9 = 18,90

f3(2)= 0 x 0,1 + 21 x 0,3 + 42 x 0,6 = 31,50

f3(3)= 0 x 0,1 + 21 x 0,3 + 42 x 0,2 + 63 x 0,4 = 39,90

f3(4)= 0 x 0,1 + 21 x 0,3 + 42 x 0,2 + 63 x 0,2 + 84 x 0,2 = 44,10

f3(5)= 0 x 0,1 + 21 x 0,3 + 42 x 0,2 + 63 x 0,2 + 84 x 0 + 105 x 0,2 = 48,30

f3(6)= 0 x 0,1 + 21 x 0,3 + 42 x 0,2 + 63 x 0,2 + 84 x 0 + 105 x 0,2 = 48,30

f3(7)= 0 x 0,1 + 21 x 0,3 + 42 x 0,2 + 63 x 0,2 + 84 x 0 + 105 x 0,2 = 48,30

f3(8)= 0 x 0,1 + 21 x 0,3 + 42 x 0,2 + 63 x 0,2 + 84 x 0 + 105 x 0,2 = 48,30

Para completar la siguiente TABLA N° 03, se siguen los siguientes pasos:n= 3 u= 8

m3(8) = max ( f3 ( 0 ) + f3 ( 1 ) + f3 ( 2 ) + f3 ( 3 ) + f3 ( 4 ) + f3 ( 5 ) + f3 ( 6 ) + f3 ( 7 ) + f3 ( 8 ) )

max ( + + + + + + + + )

max ( )

d3(8) = 5

m3(7) = max ( f3 ( 0 ) + f3 ( 1 ) + f3 ( 2 ) + f3 ( 3 ) + f3 ( 4 ) + f3 ( 5 ) + f3 ( 6 ) + f3 ( 7 ) )

max ( + + + + + + + )

max ( )

d3(7) = 5

44,10 48,30 48,30 48,30

48,30

0,00

48,30

0,00 18,90 31,50 39,90

48,3048,3048,3048,3044,1039,9031,5018,90

Etapa 3, U=1,2,…8

m3(6) = max ( f3 ( 0 ) + f3 ( 1 ) + f3 ( 2 ) + f3 ( 3 ) + f3 ( 4 ) + f3 ( 5 ) + f3 ( 6 ) )

max ( + + + + + + )

max ( )

d3(6) = 5

m3(5) = max ( f3 ( 0 ) + f3 ( 1 ) + f3 ( 2 ) + f3 ( 3 ) + f3 ( 4 ) + f3 ( 5 ) )

max ( + + + + + )

max ( )

d3(5) = 5

m3(4) = max ( f3 ( 0 ) + f3 ( 1 ) + f3 ( 2 ) + f3 ( 3 ) + f3 ( 4 ) )

max ( + + + + )

max ( )

d3(4) = 4

m3(3) = max ( f3 ( 0 ) + f3 ( 1 ) + f3 ( 2 ) + f3 ( 3 ) )

max ( + + + )

max ( )

d3(3) = 3

m3(2) = max ( f3 ( 0 ) + f3 ( 1 ) + f3 ( 2 ) )

max ( + + )

max ( )

d3(2) = 2

39,90

0,00 18,90 31,50

31,50

44,10

0,00 18,90 31,50 39,90

48,30

0,00 18,90 31,50 39,90 44,10

48,30

48,30

0,00 18,90 31,50 39,90 44,10 48,30

0,00 18,90 31,50 39,90 44,10 48,30

m3(1) = max ( f3 ( 0 ) + f3 ( 1 ) )

max ( + )

max ( )

d3(1) = 1

m3(0) = max ( f3 ( 0 ) )

max ( )

max ( )

d3(0) = 0

18,90

0,00

0,00

0,00 18,90

n= 2 u= 8

m2(8) = max ( f2 ( 0 ) + m3 ( 8 - 0 ); f2 ( 1 ) + m3 ( 8 - 1 ); f2 ( 2 ) + m3 ( 8 - 2 ); f2 ( 3 ) + m3 ( 8 - 3 ); f2 ( 4 ) + m3 ( 8 - 4 ); f2 ( 5 ) + m3 ( 8 - 5 ); f2 ( 6 ) + m3 ( 8 - 6 ); f2 ( 7 ) + m3 ( 8 - 7 ); f2 ( 8 ) + m3 ( 8 - 8 ) )

max ( + ; + ; + ; + ; + ; + ; + ; + ; + )

max ( )

d2(8) = 3

m2(7) = max ( f2 ( 0 ) + m3 ( 7 - 0 ); f2 ( 1 ) + m3 ( 7 - 1 ); f2 ( 2 ) + m3 ( 7 - 2 ); f2 ( 3 ) + m3 ( 7 - 3 ); f2 ( 4 ) + m3 ( 7 - 4 ); f2 ( 5 ) + m3 ( 7 - 5 ); f2 ( 6 ) + m3 ( 7 - 6 ); f2 ( 7 ) + m3 ( 7 - 7 ) )

max ( + ; + ; + ; + ; + ; + ; + ; + )

max ( )

d2(7) = 2

m2(6) = max ( f2 ( 0 ) + m3 ( 6 - 0 ); f2 ( 1 ) + m3 ( 6 - 1 ); f2 ( 2 ) + m3 ( 6 - 2 ); f2 ( 3 ) + m3 ( 6 - 3 ); f2 ( 4 ) + m3 ( 6 - 4 ); f2 ( 5 ) + m3 ( 6 - 5 ); f2 ( 6 ) + m3 ( 6 - 6 )

max ( + ; + ; + ; + ; + ; + ; + )

max ( )

d2(6) = 2

31,50 18,90 0,00

0,0018,90

48,30 48,30 48,30 44,10 39,90 31,50 18,90 0,00

48,30 31,5039,9044,1048,3048,3048,30

44,00 44,00

80,10

84,30

0,00 20,00 36,00 40,00 44,0048,30 48,30 44,10 39,90

40,00 44,00 44,00 44,00 44,00

40,00 44,00 44,00 44,00 44,00 44,000,00 20,00 36,00

88,30

0,00 20,00 36,00

m2(5) = max ( f2 ( 0 ) + m3 ( 5 - 0 ); f2 ( 1 ) + m3 ( 5 - 1 ); f2 ( 2 ) + m3 ( 5 - 2 ); f2 ( 3 ) + m3 ( 5 - 3 ); f2 ( 4 ) + m3 ( 5 - 4 ); f2 ( 5 ) + m3 ( 5 - 5 )

max ( + ; + ; + ; + ; + ; + )

max ( )

d2(5) = 2

m2(4) = max ( f2 ( 0 ) + m3 ( 4 - 0 ); f2 ( 1 ) + m3 ( 4 - 1 ); f2 ( 2 ) + m3 ( 4 - 2 ); f2 ( 3 ) + m3 ( 4 - 3 ); f2 ( 4 ) + m3 ( 4 - 4 )

max ( + ; + ; + ; + ; + )

max ( )

d2(4) = 2

m2(3) = max ( f2 ( 0 ) + m3 ( 3 - 0 ); f2 ( 1 ) + m3 ( 3 - 1 ); f2 ( 2 ) + m3 ( 3 - 2 ); f2 ( 3 ) + m3 ( 3 - 3 )

max ( + ; + ; + ; + )

max ( )

d2(3) = 2

0,00

39,90 31,50 18,90 0,00

48,30 44,10 39,90 31,50 18,90 0,00

54,90

67,50

0,00 20,00 36,00 40,00

44,10 39,90 31,50 18,90

75,90

0,00 20,00 36,00 40,00 44,00

0,00 20,00 36,00 40,00 44,00 44,00

m2(2) = max ( f2 ( 0 ) + m3 ( 2 - 0 ); f2 ( 1 ) + m3 ( 2 - 1 ); f2 ( 2 ) + m3 ( 2 - 2 )

max ( + ; + ; + )

max ( )

d2(2) = 1

m2(1) = max ( f2 ( 0 ) + m3 ( 1 - 0 ); f2 ( 1 ) + m3 ( 1 - 1 )

max ( + ; + )

max ( )

d2(1) = 1

m2(0) = max ( f2 ( 0 ) + m3 ( 1 - 0 )

max ( + )

max ( )

0,00

0,00

18,90 0,00

20,00

0,00

0,00

0,00 20,00 36,00

38,90

0,00 20,00

31,50 18,90

n= 1 u= 8

m1(8) = max ( f1 ( 0 ) + m3 ( 8 - 0 ); f1 ( 1 ) + m3 ( 8 - 1 ); f1 ( 2 ) + m3 ( 8 - 2 ); f1 ( 3 ) + m3 ( 8 - 3 ); f1 ( 4 ) + m3 ( 8 - 4 ); f1 ( 5 ) + m3 ( 8 - 5 ); f1 ( 6 ) + m3 ( 8 - 6 ); f1 ( 7 ) + m3 ( 8 - 7 ); f1 ( 8 ) + m3 ( 8 - 8 ) )

max ( + ; + ; + ; + ; + ; + ; + ; + ; + )

max ( )

d1(8) = 3

41,40 0,00

111,90

41,40 54,90 41,40 38,90 41,40 20,0028,80 80,10 36,00 75,90 39,60 67,500,00 88,30 16,60 84,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8

m3(u) 0,00 18,90 31,50 39,90 44,10 48,30 48,30 48,30 48,30

d3(u) 0 1 2 3 4 5 5 5 5

m2(u) 0,00 20,00 389,00 54,90 67,50 75,90 80,10 84,30 88,30

d2(u) 0 1 1 2 2 2 2 2 3

m1(u) … … … … … … … … 111,90

d1(u) … … … … … … … … 3

u

TABLA N°03

X1*= d1(8)= 3

X2*= d2(8-X1*)= 2

X3*= d3(8-X1*-X2*)= 3

La política ÓPTIMA:

PROGRAMACIÓN DINÁMICA PROBABILÍSTICAEn la programación dinámica probabilística, la transición al estado de una etapasiguiente no se determina por el estado de la decisión política en la etapa actual.Después de la decisión, quizá la transición al estado de la etapa siguiente dependa delazar; esto es, de una variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad yque puede estar condicionada por el estado, etapa y decisión política de la etapaactual. O simplemente, en j=t(n,i,k), la función t es una variable aleatoria en elsentido de que la transición (n,i,k)͢ -> (n+1,j), que se representa en el siguienteesquema, tiene la probabilidad 𝑃𝑟 𝑗 𝑛, 𝑖, 𝑘 .

ETAPA NETAPA N+1

i

1

2

m

(n,i,k)

Decisión K

C(n,i,k)

𝑃𝑟 1 𝑛, 𝑖, 𝑘

𝑃𝑟 2 𝑛, 𝑖, 𝑘

𝑃𝑟 𝑚 𝑛, 𝑖, 𝑘

f*(n+1,1)

f*(n+1,2)

f*(n+1,m)

Transiciónprobabilística de unproblemadeprogramadinámica.

Cuando se expande el diagrama para incluir todos los estados y decisiones posibles en todas las etapas, se obtiene un árbol de decisión del problema.

En el caso de aditividad simple, la relación recursiva podrá describirse por la siguiente ecuación:

𝑓 𝑛, 𝑖, 𝑘 = 𝑐 𝑛, 𝑖, 𝑘 +

𝑗=1

𝑚

𝑃𝑟 𝑗 𝑛, 𝑖, 𝑘 ∗ 𝑓∗(𝑛 + 1, 𝑗)

En la expresión, la sumatoria representa el valor esperado de la función derecurrencia en la etapa posterior n+1, para todos los estados posibles detransición. Finalmente, está debe sumarse al costo o contribución subsecuentede la decisión que tomó en (n,i).

PROBLEMA 02Una unidad de cierto producto puede fabricarse en una semana. El comprador haceun pedido de una unidad que deberá entregarse al final de la primera semana yotro de más de una unidad que se entregará al final de la segunda. Al ser entregadoel artículo al final de la primera semana, el comprador lo somete a un control decalidad. De acuerdo con el control realizado, el comprado decide adquirirlo y pagarla cantidad de 600 u.m. en la siguiente semana. En caso de no superar elprocedimiento de control, lo rechazará, lo cual constituirá una pérdida total para elproductor.

Para la producción de un artículo en una semana, quizá se utilice 1 o 2 unidades deproducción, cada una de ellas a un costo total de 100 u.m. (maquinaria, mano deobra, materia prima, entre otros), y son independientes entre sí. Una unidad deproducción tiene la probabilidad igual a 0,5 para fabricar un artículo que supere uncontrol de calidad del comprador. Estos datos de costo y probabilidad se refieren alas condiciones actuales para la producción de la primera semana.

Para la segunda semana, las unidades de producción sufrirán un ajuste tecnológicoque elevará la probabilidad de conformidad, para cada una, a 0,65 y tambiénelevará el costo total de una unidad de proceso al 50%.Represente el diagrama del problema y determine la mejor decisión política al iniciode cada semana de producción y en todas las situaciones.

MODELACIÓN Y SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

La decisión k representa el número de unidades de producto a la semana. Cada etapa esel inicio de una semana. Los estados representan el número de artículos aceptados porel comprador, referidos a la producción de la semana anterior.

Así en la semana 0 hay apenas un costo de 100 u.m. en el cas de que se utilice unaunidad de proceso, o de 200 u.m. si se usan dos unidades de proceso. Para la semanaposterior los costos se elevan a 150 u.m. si K=1 y a 300 u.m si K=2. En la semana 1, si seacepta el artículo producido la semana anterior, debe considerarse la contribución oefecto adicional de 600 u.m. menos el costo de las unidades utilizadas, lo cual resulta enuna contribución positiva.

Al final, en el inicio de la semana 2, el valor de la función de recurrencia refleja lafórmula adicional de venta del artículo producido en la semana 1, que puede ser 0 ó600 u.m., en caso de que el artículo haya sido rechazado o aceptado, respectivamente.

1

0

1

0

0

K=

K=

K=

K=

-200

-100

300 600(0,75)

(0,25)

(0,50)

(0,50)

450

-300

-150

(0,8775)(0,1225)

(0,35)

(0,65)

0

Programación dinámica probabilística

En relación con la distribución de probabilidad, cuando n=0, i=0 y k=2, entonces el artículo no será aceptado si ambas unidades de proceso no consigue el artículo correcto, esto es, 𝑃𝑟 1𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑎𝑟 𝑥𝑃𝑟 2𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑎𝑟 =0,50𝑥0,50 = 0,25 𝑦 𝑎𝑠í 𝑠𝑒𝑟á 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 1 − 0,25 = 0,75

Se aplica un razonamiento análogo para n=1, K=2. De acuerdo con la ecuación vista , ello resulta:

𝑓 1,1,1 = 450 + 0,65𝑥600 + 0,35𝑥0 = 840𝑓 1,1,2 = 300 + 0,8775𝑥600 + 0,1225𝑥0 = 826,50𝑓∗ 1,1 = 𝑚á𝑥 840; 826,50 = 840 𝑦 𝑎𝑠í 𝐾∗ = 1

De la misma manera se trabaja para los demás casos. Por lo tanto obtenemos el siguiente cuadro:

i/k 1 2 K* f*(1,i)

0 240,00 226,50 1 240,00

1 840,00 826,50 1 840,00

i/k 1 2 K* f*(1,i)

0 440,00 490,00 2 490,00

f(1,i,k)

f(1,i,k)

i/k 1 2 K* f*(1,i)

0 240,00 226,50 1 240,00

1 840,00 826,50 1 840,00

i/k 1 2 K* f*(1,i)

0 440,00 490,00 2 490,00

f(1,i,k)

f(1,i,k)

Así las decisiones óptimas son ubicar dos unidades de producción para la primera ronda (semana 0) y única unidad de producción para la siguiente (semana 1), el margen de que el artículo sea aceptado o no.

En una urna para sorteo contiene 5 bolas, 4 verdes y 1 roja. Un candidato del auditorio gana 160 u.m. por participar y el presentador le explica que puede quedarse con el dinero si desistir del juego o participar en el sorteo y elegir una bola de la urna. Si acepta, el participante pierde el dinero que ya ganó si saca la bola roja, o gana 50% más sobre el valor de lo que ya tiene si sale la verde. En este último caso, el participante decidirá de nuevo entre desistir o continuar con las mismas condiciones. La bola que ya extrajo no se repone.

Este proceso puede repetirse varias veces. Represente el diagrama del problema del candidato y determine la mejor decisión política para él en cada momento que debe tomar una decisión (véase el siguiente diagrama).

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2A

ETAPA 1 ETAPA 2 ETAPA 3 ETAPA 4 ETAPA 5

160 2400 360 0 540 0

D

C

P (1/5)D D D

C C C

P (1/4) P (1/3) P (1/2)

G (4/5) G (3/4) G (2/3) G (1/2)

SOLUCIÓN

Cada etapa n representa la n-ésima respuesta que el candidato debe dar al presentador para decidir entre continuar (C) o desistir (D) del juego. Así, las decisiones C o D.Los estados de cada etapa, a partir de n=2, son dos:

1. El candidato juego y toma una decisión (C o D).2. El candidato sale del juego en la etapa anterior.

Así, por ejemplo, la función de recurrencia en n=4 e i=1 se calcula con:f(4,1,D)= 540f(4,1,C)= 0,5x810+0,5x0= 405𝑓∗ 4,2 = 0

C D K* f*(4,i)

1 405 540 D 540

2 - 0 D 0

C D K* f*(3,i)

1 360 360 D o C 360

2 - 0 D 0

f(4,i,k)

f(3,i,k)

ETAPA 4

ETAPA 3

C D K* f*(2,i)

1 270 240 C 270

2 - 0 D 0

C D K* f*(1,i)

1 216 160 C 216

2 - 0 D 0

f(2,i,k)

f(1,i,k)

ETAPA 2

ETAPA 1

f(3,1,D)= 360f(3,1,C)= 1/3x0+2/3x540= 360𝑓∗ 3,2 = 0f(2,1,D)= 240f(2,1,C)= 1/4x0+3/4x360= 270𝑓∗ 2,2 = 0

f(1,1,D)= 160f(1,1,C)= 1/5x0+4/5x540= 432𝑓∗ 1,2 = 0

Así, las decisiones óptimas son continuar en el juego en las dos primeras etapas, indiferencia entre continuar o desistir en la tercera y desistir en la cuarta decisión.

BIBLIOGRAFIA

• INVESTIGACION DE OPERACIONES Aplicaciones y Algoritmos, Wayne L. Winston.

• INVESTIGACION DE OPERACIONES, Hamdy Taha.